Physik · Elektrische Schaltungen

RC-Zeitkonstante

Ein idealer Kondensator mit konstanter positiver Kapazität und endlichem positivem wirksamem Widerstand in einem linearen, nach dem Schalten zeitlich unveränderten Netzwerk. Die Zeitkonstante beschreibt die Spannungsabweichung vom Endwert; mehrere unabhängige Speicher können mehrere Zeitkonstanten erzeugen.

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Formel

Berechnen

τ = RC, q (t) = Q (1 - e^{- t / τ})

τ in s, R in Ω, C in F; q und Q in C.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$τ$	Zeitkonstante	s
$R$	Widerstand	Ω
$C$	Kapazität	F
$Q$	Endladung beim Ladevorgang	C
$t$	Zeit seit Schaltvorgang	s

LaTeX

\tau = R C, \quad q(t)=Q(1-e^{-t/\tau})

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Exponentialkurve von 1 V gegen die waagerechte 5-V-Asymptote. Markierungen bei einer und zwei Zeitkonstanten zeigen 3,5285 und 4,4587 V; nach fünf Zeitkonstanten ist 5 V noch nicht exakt erreicht. — Der Kondensator startet bei 1 V und nähert sich 5 V mit τ = 103,4 ms. Nach τ ist 63,2 % der anfänglichen 4-V-Abweichung abgebaut.

RC-Zeitkonstante berechnen

Zeitkonstante τ = R · C, die Kondensatorspannung zu einem Zeitpunkt oder die Zeit bis zu einer Spannung beim Laden und Entladen ausrechnen.

Rechenmodell

Gesucht

Ersatzwiderstand R_eq

Widerstand, über den der Kondensator lädt, z. B. 10 kΩ; bei mehreren der Ersatzwiderstand.

Kapazität C

Kapazität des Kondensators, z. B. 100 µF für einen Elektrolytkondensator.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach τ, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach τ umstellen
$\tau=R_{eq}C$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- R_eq = 10 kΩ = 10 000 Ω
- C = 100 µF = 1 · 10⁻⁴ F
$\tau=10000\cdot 0{,}0001$
3. Ergebnis
τ = 1 s

Ergebnis: Zeitkonstante τ

τ = 1 s

Mit R_eq = 10 kΩ und C = 100 µF ergibt sich τ = 1 s.

So rechnest du schneller

Faustregel: Nach 1 τ sind rund 63 % des Wegs zur Endspannung geschafft, nach 5 τ über 99 %. Ganz am Ziel ist der Kondensator im Modell nie.
Einheitenprobe: Ω mal F ergibt Sekunden. 1 kΩ · 1 µF = 1 ms, und 10 kΩ · 100 µF = 1 s.

Annahmen und Grenzen

Ein idealer linearer Kondensator mit C > 0 und endlichem positivem Req im nach dem Schalten konstanten resistiven Netz. Req ist der vom Kondensator gesehene Widerstand, nicht automatisch ein einzelner beschrifteter Widerstand. Unabhängige ideale Quellen für Req ausschalten; abhängige Quellen bleiben wirksam. Weitere unabhängige Speicher ausgeschlossen.

Herleitung & Hintergrund

Betrachte nach dem Schaltvorgang einen idealen Kondensator an einem zeitlich unveränderten resistiven Netzwerk. Ersetze das Netzwerk am Kondensator durch seine Thévenin-Spannung und seinen wirksamen Widerstand; abhängige Quellen bleiben aktiv. Die Masche liefert $R_{\mathrm{eq}}i+U_C=U_f$ , der Kondensator $i=C\frac{\mathrm dU_C}{\mathrm dt}$ . Setze $x=U_C-U_f$ : Dann gilt $\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=-\frac{x}{R_{\mathrm{eq}}C}$ . Mit Anfangsspannung $U_i$ folgt $U_C(t)=U_f+(U_i-U_f)e^{-\frac t\tau}$ , wobei $\tau=R_{\mathrm{eq}}C$ . Nach einer Zeitkonstante verbleibt der e-fache Kehrwert der anfänglichen Abweichung. Die bekannten 63,2 Prozent der Endspannung gelten speziell für Laden aus null Volt.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Ein Widerstand begrenzt den Ladestrom, während die Kondensatorspannung den noch treibenden Spannungsunterschied vermindert.

1Betrachte nach dem Schaltvorgang einen idealen Kondensator an einem zeitlich unveränderten resistiven Netzwerk.
2Ersetze das Netzwerk am Kondensator durch seine Thévenin-Spannung und seinen wirksamen Widerstand; abhängige Quellen bleiben aktiv.
3Die Masche liefert $R_{\mathrm{eq}}i+U_C=U_f$ , der Kondensator $i=C\frac{\mathrm dU_C}{\mathrm dt}$ .
4Setze $x=U_C-U_f$ : Dann gilt $\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=-\frac{x}{R_{\mathrm{eq}}C}$ .
5Mit Anfangsspannung $U_i$ folgt $U_C(t)=U_f+(U_i-U_f)e^{-\frac t\tau}$ , wobei $\tau=R_{\mathrm{eq}}C$ .
6Nach einer Zeitkonstante verbleibt der e-fache Kehrwert der anfänglichen Abweichung. Die bekannten 63,2 Prozent der Endspannung gelten speziell für Laden aus null Volt.

Umstellen

Ladezustand nach einer Zeit bestimmen

\frac{q(t)}{Q_f}=1-e^{-\frac{t}{R_{\mathrm{eq}}C}}

Nur für anfangs ungeladenen linearen Kondensator nach einem konstanten Spannungssprung mit positivem Ersatzwiderstand; Qf=CUf darf nicht null sein. Bei Vorladung beschreibt die Exponentialfunktion stattdessen die Restabweichung vom Endzustand.

Aufgabenvariante

R=10 kΩ und C=100 μF. Bestimme die Zeitkonstante τ.

Mit $R=10\,\mathrm{k\Omega}$ und $C=100\,\mathrm{\mu F}$ folgt $\tau=RC=1{,}0\,\mathrm s$ .
Nur beim ausdrücklich angenommenen Nullstart an eine konstante nichtnullige Endspannung gilt nach einer Sekunde $\frac q{Q_f}=1-e^{-1}\approx0{,}632$ .
Allgemein verbleiben 36,8 % der Anfangsabweichung.

