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Die Partialbruchzerlegung schreibt eine echt gebrochenrationale Funktion mit paarweise verschiedenen linearen Nennerfaktoren als Summe einfacher Brüche.
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Formel
Algebraisch dimensionslos; x und alle Nullstellen ri müssen dieselbe Größe und Skalierung haben.
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Polynom im Zähler mit kleinerem Grad als Q | Polynomwert | |
| Nennerpolynom mit paarweise verschiedenen reellen Nullstellen ri | Polynomwert | |
| Nullstelle des linearen Faktors x−ri | wie x | |
| Konstante Koeffizienten der Partialbrüche | abhängig von Skalierung und Polynomgraden |
\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^{m}\frac{A_i}{x-r_i}Die angegebene Kurzform gilt für eine echt gebrochenrationale Funktion, deren Nenner in paarweise verschiedene lineare Faktoren zerfällt. Bei mehrfachen linearen Faktoren werden Potenzen wie A1/(x−r)+A2/(x−r)2 benötigt; irreduzible quadratische Faktoren erhalten lineare Zähler. Ist grad(P)≥grad(Q), muss zuerst Polynomdivision erfolgen. Koeffizientenvergleich oder Einsetzen geeigneter x-Werte bestimmt die Ai. Beim Integrieren werden die einfachen linearen Terme zu Logarithmen; die Zerlegung gilt nur außerhalb der Nullstellen des ursprünglichen Nenners.
Die angegebene Kurzform gilt für eine echt gebrochenrationale Funktion, deren Nenner in paarweise verschiedene lineare Faktoren zerfällt. Bei mehrfachen linearen Faktoren werden Potenzen wie A1/(x−r)+A2/(x−r)2 benötigt; irreduzible quadratische Faktoren erhalten lineare Zähler. Ist grad(P)≥grad(Q), muss zuerst Polynomdivision erfolgen. Koeffizientenvergleich oder Einsetzen geeigneter x-Werte bestimmt die Ai. Beim Integrieren werden die einfachen linearen Terme zu Logarithmen; die Zerlegung gilt nur außerhalb der Nullstellen des ursprünglichen Nenners.
Die Partialbruchzerlegung schreibt eine echt gebrochenrationale Funktion mit paarweise verschiedenen linearen Nennerfaktoren als Summe einfacher Brüche.
Koeffizienten im Beispiel
Die Zerlegung gilt für x≠−1,−2; bei mehrfachen oder quadratischen Faktoren braucht der Ansatz weitere Terme.
Rechne das Beispiel zu „Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen“ erneut und erläutere, warum die Probe passt.
Zerlege (5x+1)/((x+1)(x+2))=A/(x+1)+B/(x+2).
Koeffizientenvergleich gibt A+B=5 und 2A+B=1, also A=−4 und B=9.
Probe: −4(x+2)+9(x+1)=5x+1. Daher ist der ursprüngliche Bruch −4/(x+1)+9/(x+2), für x≠−1,−2.
Eine Annahme der Formel übergehen: Die angegebene Kurzform gilt für eine echt gebrochenrationale Funktion, deren Nenner in paarweise verschiedene lineare Faktoren zerfällt
Einheiten und Modellbedingungen vor dem Einsetzen prüfen; anschließend das Resultat in die Ausgangsbeziehung oder einen Grenzfall zurücksetzen.
Formelcluster
Verwandte Beziehungen im Tafelwerk: grundintegrale-stammfunktion, integrationsregel-substitution, quotientenregel-ableitung.
Zerlege (5x+1)/((x+1)(x+2))=A/(x+1)+B/(x+2). Koeffizientenvergleich gibt A+B=5 und 2A+B=1, also A=−4 und B=9. Probe: −4(x+2)+9(x+1)=5x+1. Daher ist der ursprüngliche Bruch −4/(x+1)+9/(x+2), für x≠−1,−2.
Rationale Integranden in Grundintegrale überführen und Laplace-Rücktransformationen mit einfachen Polen berechnen.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen (P(x)/Q(x) = Σ Ai/(x − ri)).
Aufgabe
Rechne das Beispiel zu „Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen“ erneut und erläutere, warum die Probe passt.
Rechenweg
Zerlege (5x+1)/((x+1)(x+2))=A/(x+1)+B/(x+2).
