Physik · Elektrostatik

Kapazität eines Plattenkondensators

Für große parallele Platten mit vollständig homogenem linearem Dielektrikum ist die Kapazität proportional zu Überlappungsfläche und Permittivität und umgekehrt proportional zum senkrechten Abstand.

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Formel

Berechnen

C = ε_{0} ε_{r} \frac{A}{d}

C in F; ε0 in F/m; A in m²; d in m; εr dimensionslos.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$C$	Kapazität	F
$ε0$	elektrische Feldkonstante	F/m
$εr$	relative Permittivität des Dielektrikums	dimensionslos
$A$	überlappende Plattenfläche	m²
$d$	Plattenabstand	m

LaTeX

C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d}

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Inverse Kurve mit normierten Punkten halber Abstand doppelte Kapazität, einfacher Abstand einfache Kapazität und doppelter Abstand halbe Kapazität. — Bei unveränderter Plattenfläche und Permittivität ist die Kapazität umgekehrt proportional zum Abstand. Halber Abstand verdoppelt, doppelter Abstand halbiert die Kapazität.

Kapazität eines Plattenkondensators berechnen

Kapazität, Plattenfläche, Plattenabstand oder Permittivitätszahl eines Plattenkondensators ausrechnen, auch mit zwei Materialien; Randfelder bleiben unberücksichtigt.

Rechenmodell

Gesucht

Plattenfläche A

Fläche, auf der sich die Platten gegenüberstehen, nur einmal gezählt, z. B. 200 cm².

Senkrechter Plattenabstand d

Abstand zwischen den Platten, klein gegen ihre Breite, z. B. 1 mm.

Permittivitätszahl εr

Zahl ohne Einheit für das Material im ganzen Spalt: 1 für Luft, 2 bis 4 für Kunststoff, 5 bis 10 für Glas.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Kapazität C

C = 885,4 pF

Mit A = 200 cm², d = 1 mm und εr = 5 ergibt sich C = 885,4 pF.

Rechenweg · umstellen nach C, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach C umstellen
$C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac Ad$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- A = 200 cm² = 0,02 m²
- d = 1 mm = 0,001 m
$\frac{8{,}85419\times10^{-12}\cdot 5\cdot 0{,}02}{0{,}001}=8{,}85419\times10^{-10}$
3. Ergebnis
C = 885,4 pF

ε₀≈8,8541878188·10⁻¹² F/m: gerundeter gemessener CODATA-2022-Wert, keine exakte SI-Definition.

So rechnest du schneller

Je-desto: doppelte Fläche, doppelte Kapazität; doppelter Abstand, halbe Kapazität. Füllt ein Material mit εr = 5 den ganzen Spalt, wird sie fünfmal so groß.
Einheiten zuerst in m² und m umrechnen: 200 cm² = 0,02 m², 1 mm = 0,001 m. Mit Luft gilt dann C ≈ 8,85 pF/m · 20 m ≈ 177 pF.

Annahmen und Grenzen

Große parallele Platten; jeder seitliche Maßstab groß gegenüber dem Spalt, Randfelder vernachlässigt. Homogenes lineares isotropes Dielektrikum im ganzen Spalt, εr>0 und d>0. A zählt nur einmal. A=0 ist allein der formale Nullflächen-Grenzfall, kein reales Bauteilmodell. Geometrie/Material bleiben im linearen Bereich fest.

Herleitung & Hintergrund

Die Näherung vernachlässigt Randeffekte und setzt d deutlich kleiner als die Plattenabmessungen sowie ein homogenes Dielektrikum voraus. Für Vakuum ist $\varepsilon_r=1$ . Dies ergänzt $C=\frac QU$ um die geometrische Abhängigkeit.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Große parallele Platten; d klein gegenüber beiden seitlichen Abmessungen, vernachlässigte Randfelder, homogenes lineares isotropes Dielektrikum im gesamten Spalt. A ist einmalige Überlappungsfläche, nicht beide Plattenflächen zusammen.

Herleitung in Schritten

Die freie Flächenladungsdichte bestimmt das Feld; das homogene Spannungsintegral liefert daraus die geometrische Kapazität.

1Nimm große parallele Platten mit Überlappungsfläche A und senkrechtem Abstand d an.
2Der Spalt ist vollständig von einem homogenen linearen isotropen Dielektrikum gefüllt; Randfelder werden vernachlässigt.
3Für den freien Plattenladungsbetrag gilt $\sigma_f=\frac QA$ .
4Gauß für D und die Materialbeziehung ergeben $E=\frac{Q}{\varepsilon_0\varepsilon_r A}$ .
5Im idealen homogenen Spalt beträgt die Spannungsgröße $U=Ed$ .
6Mit der Definition $C=\frac QU$ fällt Q weg: $C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac Ad$ .
7Prüfe größere Fläche, kleinerer Abstand und vollständige Materialfüllung getrennt; Schichten benötigen eine eigene Bilanz.

Umstellen

Plattenabstand

d=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r A}{C}

Randeffekte vernachlässigen.

Aufgabenvariante

Große parallele Platten haben $A=0{,}010\,\mathrm{m^2}$ Überlappung und $d=1{,}0\,\mathrm{mm}$ Abstand. Nähere Luft durch $\varepsilon_r=1$ an und vernachlässige Randfelder. Bestimme die Kapazität.

Bei $A=0{,}010\,\mathrm{m^2}$ , $d=1{,}0\,\mathrm{mm}$ und Luft näherungsweise $\varepsilon_r=1$ gilt $C=\varepsilon_0\frac{0{,}010\,\mathrm{m^2}}{0{,}0010\,\mathrm m}\approx88{,}5\,\mathrm{pF}$ .

Typische Fehler

Beide Plattenflächen addieren oder den Luftrest eines nur teilweise gefüllten Spalts ignorieren.

Verwende eine Überlappungsfläche. Materialschichten entlang des Feldes haben addierte Spannungsabfälle; nebeneinander liegende Flächenbereiche teilen sich die Spannung.

Klausurkontext

Bauteilkapazität, Geometrieeffekte und Energie in elektrischen Feldern abschätzen.

Formelcluster

Elektrostatik

Kapazität verbindet Elektrodenladung und Spannung. Die Geometrie bestimmt ihren Wert; Energie und RC-Zeitverhalten erfordern zusätzliche Modellangaben.