Kontrolle: $\frac{1\,\mathrm s}{RC}=1$ ; das Exponentenargument ist dimensionslos.

Typische Fehler

Mikrofarad nicht in Farad umrechnen oder Lade- und Entladeformel verwechseln.

1 μF = 10⁻⁶ F. Nur beim Laden eines anfangs ungeladenen Kondensators auf eine positive Endladung beginnt q bei null und steigt. Allgemein nähert sich q vom tatsächlichen Anfangswert dem Endwert; beim Entladen auf null nimmt sein Betrag ab.

Klausurkontext

Ladeverläufe, Zeitglieder und einfache RC-Tiefpassschaltungen.

Formelcluster

Elektrische Zeitglieder

Die Zeitkonstante macht aus Bauteilwerten eine anschauliche charakteristische Zeit.

C = Q/U

Kapazität eines Kondensators

U = R·I

Ohmsches Gesetz

y′ + a y = r(t)

Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Rechenbeispiel

Mit $R=10\,\mathrm{k\Omega}$ und $C=100\,\mathrm{\mu F}$ gilt $\tau=RC=1\,\mathrm s$ . Beim Laden aus null Volt sind nach einer Sekunde rund 63,2 Prozent der Endspannung erreicht; allgemein verbleiben rund 36,8 Prozent der ursprünglichen Abweichung.

Anwendungsgebiete

Verzögerung und Filter in Schaltungen, Blitzgeräte, Sensoren und zeitabhängige Spannungs- oder Ladungsmessungen.

Rechenbeispiel: Zeitkonstante des RC-Kreises

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Zeitkonstante des RC-Kreises (τ = RC; q(t)=Q(1−e^(−t/τ))).

1
Aufgabe
R=10 kΩ und C=100 μF. Bestimme die Zeitkonstante τ.
Rechenweg
1. Mit $R=10\,\mathrm{k\Omega}$ und $C=100\,\mathrm{\mu F}$ folgt $\tau=RC=1{,}0\,\mathrm s$ .
2. Nur beim ausdrücklich angenommenen Nullstart an eine konstante nichtnullige Endspannung gilt nach einer Sekunde $\frac q{Q_f}=1-e^{-1}\approx0{,}632$ .
3. Allgemein verbleiben 36,8 % der Anfangsabweichung.
Kontrolle: $\frac{1\,\mathrm s}{RC}=1$ ; das Exponentenargument ist dimensionslos.

Die Formel verstehen und anwenden

Nach dem Einschalten springt die Kondensatorspannung im idealen RC-Modell nicht sofort auf die Quellspannung. Zuerst fließt Strom, dann nimmt die verbleibende Spannungsdifferenz ab. Die Zeitkonstante beschreibt die Zeitskala dieser Annäherung. Ausgangszustand, Endzustand und die Schalterstellung bestimmen gemeinsam den Verlauf; eine zweite Schaltung kann deshalb denselben Kondensator ganz anders laden oder entladen.

Eine exponentielle Annäherung, kein Fertigzeitpunkt

Ein idealer linearer Kondensator hat eine zur Spannung proportionale Plattenladung. Ein Strom verändert diese Ladung und damit die Spannung. Der Widerstand begrenzt den Strom durch die verbleibende Spannungsdifferenz. Vorwissen sind die Widerstandsformel, Kapazität und eine Exponentialfunktion; die Herleitung erklärt zusätzlich, warum gerade der Abstand zum Endwert exponentiell abnimmt.[1][2]

\begin{aligned}\tau&=R_{\mathrm{eq}}C\\{}u_C(t)&=U_f+(U_i-U_f)e^{-\frac{t}{\tau}}\end{aligned}

Ein idealer linearer Kondensator und ein nach dem Schalten konstantes stabiles resistives Ersatznetz; t=0 am Schaltmoment.[1][2]

Nach τ bleibt $e^{-1}$ des ursprünglichen Abstands zum Endwert übrig. Nur beim Laden von null auf Uf ist der erreichte Anteil $1-e^{-1}\approx0.632$ . Beim Entladen gegen null bleiben 36,8 % der Anfangsspannung. Die Anfangsspannung ist stetig, solange kein idealer impulsförmiger Strom vorliegt. Ein beliebig großer Spannungswechsel der Quelle bewirkt deshalb nicht automatisch einen sofortigen Sprung am Kondensator.[1][2]

Spannung und Energie haben verschiedene Abklingraten

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Beide Kurven sind für die Entladung eines linearen Kondensators gegen null berechnet:

\frac{u_C}{U_i}=e^{-\frac t\tau}

\frac{W_C}{W_i}=e^{-\frac{2t}\tau}

. Diese Darstellung setzt eine nichtnullige Anfangsspannung voraus.[2][4]

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Bauteilgleichung und Knotenbilanz verbinden

Bestimme immer zuerst den Endwert: Im stationären Gleichstromzustand fließt durch den idealen Kondensator kein Strom. Bestimme danach den wirksamen Widerstand am Kondensator für dieselbe Schalterstellung. Schließlich setze die bereits vorhandene Anfangsspannung ein. Damit werden Laden, Entladen und ein Wechsel zwischen zwei nichtnulligen Spannungen mit einem einzigen Modell beschrieben.[1]

\begin{aligned}i&=C\frac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}=\frac{U_f-u_C}{R_{\mathrm{eq}}}\\{}\tau\frac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}+u_C&=U_f\end{aligned}

Strom positiv in die positive Kondensatorklemme; konstante Kapazität.[1]

\begin{aligned}w&=u_C-U_f\\{}\frac{\mathrm dw}{w}&=-\frac{\mathrm dt}{\tau}\\{}w(t)&=(U_i-U_f)e^{-\frac{t}{\tau}}\end{aligned}

Abweichung vom stationären Wert lösen; der Sonderfall Ui=Uf bleibt konstant.[1]

Die Randbedingung bestimmt den Vorfaktor. Wenn Ui über Uf liegt, fällt die Spannung; wenn Ui darunter liegt, steigt sie. Das Modell derselben Differentialgleichung erklärt beide Richtungen. $q=CU_C$ bezeichnet die gerichtete Ladung auf der gewählten Platte, nicht eine wachsende Nettoladung des gesamten idealen Kondensators.[1]

Die Kapazität eines Kondensators verbindet Plattenladung und Spannung. Bei konstantem C führt ihre zeitliche Ableitung zum Kondensatorstrom in der obigen Bilanz.[1]

