Physik · Elektrodynamik

Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss

Der Poynting-Vektor gibt Richtung und momentane Flussdichte der elektromagnetischen Energie im Vakuum an.

UniversitätUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

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Formel

S = \frac{1}{μ _{0}} E \times B

S in W/m²; E in V/m; B in T; μ0 in N/A² (=H/m).

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$S$	Gerichtete momentane elektromagnetische Energieflussdichte	W/m²
$E$	elektrische Feldstärke	V/m
$B$	magnetische Flussdichte	T
$μ0$	magnetische Feldkonstante im Vakuum	N/A²

LaTeX

\mathbf S=\frac{1}{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B

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An einem festen Ort einer nach +z laufenden Welle sind die normierten x-E- und y-B-Felder identische Cosinuskurven. Darunter ist S nach +z gleich Cosinusquadrat, nichtnegativ, mit Periodenmittel ein Halb. Die Achsen sind getrennte normierte Skalen. — Eine einzelne laufende ebene Vakuum-Sinuswelle, am gleichen festen Ort gegen die Zeitphase θ = ωt gezeigt: E entlang x, B entlang y, Energie nach +z. Oben identische normierte Cosinusfelder; unten normierter Energiefluss als Cosinusquadrat, Mittelwert ein Halb. Feld- und Energieflussachsen sind unabhängig normiert, keine gemeinsame physikalische Einheit. Beide Felder wechseln gemeinsam das Vorzeichen, der gerichtete Energiefluss bleibt nach +z. Nach OpenStax §16.3.

Poynting-Vektor und Intensität berechnen

Intensität einer Sinuswelle, Leistung durch eine Fläche oder den Poynting-Vektor aus E- und B-Feld im Vakuum ausrechnen.

Rechenmodell

Gesucht

Scheitelwert der Feldstärke E₀

Scheitelwert der elektrischen Feldstärke, nicht der Effektivwert, z. B. rund 868 V/m.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach ⟨S⟩, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach ⟨S⟩ umstellen
$\langle S\rangle=E_0^2/(2\mu_0c)$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
$\frac{868^2}{2\cdot 0{,}00000125664\cdot 299792458}$
3. Ergebnis
⟨S⟩ = 1000 W/m²

Gerundete CODATA-2022-Werte: ε₀ = 8,8541878188·10⁻¹² F/m und μ₀ = 1,25663706127·10⁻⁶ H/m mit Messunsicherheit. Numerische Ergebnisse sind Näherungen.

Ergebnis: Intensität ⟨S⟩

⟨S⟩ = 1000 W/m²

Mit E₀ = 868 V/m ergibt sich ⟨S⟩ = 1000 W/m².

So rechnest du schneller

Überschlag: ⟨S⟩ ≈ E₀² : (2 · 377 Ω), denn μ₀c ≈ 377 Ω ist der Wellenwiderstand des Vakuums. 868 V/m Scheitelfeld geben so rund 1000 W/m².
Je-desto: doppelte Feldamplitude, vierfache Intensität. Die Richtung ist E × B: Dreh E auf kürzestem Weg zu B, dann zeigt der Daumen der rechten Hand den Energiefluss.

Annahmen und Grenzen

Genau eine laufende ebene Sinuswelle im Vakuum mit senkrechten gleichphasigen Feldern. E₀ ist der elektrische Scheitelbetrag, kein Effektivwert. Ergebnis ist der positive Betrag des vollständigen Periodenmittels entlang der Welle, keine Flächenleistung. Nicht für stehende Überlagerung oder DC-Kabel.

Herleitung & Hintergrund

Die E/B-Form verwendet das Vakuummodell, E×H die übliche makroskopische Materialform. E und B am gleichen Ort/Zeit auswerten. Betrag, Richtung und Flächennormalanteil getrennt prüfen. $E=cB$ und halbe Scheitelintensität gelten nur für eine einzelne laufende ebene Sinuswelle, nicht allgemein für stehende oder DC-Felder.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Der Poynting-Vektor gibt Richtung und momentane Flussdichte der elektromagnetischen Energie im Vakuum an.

1Bestimme E und B vektoriell am gleichen Ort und zur gleichen Zeit im Vakuummodell.
2Nutze $\nabla\cdot(\mathbf E\times\mathbf B)=\mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf E)-\mathbf E\cdot(\nabla\times\mathbf B)$ .
3Setze Faraday und Ampère–Maxwell ein; trenne Feldänderung von Arbeit an Ladungen.
4Identifiziere $u=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}$ und $\mathbf S=\frac{\mathbf E\times\mathbf B}{\mu_0}$ .
5Die Bilanz lautet $\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf S=-\mathbf J\cdot\mathbf E$ .
6Prüfe die Kreuzproduktrichtung und integriere für Flächenleistung den tatsächlichen Normalanteil.
7Nur für eine einzelne laufende gleichphasige Sinuswelle wird das Produktmittel zur halben Scheitelintensität; Gegenwellen und DC-Felder separat behandeln.

Umstellen

Energieflussbetrag bei senkrechten Feldern

S=\frac{EB}{\mu_0}

Momentaner Betrag bei senkrechten Feldern; nur für eine einzelne gleichphasige laufende Sinuswelle beträgt das Periodenmittel die halbe Scheitelintensität.

Aufgabenvariante

Eine einzelne laufende ebene Vakuum-Sinuswelle hat gerundete Scheitelwerte $E_0=0{,}87\,\mathrm{V/m}$ in +x und $B_0=2{,}9\,\mathrm{nT}$ in +y. Die Felder sind gleichphasig. Bestimme Richtung, Scheitelbetrag und Periodenmittel des Poynting-Vektors.

Ansatz: $\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf y}=\hat{\mathbf z}$ , $S_{\max}=\frac{E_0B_0}{\mu_0}$ und $\langle S\rangle=\frac{S_{\max}}{2}$ .
Einsetzen liefert $S_{\max}\approx2{,}008\,\mathrm{mW/m^2}$ , Periodenmittel $1{,}004\,\mathrm{mW/m^2}$ , jeweils nach +z.

Kontrolle: Beide Felder wechseln gemeinsam das Vorzeichen; S bleibt nach +z gerichtet und wird bei Feldnull null.

Typische Fehler

Den Mittelwert von E kreuz B durch das Kreuzprodukt der Feldmittelwerte ersetzen.

Bilde erst das momentane Kreuzprodukt. Mittlere Intensität erhältst du durch anschließendes Zeitmitteln.

Klausurkontext

Wellenintensität, schräge Leistungsfläche und Koaxkabel: Feldprodukt, Projektion und Flächenintegration unterscheiden.

Formelcluster

Elektrodynamik

Maxwell bestimmt die Felder; ihre Energieübertragung verbindet den Poynting-Vektor mit Feldenergiedichte und Induktion.

∯E·dA=QV/ε₀; ∯B·dA=0; ∮E·dl=−dΦB/dt; ∮B·dl=μ₀(I_A+ε₀dΦE/dt)

Maxwell-Gleichungen in Integralform

uE = 1/2 ε₀E²

Energiedichte des elektrischen Feldes im Vakuum

U_ind = −L·(dI/dt)

Selbstinduktion einer Spule

Rechenbeispiel

Eine einzelne laufende ebene Vakuum-Sinuswelle besitzt zusammenpassend gerundete Scheitelwerte $E_0=0{,}87\,\mathrm{V/m}$ und $B_0=2{,}9\,\mathrm{nT}$ . Bei senkrechten, gleichphasigen Feldern folgt $\langle S\rangle=\frac{E_0B_0}{2\mu_0}\approx1{,}00\,\mathrm{mW/m^2}$ entlang der Ausbreitung. Der Scheitelbetrag ist doppelt so groß. $\frac{E_0}{B_0}\approx3{,}00\times10^8\,\mathrm{m/s}$ bestätigt die gerundete Wellenrelation; sie gilt nicht für beliebige Felder.