C = Q/U

Kapazität eines Kondensators

E = ½CU²

Energie im Kondensator

τ = RC; q(t)=Q(1−e^(−t/τ))

Zeitkonstante des RC-Kreises

Rechenbeispiel

Bei $A=0{,}010\,\mathrm{m^2}$ , $d=1{,}0\,\mathrm{mm}$ und Luft näherungsweise $\varepsilon_r=1$ gilt $C=\varepsilon_0\frac{0{,}010\,\mathrm{m^2}}{0{,}0010\,\mathrm m}\approx88{,}5\,\mathrm{pF}$ .

Anwendungsgebiete

Bauteilkapazität, Geometrieeffekte und Energie in elektrischen Feldern abschätzen.

Rechenbeispiel: Kapazität eines Plattenkondensators

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Kapazität eines Plattenkondensators (C = ε₀ εr A/d).

1
Aufgabe
Große parallele Platten haben $A=0{,}010\,\mathrm{m^2}$ Überlappung und $d=1{,}0\,\mathrm{mm}$ Abstand. Nähere Luft durch $\varepsilon_r=1$ an und vernachlässige Randfelder. Bestimme die Kapazität.
Rechenweg
Bei $A=0{,}010\,\mathrm{m^2}$ , $d=1{,}0\,\mathrm{mm}$ und Luft näherungsweise $\varepsilon_r=1$ gilt $C=\varepsilon_0\frac{0{,}010\,\mathrm{m^2}}{0{,}0010\,\mathrm m}\approx88{,}5\,\mathrm{pF}$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Die Kapazität eines idealisierten Plattenkondensators wird durch Geometrie und Material bestimmt: mehr Überlappungsfläche und größere Permittivität erhöhen sie, mehr Abstand senkt sie. Die Näherung funktioniert nur, wenn das Feld im maßgeblichen Zwischenraum annähernd homogen ist. Ein vollständig gefüllter Spalt und zwei Schichten zeigen, weshalb die Materialanordnung ebenso wichtig wie ein $\varepsilon_r$ -Wert ist.

Nicht nur das Material, auch seine Anordnung zählt

Eine große Fläche und ein kleiner Spalt erleichtern Ladungstrennung bei derselben Spannung. Die Plattenformel fasst diesen Zusammenhang in einer geometrischen Näherung zusammen. „Groß“ heißt dabei groß gegenüber dem Abstand: Auch ein kleiner Sensor kann dazugehören, wenn beide seitlichen Abmessungen den Spalt deutlich übertreffen.[1]

Prüfe vor dem Einsetzen, ob das Material den gesamten Spalt homogen füllt. Liegen zwei Materialien hintereinander entlang des Feldes, addieren sich Spannungsabfälle. Liegen sie nebeneinander zwischen denselben Platten, teilen sie dieselbe Spannung. Diese beiden Anordnungen dürfen trotz gleicher Materialanteile unterschiedliche Kapazitäten haben.[5][4]

Wie hängt die Plattenkapazität von Überlappungsfläche, Abstand und Dielektrikum ab?

C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac Ad

A ist die überlappende Fläche einer Platte, nicht die Summe der beiden Plattenflächen; d ist ihr normaler Abstand.[1][2]

Die Platten tragen gleich große entgegengesetzte freie Ladungen. Q bezeichnet in $C=\frac QU$ deren positiven Betrag und U den Spannungsbetrag. Das Modell enthält ein homogenes lineares isotropes Dielektrikum, das den ganzen Spalt füllt, oder Vakuum mit $\varepsilon_r=1$ . Im linearen Bereich wächst Q proportional zu U; Geometrie und Material bleiben dabei fest. Eine verdoppelte Ladespannung verdoppelt somit Q, nicht C.[1][2]

Feld, Spannung und freie Plattenladung verbinden

\begin{aligned}D_n&=\sigma_f=\frac QA\\E&=\frac{D_n}{\varepsilon_0\varepsilon_r}\\U&=Ed\end{aligned}

Im idealisierten homogenen Spalt liefert die freie Oberflächenladung das normale Verschiebungsfeld; die Materialbeziehung liefert E.[5]

Die beiden entgegengesetzten Platten erzeugen zwischen sich ein annähernd homogenes Feld. Außerhalb hebt sich der ideale unendliche-Plattenbeitrag auf. Mit $U=\frac{Qd}{\varepsilon_0\varepsilon_r A}$ wird der Quotient $\frac QU$ gleich $\varepsilon_0\varepsilon_r\frac Ad$ . Im Vakuum folgt dieselbe Form direkt aus dem Gaußgesetz für das elektrische Feld. Bei einem Dielektrikum trennt der D-Ansatz freie Plattenladung von gebundener Polarisationsladung.[5]

\begin{aligned}d&=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r A}{C}\\A&=\frac{Cd}{\varepsilon_0\varepsilon_r}\end{aligned}

Positive C, d, A und passende Materialwerte voraussetzen. Ein mathematisch berechnetes d muss weiterhin klein gegenüber den Plattenabmessungen sein.

Was „große Platten“ wirklich bedeutet

Groß meint hier das Verhältnis der seitlichen Abmessungen zum Abstand, nicht eine absolute Mindestgröße. Für rechteckige Platten sollten beide Seiten viel größer als d sein; ein großer Flächenwert allein kann bei einem sehr schmalen Streifen täuschen. Fransenfelder am Rand tragen reale zusätzliche Feldenergie und beeinflussen C. Die Näherung ist daher keine exakte Behauptung für jede endliche Metallfläche.[1]

Der gesamte Flächenüberlapp muss einheitlich gefüllt sein. Materialschichten entlang der Feldrichtung verhalten sich wie eine Reihenschaltung; nebeneinander liegende vollständig gefüllte Flächenanteile näherungsweise wie parallel geschaltete Bereiche. Eine einfache arithmetische Durchschnittspermittivität ist deshalb nicht unabhängig von der räumlichen Anordnung gültig. Leckleitung, Frequenzabhängigkeit oder nichtlineare Polarisation verlangen weitere Materialdaten.[5][4]

Fläche und Abstand in passenden SI-Einheiten

\begin{aligned}[C]&=\frac{\mathrm F}{\mathrm m}\frac{\mathrm{m^2}}{\mathrm m}=\mathrm F\\1\,\mathrm{cm^2}&=10^{-4}\,\mathrm{m^2}\\1\,\mathrm{pF}&=10^{-12}\,\mathrm F\end{aligned}

Eine Fläche wird quadratisch umgerechnet. Ein mm Abstand ist 10⁻³ m, kein zusätzlicher Quadratfaktor.