Den richtigen Widerstand nach dem Schalten finden

Req ist der Widerstand, den der Kondensator in der geltenden Schalterstellung sieht, nicht zwangsläufig ein beschrifteter Einzelwiderstand. In einem rein resistiven Netz mit unabhängigen Quellen werden ideale Spannungsquellen für die Widerstandsbestimmung kurzgeschlossen und ideale Stromquellen geöffnet. Abhängige Quellen bleiben wirksam; dort benötigt man eine Prüfanregung. Lade- und Entladeposition können unterschiedliche Req besitzen.[1]

Ein Teiler aus zwei 4-kΩ-Widerständen an einer idealen 12-V-Quelle hat am Mittelpunkt Uf=6 V. Ein dort gegen den Bezug angeschlossener 22-μF-Kondensator sieht bei ausgeschalteter unabhängiger Quelle 4||4=2 kΩ, also τ=44 ms. Die Summe 8 kΩ ist hier nicht der vom Kondensator gesehene Widerstand. Dieses Ersatzbild gilt für genau diesen einzelnen Speicher und diese Topologie.[1][3]

Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen hilft bei der Bestimmung von Req, nachdem Schalterstellung und Quellenbehandlung feststehen. Eine Widerstandssumme ohne dieses Ersatznetz ist keine verlässliche RC-Zeitkonstante.[3][1]

Anfangsladung, Schwellzeit und Umschalten

Von 1 V auf 5 V statt von null laden

Gegeben: $R=2{,}2\,\mathrm{k\Omega}$ , $C=47\,\mathrm{\mu F}$ , $U_i=1{,}0\,\mathrm V$ , $U_f=5{,}0\,\mathrm V$ , $t=2\tau$ .
Gesucht: Zeit, Spannung, Plattenladung und Strom.

Ansatz: Die allgemeine Antwort mit tatsächlicher Anfangsspannung verwenden.
$\begin{aligned}\tau&=RC\\{}u_C&=U_f+(U_i-U_f)e^{-\frac{t}{\tau}}\end{aligned}$
Vorsätze in SI umrechnen.
$\begin{aligned}\tau&=2200\cdot47\cdot10^{-6}=0.1034\,\mathrm s\\{}t&=0.2068\,\mathrm s\end{aligned}$
Die tatsächliche Anfangsabweichung −4 V einsetzen.
$u_C=5-4e^{-2}=4.458658867\,\mathrm V$
Ladung und abnehmenden Strom aus demselben Verlauf bestimmen.
$\begin{aligned}q&=Cu_C=209.5569668\,\mu\mathrm C\\{}i&=\frac{4e^{-2}}{2200}=0.2460642\,\mathrm{mA}\end{aligned}$

Ergebnis: Nach 206,8 ms liegen etwa 4,459 V und 209,56 μC vor; Strom 0,246 mA.

Kontrolle: Restabweichung $5\,\mathrm V-U_C\approx 0{,}54134\,\mathrm V$ ist $4 e^{-2}$ . $iR+U_C$ ergibt 5 V; bei t=0 ergibt die Formel genau 1 V.

Entladen bis zu einer vorgegebenen Schwelle

Gegeben: $U_i=8{,}0\,\mathrm V$ , $U_f=0$ , $R=4{,}7\,\mathrm{k\Omega}$ , $C=100\,\mathrm{\mu F}$ .
Gesucht: Zeit bis 2,0 V sowie Spannung und Restenergie nach 0,70 s.

Ansatz: Für die Entladung gegen null die Schwelle logarithmisch lösen und Energie separat aus der Spannung bestimmen.
$\begin{aligned}u_C&=U_i e^{-\frac{t}{\tau}}\\{}t&=\tau\ln\frac{U_i}{u_C}\\{}E_C&=\frac{1}{2}Cu_C^2\end{aligned}$
Zeitkonstante und logarithmische Schwellzeit bestimmen.
$\begin{aligned}\tau&=0.47\,\mathrm s\\{}t_{2\mathrm V}&=0.47\ln(\frac{8}{2})=0.65155835\,\mathrm s\end{aligned}$
Zum zweiten Zeitpunkt direkt die Exponentialfunktion auswerten.
$u_C(0.70)=8e^{-\frac{0.70}{0.47}}=1.80413245\,\mathrm V$
Energie folgt dem Quadrat der Spannung.
$\begin{aligned}E_0&=\frac{1}{2}C8^2=3.20\,\mathrm{mJ}\\{}E(0.70)&=\frac{1}{2}Cu_C^2=0.162744695\,\mathrm{mJ}\end{aligned}$

Ergebnis: 2 V werden nach etwa 651,6 ms erreicht; bei 700 ms verbleiben 1,804 V und 0,1627 mJ.

Kontrolle: Spannung nimmt wie $e^{-\frac{t}{\tau}}$ ab, Energie wie $e^{-2\frac{t}{\tau}}$ ; etwa 3,0373 mJ wurden im idealen Widerstand umgesetzt.

Eine neue Schalterstellung verlangt einen neuen Endwert und Ersatzwiderstand. Die Kondensatorspannung unmittelbar vor dem Schalten liefert dabei die Anfangsbedingung des nächsten Zeitabschnitts. Das folgende Beispiel verwendet zwei getrennte Zeitachsen für die beiden Phasen.[1][2]

Ein zweiter Schaltvorgang beginnt mit der vorhandenen Spannung

Gegeben: Ein 20-μF-Kondensator startet bei 0 V und lädt über 1,0 kΩ an 10 V. Nach 20 ms wird er von dieser Quelle getrennt und über 2,0 kΩ an den Bezug geschaltet. Idealer linearer Kondensator; keine impulsförmigen Ströme.
Gesucht: Spannung unmittelbar am Umschalten und weitere 40 ms später bestimmen.