Anwendungsgebiete

Leistungsübertragung von Funk- und Lichtwellen, Antennenabstrahlung sowie Energiebilanz elektromagnetischer Felder.

Rechenbeispiel: Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss (S = (E × B)/μ₀).

1
Aufgabe
Eine einzelne laufende ebene Vakuum-Sinuswelle hat gerundete Scheitelwerte $E_0=0{,}87\,\mathrm{V/m}$ in +x und $B_0=2{,}9\,\mathrm{nT}$ in +y. Die Felder sind gleichphasig. Bestimme Richtung, Scheitelbetrag und Periodenmittel des Poynting-Vektors.
Rechenweg
1. Ansatz: $\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf y}=\hat{\mathbf z}$ , $S_{\max}=\frac{E_0B_0}{\mu_0}$ und $\langle S\rangle=\frac{S_{\max}}{2}$ .
2. Einsetzen liefert $S_{\max}\approx2{,}008\,\mathrm{mW/m^2}$ , Periodenmittel $1{,}004\,\mathrm{mW/m^2}$ , jeweils nach +z.
Kontrolle: Beide Felder wechseln gemeinsam das Vorzeichen; S bleibt nach +z gerichtet und wird bei Feldnull null.

Die Formel verstehen und anwenden

Der Poynting-Vektor beschreibt, in welche Richtung elektromagnetische Energie fließt und wie viel Leistung eine Fläche durchquert. Er verbindet elektrische und magnetische Felder mit einer Energiebilanz. Bei einer laufenden Sinuswelle führt er zur Intensität; bei einem Kabel zeigt er, dass Energie auch ohne ausgestrahlte Welle im umgebenden Feld übertragen werden kann.

Vom Kreuzprodukt zur Leistung durch eine Fläche

Ein Kondensator kann Energie im Feld speichern; ein Kabel oder Lichtstrahl kann Energie durch den Raum übertragen. Der Poynting-Vektor beschreibt diesen Transport lokal: Sein Pfeil zeigt die Richtung, sein Betrag die Leistung pro senkrecht durchquerter Fläche. Gespeicherte Energie und transportierte Leistung sind verschiedene Größen. Wir beginnen mit einem Feldpaar an einem Ort, berechnen anschließend eine Leistung durch eine Fläche und betrachten erst danach die vollständige Energiebilanz.[1]

\begin{aligned}\mathbf S&=\frac{1}{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B\\|\mathbf S|&=\frac{EB\sin\alpha}{\mu_0}\\P_A(t)&=\iint_A\mathbf S\cdot d\mathbf A\end{aligned}

α ist der Winkel zwischen den Feldern. Der Flächennormalanteil bestimmt die durch eine Fläche transportierte Leistung.[1][3]

Das Zeichen $\times$ heißt Kreuzprodukt. Es bildet aus zwei Richtungen eine dritte, die senkrecht auf beiden steht. Sein Betrag enthält den Sinus ihres Winkels. Das Zeichen $\cdot$ in der Flächenrechnung heißt Skalarprodukt: Es wählt den Anteil, der tatsächlich durch die Fläche geht. Deshalb braucht die Feldrechnung einen Sinus, die anschließende Flächenprojektion einen Kosinus.[3]

Die Felder stehen an demselben Ort und zur selben Zeit. Das Kreuzprodukt folgt der rechten Hand: E in +x und B in +y ergeben S in +z. S besitzt die Einheit Watt pro Quadratmeter und ist eine Flussdichte, keine gespeicherte Energie pro Volumen. In einer Flächenbilanz bedeutet ein positives Skalarprodukt Energiefluss entlang der gewählten Normale; bei einer geschlossenen Hülle ist diese Normale nach außen gerichtet.[2]

Nur bei senkrechten E- und B-Feldern darf der Betrag durch das einfache Produkt der Beträge berechnet werden. Auch dann ist die Richtung zusätzlich zu prüfen. Eine große Feldstärke allein genügt nicht für einen großen Energiefluss: Parallele E- und B-Felder können einen verschwindenden S ergeben, obwohl Feldenergie vorhanden ist.[3]

Vertiefung anzeigen: Wie die Energiebilanz aus Maxwell folgt

\begin{aligned}\nabla\cdot(\mathbf E\times\mathbf B)&=\mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf E)-\mathbf E\cdot(\nabla\times\mathbf B)\\\nabla\cdot\mathbf S&=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}\right)-\mathbf J\cdot\mathbf E\end{aligned}

Die Vektoridentität zusammen mit Faraday und Ampère–Maxwell verbindet Energiefluss, Feldänderung und Arbeit an Ladungen.[3]

\begin{aligned}u&=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}\\\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf S&=-\mathbf J\cdot\mathbf E\\\frac{d}{dt}\iiint_Vu\,dV&=-\oiint_{\partial V}\mathbf S\cdot d\mathbf A-\iiint_V\mathbf J\cdot\mathbf E\,dV\end{aligned}

Für ein festes Volumen sinkt gespeicherte Feldenergie durch Nettofluss nach außen und durch positive Arbeit des Feldes an Ladungen.[2]

Der Term J·E ist zunächst elektromagnetische Leistungsübertragung an Materie, nicht automatisch Wärme. In einem ohmschen Leiter wird daraus Verlustleistung; in einer aktiven Quelle kann sein Vorzeichen umkehren. Die Integralbilanz zählt die gesamten Beiträge des betrachteten Volumens. S muss daher nicht überall nach außen zeigen, und eine negative Nettoleistung nach außen beschreibt einen Energiezufluss.[3]

Die genannten Energiedichten und die E/B-Schreibweise verwenden das Vakuummodell. Im üblichen makroskopischen Materialmodell wird $\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf H$ geschrieben. Einfache quadratische Speicherterme setzen passende lineare, nichtdispersive Materialbeziehungen voraus; bei Verlusten, Dispersion oder Nichtlinearität muss die Energiebilanz die Materialantwort berücksichtigen.[3]

Die Energiedichte des elektrischen Feldes im Vakuum beschreibt den elektrischen Speicheranteil dieser Bilanz. Der Poynting-Vektor beschreibt dagegen Transport; zusätzlich können magnetische Speicherung und Arbeit an Ladungen auftreten. Ein großer elektrischer Speicherterm beweist daher für sich allein weder eine große noch eine gerichtete Flussdichte.[3][2]

Momentanwert, Scheitelwert und Mittelwert trennen

\begin{aligned}\mathbf E(z,t)&=E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{\mathbf x}\\\mathbf B(z,t)&=\frac{E_0}{c}\cos(kz-\omega t)\,\hat{\mathbf y}\\\mathbf S(z,t)&=\frac{E_0^2}{\mu_0c}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat{\mathbf z}\end{aligned}

Die Felder einer einzelnen laufenden ebenen Vakuumwelle sind gleichphasig, senkrecht und erfüllen $E=cB$ .[1]

\begin{aligned}\langle\mathbf S\rangle&=\frac{E_0^2}{2\mu_0c}\,\hat{\mathbf z}\\&=\frac{E_0B_0}{2\mu_0}\,\hat{\mathbf z}\\&=\frac{E_{\mathrm{rms}}^2}{\mu_0c}\,\hat{\mathbf z}\end{aligned}

Der Faktor ein Halb gehört zu Sinus-Scheitelwerten. Bei Effektivwerten ist er bereits im quadratischen Mittel enthalten.[1][2]