Wir verwenden $\varepsilon_0\approx8{,}8541878188\cdot10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ mit veröffentlichter CODATA 2022-Unsicherheit. Vorgaben für $\varepsilon_r$ in den Beispielen sind lineare Modellwerte, keine erfundenen Tabellenwerte eines Materials. Für $A=0{,}010\,\mathrm{m^2}$ und $d=1{,}0\,\mathrm{mm}$ in näherungsweise Luft erhältst du $88{,}5\,\mathrm{pF}$ als passende Rundung. Für genaues Materialverhalten müsste die angenommene $\varepsilon_r\approx1$ -Näherung geprüft werden.[7]

Vollständig gefüllter Spalt und zwei Schichten

Ein linearer Modellkondensator

Gegeben: Quadratische parallele Platten mit $A=0{,}0180\,\mathrm{m^2}$ und $d=0{,}900\,\mathrm{mm}$ . Ein homogenes lineares Dielektrikum mit vorgegebenem $\varepsilon_r=2{,}80$ füllt den ganzen Spalt. $U=300\,\mathrm V$ ; Fransenfelder und Leckage vernachlässigt.
Gesucht: Bestimme C, Q und den Feldbetrag.

Ansatz: Die vollständig und homogen gefüllte Überlappung erlaubt die geometrische Kapazität; dieselbe Spannung liefert Ladung und normalen Feldbetrag.
$\begin{aligned}C&=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac Ad\\Q&=CU\\E&=\frac Ud\end{aligned}$
Abstand in Meter einsetzen und die Kapazität berechnen.
$C=\varepsilon_0(2.80)\frac{0.0180}{0.000900}\approx4.95834518\times10^{-10}\,\mathrm F$
$Q=CU$ und $E=\frac{U}{d}$ auf dasselbe Modell anwenden.
$\begin{aligned}Q&\approx1.48750355\times10^{-7}\,\mathrm C\\E&=3.33333333\times10^5\,\mathrm{V/m}\end{aligned}$

Ergebnis: $C\approx495{,}835\,\mathrm{pF}$ und $Q\approx148{,}750\,\mathrm{nC}$ ; Feldbetrag ≈ 333,333 kV/m. Die Kapazität hängt nicht vom eingesetzten 300-V-Wert ab.

Kontrolle: Mit $\frac QA$ und $E=\frac{Q}{\varepsilon_0\varepsilon_rA}$ ergibt sich unabhängig derselbe Feldbetrag. Die Seitenlänge $\sqrt A\approx0{,}134\,\mathrm m$ ist etwa 149 mal d und passt zur gewählten Näherung. Die Energieprobe liefert $\frac12CU^2\approx22{,}3126\,\mathrm{\mu J}$ .

Zwei Dielektrikumschichten in Feldrichtung

Gegeben: $A=0{,}0100\,\mathrm{m^2}$ . Schicht 1 hat $d_1=0{,}400\,\mathrm{mm}$ und $\varepsilon_{r1}=2{,}00$ , Schicht 2 $d_2=0{,}600\,\mathrm{mm}$ und $\varepsilon_{r2}=5{,}00$ . Beide sind lineare homogene Modelle; keine freie Ladung an der inneren Grenzfläche. Gesamtspannung 200 V.
Gesucht: Berechne C und die Spannungen beider Schichten.

Ansatz: Ohne freie Grenzflächenladung ist die normale Verschiebungsfeldkomponente in beiden Schichten gleich. Ihre Teilspannungen addieren sich wie bei Serienkapazitäten.
$\begin{aligned}C&=\frac{\varepsilon_0A}{\frac{d_1}{\varepsilon_{r1}}+\frac{d_2}{\varepsilon_{r2}}}\\Q&=CU\\U_i&=\frac{Qd_i}{\varepsilon_0\varepsilon_{ri}A}\end{aligned}$
Bei gleichem D addieren sich die Spannungsabfälle; die beiden Teilkapazitäten liegen effektiv in Reihe.
$\begin{aligned}C&=\frac{\varepsilon_0A}{\frac{d_1}{\varepsilon_{r1}}+\frac{d_2}{\varepsilon_{r2}}}\\&\approx276.693369\,\mathrm{pF}\end{aligned}$
Die freie Ladung aus der Gesamtspannung bestimmen.
$\begin{aligned}Q&=CU\approx55.338674\,\mathrm{nC}\\D&=\frac QA\end{aligned}$
Jedes Feld aus seiner eigenen Permittivität bestimmen.
$\begin{aligned}E_1&=312500\,\mathrm{V/m}\\E_2&=125000\,\mathrm{V/m}\\U_1&=125\,\mathrm V\\U_2&=75\,\mathrm V\end{aligned}$

Ergebnis: $C\approx276{,}693\,\mathrm{pF}$ , Spannungsaufteilung 125 V und 75 V. Der kleinere $\varepsilon_r$ -Wert hat bei gleichem D das größere elektrische Feld.

Kontrolle: $125\,\mathrm V+75\,\mathrm V=200\,\mathrm V$ . Die effektive relative Permittivität ist $\begin{aligned}\varepsilon_{r,\mathrm{eff}}&=\frac{1{,}00\,\mathrm{mm}}{\frac{0{,}400\,\mathrm{mm}}2+\frac{0{,}600\,\mathrm{mm}}5}\\{}&=3{,}125\text{.}\end{aligned}$ Ein bloßes Volumenmittel 3,8 würde die falsche Kapazität liefern; die Feldrichtung durch die Schichten bestimmt die Serienstruktur.

Was ändert sich bei fester Ladung statt fester Spannung?

Wird bei angeschlossener idealer Spannungsquelle d vergrößert, bleibt U fest, C und Q sinken. Bei elektrisch isoliertem geladenem Kondensator bleibt dagegen Q näherungsweise fest und $U=\frac QC$ steigt. Die Geometrieform ist in beiden Fällen dieselbe, die Energiebilanz aber verschieden. Mechanische Arbeit und eventuell Energieaustausch mit der Quelle müssen beim Bewegen der Platten mitgezählt werden. Die Kapazität eines Kondensators verbindet in beiden Fällen Plattenladung und Spannungsdifferenz; der geometrische Aufbau legt ihren linearen Quotienten fest.[3][2]

Dasselbe gilt beim Einschieben eines Dielektrikums: Bei festem Q sinken U und gespeicherte Energie, bei festem U steigen Q und die gespeicherte Energie. Die Quelle liefert dann zusätzlich Energie. Eine alleinige Aussage „mehr C bedeutet mehr Energie“ lässt daher die Randbedingung weg. Die Energie im Kondensator muss deshalb jeweils mit der tatsächlich festgehaltenen Größe bilanziert werden.[2][3]