Ansatz: Beide Schalterstellungen besitzen ihre eigene Zeitkonstante. Die Endspannung der ersten Zeitphase ist die Anfangsspannung der zweiten.
$\begin{aligned}\tau_1&=R_1C\\u_1(t)&=10(1-e^{-\frac t{\tau_1}})\\\tau_2&=R_2C\\u_2(s)&=u_1(20\,\mathrm{ms})e^{-\frac s{\tau_2}}\end{aligned}$
Die erste Phase dauert genau eine ihrer Zeitkonstanten.
$\begin{aligned}\tau_1&=20\,\mathrm{ms}\\u_1(20\,\mathrm{ms})&=10(1-e^{-1})\approx6.32120559\,\mathrm V\end{aligned}$
In der zweiten Phase zählt die Zeit seit dem Umschalten.
$\begin{aligned}\tau_2&=40\,\mathrm{ms}\\u_2(40\,\mathrm{ms})&=10(1-e^{-1})e^{-1}\\&\approx2.32544158\,\mathrm V\end{aligned}$

Ergebnis: Bei insgesamt 20 ms liegen 6,321 V vor, bei insgesamt 60 ms noch 2,325 V. Am Umschalten bleibt die Kondensatorspannung stetig.

Kontrolle: Die zweite Phase reduziert die vorhandene Spannung um den Faktor $e^{-1}$ . Der Strom darf dagegen springen: Unmittelbar vor dem Schalten fließen etwa +3,679 mA in die positive Klemme, danach −3,161 mA. Die Ladung und ihre Änderungsrate sind unterschiedliche Größen.

Eine Zielgenauigkeit in eine Zeit übersetzen

\begin{aligned}\frac{|u_C-U_f|}{|U_i-U_f|}&=\varepsilon\\{}t&=-\tau\ln\varepsilon\\{}0&<\varepsilon<1\end{aligned}

Relative Restabweichung, vorausgesetzt Ui≠Uf; keine endliche Zeit für exakt null Fehler.[1][2]

10 % Restfehler brauchen ln 10≈2,303 Zeitkonstanten, 1 % brauchen ln 100≈4,605. Nach 5τ sind bei Nullstart 99,326 % des Endwerts erreicht, nicht exakt 100 %. Reale Toleranzen von $R$ und C und Schwelltoleranzen wirken auf die Zeit. Eine einzelne nominelle Zahl ist deshalb kein garantierter Schaltzeitpunkt.[2]

Für eine konkrete Spannungsschwelle U* muss zuerst ihre Erreichbarkeit geprüft werden. Bei Ui ≠ Uf liegt eine zu positiver endlicher Zeit erreichte Schwelle strikt zwischen Ui und Uf. U* = Ui gehört zu t = 0; U* = Uf wird nur asymptotisch erreicht. Bei Ui = Uf bleibt die Spannung konstant: Eine gleiche Schwelle liefert keine eindeutige Durchgangszeit, eine andere wird nie erreicht.[1][2]

t=R_{\mathrm{eq}}C\ln\left|\frac{U_i-U_f}{U_*-U_f}\right|

Schwellzeit im konstanten Ein-Kondensator-Modell; für eine positive endliche Zeit muss U* strikt zwischen Ui und Uf liegen.[1][2]

Farad, Coulomb und Sekunden prüfen

\begin{aligned}[RC]&=\frac{\mathrm V}{\mathrm A}\frac{\mathrm C}{\mathrm V}=\mathrm s\\{}1\,\mu\mathrm F&=10^{-6}\,\mathrm F\end{aligned}

Der Exponent $\frac{t}{\tau}$ ist dimensionslos; Mikrofarad darf nicht als ganze Farad eingesetzt werden.[2]

Das kurze Ausgangsbeispiel mit 10 kΩ und 100 μF bleibt τ=1,0 s und $\frac{q}{Q}=1-e^{-1}\approx0.632$ nach einer Sekunde, für ursprünglich ungeladene Platte. Wenn bereits eine Anfangsspannung vorliegt, ist dieser Anteil nicht einfach $\frac{q}{Q}$ ; nutze die relative Abweichung. Ladung Q=CUf folgt nur für dieselbe konstante Kapazität und dieselbe Plattenorientierung.[2]

Fünf Aufgaben zum Zeitverlauf

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

R=1 kΩ, C=20 μF, Nullstart an 3 V. Spannung nach τ?

Hinweis anzeigen

Nicht mit voller Quellspannung verwechseln.

Lernziel: Spannung nach einer Zeitkonstante bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Beim Nullstart zählt der erreichte Anteil der gesamten Spannungsänderung.
Die Zeitkonstante beträgt 20 ms.
Zu diesem Zeitpunkt liegen etwa 1,89636 V am Kondensator; zur Quelle fehlen noch 1,10364 V.
Beide Werte ergeben zusammen 3 V.

u_C(\tau)=3(1-e^{-1})\approx1.89636\,\mathrm V

Transfer · Anwenden

Wie verändert eine Verdopplung von $R$ bei festem C, Ui, Uf den Verlauf?

Hinweis anzeigen

Zeitskala und Anfangsstrom getrennt betrachten.

Lernziel: Widerstandsänderung auf Zeit und Strom übertragen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Vergleiche Zeitkonstante und Anfangsstrom mit denselben Anfangs- und Endspannungen. τ verdoppelt sich, Anfangsstrom halbiert sich; für dieselbe relative Abweichung verdoppelt sich die Wartezeit.
Endspannung bleibt Uf.

\begin{aligned}\tau_2&=2\tau_1\\{}i_2(0)&=\frac{i_1(0)}{2}\end{aligned}

Umstellen · Anwenden

Eine Entladung soll nach 30 ms genau 10 % Anfangsspannung haben. C=10 μF. Modellwiderstand?

Hinweis anzeigen

$\tau=\frac{t}{\ln10}$ , dann $R=\frac{\tau}{C}$ .

Lernziel: Entladeziel zum Widerstand umstellen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die vorgegebene Restspannung ist ein Anteil der Anfangsspannung; löse den Exponenten logarithmisch. τ≈13,0288 ms; R≈1302,88 Ω.
Einsetzen in die Entladefunktion liefert wieder 10 %.

R=\frac{0.030}{10^{-5}\ln10}\approx1302.88\,\Omega

Interpretieren · Anwenden

Ein idealer Kondensator nähert sich 10 V. Bei t=0, 1 s und 2 s werden genau 2 V, 6 V und 8 V gemessen. Passt das zum einfachen RC-Modell mit konstanten Parametern? Bestimme τ aus den Restspannungen.

Hinweis anzeigen

Ziehe jeden Messwert vom Endwert ab.