Beide Felder wechseln gemeinsam das Vorzeichen. Ihr Kreuzprodukt zeigt deshalb für diese einzelne laufende Welle stets in dieselbe Ausbreitungsrichtung und wird an den gemeinsamen Nulldurchgängen null. Die Flussdichte hat zwei Maxima pro Feldperiode. Das Produkt der Feldmittelwerte wäre dagegen null und ist kein Ersatz für den Mittelwert des Kreuzprodukts.[3]

Bei einer gleichmäßig beleuchteten ebenen Fläche darf die mittlere Leistung aus Intensität, Fläche und dem Kosinus des Winkels zwischen S und Flächennormale berechnet werden. Der Winkel ist nicht derjenige zwischen E und B. Für einen inhomogenen Strahl oder eine gekrümmte Fläche wird der lokale Normalanteil integriert.[3]

Der Effektivwert sinusförmiger Wechselgrößen erklärt, warum die quadratische Mittelung den halben Scheitelbeitrag bereits enthält. Übertrage diese Mittelungsregel auf die angegebene einzelne laufende Sinuswelle; sie liefert keine allgemeine Erlaubnis, getrennt gemittelte Felder beliebiger Phasenlage zu multiplizieren.[1][5]

Eine schräg beleuchtete Fläche richtig gewichten

Aus Feldamplitude die ankommende Energie bestimmen

Gegeben: Eine ebene Vakuum-Sinuswelle besitzt $E_0=30\,\mathrm{V/m}$ . Eine vollständig im gleichmäßigen Strahl liegende ebene Fläche hat $A=20\,\mathrm{cm^2}$ ; der Winkel zwischen Ausbreitung und positiver Flächennormale ist $60^\circ$ . Beobachtungszeit: 10 s, viele Perioden.
Gesucht: B-Scheitelwert, mittlere Flussdichte, durchquerende Leistung und Energie bestimmen.

Ansatz: Verknüpfe die Wellenfelder, mittlere das quadratische Sinussignal und projiziere auf die Fläche.
$\begin{aligned}B_0&=\frac{E_0}{c}\\I&=\frac{E_0^2}{2\mu_0c}\\\overline P&=IA\cos\theta\\W&=\overline P\,\Delta t\end{aligned}$
Mit $c\approx2{,}998\times10^8\,\mathrm{m/s}$ und $\mu_0\approx1{,}256637\times10^{-6}\,\mathrm{H/m}$ folgen die Feld- und Flusswerte.
$\begin{aligned}B_0&\approx1{,}001\times10^{-7}\,\mathrm T\\I&\approx1{,}1945\,\mathrm{W/m^2}\\S_{\max}&=2I\approx2{,}3890\,\mathrm{W/m^2}\end{aligned}$
Quadratische Flächeneinheit umrechnen und den Normalanteil verwenden.
$\begin{aligned}A&=20\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}=0{,}0020\,\mathrm{m^2}\\\overline P&=(1{,}1945)(0{,}0020)\cos60^\circ\,\mathrm W\\&\approx1{,}1945\,\mathrm{mW}\\W&\approx0{,}011945\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: Etwa 1,19 mW durchqueren die Fläche; in 10 s sind es 11,9 mJ. Das ist ankommende Energie, nicht automatisch vollständig absorbierte Energie.

Kontrolle: Bei senkrechtem Einfall wäre die Leistung doppelt so groß. Die Einheitenprobe lautet Watt pro Quadratmeter mal Quadratmeter mal Sekunde gleich Joule. Würde $E_0$ verdoppelt, vervierfachten sich Intensität und Energie.

Energie im Feld eines Gleichstromkabels

Ideales Koaxialkabel mit einer Last

Gegeben: Ein langes ideales Vakuum-Koaxialkabel hat Innenleiterradius $a=2\,\mathrm{mm}$ , Innenradius des Außenleiters $b=5\,\mathrm{mm}$ , konstante Spannung $U=12\,\mathrm V$ und Innenleiterstrom $I=2\,\mathrm A$ in +z-Richtung. Der Innenleiter ist positiv; der Rückstrom fließt im Außenleiter. Übergänge und Leiterverluste werden vernachlässigt.
Gesucht: Lokale Felder und S bei $r=3\,\mathrm{mm}$ sowie die durch den gesamten Ringspalt transportierte Leistung bestimmen.

Ansatz: Aus Zylindersymmetrie folgen radiales E und umlaufendes B; ihr Kreuzprodukt zeigt zur Last.
$\begin{aligned}E_r&=\frac{U}{r\ln(b/a)}\\B_\varphi&=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\\S_z&=\frac{UI}{2\pi r^2\ln(b/a)}\end{aligned}$
Bei $r=3\,\mathrm{mm}$ liegt die lokale Flussdichte über dem über den Ringspalt gemittelten Wert; sie nimmt zum Innenleiter hin weiter zu.
$\begin{aligned}E_r(3\,\mathrm{mm})&\approx4{,}365\times10^3\,\mathrm{V/m}\\B_\varphi(3\,\mathrm{mm})&\approx133{,}3\,\mathrm{\mu T}\\S_z(3\,\mathrm{mm})&\approx4{,}632\times10^5\,\mathrm{W/m^2}\end{aligned}$
Über den gesamten Ringspalt integrieren; die Flussdichte ist dort nicht konstant.
$\begin{aligned}P&=\int_a^b S_z\,2\pi r\,dr\\&=\frac{UI}{\ln(b/a)}\int_a^b\frac{dr}{r}\\&=UI=24\,\mathrm W\end{aligned}$

Ergebnis: 24 W fließen im Feld zwischen den idealen Leitern zur Last. Eine stationäre Gleichstromversorgung kann einen zeitlich konstanten Poynting-Vektor besitzen.

Kontrolle: Die unabhängige Schaltungsrechnung U·I liefert ebenfalls 24 W. $E=cB$ wird hier nicht vorausgesetzt: Die Felder sind keine einzelne laufende ebene Vakuumwelle. In realen Leitern gehören Verluste und Energieeintritt in das Metall zur erweiterten Bilanz.

Warum stehende Wellen keine reine Vorwärtsleistung besitzen

\begin{aligned}\mathbf E&=2E_0\cos(kx)\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf y}\\\mathbf B&=\frac{2E_0}{c}\sin(kx)\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf z}\\\mathbf S&=\frac{E_0^2}{\mu_0c}\sin(2kx)\sin(2\omega t)\,\hat{\mathbf x}\\\langle\mathbf S\rangle&=\mathbf0\end{aligned}

Überlagerung zweier kohärenter gleich starker, gleich polarisierter ebener Vakuumwellen mit entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung. $E_0$ ist der Scheitelbetrag jeder einzelnen Welle; $k=\frac{\omega}{c}>0$ . Lokaler Energiefluss kann oszillieren, sein Periodenmittel ist null.[4]

Bild ansehen: lokaler Fluss der stehenden Welle

Stehende Welle: gerichteter lokaler Energiefluss

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Eigene Modellkurve bei kx=π/4 und Einzelwellenamplitude 10 V/m. Positives Vorzeichen bedeutet +x, negatives −x. Das Zeitmittel null bedeutet nicht, dass zu jedem Zeitpunkt kein Fluss vorliegt.[4]

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Die Felder der beiden laufenden Wellen werden zuerst vektoriell addiert; danach wird der Poynting-Vektor aus den Gesamtfeldern gebildet. Für die angegebene stehende Welle sind E und B zeitlich nicht gleichphasig. Deshalb gilt die einfache Beziehung zwischen Gesamtfeldbeträgen $E=cB$ nicht an jedem Ort und zu jeder Zeit. Energie kann lokal gespeichert und hin- und hertransportiert werden, obwohl durch einen Querschnitt im Periodenmittel keine Nettoenergie wandert.[4]