Bild ansehen: Randbedingungen und Feldenergie

Derselbe Abstand, verschiedene Energiebilanzen

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Für

x=\frac{d}{d_0}

folgt bei isoliertem Kondensator

\frac{W}{W_0}=x

, bei idealer Spannungsquelle

\frac{W}{W_0}=\frac1x

. Dargestellt ist nur Feldenergie; beim angeschlossenen Fall gehören Quelle und mechanische Arbeit zur Gesamtbilanz.[3][1]

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Beispiel: Gleiche Materialien, andere Anordnung

Flächenanteile statt Schichten

Gegeben: Quadratische Platten mit $A=0{,}0100\,\mathrm{m^2}$ , $d=1{,}00\,\mathrm{mm}$ . Zwei lineare Materialien $\varepsilon_{r1}=2$ , $\varepsilon_{r2}=5$ füllen jeweils die Hälfte der Fläche und den vollen Spalt. $U=100\,\mathrm V$ . Rand- und Grenzflächenkorrekturen werden vernachlässigt.
Gesucht: Bestimme Kapazität und Ladung; vergleiche mit gleich dicken Schichten.

Ansatz: Beide Flächenbereiche liegen an derselben Spannung. Ihre Ladungen und Kapazitäten addieren sich.
$\begin{aligned}C_{\parallel}&=\frac{\varepsilon_0 A}{2d}(\varepsilon_{r1}+\varepsilon_{r2})\\Q&=C_{\parallel}U\\C_{\mathrm{layers}}&=\frac{\varepsilon_0 A/d}{\frac1{2\varepsilon_{r1}}+\frac1{2\varepsilon_{r2}}}\end{aligned}$
Einsetzen: Die Vakuumkapazität ist die gemeinsame geometrische Skala.
$\begin{aligned}C_0&\approx88.5418782\,\mathrm{pF}\\C_{\parallel}&=3.5C_0\approx309.896574\,\mathrm{pF}\\Q&\approx30.9896574\,\mathrm{nC}\\C_{\mathrm{layers}}&=\frac{20}{7}C_0\approx252.976795\,\mathrm{pF}\end{aligned}$

Ergebnis: Nebeneinander ergibt etwa $309{,}897\,\mathrm{pF}$ ; hintereinander bei gleichen Schichtdicken etwa $252{,}977\,\mathrm{pF}$ . Gleiche Materialanteile reichen zur Angabe der Kapazität nicht aus.

Kontrolle: Beide Teilbereiche haben $E=\frac{U}{d}=100\,\mathrm{kV/m}$ , aber verschiedene Verschiebungsfelder. Ihre Ladungen $8{,}85419\,\mathrm{nC}$ und $22{,}13547\,\mathrm{nC}$ summieren sich zur Gesamtladung. Der Unterschied bleibt auch bei kleinerer Spannung im linearen Modell bestehen.

Fünf Geometrieprüfungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Vakuumplatten mit $A=0{,}0200\,\mathrm{m^2}$ und $d=2{,}00\,\mathrm{mm}$ : Bestimme C.

Hinweis anzeigen

Vakuum hat $\varepsilon_r=1$ .

Lernziel: Vakuumkapazität aus Geometrie berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $C=\varepsilon_0\frac Ad$ .
$C\approx88{,}5419\,\mathrm{pF}$ .

Probe: $\frac Ad=10{,}0\,\mathrm m$ ; $\varepsilon_0$ mal 10,0 m liefert Farad.

C\approx88.5419\,\mathrm{pF}

Transfer · Anwenden

Bei unverändertem Material wird die überlappende Fläche verdoppelt und der Abstand halbiert. Wie ändert sich C?

Hinweis anzeigen

Beide Geometriefaktoren multiplizieren.

Lernziel: Gemeinsame geometrische Skalierung verstehen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\frac{C_2}{C_1}=\frac{A_2}{A_1}\frac{d_1}{d_2}$ .
$\frac{C_{\mathrm{neu}}}{C_{\mathrm{alt}}}=\frac2{\frac12}=4$ .
Spannung oder Ladung benötigen zusätzlich die Randbedingung und sind dadurch noch nicht festgelegt.

\frac{C_2}{C_1}=4

Umstellen · Anwenden

Ein vollständig gefüllter linearer Plattenkondensator soll bei $A=0{,}0150\,\mathrm{m^2}$ und $\varepsilon_r=4{,}00$ eine Kapazität 1,00 nF besitzen. Bestimme d.

Hinweis anzeigen

C zuerst in Farad einsetzen.

Lernziel: Spalt bei vollständigem Dielektrikum bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $d=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r A}{C}$ .
$\begin{aligned}d&=\frac{\varepsilon_0\cdot4{,}00\cdot0{,}0150\,\mathrm{m^2}}{10^{-9}\,\mathrm F}\approx0{,}000531251\,\mathrm m\\{}&=0{,}531251\,\mathrm{mm}\text{.}\end{aligned}$ Die seitlichen Plattenmaße müssen weiterhin viel größer sein.

d\approx0.531251\,\mathrm{mm}

Interpretieren · Anwenden

Zwei identische ideale Vakuumkondensatoren haben anfangs Kapazität C0 und Spannung U0. Beide Abstände werden quasistatisch verdoppelt; einer bleibt an einer idealen Spannungsquelle, der andere ist isoliert. Vergleiche C, Q und U mit den Anfangswerten; Fläche bleibt fest, keine Ladungsverluste.

Hinweis anzeigen

Die Geometrie legt C fest; Quelle oder Isolation legt U oder Q fest.

Lernziel: Geometrieänderung von elektrischer Randbedingung trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $C_2=\frac{C_0}{2}$ .
Die inverse Abstandsgesetzmäßigkeit halbiert beide Kapazitäten.
Beim angeschlossenen Kondensator bleibt die Spannung konstant und die Ladung halbiert sich.
Beim isolierten bleibt die Ladung konstant und die Spannung verdoppelt sich.
Beide Fälle erfüllen Ladung gleich Kapazität mal Spannung.
Der unterschiedliche Spannungsverlauf ist kein Widerspruch zur gleichen Geometrieänderung.

\begin{aligned}C_2&=\frac{C_0}{2}\\{}U_{\mathrm{connected}}&=U_0,&Q_{\mathrm{connected}}&=\frac{Q_0}{2}\\{}Q_{\mathrm{isolated}}&=Q_0,&U_{\mathrm{isolated}}&=2U_0\end{aligned}

[1][3]

Fehleranalyse · Vertiefen

Zwischen großen Platten ist die Hälfte des Abstands d mit einem linearen Dielektrikum $\varepsilon_r=3$ gefüllt, die andere Hälfte mit Vakuum. Fläche A ist gleich, Randfelder vernachlässigt. Jemand benutzt für das ganze d den Faktor 3. Finde den korrekten Faktor relativ zum leeren Kondensator.