Lernziel: Exponentialmodell anhand gleicher Restquotienten erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Restspannungen sind 8 V, 4 V und 2 V.
In gleichen Zeitintervallen halbieren sie sich, wie bei einer Exponentialfunktion.
Die Halbierungszeit ist eine Sekunde, nicht die Zeitkonstante.
Die Zeitkonstante beträgt etwa 1,4427 s; Einsetzen reproduziert beide späteren Werte.
Spannung selbst wächst nicht mit einem konstanten Faktor.

\begin{aligned}\frac{U_f-U(1\,\mathrm s)}{U_f-U(0)}&=\frac12=e^{-\frac{1\,\mathrm s}\tau}\\{}\tau&=\frac{1\,\mathrm s}{\ln2}\approx1.4427\,\mathrm s\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Bei einem Spannungswechsel von 4 V auf 10 V erklärt jemand: Nach τ ist die Spannung 63,2 % von 10 V, also 6,32 V. Korrigiere den Wert und erkläre, worauf sich die 63,2 % beziehen; idealer RC-Kreis.

Hinweis anzeigen

Die Anfangsspannung ist nicht null.

Lernziel: Prozentangabe auf den richtigen Spannungsbezug beziehen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Addiere zur Anfangsspannung den exponentiell erreichten Anteil der gesamten Änderung von 6 V.
Nach einer Zeitkonstante beträgt die Spannung etwa 7,79272 V.
Die 63,2 % beschreiben den abgearbeiteten Anteil der anfänglichen Differenz zum Endwert, nicht den Anteil am Endwert.
Der Rest ist etwa 2,20728 V; beide Teile summieren sich zu 10 V.

\begin{aligned}U(\tau)&=U_i+(U_f-U_i)(1-e^{-1})\\{}&=4+6(1-e^{-1})\approx7.79272\,\mathrm V\end{aligned}

[1]

Ein Speicherpol reicht nicht für jedes Netzwerk

Mehrere unabhängige Energiespeicher können mehrere Zeitkonstanten erzeugen; Induktivität kann Überschwingen ermöglichen. Leckstrom, ESR, spannungsabhängige Kapazität und ein strombegrenzter Treiber verändern das einfache RC-Modell. R=0 im idealen Schaltbild ist ein singularer Grenzfall und keine endliche Nullzeit-Laderechnung. Die hier gezeigte Antwort verlangt positives Req, konstantes C und nach dem Schalten konstantes Ersatznetz.[1][2]

Kurz zusammengefasst

Die Zeitkonstante zählt die Abnahme der anfänglichen Abweichung. Setze Anfangs- und Endspannung ausdrücklich ein und verwende den Widerstand, den der Kondensator nach dem Schalten tatsächlich sieht. Ein Prozentziel verlangt eine logarithmische Zeit, nicht den pauschalen Satz „nach einer Zeitkonstante voll“.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Erreichbarkeit konkreter Spannungsschwellen und ihre logarithmische Zeit ergänzt, zwei Kontextlinks gesetzt und eine englische Aussage zur endlichen Zeit präzisiert.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Lernweg mit anschaulichem Einstieg, zusätzlichem Modellbeispiel, quantitativem Diagramm und Schlusszusammenfassung ergänzt; vorhandene Beispiele, Aufgaben und Quellen erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Zeitkonstante des RC-Kreises. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/rc-zeitkonstante

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Zeitkonstante des RC-Kreises

Was bedeutet τ=RC praktisch?+

Eine Zeitkonstante ist die Zeit, nach der die ursprüngliche Abweichung zum Endwert auf den Faktor eins durch e abgesunken ist. Für ursprünglich ungeladenes Laden an konstanter Quelle sind dann rund 63,2 % des Endwerts erreicht. Beim Entladen gegen null verbleiben 36,8 % der Anfangsspannung. Nach fünf Zeitkonstanten ist die Annäherung sehr weit fortgeschritten, aber mathematisch nicht exakt abgeschlossen. Der verwendete Widerstand ist der nach dem Schalten vom Kondensator gesehene Ersatzwiderstand. Unterschiedliche Schalterstellungen können daher verschiedene Lade- und Entladezeiten besitzen. Eine vorhandene Anfangsspannung wird im allgemeinen Verlauf berücksichtigt, statt die Nullstartform ungeprüft zu verwenden.

Wie rechne ich Mikrofarad richtig um?+

Das Präfix Mikro bedeutet den Faktor eine Millionstel. Deshalb sind 47 Mikrofarad als 47 mal zehn hoch minus sechs Farad einzusetzen. Mit 2,2 Kiloohm ergibt das eigene Beispiel die Zeitkonstante 0,1034 Sekunden. Kiloohm bedeutet dabei zusätzlich tausend Ohm. Rechne entweder beide Werte konsequent in SI oder verwende eine überprüfte passende Präfixkombination; mische keine rohen Zahlen verschiedener Skalen. Die Einheitenprobe ist Ohm mal Farad gleich Sekunde. Auch das Exponentenargument aus Zeit geteilt durch Zeitkonstante muss dimensionslos sein. Eine falsch umgerechnete Kapazität verändert die gesamte Antwort um Größenordnungen, selbst wenn die Exponentialfunktion korrekt ausgewertet wurde.

Welche Funktion gilt beim Entladen?+

Beim idealen Entladen gegen null ist die Spannung gleich Anfangsspannung mal dem abklingenden Exponentialfaktor. Die gerichtete Plattenladung hat bei konstantem C denselben relativen Verlauf. Energie nimmt dagegen mit dem Quadrat der Spannung ab und besitzt deshalb einen doppelt so großen Betrag des Exponenten. Im eigenen 8-V-/4,7-kΩ-/100-μF-Fall ist die Zeitkonstante 0,47 Sekunden. Die Schwelle 2 V wird nach ungefähr 0,6516 Sekunden erreicht; nach 0,70 Sekunden bleiben etwa 1,804 V. Ein anderer Endwert verlangt die allgemeine Abweichungsform. Entfernen der Quelle allein garantiert keine Entladung: Eine tatsächliche leitende Entladebahn muss im Modell vorhanden sein.