Das ist auch für Messungen wichtig: Eine einzelne Feldmessung in einem Bereich mit Reflexionen liefert nicht automatisch die transportierte Nettoleistung. Wellenimpedanz, Gegenwelle und Phase können entscheidend sein. Das Wort Intensität bezeichnet je nach Kontext einen gerichteten Periodenmittelwert oder eine ankommende Strahlungsleistung; gib die verwendete Bedeutung und Messfläche an.[3]

Stehende Welle: Fluss jetzt, Mittelwert null

Gegeben: Die im Abschnitt angegebene stehende Vakuumwelle hat Einzelwellenamplitude $E_0=10{,}0\,\mathrm{V/m}$ . Betrachte den Ort $kx=\frac\pi4$ zunächst bei $\omega t=\frac\pi4$ , anschließend bei $\omega t=\frac{3\pi}{4}$ .
Gesucht: Bestimme die beiden momentanen Energieflüsse und das Periodenmittel.

Ansatz: Zuerst die überlagerten Gesamtfelder einsetzen, nicht die Intensitäten der einzelnen Wellen addieren.
$S_x=\frac{E_0^2}{\mu_0c}\sin(2kx)\sin(2\omega t)$
Einsetzen: Der Ortsfaktor ist eins; der Zeitfaktor wechselt von +1 auf −1.
$\begin{aligned}S_x(t_1)&=+\frac{100}{\mu_0c}\,\mathrm{W\,m^{-2}}\approx+0.265442\,\mathrm{W\,m^{-2}}\\S_x(t_2)&\approx-0.265442\,\mathrm{W\,m^{-2}}\\\langle S_x\rangle_T&=0\end{aligned}$

Ergebnis: Momentan fließt Energie erst nach +x, später nach −x; im vollständigen Periodenmittel verschwindet der Nettofluss.

Kontrolle: Kontrolle: Beim ersten Zeitpunkt gilt $E_y=10{,}0\,\mathrm{V/m}$ und $B_z=\frac{E_0}{c}\approx33{,}36\,\mathrm{nT}$ ; das Kreuzprodukt bestätigt den positiven Wert. Beim zweiten kehrt nur das elektrische Feld um. Die laufenden Einzelwellen tragen im Mittel entgegengesetzt je rund 0,132721 W/m².

Fünf Aufgaben zu Richtung, Mittelung und Bilanz

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

An einem Ort im Vakuum betragen die momentanen Feldwerte $E=2{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{V/m}$ und $B=3{,}0\,\mathrm{\mu T}$ , mit Winkel $30^\circ$ zwischen ihnen. Bestimme den momentanen Betrag von S.

Hinweis anzeigen

Das Kreuzprodukt benötigt den Sinus des Feldwinkels.

Lernziel: Momentanes Kreuzprodukt von einer Wellenintensität unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $S=\frac{EB\sin\alpha}{\mu_0}$ .
Etwa 2,39 mW/m².
Die Werte beschreiben allgemeine lokale Felder; eine Wellenbeziehung $E=cB$ oder eine zusätzliche Sinus-Mittelung wurde nicht vorgegeben.

S=\frac{EB\sin30^\circ}{\mu_0}\approx2{,}387\times10^{-3}\,\mathrm{W/m^2}

[3]

Umstellen · Anwenden

Eine einzelne laufende ebene Vakuumwelle besitzt die mittlere Intensität $I=0{,}170\,\mathrm{W/m^2}$ . Bestimme den E-Effektivwert; wie lautet bei Sinusform ungefähr der Scheitelwert?

Hinweis anzeigen

Für Effektivwerte fehlt der zusätzliche Faktor ein Halb.

Lernziel: Aus mittlerer Intensität korrekt einen Effektivwert gewinnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $I_{\mathrm{wave}}=\frac{E_{\mathrm{rms}}^2}{\mu_0c}$ .
Eeff ist etwa 8,00 V/m; der Sinus-Scheitelwert ist etwa 11,3 V/m.
Das Einsetzen eines Effektivwerts in die Scheitelwertformel mit Faktor ein Halb würde die Intensität halbieren.

\begin{aligned}E_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{I\mu_0c}\approx8{,}00\,\mathrm{V/m}\\E_0&=\sqrt2\,E_{\mathrm{rms}}\approx11{,}3\,\mathrm{V/m}\end{aligned}

[1]

Interpretieren · Anwenden

E zeigt momentan in +x und B in −z. In welche Richtung zeigt S? Was passiert mit S, wenn beide Felder gleichzeitig ihr Vorzeichen wechseln?

Hinweis anzeigen

Nutze die zyklische Orientierung der x-, y- und z-Achsen.

Lernziel: Energieflussrichtung aus der Vektororientierung bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\mathbf S=\frac{\mathbf E\times\mathbf B}{\mu_0}$ .
S zeigt in +y.
Ein gemeinsamer Vorzeichenwechsel lässt das Kreuzprodukt unverändert; beim Wechsel nur eines Feldes kehrt sich S um.
Das zeigt, weshalb Vorzeichenwechsel laufender Wellenfelder keine rückwärts laufende Leistung bedeuten.

\hat{\mathbf x}\times(-\hat{\mathbf z})=\hat{\mathbf y},\qquad(-\mathbf E)\times(-\mathbf B)=\mathbf E\times\mathbf B

[2]

Fehleranalyse · Anwenden

Für eine laufende Sinuswelle sind die Periodenmittel von E und B null. Eine Rechnung schließt deshalb auf null mittlere Intensität. Korrigiere den Ansatz.

Hinweis anzeigen

Zuerst das Kreuzprodukt bilden, erst dann mitteln.

Lernziel: Mittelungsfehler bei Feldprodukten erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\langle\mathbf S\rangle=\frac{\langle\mathbf E\times\mathbf B\rangle}{\mu_0}$ .
Der Mittelwert eines Produkts ist im Allgemeinen nicht das Produkt der Mittelwerte.
Die gleichphasigen Felder liefern einen positiven quadratischen Verlauf; sein Mittelwert enthält den Faktor ein Halb.
Die Feldmittelwerte allein enthalten diese Information nicht.

\langle\mathbf S\rangle=\frac{1}{\mu_0}\langle\mathbf E\times\mathbf B\rangle=\frac{E_0B_0}{2\mu_0}\hat{\mathbf n}\ne\frac{\langle\mathbf E\rangle\times\langle\mathbf B\rangle}{\mu_0}

[3]

Transfer · Vertiefen

In ein festes Volumen fließen elektromagnetisch netto 5 W hinein. Gleichzeitig überträgt das Feld 3 W an Materie, die dort vollständig in Wärme umgesetzt werden. Wie ändert sich die gespeicherte Feldenergie?

Hinweis anzeigen

Mit nach außen gerichteter Normale beträgt die Flussbilanz −5 W.