Hinweis anzeigen

Die Schichten liegen entlang des Feldwegs; ihre Spannungsabfälle addieren sich.

Lernziel: Luftspalt bei geschichtetem Dielektrikum berücksichtigen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $C=\frac{\varepsilon_0 A}{\frac{d}{6}+\frac d2}$ .
Die beiden gleich dicken Schichten bilden eine Reihenschaltung.
Die inverse Kapazität addiert den Vakuumweg und den um den Faktor drei verkürzten elektrischen Dielektrikumweg.
Daraus folgt 1,5 statt 3 als Gesamtfaktor.
Eine einzige Permittivität drei über den ganzen Spalt würde den verbliebenen Vakuumspannungsabfall unterschlagen.

\begin{aligned}\frac1C&=\frac{d}{2\varepsilon_0A}+\frac{d}{6\varepsilon_0A}\\{}C&=\frac32\frac{\varepsilon_0A}{d}=1.5C_0\end{aligned}

[4][2]

Was reale Bauteile zusätzlich benötigen

Ein technischer Kondensator kann viele gewickelte Schichten, Kontaktflächen und temperatur- oder frequenzabhängige Materialien besitzen. Die geometrische Hauptformel ist dafür ein lokales idealisiertes Modell, kein vollständiges Datenblatt. Dielektrischer Durchbruch, Leckstrom, Serienwiderstand und mechanische Verformung werden nicht aus C allein bestimmt. Auch ein statisch großer C-Wert ist keine Garantie für beliebige Betriebsspannung oder verlustfreie schnelle Energieabgabe.[6][5]

Kurz zusammengefasst

Die Formel $C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac Ad$ gehört zu einer bestimmten Feldgeometrie. Verwende Überlappung einer Platte und normalen Abstand, prüfe Fransenfelder und Materialanordnung. Eine geometrische Änderung bestimmt $C$ ; Quelle oder Isolation legt erst die anschließende Ladungs-, Spannungs- und Energiebilanz fest.[1][3]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften und fachlich passende Absatzlinks präzisiert; bestehende wissenschaftliche Erklärungen, Beispiele und Aufgaben erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg, Modellbezüge und Lösungsschritte präzisiert; eigenes drittes Beispiel, quantitatives Diagramm und kurze Zusammenfassung ergänzt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Kapazität eines Plattenkondensators. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/plattenkondensator-kapazitaet-geometrie

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Kapazität eines Plattenkondensators

Was beschreibt die Kapazität eines Plattenkondensators physikalisch?+

Die geometrische Beziehung gibt die Kapazität zweier großer paralleler Platten mit einem einheitlich gefüllten Spalt an. Die überlappende Fläche vergrößert die speicherbare Ladung pro Volt; ein größerer Abstand verkleinert sie. Eine lineare relative Permittivität beschreibt den Einfluss des vorgegebenen Dielektrikums. Gemeint ist die Fläche einer Überlappung, nicht die Summe beider Plattenflächen. Für 0,010 m² und 1,0 mm erhältst du im näherungsweisen Luftmodell etwa 88,5 pF. Dieser Wert ist eine Eigenschaft des idealisierten Aufbaus. Eine angeschlossene Spannung bestimmt anschließend die Ladung, ohne die konstante lineare Kapazität selbst zu verändern.

Wie prüfe ich eine Rechnung zur Kapazität eines Plattenkondensators?+

Bestimme die tatsächlich überlappende Fläche und den senkrechten Plattenabstand. Wandle beide in SI-Einheiten um und setze die Permittivität des vollständig füllenden Materials ein. Im ausgearbeiteten Beispiel mit 0,0180 m², 0,900 mm und dem Modellwert 2,80 ergibt sich etwa 495,835 pF. Bei 300 V folgt daraus ungefähr 148,750 nC Ladung. Unabhängig kontrollierst du die Feldgröße über Spannung und Abstand und anschließend über freie Flächenladungsdichte und Permittivität. Beide Wege müssen übereinstimmen. Prüfe außerdem beide seitlichen Abmessungen gegenüber dem Abstand; eine große Fläche allein garantiert bei einem sehr schmalen Streifen noch keine geringe Randfeldwirkung.

Welche Annahmen und Grenzen gelten für die Kapazität eines Plattenkondensators?+

Die Platten sollen parallel sein und ihr Abstand soll klein gegenüber beiden seitlichen Abmessungen sein. Randfelder werden vernachlässigt. Ein homogenes lineares isotropes Dielektrikum muss die gesamte Überlappung und den ganzen Spalt füllen. Schichten entlang der Feldrichtung sind nicht einfach durch eine arithmetische Mittelpermittivität ersetzbar: Dort entstehen unterschiedliche Felder und die Teilspannungen addieren sich. Nebeneinander liegende Bereiche können dagegen näherungsweise als parallele Teilkondensatoren behandelt werden. Leckstrom, Durchbruch, Frequenzabhängigkeit und mechanische Verformung werden durch die geometrische Hauptformel nicht vollständig beschrieben. Für technische Bauteile sind deshalb zusätzlich Materialkennwerte und tatsächliche Konstruktionsdaten nötig.

Wie prüfe ich Einheiten und Größenordnung bei der Kapazität eines Plattenkondensators?+

Permittivität in Farad pro Meter, multipliziert mit Quadratmetern und geteilt durch Meter, ergibt Farad. Eine Fläche in Quadratzentimetern erhält beim Umrechnen den Faktor 10⁻⁴; ein Abstand in Millimetern dagegen 10⁻³. Verwechsle außerdem Pikofarad und Mikrofarad nicht. Für dieselbe Geometrie muss eine Verdopplung der Fläche die Kapazität verdoppeln und eine Halbierung des Abstandes sie ebenfalls verdoppeln. Beide Änderungen zusammen ergeben den Faktor vier. Diese Skalierung ist eine unabhängige Plausibilitätskontrolle des Zahlenwegs. Die relative Permittivität ist dimensionslos; sie liefert keinen zusätzlichen Einheitenfaktor und muss zum angegebenen Materialmodell passen.

