Newton-Verfahren für Nullstellen

Nahe dem aktuellen Schätzwert xk ersetzt die Tangente die Funktion näherungsweise durch f(xk)+f′(xk)(x−xk). Den Schnittpunkt dieser Geraden mit der x-Achse erhältst du, indem du den Ausdruck null setzt und nach x auflöst. So folgt xk+1=xk−f(xk)/f′(xk). Geometrisch ist es ein neuer Nullstellenkandidat; algebraisch ist es ein Schritt aus der Linearisierung. Ist f′(xk)=0, ist die Division nicht möglich. Ein sehr kleiner Ableitungswert kann zudem einen unverhältnismäßig großen Schritt erzeugen. Zum Beispiel gilt für f=x²−2 und x₀=1,5: f=0,25 und f′=3, also x₁≈1,41667. Der Tangentenschnitt rückt damit näher an √2.

Nein. Das Verfahren konvergiert unter günstigen lokalen Voraussetzungen schnell, besonders nahe einer einfachen Nullstelle mit nicht verschwindender Ableitung. Ein schlechter Startwert kann jedoch zu einem Sprung in einen ungeeigneten Bereich, zu Oszillation oder Divergenz führen. Bei mehrfachen Nullstellen sinkt die typische Konvergenzordnung; bei f′=0 ist der Schritt undefiniert. Selbst eine stetige Funktion mit vorhandener Nullstelle garantiert keinen Erfolg für jeden Start. Verwende deshalb einen begründeten Startwert, überwache Funktionsresiduum und Schrittgröße und setze eine maximale Iterationszahl. Für robuste Aufgaben kann eine geklammerte Methode wie Bisektion ergänzt werden.

Ein praktikables Abbruchkriterium kombiniert zwei Größen: ein kleines Residuum |f(xk)| und eine kleine Änderung |xk−xk−1| relativ zu einer gewünschten Toleranz. Ein kleiner Schritt allein kann bedeuten, dass das Verfahren feststeckt, nicht dass es die Nullstelle erreicht hat. Umgekehrt kann ein kleines Residuum bei schlecht skalierten Funktionen eine größere x-Unsicherheit verbergen. Prüfe daher Einheiten und Skalierung, verwende absolute und relative Toleranzen und begrenze die Zahl der Schritte. Die Genauigkeit des Ergebnisses darf außerdem die Genauigkeit der Eingangsdaten nicht vortäuschen. Melde einen Abbruch wegen stagnierendem Residuum ausdrücklich als fehlgeschlagen, nicht als erreichte Konvergenz.

Prüfe vor jedem Schritt, ob f′(x_k) numerisch ausreichend groß ist; ein nahezu nuller Nenner kann einen riesigen Sprung auslösen. Beschränke den Schritt bei Bedarf auf ein plausibles Intervall oder kombiniere Newton mit Bisektion: Solange ein Vorzeichenwechsel die Nullstelle einklammert, akzeptierst du den schnellen Newton-Schritt nur, wenn er innerhalb der Klammer liegt. Andernfalls halbierst du das Intervall. Das ist langsamer, erhält aber eine nachvollziehbare Schranke für die Lösung. Überwache außerdem |f(x_k)| und die Schrittweite getrennt. Ein Newton-Schritt außerhalb des erlaubten Bereichs ist kein Fortschritt, auch wenn seine Formel korrekt berechnet wurde.

Die quadratische Konvergenz gilt typischerweise nahe einer einfachen Nullstelle, bei der f′ an der Nullstelle nicht verschwindet. Bei einer m-fachen Nullstelle verschwindet auch die Ableitung; der Standard-Newton-Schritt konvergiert dann im Allgemeinen nur noch linear. Für f(x)=(x−1)² lautet der Schritt x_k+1=(x_k+1)/2: Der Abstand zur Nullstelle halbiert sich pro Iteration statt sich ungefähr zu quadrieren. Ist die bekannte Vielfachheit m, kann die modifizierte Iteration x_k+1=x_k−m f(x_k)/f′(x_k) die schnelle Konvergenz wiederherstellen. Diese Korrektur setzt die richtige Vielfachheit voraus; ein falsch gewähltes m kann die Iteration verschlechtern.