Lernziel: Orientierte Flussbilanz mit Speicher- und Verlustleistung verbinden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\dot W_{\mathrm{field}}=-P_{\mathrm{out}}-P_{\mathrm{matter}}$ .
Die Feldenergie wächst um 2 J pro Sekunde.
Energiezufluss wird teilweise dissipiert und teilweise gespeichert; es ist falsch, die gesamte eingehende Leistung automatisch mit Wärmeleistung gleichzusetzen.

\begin{aligned}\frac{\mathrm dW_{\mathrm{field}}}{\mathrm dt}&=-P_{\mathrm{out}}-P_{\mathrm{matter}}\\&=-(-5\,\mathrm W)-3\,\mathrm W\\&=2\,\mathrm W\end{aligned}

[2]

Eine belastbare Energieflussrechnung aufbauen

Lege Vakuum oder Materialmodell fest, bestimme die Felder am gleichen Ort und zur gleichen Zeit und notiere ihre Richtungen. Prüfe dann, ob ein Momentanwert, ein vollständiges Periodenmittel oder die Energie eines begrenzten Pulses gesucht wird. $E=cB$ ist eine Eigenschaft einer einzelnen laufenden ebenen Vakuumwelle, kein allgemeines Gesetz für jedes elektromagnetische Feld. Bei reflektierten oder überlagerten Wellen müssen zuerst die tatsächlichen Gesamtfelder bestimmt werden.[3][4]

Die Leistungsfläche muss zum Problem passen. Beim Strahl kann es die beleuchtete Fläche eines Detektors sein, beim Kabel der vollständige Feldquerschnitt und bei einer lokalen Energiebilanz eine geschlossene Hülle. Prüfe Winkel, räumliche Gleichmäßigkeit und Einheiten, bevor du ein Flächenintegral durch Multiplikation mit der Fläche ersetzt. Eine vollständige Energiebilanz kontrolliert außerdem, ob eingespeiste Leistung gespeichert, weitertransportiert oder an Materie abgegeben wird.[3]

Was du mitnehmen solltest

Bilde zuerst das Kreuzprodukt der tatsächlichen Gesamtfelder. Entscheide dann zwischen Momentanwert und Zeitmittel und projiziere für eine Leistung auf die gewählte Flächennormale. Nur im passenden Wellenmodell gelten die einfachen Amplitudenbeziehungen. Energiezufluss kann gespeichert, weitergeleitet oder an Materie abgegeben werden.[1]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Passende fachliche Verbindungen ergänzt; bestehende Feld- und Energiebilanzen, Herleitungen, Beispiele, Aufgaben, Figuren und Modellgrenzen erhalten.
1. Oktober 2026Eigenständigen DE/EN-Artikel mit Voraussetzungen, zwei eigenen Beispielen und fünf unterschiedlichen gelösten Aufgaben ergänzt.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernweg überarbeitet, ein drittes Modellbeispiel und quantitative Grafik ergänzt; bestehende Aufgaben, Voraussetzungen und Formelsatz geprüft.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/poynting-vektor

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss

Was beschreiben Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss physikalisch?+

Der Poynting-Vektor beschreibt die momentane gerichtete Flussdichte elektromagnetischer Energie. Seine Einheit ist Watt pro Quadratmeter, nicht Joule pro Kubikmeter. Im Vakuum wird er aus dem Kreuzprodukt der elektrischen und magnetischen Felder am gleichen Ort und zur gleichen Zeit berechnet. Die rechte Hand bestimmt die Richtung; der Winkel zwischen den Feldern bestimmt den Betrag. Eine einzelne laufende ebene Welle transportiert Energie entlang ihrer Ausbreitungsrichtung, aber diese Aussage ist kein allgemeines Merkmal jedes Feldes. Auch ein stationäres Gleichstromkabel kann Energie im Feld übertragen. Eine stehende Welle kann lokalen hin- und hergerichteten Energiefluss besitzen, während dessen Periodenmittel null ist. Für eine Fläche zählt jeweils der Normalanteil des Vektors.

Wie prüfe ich eine Rechnung zum Poynting-Vektor und elektromagnetischen Energiefluss?+

Notiere zuerst die Feldrichtungen und prüfe, ob Momentanwerte, Scheitelwerte oder Effektivwerte gegeben sind. Bei einer einzelnen laufenden ebenen Vakuum-Sinuswelle sind E und B senkrecht und gleichphasig. Die vorhandenen zusammenpassend gerundeten Scheitelwerte 0,87 Volt pro Meter und 2,9 Nanotesla ergeben rund ein Milliwatt pro Quadratmeter mittlere Intensität. Der momentane Scheitelwert ist etwa doppelt so groß. Als Kontrolle passt das Verhältnis der Feldamplituden näherungsweise zur Lichtgeschwindigkeit. Bei allgemeinen lokalen Feldern wird keine solche Wellenbeziehung vorausgesetzt und kein Faktor ein Halb automatisch hinzugefügt. Prüfe außerdem, ob der Energiefluss wirklich senkrecht durch die betrachtete Fläche geht oder nur eine Projektion die gesuchte Leistung liefert.

Welche Annahmen und Grenzen gelten für Poynting-Vektor und elektromagnetischen Energiefluss?+

Die gezeigte E/B-Form des Poynting-Vektors benutzt das Vakuummodell. Im üblichen makroskopischen Materialmodell wird die entsprechende Größe als E kreuz H geschrieben. Einfache quadratische Speicherterme erfordern passende lineare und nichtdispersive Materialannahmen; reale Verluste oder Dispersion brauchen eine erweiterte Bilanz. Die Beziehung E gleich c mal B und der einfache Sinusmittelwert setzen eine einzelne laufende ebene Vakuumwelle voraus. Bei Gegenwellen oder Reflexionen musst du zuerst die Gesamtfelder bilden. Der Mittelwert des Kreuzprodukts ist nicht allgemein das Kreuzprodukt der Feldmittelwerte. Selbst bei senkrechten Feldern ist außerdem der Winkel zur Leistungsfläche gesondert zu bestimmen. Diese Voraussetzungen verhindern, dass eine Wellenintensitätsformel als universelle Feldformel verwendet wird.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim Poynting-Vektor und elektromagnetischen Energiefluss?+

Prüfe die Einheit als Leistung pro Fläche. Multiplizierst du eine gleichmäßige normale Flussdichte mit Quadratmetern, erhältst du Watt; ein zusätzlicher Zeitfaktor liefert Joule. Bei einem schrägen ebenen Flächenelement gehört der Kosinus des Winkels zur Flächennormalen dazu. Er ist nicht der Sinus des Winkels zwischen E und B, der bereits im Kreuzprodukt steckt. Die Größenordnung kann mit einer Energiebilanz kontrolliert werden: Zugeführte Leistung muss gespeichert, weitertransportiert oder an Ladungen abgegeben werden. Beim idealen Gleichstrom-Koaxkabel ergibt die vollständige Integration über den Ringspalt U mal I. Ein lokaler Wert von S darf dort nicht einfach mit dem Gesamtquerschnitt multipliziert werden, weil er radial variiert.

Wann kombiniere ich Poynting-Vektor und elektromagnetischen Energiefluss mit einer weiteren Beziehung?+

Für eine Leistung durch eine Fläche integrierst du den Normalanteil des Poynting-Vektors. Für die Energie in einem Zeitraum integrierst du diese Leistung zusätzlich über die Zeit. Die vollständige Poynting-Bilanz verbindet den Nettofluss einer festen Hülle mit gespeicherter Feldenergie und der Arbeit an Ladungen. Diese Arbeit ist nur im passenden dissipativen Modell automatisch Wärme. Bei einer Quelle kann ihr Vorzeichen umkehren. Für einzelne laufende ebene Sinuswellen darfst du Feldamplituden mit Lichtgeschwindigkeit und mittlerer Intensität verknüpfen; bei einem Gleichstromkabel oder einer stehenden Überlagerung gelten diese Zusatzannahmen nicht. Die Maxwell-Gleichungen liefern die zugrunde liegenden Felder, während Quellen, Geometrie und Randbedingungen die konkrete Lösung festlegen.

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Welche Formel beschreibt Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss?