Wann kombiniere ich die Kapazität eines Plattenkondensators mit einer weiteren Beziehung?+

Mit der Ladungsbeziehung erhältst du aus Kapazität und Spannung die Ladung einer Platte. Für gespeicherte Energie ergänzst du die lineare Kondensatorenergie, und für den idealen Feldbetrag die homogene Spannungsbeziehung. Bei Änderungen der Geometrie musst du zuerst die elektrische Randbedingung festlegen. Ein isolierter Kondensator behält näherungsweise seine Ladung; ein an einer idealen Quelle angeschlossener behält seine Spannung. Deshalb verändern sich Spannung, Ladung und Energie in diesen Fällen unterschiedlich. Der Vergleich benötigt außerdem mechanische Arbeit und gegebenenfalls Energie der Quelle. Die Kapazitätsformel allein entscheidet weder über den gesamten Energiefluss noch über die zulässige Betriebsspannung.

Quanta-Prüfungsset

Kuratiertes Prüfungsset für "Kapazität eines Plattenkondensators":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Kapazität eines Plattenkondensators?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Wie stellst du C = ε₀ εr A/d nach Plattenabstand um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei C = ε₀ εr A/d?

Antwort in deinem Set

+ 7 weitere Karten: Einheiten, Variablen, Herleitung, Beispiel, Klausuraufgabe

Das Formelset enthält 10 Karten. Nach der Übernahme kannst du sie prüfen und lernen; deine Bewertungen bestimmen die weiteren Wiederholungen.

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §8.1: Capacitors and Capacitance

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

F = k_e \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

Coulombsches Gesetz

\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})

Lorentzkraft

\mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Faradaysches Induktionsgesetz

\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

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Kapazität eines Plattenkondensators

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Symbol

Bedeutung

Einheit

C

Kapazität

ε0

elektrische Feldkonstante

F/m

εr

relative Permittivität des Dielektrikums

dimensionslos

A

überlappende Plattenfläche

m²

d

Plattenabstand

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Die freie Flächenladungsdichte bestimmt das Feld; das homogene Spannungsintegral liefert daraus die geometrische Kapazität.

1Nimm große parallele Platten mit Überlappungsfläche A und senkrechtem Abstand d an.
2Der Spalt ist vollständig von einem homogenen linearen isotropen Dielektrikum gefüllt; Randfelder werden vernachlässigt.
3Für den freien Plattenladungsbetrag gilt $\sigma_f=\frac QA$ .
4Gauß für D und die Materialbeziehung ergeben $E=\frac{Q}{\varepsilon_0\varepsilon_r A}$ .
5Im idealen homogenen Spalt beträgt die Spannungsgröße $U=Ed$ .
6Mit der Definition $C=\frac QU$ fällt Q weg: $C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac Ad$ .
7Prüfe größere Fläche, kleinerer Abstand und vollständige Materialfüllung getrennt; Schichten benötigen eine eigene Bilanz.

Rechenbeispiel: Kapazität eines Plattenkondensators

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Kapazität eines Plattenkondensators (C = ε₀ εr A/d).

Aufgabe

Rechenweg

Bei $A=0{,}010\,\mathrm{m^2}$ , $d=1{,}0\,\mathrm{mm}$ und Luft näherungsweise $\varepsilon_r=1$ gilt $C=\varepsilon_0\frac{0{,}010\,\mathrm{m^2}}{0{,}0010\,\mathrm m}\approx88{,}5\,\mathrm{pF}$ .

Die Formel verstehen und anwenden

\varepsilon_r

-Wert ist.

Nicht nur das Material, auch seine Anordnung zählt

Wie hängt die Plattenkapazität von Überlappungsfläche, Abstand und Dielektrikum ab?

C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac Ad

A ist die überlappende Fläche einer Platte, nicht die Summe der beiden Plattenflächen; d ist ihr normaler Abstand.[1][2]

Feld, Spannung und freie Plattenladung verbinden

\begin{aligned}D_n&=\sigma_f=\frac QA\\E&=\frac{D_n}{\varepsilon_0\varepsilon_r}\\U&=Ed\end{aligned}

Im idealisierten homogenen Spalt liefert die freie Oberflächenladung das normale Verschiebungsfeld; die Materialbeziehung liefert E.[5]

\begin{aligned}d&=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r A}{C}\\A&=\frac{Cd}{\varepsilon_0\varepsilon_r}\end{aligned}

Positive C, d, A und passende Materialwerte voraussetzen. Ein mathematisch berechnetes d muss weiterhin klein gegenüber den Plattenabmessungen sein.

Was „große Platten“ wirklich bedeutet

Fläche und Abstand in passenden SI-Einheiten

\begin{aligned}[C]&=\frac{\mathrm F}{\mathrm m}\frac{\mathrm{m^2}}{\mathrm m}=\mathrm F\\1\,\mathrm{cm^2}&=10^{-4}\,\mathrm{m^2}\\1\,\mathrm{pF}&=10^{-12}\,\mathrm F\end{aligned}

Eine Fläche wird quadratisch umgerechnet. Ein mm Abstand ist 10⁻³ m, kein zusätzlicher Quadratfaktor.

Vollständig gefüllter Spalt und zwei Schichten

Ein linearer Modellkondensator

Gegeben: Quadratische parallele Platten mit $A=0{,}0180\,\mathrm{m^2}$ und $d=0{,}900\,\mathrm{mm}$ . Ein homogenes lineares Dielektrikum mit vorgegebenem $\varepsilon_r=2{,}80$ füllt den ganzen Spalt. $U=300\,\mathrm V$ ; Fransenfelder und Leckage vernachlässigt.
Gesucht: Bestimme C, Q und den Feldbetrag.

Ansatz: Die vollständig und homogen gefüllte Überlappung erlaubt die geometrische Kapazität; dieselbe Spannung liefert Ladung und normalen Feldbetrag.
$\begin{aligned}C&=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac Ad\\Q&=CU\\E&=\frac Ud\end{aligned}$
Abstand in Meter einsetzen und die Kapazität berechnen.
$C=\varepsilon_0(2.80)\frac{0.0180}{0.000900}\approx4.95834518\times10^{-10}\,\mathrm F$
$Q=CU$ und $E=\frac{U}{d}$ auf dasselbe Modell anwenden.
$\begin{aligned}Q&\approx1.48750355\times10^{-7}\,\mathrm C\\E&=3.33333333\times10^5\,\mathrm{V/m}\end{aligned}$

Ergebnis: $C\approx495{,}835\,\mathrm{pF}$ und $Q\approx148{,}750\,\mathrm{nC}$ ; Feldbetrag ≈ 333,333 kV/m. Die Kapazität hängt nicht vom eingesetzten 300-V-Wert ab.