Was passiert bei größerem Widerstand?+

Bei unverändertem Kondensator und derselben Anfangs- sowie Endspannung vergrößert ein größerer positiver Ersatzwiderstand die Zeitkonstante proportional. Verdoppelst du ihn, dauert das Erreichen derselben relativen Restabweichung doppelt so lange, während der Anfangsstrom halbiert wird. Die endgültige Spannung bleibt im gleichen idealen Quellenmodell unverändert. Entscheidend ist jedoch der gesamte gesehene Ersatzwiderstand, nicht unbedingt ein einzelner veränderter Widerstand in einem Netz. Ein belasteter Teiler kann gleichzeitig Endwert und Ersatzwiderstand verändern. Bauteilleckage, Treiberstrombegrenzung und temperaturabhängige Werte können die einfache Skalierung ebenfalls begrenzen. Der Unterschied zwischen Zeitskala und Endwert sollte deshalb getrennt geprüft werden.

Wie hängt der RC-Kreis mit einer Differentialgleichung zusammen?+

Die Knotengleichung setzt den Quellenstrom durch den Ersatzwiderstand gleich dem Kondensatorstrom aus Kapazität mal Spannungsableitung. Nach Umstellen entsteht eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Der konstante Endwert ist eine partikuläre Lösung; die Abweichung dazu erfüllt eine homogene Gleichung mit exponentiellem Abklingen. Die Anfangsspannung bestimmt den Vorfaktor. So erhältst du Laden und Entladen aus demselben Ansatz, ohne zwei unabhängige Merkformeln. Das eigene Beispiel beginnt bei 1 V und nähert sich 5 V; nach zwei Zeitkonstanten ergibt sich 4,459 V. Mehrere unabhängige Speicher können zusätzliche Pole erzeugen und benötigen dann ein erweitertes Gleichungssystem statt einer einzigen Zeitkonstante.

Quanta-Prüfungsset

Kuratiertes Prüfungsset für "Zeitkonstante des RC-Kreises":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Zeitkonstante des RC-Kreises?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Wie stellst du τ = RC; q(t)=Q(1−e^(−t/τ)) nach Ladezustand nach einer Zeit bestimmen um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei τ = RC; q(t)=Q(1−e^(−t/τ))?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Volume 2, §10.5: RC Circuits

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

F = k_e \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

Coulombsches Gesetz

\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})

Lorentzkraft

\mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Faradaysches Induktionsgesetz

\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

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RC-Zeitkonstante

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Symbol

Bedeutung

Einheit

τ

Zeitkonstante

R

Widerstand

C

Kapazität

Q

Endladung beim Ladevorgang

t

Zeit seit Schaltvorgang

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Ein Widerstand begrenzt den Ladestrom, während die Kondensatorspannung den noch treibenden Spannungsunterschied vermindert.

1Betrachte nach dem Schaltvorgang einen idealen Kondensator an einem zeitlich unveränderten resistiven Netzwerk.
2Ersetze das Netzwerk am Kondensator durch seine Thévenin-Spannung und seinen wirksamen Widerstand; abhängige Quellen bleiben aktiv.
3Die Masche liefert $R_{\mathrm{eq}}i+U_C=U_f$ , der Kondensator $i=C\frac{\mathrm dU_C}{\mathrm dt}$ .
4Setze $x=U_C-U_f$ : Dann gilt $\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=-\frac{x}{R_{\mathrm{eq}}C}$ .
5Mit Anfangsspannung $U_i$ folgt $U_C(t)=U_f+(U_i-U_f)e^{-\frac t\tau}$ , wobei $\tau=R_{\mathrm{eq}}C$ .
6Nach einer Zeitkonstante verbleibt der e-fache Kehrwert der anfänglichen Abweichung. Die bekannten 63,2 Prozent der Endspannung gelten speziell für Laden aus null Volt.

Rechenbeispiel: Zeitkonstante des RC-Kreises

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Zeitkonstante des RC-Kreises (τ = RC; q(t)=Q(1−e^(−t/τ))).

Aufgabe

R=10 kΩ und C=100 μF. Bestimme die Zeitkonstante τ.

Rechenweg

Mit $R=10\,\mathrm{k\Omega}$ und $C=100\,\mathrm{\mu F}$ folgt $\tau=RC=1{,}0\,\mathrm s$ .
Nur beim ausdrücklich angenommenen Nullstart an eine konstante nichtnullige Endspannung gilt nach einer Sekunde $\frac q{Q_f}=1-e^{-1}\approx0{,}632$ .
Allgemein verbleiben 36,8 % der Anfangsabweichung.

Kontrolle: $\frac{1\,\mathrm s}{RC}=1$ ; das Exponentenargument ist dimensionslos.

Die Formel verstehen und anwenden

Eine exponentielle Annäherung, kein Fertigzeitpunkt

\begin{aligned}\tau&=R_{\mathrm{eq}}C\\{}u_C(t)&=U_f+(U_i-U_f)e^{-\frac{t}{\tau}}\end{aligned}

Ein idealer linearer Kondensator und ein nach dem Schalten konstantes stabiles resistives Ersatznetz; t=0 am Schaltmoment.[1][2]

Spannung und Energie haben verschiedene Abklingraten

QUANTA STUDYquanta-study.de

Beide Kurven sind für die Entladung eines linearen Kondensators gegen null berechnet:

\frac{u_C}{U_i}=e^{-\frac t\tau}

\frac{W_C}{W_i}=e^{-\frac{2t}\tau}

. Diese Darstellung setzt eine nichtnullige Anfangsspannung voraus.[2][4]

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Bauteilgleichung und Knotenbilanz verbinden

\begin{aligned}i&=C\frac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}=\frac{U_f-u_C}{R_{\mathrm{eq}}}\\{}\tau\frac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}+u_C&=U_f\end{aligned}

Strom positiv in die positive Kondensatorklemme; konstante Kapazität.[1]

\begin{aligned}w&=u_C-U_f\\{}\frac{\mathrm dw}{w}&=-\frac{\mathrm dt}{\tau}\\{}w(t)&=(U_i-U_f)e^{-\frac{t}{\tau}}\end{aligned}

Abweichung vom stationären Wert lösen; der Sonderfall Ui=Uf bleibt konstant.[1]

Die Kapazität eines Kondensators verbindet Plattenladung und Spannung. Bei konstantem C führt ihre zeitliche Ableitung zum Kondensatorstrom in der obigen Bilanz.[1]

Den richtigen Widerstand nach dem Schalten finden

Anfangsladung, Schwellzeit und Umschalten

Von 1 V auf 5 V statt von null laden

Gegeben: $R=2{,}2\,\mathrm{k\Omega}$ , $C=47\,\mathrm{\mu F}$ , $U_i=1{,}0\,\mathrm V$ , $U_f=5{,}0\,\mathrm V$ , $t=2\tau$ .
Gesucht: Zeit, Spannung, Plattenladung und Strom.