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Wie stellst du S = (E × B)/μ₀ nach Energieflussbetrag bei senkrechten Feldern um?

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Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei S = (E × B)/μ₀?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §16.3: Energy Carried by Electromagnetic Waves

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

F = k_e \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

Coulombsches Gesetz

\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})

Lorentzkraft

\mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Faradaysches Induktionsgesetz

\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

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Quanta Study Redaktion

Symbol

Bedeutung

Einheit

S

Gerichtete momentane elektromagnetische Energieflussdichte

W/m²

E

elektrische Feldstärke

V/m

B

magnetische Flussdichte

μ0

magnetische Feldkonstante im Vakuum

N/A²

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Der Poynting-Vektor gibt Richtung und momentane Flussdichte der elektromagnetischen Energie im Vakuum an.

1Bestimme E und B vektoriell am gleichen Ort und zur gleichen Zeit im Vakuummodell.
2Nutze $\nabla\cdot(\mathbf E\times\mathbf B)=\mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf E)-\mathbf E\cdot(\nabla\times\mathbf B)$ .
3Setze Faraday und Ampère–Maxwell ein; trenne Feldänderung von Arbeit an Ladungen.
4Identifiziere $u=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}$ und $\mathbf S=\frac{\mathbf E\times\mathbf B}{\mu_0}$ .
5Die Bilanz lautet $\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf S=-\mathbf J\cdot\mathbf E$ .
6Prüfe die Kreuzproduktrichtung und integriere für Flächenleistung den tatsächlichen Normalanteil.
7Nur für eine einzelne laufende gleichphasige Sinuswelle wird das Produktmittel zur halben Scheitelintensität; Gegenwellen und DC-Felder separat behandeln.

Rechenbeispiel: Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss (S = (E × B)/μ₀).

Aufgabe

Rechenweg

Ansatz: $\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf y}=\hat{\mathbf z}$ , $S_{\max}=\frac{E_0B_0}{\mu_0}$ und $\langle S\rangle=\frac{S_{\max}}{2}$ .
Einsetzen liefert $S_{\max}\approx2{,}008\,\mathrm{mW/m^2}$ , Periodenmittel $1{,}004\,\mathrm{mW/m^2}$ , jeweils nach +z.

Kontrolle: Beide Felder wechseln gemeinsam das Vorzeichen; S bleibt nach +z gerichtet und wird bei Feldnull null.

Die Formel verstehen und anwenden

Vom Kreuzprodukt zur Leistung durch eine Fläche

\begin{aligned}\mathbf S&=\frac{1}{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B\\|\mathbf S|&=\frac{EB\sin\alpha}{\mu_0}\\P_A(t)&=\iint_A\mathbf S\cdot d\mathbf A\end{aligned}

α ist der Winkel zwischen den Feldern. Der Flächennormalanteil bestimmt die durch eine Fläche transportierte Leistung.[1][3]

Vertiefung anzeigen: Wie die Energiebilanz aus Maxwell folgt

\begin{aligned}\nabla\cdot(\mathbf E\times\mathbf B)&=\mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf E)-\mathbf E\cdot(\nabla\times\mathbf B)\\\nabla\cdot\mathbf S&=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}\right)-\mathbf J\cdot\mathbf E\end{aligned}

Die Vektoridentität zusammen mit Faraday und Ampère–Maxwell verbindet Energiefluss, Feldänderung und Arbeit an Ladungen.[3]

\begin{aligned}u&=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}\\\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf S&=-\mathbf J\cdot\mathbf E\\\frac{d}{dt}\iiint_Vu\,dV&=-\oiint_{\partial V}\mathbf S\cdot d\mathbf A-\iiint_V\mathbf J\cdot\mathbf E\,dV\end{aligned}

Für ein festes Volumen sinkt gespeicherte Feldenergie durch Nettofluss nach außen und durch positive Arbeit des Feldes an Ladungen.[2]

Momentanwert, Scheitelwert und Mittelwert trennen

\begin{aligned}\mathbf E(z,t)&=E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{\mathbf x}\\\mathbf B(z,t)&=\frac{E_0}{c}\cos(kz-\omega t)\,\hat{\mathbf y}\\\mathbf S(z,t)&=\frac{E_0^2}{\mu_0c}\cos^2(kz-\omega t)\,\hat{\mathbf z}\end{aligned}

Die Felder einer einzelnen laufenden ebenen Vakuumwelle sind gleichphasig, senkrecht und erfüllen $E=cB$ .[1]

\begin{aligned}\langle\mathbf S\rangle&=\frac{E_0^2}{2\mu_0c}\,\hat{\mathbf z}\\&=\frac{E_0B_0}{2\mu_0}\,\hat{\mathbf z}\\&=\frac{E_{\mathrm{rms}}^2}{\mu_0c}\,\hat{\mathbf z}\end{aligned}

Der Faktor ein Halb gehört zu Sinus-Scheitelwerten. Bei Effektivwerten ist er bereits im quadratischen Mittel enthalten.[1][2]

Eine schräg beleuchtete Fläche richtig gewichten

Aus Feldamplitude die ankommende Energie bestimmen

Gegeben: Eine ebene Vakuum-Sinuswelle besitzt $E_0=30\,\mathrm{V/m}$ . Eine vollständig im gleichmäßigen Strahl liegende ebene Fläche hat $A=20\,\mathrm{cm^2}$ ; der Winkel zwischen Ausbreitung und positiver Flächennormale ist $60^\circ$ . Beobachtungszeit: 10 s, viele Perioden.
Gesucht: B-Scheitelwert, mittlere Flussdichte, durchquerende Leistung und Energie bestimmen.

Ansatz: Verknüpfe die Wellenfelder, mittlere das quadratische Sinussignal und projiziere auf die Fläche.
$\begin{aligned}B_0&=\frac{E_0}{c}\\I&=\frac{E_0^2}{2\mu_0c}\\\overline P&=IA\cos\theta\\W&=\overline P\,\Delta t\end{aligned}$
Mit $c\approx2{,}998\times10^8\,\mathrm{m/s}$ und $\mu_0\approx1{,}256637\times10^{-6}\,\mathrm{H/m}$ folgen die Feld- und Flusswerte.
$\begin{aligned}B_0&\approx1{,}001\times10^{-7}\,\mathrm T\\I&\approx1{,}1945\,\mathrm{W/m^2}\\S_{\max}&=2I\approx2{,}3890\,\mathrm{W/m^2}\end{aligned}$
Quadratische Flächeneinheit umrechnen und den Normalanteil verwenden.
$\begin{aligned}A&=20\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}=0{,}0020\,\mathrm{m^2}\\\overline P&=(1{,}1945)(0{,}0020)\cos60^\circ\,\mathrm W\\&\approx1{,}1945\,\mathrm{mW}\\W&\approx0{,}011945\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: Etwa 1,19 mW durchqueren die Fläche; in 10 s sind es 11,9 mJ. Das ist ankommende Energie, nicht automatisch vollständig absorbierte Energie.

Energie im Feld eines Gleichstromkabels

Ideales Koaxialkabel mit einer Last

Gegeben: Ein langes ideales Vakuum-Koaxialkabel hat Innenleiterradius $a=2\,\mathrm{mm}$ , Innenradius des Außenleiters $b=5\,\mathrm{mm}$ , konstante Spannung $U=12\,\mathrm V$ und Innenleiterstrom $I=2\,\mathrm A$ in +z-Richtung. Der Innenleiter ist positiv; der Rückstrom fließt im Außenleiter. Übergänge und Leiterverluste werden vernachlässigt.
Gesucht: Lokale Felder und S bei $r=3\,\mathrm{mm}$ sowie die durch den gesamten Ringspalt transportierte Leistung bestimmen.