Zwei Dielektrikumschichten in Feldrichtung

Gegeben: $A=0{,}0100\,\mathrm{m^2}$ . Schicht 1 hat $d_1=0{,}400\,\mathrm{mm}$ und $\varepsilon_{r1}=2{,}00$ , Schicht 2 $d_2=0{,}600\,\mathrm{mm}$ und $\varepsilon_{r2}=5{,}00$ . Beide sind lineare homogene Modelle; keine freie Ladung an der inneren Grenzfläche. Gesamtspannung 200 V.
Gesucht: Berechne C und die Spannungen beider Schichten.

Ansatz: Ohne freie Grenzflächenladung ist die normale Verschiebungsfeldkomponente in beiden Schichten gleich. Ihre Teilspannungen addieren sich wie bei Serienkapazitäten.
$\begin{aligned}C&=\frac{\varepsilon_0A}{\frac{d_1}{\varepsilon_{r1}}+\frac{d_2}{\varepsilon_{r2}}}\\Q&=CU\\U_i&=\frac{Qd_i}{\varepsilon_0\varepsilon_{ri}A}\end{aligned}$
Bei gleichem D addieren sich die Spannungsabfälle; die beiden Teilkapazitäten liegen effektiv in Reihe.
$\begin{aligned}C&=\frac{\varepsilon_0A}{\frac{d_1}{\varepsilon_{r1}}+\frac{d_2}{\varepsilon_{r2}}}\\&\approx276.693369\,\mathrm{pF}\end{aligned}$
Die freie Ladung aus der Gesamtspannung bestimmen.
$\begin{aligned}Q&=CU\approx55.338674\,\mathrm{nC}\\D&=\frac QA\end{aligned}$
Jedes Feld aus seiner eigenen Permittivität bestimmen.
$\begin{aligned}E_1&=312500\,\mathrm{V/m}\\E_2&=125000\,\mathrm{V/m}\\U_1&=125\,\mathrm V\\U_2&=75\,\mathrm V\end{aligned}$

Ergebnis: $C\approx276{,}693\,\mathrm{pF}$ , Spannungsaufteilung 125 V und 75 V. Der kleinere $\varepsilon_r$ -Wert hat bei gleichem D das größere elektrische Feld.

Was ändert sich bei fester Ladung statt fester Spannung?

Bild ansehen: Randbedingungen und Feldenergie

Derselbe Abstand, verschiedene Energiebilanzen

QUANTA STUDYquanta-study.de

Für

x=\frac{d}{d_0}

folgt bei isoliertem Kondensator

\frac{W}{W_0}=x

, bei idealer Spannungsquelle

\frac{W}{W_0}=\frac1x

. Dargestellt ist nur Feldenergie; beim angeschlossenen Fall gehören Quelle und mechanische Arbeit zur Gesamtbilanz.[3][1]

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Beispiel: Gleiche Materialien, andere Anordnung

Flächenanteile statt Schichten

Gegeben: Quadratische Platten mit $A=0{,}0100\,\mathrm{m^2}$ , $d=1{,}00\,\mathrm{mm}$ . Zwei lineare Materialien $\varepsilon_{r1}=2$ , $\varepsilon_{r2}=5$ füllen jeweils die Hälfte der Fläche und den vollen Spalt. $U=100\,\mathrm V$ . Rand- und Grenzflächenkorrekturen werden vernachlässigt.
Gesucht: Bestimme Kapazität und Ladung; vergleiche mit gleich dicken Schichten.

Ansatz: Beide Flächenbereiche liegen an derselben Spannung. Ihre Ladungen und Kapazitäten addieren sich.
$\begin{aligned}C_{\parallel}&=\frac{\varepsilon_0 A}{2d}(\varepsilon_{r1}+\varepsilon_{r2})\\Q&=C_{\parallel}U\\C_{\mathrm{layers}}&=\frac{\varepsilon_0 A/d}{\frac1{2\varepsilon_{r1}}+\frac1{2\varepsilon_{r2}}}\end{aligned}$
Einsetzen: Die Vakuumkapazität ist die gemeinsame geometrische Skala.
$\begin{aligned}C_0&\approx88.5418782\,\mathrm{pF}\\C_{\parallel}&=3.5C_0\approx309.896574\,\mathrm{pF}\\Q&\approx30.9896574\,\mathrm{nC}\\C_{\mathrm{layers}}&=\frac{20}{7}C_0\approx252.976795\,\mathrm{pF}\end{aligned}$

Fünf Geometrieprüfungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Vakuumplatten mit $A=0{,}0200\,\mathrm{m^2}$ und $d=2{,}00\,\mathrm{mm}$ : Bestimme C.

Hinweis anzeigen

Vakuum hat $\varepsilon_r=1$ .

Lernziel: Vakuumkapazität aus Geometrie berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $C=\varepsilon_0\frac Ad$ .
$C\approx88{,}5419\,\mathrm{pF}$ .

Probe: $\frac Ad=10{,}0\,\mathrm m$ ; $\varepsilon_0$ mal 10,0 m liefert Farad.

C\approx88.5419\,\mathrm{pF}

Transfer · Anwenden

Bei unverändertem Material wird die überlappende Fläche verdoppelt und der Abstand halbiert. Wie ändert sich C?

Hinweis anzeigen

Beide Geometriefaktoren multiplizieren.

Lernziel: Gemeinsame geometrische Skalierung verstehen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\frac{C_2}{C_1}=\frac{A_2}{A_1}\frac{d_1}{d_2}$ .
$\frac{C_{\mathrm{neu}}}{C_{\mathrm{alt}}}=\frac2{\frac12}=4$ .
Spannung oder Ladung benötigen zusätzlich die Randbedingung und sind dadurch noch nicht festgelegt.

\frac{C_2}{C_1}=4

Umstellen · Anwenden

Ein vollständig gefüllter linearer Plattenkondensator soll bei $A=0{,}0150\,\mathrm{m^2}$ und $\varepsilon_r=4{,}00$ eine Kapazität 1,00 nF besitzen. Bestimme d.

Hinweis anzeigen

C zuerst in Farad einsetzen.

