Trägheitsmoment mehrerer Punktmassen

Für Punktmassen addierst du die Beiträge $m_i r_{\perp i}^2$. r_i ist der kürzeste, senkrechte Abstand zur Achsenlinie, nicht der Abstand zu einem beliebigen Punkt auf ihr. Bei einer z-Achse ist $r_{\perp i}^2=x_i^2+y_i^2$: Eine Verschiebung entlang z ändert diesen Beitrag nicht. Eine Masse direkt auf der Achse liefert im Punktmodell null, obwohl ihre Masse nicht verschwindet. Die Beiträge sind bei nichtnegativen Massen nichtnegativ; I trägt kein Drehsinnvorzeichen. Der Trägheitsradius $k=\sqrt{\frac IM}$ beschreibt eine gedachte gesamte Punktmasse im Abstand k. Er ist eine praktische Zusammenfassung für den angegebenen Achsenbezug, aber keine Aussage darüber, dass reale Masse tatsächlich dort sitzt. Bei einem Rad mit Speichen und Felge unterscheiden sich Masse, Dichteprofil und Achse; ein pauschales $I=MR^2$ passt nur zum ideal dünnen Ring.

Ein masseloser starrer Rahmen trägt 0,60 kg bei 0,20 m, 0,40 kg bei 0,35 m und 1,20 kg auf der festen Achse. Er dreht mit $|\omega|=8{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$. Quadriere jeden eigenen Achsabstand und addiere die Beiträge; die Achsenmasse hat $r_\perp=0$. Nutze dasselbe I für die Energie. $I=0{,}073\,\mathrm{kg\,m^2}$ und E≈2,34 J. Die große Masse auf der Achse beeinflusst diese Größen im Punktmodell nicht. Direkt: $v_1=1{,}60\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $v_2=2{,}80\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Ihre Energien 0,768 J und 1,568 J ergeben ebenfalls 2,336 J; die Achsenmasse bleibt ortsfest. Bestimme zuerst eine Achsenlinie und alle senkrechten Abstände; bei dreidimensionalen Koordinaten reicht der Abstand zum Ursprung nicht. Rechne Zentimeter vor dem Quadrieren in Meter um: $25\,\mathrm{cm}=0{,}25\,\mathrm m$, also $r^2=0{,}0625\,\mathrm{m^2}$. Für eine einzelne Punktmasse folgt $m=\frac{I}{r_\perp^2}$ bei $r_\perp>0$ oder $r_\perp=\sqrt{\frac Im}$ bei $m>0$. Mehrere unbekannte Beiträge lassen sich aus nur einem I-Wert nicht einzeln bestimmen.

Die Summe definiert die momentane Massenverteilung auch dann, wenn Teile sich relativ zueinander bewegen. Für $E=\frac12I\omega^2$ brauchen sie jedoch eine gemeinsame starre Rotation; zusätzliche Relativbewegung trägt eigene kinetische Energie. Bei I(t) darf aus $L_z=I\omega_z$ nicht einfach $\tau_z=I\alpha_z$ folgen: Die Ableitung enthält auch $\dot I\omega_z$. Bei frei beweglichem Schwerpunkt muss zudem Translation von Rotation getrennt werden. Massenträgheitsmoment in kg·m² und Flächenträgheitsmoment in m⁴ sind unterschiedliche Größen. Ein Körper hat außerdem nicht nur ein einziges I: Achsenrichtung und Achsenlage gehören immer zur Angabe. Für allgemeine dreidimensionale Rotation erfasst ein Trägheitstensor weitere Kopplungen, die eine einzelne Zahl nicht darstellen kann.

Bestimme zuerst eine Achsenlinie und alle senkrechten Abstände; bei dreidimensionalen Koordinaten reicht der Abstand zum Ursprung nicht. Rechne Zentimeter vor dem Quadrieren in Meter um: $25\,\mathrm{cm}=0{,}25\,\mathrm m$, also $r^2=0{,}0625\,\mathrm{m^2}$. Für eine einzelne Punktmasse folgt $m=\frac{I}{r_\perp^2}$ bei $r_\perp>0$ oder $r_\perp=\sqrt{\frac Im}$ bei $m>0$. Mehrere unbekannte Beiträge lassen sich aus nur einem I-Wert nicht einzeln bestimmen. Die Energie-Umstellung benötigt reine starre Rotation und denselben Achsenbezug; bei ruhendem Körper ist die Division durch ω² unzulässig. Ein kleiner Körper darf als Punktmasse angenähert werden, wenn seine eigene Ausdehnung für die geforderte Genauigkeit wenig beiträgt. Für ein ausgedehntes Teilstück ist sein Beitrag genauer $I_{\mathrm{CM,part}}+md^2$: d misst den Abstand seines Schwerpunkts zur betrachteten parallelen Achse. Die Punktnäherung lässt den Eigenanteil weg. Bei vielen Teilstücken summierst du beide Beiträge.

Bei gleichem Nettodrehmoment um eine feste Achse beschleunigt ein größeres I langsamer. Bei gleicher Winkelgeschwindigkeit speichert es mehr Rotationsenergie. Bei gleichem erhaltenem Achsendrehimpuls hat es einen kleineren Betrag der Winkelgeschwindigkeit. Diese Vergleiche halten jeweils unterschiedliche Größen fest: Ein schwerer äußerer Ring muss deshalb nicht gleichzeitig schneller drehen und mehr Energie speichern. Für dieselbe Achse gilt außerdem $L_z=I_z\omega_z$ bei reiner Rotation um z. Mit festem I und fester inertialer Achse folgt $\sum\tau_z=I_z\alpha_z$. Das sind zusätzliche Bewegungsbeziehungen, keine Voraussetzungen dafür, die geometrische Summe überhaupt zu berechnen. Eine kontinuierliche Verteilung braucht ein Integral über die tatsächliche Dichte; bei einer dünnen Linie oder Fläche kann man entsprechend lineare oder flächige Massendichte verwenden.