Ansatz: Aus Zylindersymmetrie folgen radiales E und umlaufendes B; ihr Kreuzprodukt zeigt zur Last.
$\begin{aligned}E_r&=\frac{U}{r\ln(b/a)}\\B_\varphi&=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\\S_z&=\frac{UI}{2\pi r^2\ln(b/a)}\end{aligned}$
Bei $r=3\,\mathrm{mm}$ liegt die lokale Flussdichte über dem über den Ringspalt gemittelten Wert; sie nimmt zum Innenleiter hin weiter zu.
$\begin{aligned}E_r(3\,\mathrm{mm})&\approx4{,}365\times10^3\,\mathrm{V/m}\\B_\varphi(3\,\mathrm{mm})&\approx133{,}3\,\mathrm{\mu T}\\S_z(3\,\mathrm{mm})&\approx4{,}632\times10^5\,\mathrm{W/m^2}\end{aligned}$
Über den gesamten Ringspalt integrieren; die Flussdichte ist dort nicht konstant.
$\begin{aligned}P&=\int_a^b S_z\,2\pi r\,dr\\&=\frac{UI}{\ln(b/a)}\int_a^b\frac{dr}{r}\\&=UI=24\,\mathrm W\end{aligned}$

Ergebnis: 24 W fließen im Feld zwischen den idealen Leitern zur Last. Eine stationäre Gleichstromversorgung kann einen zeitlich konstanten Poynting-Vektor besitzen.

Warum stehende Wellen keine reine Vorwärtsleistung besitzen

\begin{aligned}\mathbf E&=2E_0\cos(kx)\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf y}\\\mathbf B&=\frac{2E_0}{c}\sin(kx)\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf z}\\\mathbf S&=\frac{E_0^2}{\mu_0c}\sin(2kx)\sin(2\omega t)\,\hat{\mathbf x}\\\langle\mathbf S\rangle&=\mathbf0\end{aligned}

Bild ansehen: lokaler Fluss der stehenden Welle

Stehende Welle: gerichteter lokaler Energiefluss

QUANTA STUDYquanta-study.de

Eigene Modellkurve bei kx=π/4 und Einzelwellenamplitude 10 V/m. Positives Vorzeichen bedeutet +x, negatives −x. Das Zeitmittel null bedeutet nicht, dass zu jedem Zeitpunkt kein Fluss vorliegt.[4]

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Stehende Welle: Fluss jetzt, Mittelwert null

Gegeben: Die im Abschnitt angegebene stehende Vakuumwelle hat Einzelwellenamplitude $E_0=10{,}0\,\mathrm{V/m}$ . Betrachte den Ort $kx=\frac\pi4$ zunächst bei $\omega t=\frac\pi4$ , anschließend bei $\omega t=\frac{3\pi}{4}$ .
Gesucht: Bestimme die beiden momentanen Energieflüsse und das Periodenmittel.

Ansatz: Zuerst die überlagerten Gesamtfelder einsetzen, nicht die Intensitäten der einzelnen Wellen addieren.
$S_x=\frac{E_0^2}{\mu_0c}\sin(2kx)\sin(2\omega t)$
Einsetzen: Der Ortsfaktor ist eins; der Zeitfaktor wechselt von +1 auf −1.
$\begin{aligned}S_x(t_1)&=+\frac{100}{\mu_0c}\,\mathrm{W\,m^{-2}}\approx+0.265442\,\mathrm{W\,m^{-2}}\\S_x(t_2)&\approx-0.265442\,\mathrm{W\,m^{-2}}\\\langle S_x\rangle_T&=0\end{aligned}$

Ergebnis: Momentan fließt Energie erst nach +x, später nach −x; im vollständigen Periodenmittel verschwindet der Nettofluss.

Fünf Aufgaben zu Richtung, Mittelung und Bilanz

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

An einem Ort im Vakuum betragen die momentanen Feldwerte $E=2{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{V/m}$ und $B=3{,}0\,\mathrm{\mu T}$ , mit Winkel $30^\circ$ zwischen ihnen. Bestimme den momentanen Betrag von S.

Hinweis anzeigen

Das Kreuzprodukt benötigt den Sinus des Feldwinkels.

Lernziel: Momentanes Kreuzprodukt von einer Wellenintensität unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $S=\frac{EB\sin\alpha}{\mu_0}$ .
Etwa 2,39 mW/m².
Die Werte beschreiben allgemeine lokale Felder; eine Wellenbeziehung $E=cB$ oder eine zusätzliche Sinus-Mittelung wurde nicht vorgegeben.

S=\frac{EB\sin30^\circ}{\mu_0}\approx2{,}387\times10^{-3}\,\mathrm{W/m^2}

[3]

Umstellen · Anwenden

Eine einzelne laufende ebene Vakuumwelle besitzt die mittlere Intensität $I=0{,}170\,\mathrm{W/m^2}$ . Bestimme den E-Effektivwert; wie lautet bei Sinusform ungefähr der Scheitelwert?

Hinweis anzeigen

Für Effektivwerte fehlt der zusätzliche Faktor ein Halb.

Lernziel: Aus mittlerer Intensität korrekt einen Effektivwert gewinnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $I_{\mathrm{wave}}=\frac{E_{\mathrm{rms}}^2}{\mu_0c}$ .
Eeff ist etwa 8,00 V/m; der Sinus-Scheitelwert ist etwa 11,3 V/m.
Das Einsetzen eines Effektivwerts in die Scheitelwertformel mit Faktor ein Halb würde die Intensität halbieren.

\begin{aligned}E_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{I\mu_0c}\approx8{,}00\,\mathrm{V/m}\\E_0&=\sqrt2\,E_{\mathrm{rms}}\approx11{,}3\,\mathrm{V/m}\end{aligned}

[1]

Interpretieren · Anwenden

E zeigt momentan in +x und B in −z. In welche Richtung zeigt S? Was passiert mit S, wenn beide Felder gleichzeitig ihr Vorzeichen wechseln?

Hinweis anzeigen

Nutze die zyklische Orientierung der x-, y- und z-Achsen.

Lernziel: Energieflussrichtung aus der Vektororientierung bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\mathbf S=\frac{\mathbf E\times\mathbf B}{\mu_0}$ .
S zeigt in +y.
Ein gemeinsamer Vorzeichenwechsel lässt das Kreuzprodukt unverändert; beim Wechsel nur eines Feldes kehrt sich S um.
Das zeigt, weshalb Vorzeichenwechsel laufender Wellenfelder keine rückwärts laufende Leistung bedeuten.

\hat{\mathbf x}\times(-\hat{\mathbf z})=\hat{\mathbf y},\qquad(-\mathbf E)\times(-\mathbf B)=\mathbf E\times\mathbf B

[2]

Fehleranalyse · Anwenden

Für eine laufende Sinuswelle sind die Periodenmittel von E und B null. Eine Rechnung schließt deshalb auf null mittlere Intensität. Korrigiere den Ansatz.

Hinweis anzeigen

Zuerst das Kreuzprodukt bilden, erst dann mitteln.

Lernziel: Mittelungsfehler bei Feldprodukten erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\langle\mathbf S\rangle=\frac{\langle\mathbf E\times\mathbf B\rangle}{\mu_0}$ .
Der Mittelwert eines Produkts ist im Allgemeinen nicht das Produkt der Mittelwerte.
Die gleichphasigen Felder liefern einen positiven quadratischen Verlauf; sein Mittelwert enthält den Faktor ein Halb.
Die Feldmittelwerte allein enthalten diese Information nicht.