Lernziel: Spalt bei vollständigem Dielektrikum bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $d=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r A}{C}$ .
$\begin{aligned}d&=\frac{\varepsilon_0\cdot4{,}00\cdot0{,}0150\,\mathrm{m^2}}{10^{-9}\,\mathrm F}\approx0{,}000531251\,\mathrm m\\{}&=0{,}531251\,\mathrm{mm}\text{.}\end{aligned}$ Die seitlichen Plattenmaße müssen weiterhin viel größer sein.

d\approx0.531251\,\mathrm{mm}

Interpretieren · Anwenden

Zwei identische ideale Vakuumkondensatoren haben anfangs Kapazität C0 und Spannung U0. Beide Abstände werden quasistatisch verdoppelt; einer bleibt an einer idealen Spannungsquelle, der andere ist isoliert. Vergleiche C, Q und U mit den Anfangswerten; Fläche bleibt fest, keine Ladungsverluste.

Hinweis anzeigen

Die Geometrie legt C fest; Quelle oder Isolation legt U oder Q fest.

Lernziel: Geometrieänderung von elektrischer Randbedingung trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $C_2=\frac{C_0}{2}$ .
Die inverse Abstandsgesetzmäßigkeit halbiert beide Kapazitäten.
Beim angeschlossenen Kondensator bleibt die Spannung konstant und die Ladung halbiert sich.
Beim isolierten bleibt die Ladung konstant und die Spannung verdoppelt sich.
Beide Fälle erfüllen Ladung gleich Kapazität mal Spannung.
Der unterschiedliche Spannungsverlauf ist kein Widerspruch zur gleichen Geometrieänderung.

\begin{aligned}C_2&=\frac{C_0}{2}\\{}U_{\mathrm{connected}}&=U_0,&Q_{\mathrm{connected}}&=\frac{Q_0}{2}\\{}Q_{\mathrm{isolated}}&=Q_0,&U_{\mathrm{isolated}}&=2U_0\end{aligned}

[1][3]

Fehleranalyse · Vertiefen

Zwischen großen Platten ist die Hälfte des Abstands d mit einem linearen Dielektrikum $\varepsilon_r=3$ gefüllt, die andere Hälfte mit Vakuum. Fläche A ist gleich, Randfelder vernachlässigt. Jemand benutzt für das ganze d den Faktor 3. Finde den korrekten Faktor relativ zum leeren Kondensator.

Hinweis anzeigen

Die Schichten liegen entlang des Feldwegs; ihre Spannungsabfälle addieren sich.

Lernziel: Luftspalt bei geschichtetem Dielektrikum berücksichtigen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $C=\frac{\varepsilon_0 A}{\frac{d}{6}+\frac d2}$ .
Die beiden gleich dicken Schichten bilden eine Reihenschaltung.
Die inverse Kapazität addiert den Vakuumweg und den um den Faktor drei verkürzten elektrischen Dielektrikumweg.
Daraus folgt 1,5 statt 3 als Gesamtfaktor.
Eine einzige Permittivität drei über den ganzen Spalt würde den verbliebenen Vakuumspannungsabfall unterschlagen.

\begin{aligned}\frac1C&=\frac{d}{2\varepsilon_0A}+\frac{d}{6\varepsilon_0A}\\{}C&=\frac32\frac{\varepsilon_0A}{d}=1.5C_0\end{aligned}

[4][2]

Was reale Bauteile zusätzlich benötigen

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften und fachlich passende Absatzlinks präzisiert; bestehende wissenschaftliche Erklärungen, Beispiele und Aufgaben erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg, Modellbezüge und Lösungsschritte präzisiert; eigenes drittes Beispiel, quantitatives Diagramm und kurze Zusammenfassung ergänzt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Kapazität eines Plattenkondensators. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/plattenkondensator-kapazitaet-geometrie

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Kapazität eines Plattenkondensators

Was beschreibt die Kapazität eines Plattenkondensators physikalisch?+

Wie prüfe ich eine Rechnung zur Kapazität eines Plattenkondensators?+

Welche Annahmen und Grenzen gelten für die Kapazität eines Plattenkondensators?+

Wie prüfe ich Einheiten und Größenordnung bei der Kapazität eines Plattenkondensators?+

Wann kombiniere ich die Kapazität eines Plattenkondensators mit einer weiteren Beziehung?+

Kapazität eines Plattenkondensators prüfungssicher behalten

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Kapazität eines Plattenkondensators

Variablen & Einheiten

Kapazität eines Plattenkondensators berechnen

So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Elektrostatik

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Kapazität eines Plattenkondensators

Nicht nur das Material, auch seine Anordnung zählt

Wie hängt die Plattenkapazität von Überlappungsfläche, Abstand und Dielektrikum ab?

Feld, Spannung und freie Plattenladung verbinden

Was „große Platten“ wirklich bedeutet

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Zwei Dielektrikumschichten in Feldrichtung

Was ändert sich bei fester Ladung statt fester Spannung?

Derselbe Abstand, verschiedene Energiebilanzen

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Vakuumplatten mit A=0,0200 m2A=0{,}0200\,\mathrm{m^2}A=0,0200m2 und d=2,00 mmd=2{,}00\,\mathrm{mm}d=2,00mm: Bestimme C.

Bei unverändertem Material wird die überlappende Fläche verdoppelt und der Abstand halbiert. Wie ändert sich C?

Ein vollständig gefüllter linearer Plattenkondensator soll bei A=0,0150 m2A=0{,}0150\,\mathrm{m^2}A=0,0150m2 und εr=4,00\varepsilon_r=4{,}00εr​=4,00 eine Kapazität 1,00 nF besitzen. Bestimme d.

Zwei identische ideale Vakuumkondensatoren haben anfangs Kapazität C0 und Spannung U0. Beide Abstände werden quasistatisch verdoppelt; einer bleibt an einer idealen Spannungsquelle, der andere ist isoliert. Vergleiche C, Q und U mit den Anfangswerten; Fläche bleibt fest, keine Ladungsverluste.

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Ein vollständig gefüllter linearer Plattenkondensator soll bei A=0,0150 m2A=0{,}0150\,\mathrm{m^2}A=0,0150m2 und εr=4,00\varepsilon_r=4{,}00εr​=4,00 eine Kapazität 1,00 nF besitzen. Bestimme d.

Zwei identische ideale Vakuumkondensatoren haben anfangs Kapazität C0 und Spannung U0. Beide Abstände werden quasistatisch verdoppelt; einer bleibt an einer idealen Spannungsquelle, der andere ist isoliert. Vergleiche C, Q und U mit den Anfangswerten; Fläche bleibt fest, keine Ladungsverluste.

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