Ansatz: Die allgemeine Antwort mit tatsächlicher Anfangsspannung verwenden.
$\begin{aligned}\tau&=RC\\{}u_C&=U_f+(U_i-U_f)e^{-\frac{t}{\tau}}\end{aligned}$
Vorsätze in SI umrechnen.
$\begin{aligned}\tau&=2200\cdot47\cdot10^{-6}=0.1034\,\mathrm s\\{}t&=0.2068\,\mathrm s\end{aligned}$
Die tatsächliche Anfangsabweichung −4 V einsetzen.
$u_C=5-4e^{-2}=4.458658867\,\mathrm V$
Ladung und abnehmenden Strom aus demselben Verlauf bestimmen.
$\begin{aligned}q&=Cu_C=209.5569668\,\mu\mathrm C\\{}i&=\frac{4e^{-2}}{2200}=0.2460642\,\mathrm{mA}\end{aligned}$

Ergebnis: Nach 206,8 ms liegen etwa 4,459 V und 209,56 μC vor; Strom 0,246 mA.

Kontrolle: Restabweichung $5\,\mathrm V-U_C\approx 0{,}54134\,\mathrm V$ ist $4 e^{-2}$ . $iR+U_C$ ergibt 5 V; bei t=0 ergibt die Formel genau 1 V.

Entladen bis zu einer vorgegebenen Schwelle

Gegeben: $U_i=8{,}0\,\mathrm V$ , $U_f=0$ , $R=4{,}7\,\mathrm{k\Omega}$ , $C=100\,\mathrm{\mu F}$ .
Gesucht: Zeit bis 2,0 V sowie Spannung und Restenergie nach 0,70 s.

Ansatz: Für die Entladung gegen null die Schwelle logarithmisch lösen und Energie separat aus der Spannung bestimmen.
$\begin{aligned}u_C&=U_i e^{-\frac{t}{\tau}}\\{}t&=\tau\ln\frac{U_i}{u_C}\\{}E_C&=\frac{1}{2}Cu_C^2\end{aligned}$
Zeitkonstante und logarithmische Schwellzeit bestimmen.
$\begin{aligned}\tau&=0.47\,\mathrm s\\{}t_{2\mathrm V}&=0.47\ln(\frac{8}{2})=0.65155835\,\mathrm s\end{aligned}$
Zum zweiten Zeitpunkt direkt die Exponentialfunktion auswerten.
$u_C(0.70)=8e^{-\frac{0.70}{0.47}}=1.80413245\,\mathrm V$
Energie folgt dem Quadrat der Spannung.
$\begin{aligned}E_0&=\frac{1}{2}C8^2=3.20\,\mathrm{mJ}\\{}E(0.70)&=\frac{1}{2}Cu_C^2=0.162744695\,\mathrm{mJ}\end{aligned}$

Ergebnis: 2 V werden nach etwa 651,6 ms erreicht; bei 700 ms verbleiben 1,804 V und 0,1627 mJ.

Kontrolle: Spannung nimmt wie $e^{-\frac{t}{\tau}}$ ab, Energie wie $e^{-2\frac{t}{\tau}}$ ; etwa 3,0373 mJ wurden im idealen Widerstand umgesetzt.

Ein zweiter Schaltvorgang beginnt mit der vorhandenen Spannung

Gegeben: Ein 20-μF-Kondensator startet bei 0 V und lädt über 1,0 kΩ an 10 V. Nach 20 ms wird er von dieser Quelle getrennt und über 2,0 kΩ an den Bezug geschaltet. Idealer linearer Kondensator; keine impulsförmigen Ströme.
Gesucht: Spannung unmittelbar am Umschalten und weitere 40 ms später bestimmen.

Ansatz: Beide Schalterstellungen besitzen ihre eigene Zeitkonstante. Die Endspannung der ersten Zeitphase ist die Anfangsspannung der zweiten.
$\begin{aligned}\tau_1&=R_1C\\u_1(t)&=10(1-e^{-\frac t{\tau_1}})\\\tau_2&=R_2C\\u_2(s)&=u_1(20\,\mathrm{ms})e^{-\frac s{\tau_2}}\end{aligned}$
Die erste Phase dauert genau eine ihrer Zeitkonstanten.
$\begin{aligned}\tau_1&=20\,\mathrm{ms}\\u_1(20\,\mathrm{ms})&=10(1-e^{-1})\approx6.32120559\,\mathrm V\end{aligned}$
In der zweiten Phase zählt die Zeit seit dem Umschalten.
$\begin{aligned}\tau_2&=40\,\mathrm{ms}\\u_2(40\,\mathrm{ms})&=10(1-e^{-1})e^{-1}\\&\approx2.32544158\,\mathrm V\end{aligned}$

Ergebnis: Bei insgesamt 20 ms liegen 6,321 V vor, bei insgesamt 60 ms noch 2,325 V. Am Umschalten bleibt die Kondensatorspannung stetig.

Eine Zielgenauigkeit in eine Zeit übersetzen

\begin{aligned}\frac{|u_C-U_f|}{|U_i-U_f|}&=\varepsilon\\{}t&=-\tau\ln\varepsilon\\{}0&<\varepsilon<1\end{aligned}

Relative Restabweichung, vorausgesetzt Ui≠Uf; keine endliche Zeit für exakt null Fehler.[1][2]

t=R_{\mathrm{eq}}C\ln\left|\frac{U_i-U_f}{U_*-U_f}\right|

Schwellzeit im konstanten Ein-Kondensator-Modell; für eine positive endliche Zeit muss U* strikt zwischen Ui und Uf liegen.[1][2]

Farad, Coulomb und Sekunden prüfen

\begin{aligned}[RC]&=\frac{\mathrm V}{\mathrm A}\frac{\mathrm C}{\mathrm V}=\mathrm s\\{}1\,\mu\mathrm F&=10^{-6}\,\mathrm F\end{aligned}

Der Exponent $\frac{t}{\tau}$ ist dimensionslos; Mikrofarad darf nicht als ganze Farad eingesetzt werden.[2]

Fünf Aufgaben zum Zeitverlauf

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

R=1 kΩ, C=20 μF, Nullstart an 3 V. Spannung nach τ?