\langle\mathbf S\rangle=\frac{1}{\mu_0}\langle\mathbf E\times\mathbf B\rangle=\frac{E_0B_0}{2\mu_0}\hat{\mathbf n}\ne\frac{\langle\mathbf E\rangle\times\langle\mathbf B\rangle}{\mu_0}

[3]

Transfer · Vertiefen

In ein festes Volumen fließen elektromagnetisch netto 5 W hinein. Gleichzeitig überträgt das Feld 3 W an Materie, die dort vollständig in Wärme umgesetzt werden. Wie ändert sich die gespeicherte Feldenergie?

Hinweis anzeigen

Mit nach außen gerichteter Normale beträgt die Flussbilanz −5 W.

Lernziel: Orientierte Flussbilanz mit Speicher- und Verlustleistung verbinden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\dot W_{\mathrm{field}}=-P_{\mathrm{out}}-P_{\mathrm{matter}}$ .
Die Feldenergie wächst um 2 J pro Sekunde.
Energiezufluss wird teilweise dissipiert und teilweise gespeichert; es ist falsch, die gesamte eingehende Leistung automatisch mit Wärmeleistung gleichzusetzen.

\begin{aligned}\frac{\mathrm dW_{\mathrm{field}}}{\mathrm dt}&=-P_{\mathrm{out}}-P_{\mathrm{matter}}\\&=-(-5\,\mathrm W)-3\,\mathrm W\\&=2\,\mathrm W\end{aligned}

[2]

Eine belastbare Energieflussrechnung aufbauen

Was du mitnehmen solltest

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Passende fachliche Verbindungen ergänzt; bestehende Feld- und Energiebilanzen, Herleitungen, Beispiele, Aufgaben, Figuren und Modellgrenzen erhalten.
1. Oktober 2026Eigenständigen DE/EN-Artikel mit Voraussetzungen, zwei eigenen Beispielen und fünf unterschiedlichen gelösten Aufgaben ergänzt.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernweg überarbeitet, ein drittes Modellbeispiel und quantitative Grafik ergänzt; bestehende Aufgaben, Voraussetzungen und Formelsatz geprüft.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/poynting-vektor

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss

Was beschreiben Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss physikalisch?+

Wie prüfe ich eine Rechnung zum Poynting-Vektor und elektromagnetischen Energiefluss?+

Welche Annahmen und Grenzen gelten für Poynting-Vektor und elektromagnetischen Energiefluss?+

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung beim Poynting-Vektor und elektromagnetischen Energiefluss?+

Wann kombiniere ich Poynting-Vektor und elektromagnetischen Energiefluss mit einer weiteren Beziehung?+

Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss prüfungssicher behalten

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Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss

Variablen & Einheiten

Poynting-Vektor und Intensität berechnen

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Herleitung & Hintergrund

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Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

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Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Elektrodynamik

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss

Vom Kreuzprodukt zur Leistung durch eine Fläche

Vertiefung anzeigen: Wie die Energiebilanz aus Maxwell folgt

Momentanwert, Scheitelwert und Mittelwert trennen

Eine schräg beleuchtete Fläche richtig gewichten

Aus Feldamplitude die ankommende Energie bestimmen

Energie im Feld eines Gleichstromkabels

Ideales Koaxialkabel mit einer Last

Warum stehende Wellen keine reine Vorwärtsleistung besitzen

Stehende Welle: gerichteter lokaler Energiefluss

Stehende Welle: Fluss jetzt, Mittelwert null

Fünf Aufgaben zu Richtung, Mittelung und Bilanz

An einem Ort im Vakuum betragen die momentanen Feldwerte E=2,0×10−3 V/mE=2{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{V/m}E=2,0×10−3V/m und B=3,0 μTB=3{,}0\,\mathrm{\mu T}B=3,0μT, mit Winkel 30∘30^\circ30∘ zwischen ihnen. Bestimme den momentanen Betrag von S.

Eine einzelne laufende ebene Vakuumwelle besitzt die mittlere Intensität I=0,170 W/m2I=0{,}170\,\mathrm{W/m^2}I=0,170W/m2. Bestimme den E-Effektivwert; wie lautet bei Sinusform ungefähr der Scheitelwert?

E zeigt momentan in +x und B in −z. In welche Richtung zeigt S? Was passiert mit S, wenn beide Felder gleichzeitig ihr Vorzeichen wechseln?

Für eine laufende Sinuswelle sind die Periodenmittel von E und B null. Eine Rechnung schließt deshalb auf null mittlere Intensität. Korrigiere den Ansatz.

In ein festes Volumen fließen elektromagnetisch netto 5 W hinein. Gleichzeitig überträgt das Feld 3 W an Materie, die dort vollständig in Wärme umgesetzt werden. Wie ändert sich die gespeicherte Feldenergie?

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Gültigkeitsbereich

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Aufgabenvariante

Typische Fehler

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Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss

Vom Kreuzprodukt zur Leistung durch eine Fläche

Vertiefung anzeigen: Wie die Energiebilanz aus Maxwell folgt

Momentanwert, Scheitelwert und Mittelwert trennen

Eine schräg beleuchtete Fläche richtig gewichten

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Energie im Feld eines Gleichstromkabels

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Stehende Welle: Fluss jetzt, Mittelwert null

Fünf Aufgaben zu Richtung, Mittelung und Bilanz

An einem Ort im Vakuum betragen die momentanen Feldwerte E=2,0×10−3 V/mE=2{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{V/m}E=2,0×10−3V/m und B=3,0 μTB=3{,}0\,\mathrm{\mu T}B=3,0μT, mit Winkel 30∘30^\circ30∘ zwischen ihnen. Bestimme den momentanen Betrag von S.

Eine einzelne laufende ebene Vakuumwelle besitzt die mittlere Intensität I=0,170 W/m2I=0{,}170\,\mathrm{W/m^2}I=0,170W/m2. Bestimme den E-Effektivwert; wie lautet bei Sinusform ungefähr der Scheitelwert?

E zeigt momentan in +x und B in −z. In welche Richtung zeigt S? Was passiert mit S, wenn beide Felder gleichzeitig ihr Vorzeichen wechseln?

Für eine laufende Sinuswelle sind die Periodenmittel von E und B null. Eine Rechnung schließt deshalb auf null mittlere Intensität. Korrigiere den Ansatz.

In ein festes Volumen fließen elektromagnetisch netto 5 W hinein. Gleichzeitig überträgt das Feld 3 W an Materie, die dort vollständig in Wärme umgesetzt werden. Wie ändert sich die gespeicherte Feldenergie?

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An einem Ort im Vakuum betragen die momentanen Feldwerte $E=2{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{V/m}$ und $B=3{,}0\,\mathrm{\mu T}$ , mit Winkel $30^\circ$ zwischen ihnen. Bestimme den momentanen Betrag von S.

Eine einzelne laufende ebene Vakuumwelle besitzt die mittlere Intensität $I=0{,}170\,\mathrm{W/m^2}$ . Bestimme den E-Effektivwert; wie lautet bei Sinusform ungefähr der Scheitelwert?

An einem Ort im Vakuum betragen die momentanen Feldwerte $E=2{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{V/m}$ und $B=3{,}0\,\mathrm{\mu T}$ , mit Winkel $30^\circ$ zwischen ihnen. Bestimme den momentanen Betrag von S.

Eine einzelne laufende ebene Vakuumwelle besitzt die mittlere Intensität $I=0{,}170\,\mathrm{W/m^2}$ . Bestimme den E-Effektivwert; wie lautet bei Sinusform ungefähr der Scheitelwert?