Koeffizientenvergleich gibt A+B=5 und 2A+B=1, also A=−4 und B=9.
Probe: −4(x+2)+9(x+1)=5x+1. Daher ist der ursprüngliche Bruch −4/(x+1)+9/(x+2), für x≠−1,−2.
Sie zerlegt einen rationalen Bruch in einfachere Brüche, deren Nenner einzelne Faktoren des ursprünglichen Nenners enthalten. Für P(x)/Q(x) mit echt niedrigerem Grad von P und paarweise verschiedenen linearen Faktoren x−ri lautet der Ansatz ΣAi/(x−ri). Das macht die Struktur sichtbar und vereinfacht etwa das Integrieren oder eine Rücktransformation. Der Nenner muss über dem verwendeten Zahlenbereich tatsächlich in diese Faktoren zerfallen. Mehrfachfaktoren und irreduzible quadratische Faktoren brauchen passende zusätzliche Terme. Bestimme die Konstanten durch Koeffizientenvergleich und prüfe sie durch Rückmultiplikation. Prüfe die Gleichungstreue.
Setze (5x+1)/((x+1)(x+2)) gleich A/(x+1)+B/(x+2). Nach Multiplikation mit beiden Nennerfaktoren gilt 5x+1=A(x+2)+B(x+1). Vergleiche die x-Koeffizienten und die konstanten Terme: A+B=5 und 2A+B=1. Subtraktion liefert A=−4; danach folgt B=9. Die Rückprobe ergibt −4(x+2)+9(x+1)=5x+1. Damit sind Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs wiederhergestellt; ausgeschlossen bleiben x=−1 und x=−2. Alternativ setze x=−1 ein: Der B-Term verschwindet und A=−4. Bei x=−2 verschwindet der A-Term, also folgt B=9. Die Einsetzungen sind nach Beseitigen der Nenner zulässig; die Pole selbst bleiben ausgeschlossen. So kontrollierst du beide Koeffizienten.
Ein mehrfacher linearer Faktor (x−r)ᵐ benötigt jeden Potenzterm: A1/(x−r)+A2/(x−r)2+…+Am/(x−r)ᵐ. Für einen über den reellen Zahlen nicht weiter zerlegbaren quadratischen Faktor ax2+bx+c verwendest du einen linearen Zähler Cx+D. Diese Formen decken die möglichen Reste nach der Polynomdivision ab. Ist der Zählergrad mindestens so groß wie der Nennergrad, teile die Polynome zuerst. Danach bestimmst du die Koeffizienten durch Vergleich der Polynomkoeffizienten oder durch Einsetzen geeigneter Werte. Bei mehreren Faktoren isolieren geeignete Nullstellen oft einzelne Koeffizienten. Die Ansatzform folgt dem Faktor und seiner Vielfachheit.
Ein einfacher Term A/(x−r) besitzt die Stammfunktion A ln|x−r|. Zerlegst du einen rationalen Integranden in solche Terme, kannst du termweise integrieren und das Ergebnis durch Ableiten prüfen. Bei irreduziblen quadratischen Nennern entstehen je nach Zähler auch Logarithmus- oder Arkustangens-Terme. Die Zerlegung bereitet den Ausdruck auf bekannte Grundintegrale vor. Bei bestimmten Integralen prüfe, ob der ursprüngliche Nenner im Integrationsintervall null wird: Ein Pol kann das Integral uneigentlich machen oder zum Divergieren bringen. Ergänze danach wie üblich die Integrationskonstante. Dann rückwärts ableiten.
Prüfe zuerst die Grade: Ein unechter Bruch braucht vor dem Partialbruchansatz eine Polynomdivision. Faktorisiere den Nenner vollständig und notiere jeden mehrfachen Faktor; ein fehlender Potenzterm macht den Ansatz unvollständig. Verifiziere die Koeffizienten, indem du die Brüche wieder zusammenfasst. Die Nullstellen des ursprünglichen Nenners bleiben aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen, auch wenn sich ein Faktor kürzt. Für das gezeigte Beispiel kontrolliert die Identität −4(x+2)+9(x+1)=5x+1 den Zähler. Diese Probe findet Vorzeichenfehler schnell. Achte außerdem auf Vorzeichen beim Ausmultiplizieren; eine Rückprobe zeigt, ob alle Terme stimmen.
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