Hinweis anzeigen

Nicht mit voller Quellspannung verwechseln.

Lernziel: Spannung nach einer Zeitkonstante bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Beim Nullstart zählt der erreichte Anteil der gesamten Spannungsänderung.
Die Zeitkonstante beträgt 20 ms.
Zu diesem Zeitpunkt liegen etwa 1,89636 V am Kondensator; zur Quelle fehlen noch 1,10364 V.
Beide Werte ergeben zusammen 3 V.

u_C(\tau)=3(1-e^{-1})\approx1.89636\,\mathrm V

Transfer · Anwenden

Wie verändert eine Verdopplung von $R$ bei festem C, Ui, Uf den Verlauf?

Hinweis anzeigen

Zeitskala und Anfangsstrom getrennt betrachten.

Lernziel: Widerstandsänderung auf Zeit und Strom übertragen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Vergleiche Zeitkonstante und Anfangsstrom mit denselben Anfangs- und Endspannungen. τ verdoppelt sich, Anfangsstrom halbiert sich; für dieselbe relative Abweichung verdoppelt sich die Wartezeit.
Endspannung bleibt Uf.

\begin{aligned}\tau_2&=2\tau_1\\{}i_2(0)&=\frac{i_1(0)}{2}\end{aligned}

Umstellen · Anwenden

Eine Entladung soll nach 30 ms genau 10 % Anfangsspannung haben. C=10 μF. Modellwiderstand?

Hinweis anzeigen

$\tau=\frac{t}{\ln10}$ , dann $R=\frac{\tau}{C}$ .

Lernziel: Entladeziel zum Widerstand umstellen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die vorgegebene Restspannung ist ein Anteil der Anfangsspannung; löse den Exponenten logarithmisch. τ≈13,0288 ms; R≈1302,88 Ω.
Einsetzen in die Entladefunktion liefert wieder 10 %.

R=\frac{0.030}{10^{-5}\ln10}\approx1302.88\,\Omega

Interpretieren · Anwenden

Ein idealer Kondensator nähert sich 10 V. Bei t=0, 1 s und 2 s werden genau 2 V, 6 V und 8 V gemessen. Passt das zum einfachen RC-Modell mit konstanten Parametern? Bestimme τ aus den Restspannungen.

Hinweis anzeigen

Ziehe jeden Messwert vom Endwert ab.

Lernziel: Exponentialmodell anhand gleicher Restquotienten erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Restspannungen sind 8 V, 4 V und 2 V.
In gleichen Zeitintervallen halbieren sie sich, wie bei einer Exponentialfunktion.
Die Halbierungszeit ist eine Sekunde, nicht die Zeitkonstante.
Die Zeitkonstante beträgt etwa 1,4427 s; Einsetzen reproduziert beide späteren Werte.
Spannung selbst wächst nicht mit einem konstanten Faktor.

\begin{aligned}\frac{U_f-U(1\,\mathrm s)}{U_f-U(0)}&=\frac12=e^{-\frac{1\,\mathrm s}\tau}\\{}\tau&=\frac{1\,\mathrm s}{\ln2}\approx1.4427\,\mathrm s\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Bei einem Spannungswechsel von 4 V auf 10 V erklärt jemand: Nach τ ist die Spannung 63,2 % von 10 V, also 6,32 V. Korrigiere den Wert und erkläre, worauf sich die 63,2 % beziehen; idealer RC-Kreis.

Hinweis anzeigen

Die Anfangsspannung ist nicht null.

Lernziel: Prozentangabe auf den richtigen Spannungsbezug beziehen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Addiere zur Anfangsspannung den exponentiell erreichten Anteil der gesamten Änderung von 6 V.
Nach einer Zeitkonstante beträgt die Spannung etwa 7,79272 V.
Die 63,2 % beschreiben den abgearbeiteten Anteil der anfänglichen Differenz zum Endwert, nicht den Anteil am Endwert.
Der Rest ist etwa 2,20728 V; beide Teile summieren sich zu 10 V.

\begin{aligned}U(\tau)&=U_i+(U_f-U_i)(1-e^{-1})\\{}&=4+6(1-e^{-1})\approx7.79272\,\mathrm V\end{aligned}

[1]

Ein Speicherpol reicht nicht für jedes Netzwerk

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Erreichbarkeit konkreter Spannungsschwellen und ihre logarithmische Zeit ergänzt, zwei Kontextlinks gesetzt und eine englische Aussage zur endlichen Zeit präzisiert.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Lernweg mit anschaulichem Einstieg, zusätzlichem Modellbeispiel, quantitativem Diagramm und Schlusszusammenfassung ergänzt; vorhandene Beispiele, Aufgaben und Quellen erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Zeitkonstante des RC-Kreises. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/rc-zeitkonstante

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Zeitkonstante des RC-Kreises

Was bedeutet τ=RC praktisch?+

Wie rechne ich Mikrofarad richtig um?+

Welche Funktion gilt beim Entladen?+

Was passiert bei größerem Widerstand?+

Wie hängt der RC-Kreis mit einer Differentialgleichung zusammen?+

Zeitkonstante des RC-Kreises prüfungssicher behalten

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R=1 kΩ, C=20 μF, Nullstart an 3 V. Spannung nach τ?

Wie verändert eine Verdopplung von RRR bei festem C, Ui, Uf den Verlauf?

Eine Entladung soll nach 30 ms genau 10 % Anfangsspannung haben. C=10 μF. Modellwiderstand?

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Bei einem Spannungswechsel von 4 V auf 10 V erklärt jemand: Nach τ ist die Spannung 63,2 % von 10 V, also 6,32 V. Korrigiere den Wert und erkläre, worauf sich die 63,2 % beziehen; idealer RC-Kreis.

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R=1 kΩ, C=20 μF, Nullstart an 3 V. Spannung nach τ?

Wie verändert eine Verdopplung von RRR bei festem C, Ui, Uf den Verlauf?

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Bei einem Spannungswechsel von 4 V auf 10 V erklärt jemand: Nach τ ist die Spannung 63,2 % von 10 V, also 6,32 V. Korrigiere den Wert und erkläre, worauf sich die 63,2 % beziehen; idealer RC-Kreis.

Ein Speicherpol reicht nicht für jedes Netzwerk

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Wie verändert eine Verdopplung von $R$ bei festem C, Ui, Uf den Verlauf?

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