Physik · Elektrodynamik

Maxwell-Gleichungen in Integralform

Die vier Maxwell-Gleichungen verknüpfen elektrische und magnetische Flüsse mit Ladung, Strom und zeitlich veränderlichen Feldern.

UniversitätSekundarstufe IIUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

Karteikarten oder Test erstellen Ich habe schon ein Konto

Ansehen kostenlos · Karteikarten oder Multiple-Choice-Test · übernehmen ab Essential

Formel

Berechnen

\iint_{\partial V} E \cdot d A \iint_{\partial V} B \cdot d A \oint_{C} E \cdot d l \oint_{C} B \cdot d l = \frac{Q _{V}}{ϵ _{0}} = 0 = - \frac{d Φ _{B}}{d t} = μ_{0} (I_{A} + ϵ_{0} \frac{d Φ _{E}}{d t})

E in V/m; B in T; ΦE in V·m; ΦB in Wb; Q in C; I in A. Gauß-Gesetze: geschlossene Hülle ∂V. Umlaufgesetze: feste Kurve C mit offener Spannfläche A.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$E$	elektrische Feldstärke	V/m
$B$	magnetische Flussdichte	T
$Q_{\mathrm{V}}$	Gesamte eingeschlossene Ladung, mit Vorzeichen	C
$I_{\mathrm{A}}$	Gesamter orientierter Ladungsstrom durch dieselbe Spannfläche wie ΦE, ohne getrennten Verschiebungsstromterm	A
$ΦB$	Orientierter magnetischer Fluss durch die feste Spannfläche der Kurve C	Wb
$ΦE$	Orientierter elektrischer Fluss durch dieselbe feste Spannfläche	V·m
$ε0$	elektrische Feldkonstante im Vakuum	F/m
$μ0$	magnetische Feldkonstante im Vakuum	N/A²

LaTeX

\begin{aligned}\oiint_{\partial V}\vec E\cdot\mathrm d\vec A&=\frac{Q_V}{\epsilon_0}\\\oiint_{\partial V}\vec B\cdot\mathrm d\vec A&=0\\\oint_C\vec E\cdot\mathrm d\vec l&=-\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}\\\oint_C\vec B\cdot\mathrm d\vec l&=\mu_0(I_A+\epsilon_0\frac{\mathrm d\Phi_E}{\mathrm dt})\end{aligned}

QUANTA STUDYquanta-study.de

Idealisiertes magnetisches Feld eines langsam geladenen rotationssymmetrischen dünnen Vakuumkondensators: bei 3 Milliampere und Plattenradius 30 Millimeter linear bis 20 Nanotesla, danach proportional zum Kehrwert des Radius. Bei 10 Millimeter 6,667 Nanotesla, bei 50 Millimeter 12 Nanotesla. — Eigener Näherungsverlauf im Spaltmodell: R = 30 mm, momentaner Ladestrom I = 3 mA. Dünner Spalt, rotationssymmetrische Geometrie und Speisung, langsame Feldänderung; Randfelder und zusätzliche Leitungsbeiträge vernachlässigt. B ist ein Betrag. Innerhalb zählt der Flächenanteil des Verschiebungsstroms; außerhalb der vollständige vereinfachte Feldterm. Nach MIT 6.013 §3.3.1, keine exakte allgemeine Lösung eines endlichen Aufbaus.

Fluss und Umlauf mit Maxwell-Gleichungen berechnen

Elektrischen Fluss durch eine geschlossene Hülle, die induzierte Umlaufspannung oder den magnetischen Umlauf aus Strom und Flussänderung ausrechnen.

Rechenmodell

Gesucht

Eingeschlossene Ladung Q

Gesamte Ladung innerhalb der geschlossenen Hülle mit Vorzeichen, z. B. 6 nC.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach ΦE, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach ΦE umstellen
$\Phi_{E,\partial V}=Q_V/\varepsilon_0$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- Q = 6 nC = 6 · 10⁻⁹ C
$\frac{6\times10^{-9}}{8{,}85419\times10^{-12}}$
3. Ergebnis
ΦE = 677,6 V·m

Gerundete CODATA-2022-Werte: ε₀ = 8,8541878188·10⁻¹² F/m und μ₀ = 1,25663706127·10⁻⁶ H/m mit Messunsicherheit. Numerische Ergebnisse sind Näherungen.

Ergebnis: Elektrischer Fluss durch die Hülle ΦE

ΦE = 677,6 V·m

Mit Q = 6 nC ergibt sich ΦE = 677,6 V·m.

Eingeschlossene Ladung Q verändern

Verdoppelt sich Q, verdoppelt sich auch ΦE: Die Größen sind proportional.

So rechnest du schneller

Gauß zählt nur, was drinnen ist: Ladungen außerhalb der Hülle ändern den Gesamtfluss nicht, egal wie nah sie liegen.
Rechte-Hand-Regel: Der Daumen zeigt längs der Flächennormale, die gekrümmten Finger geben die positive Umlaufrichtung. Wächst der Magnetfluss, ist die Umlaufspannung negativ.

Annahmen und Grenzen

E/B-Form mit gesamter eingeschlossener Ladung und nach außen gerichteter Hüllnormale. In Materie müssen auch gebundene Ladungen gezählt werden. Nur die Integralbilanz wird berechnet, kein lokales Feld und keine Quellengeometrie.

Herleitung & Hintergrund

Die E/B-Form zählt gesamte Ladungsquellen; in Materie sind gebundene Beiträge einzubeziehen. Umlaufgesetze mit Zeitderivaten verwenden feste Kurven und Spannflächen. Geschlossene Hüllen und offene Spannflächen unterscheiden; Orientierung koppeln. Lokale Feldwerte benötigen Quellengeometrie und Randbedingungen; einfache algebraische Auswertungen nutzen zusätzlich passende Symmetrie.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Die vier Maxwell-Gleichungen verknüpfen elektrische und magnetische Flüsse mit Ladung, Strom und zeitlich veränderlichen Feldern.

1Wähle eine feste Hüllfläche oder eine feste geschlossene Kurve mit offener Spannfläche; notiere die Orientierung.
2Q und J bezeichnen in der E/B-Form gesamte Quellen; Materialmodelle mit D/H unterscheiden freie und gebundene Beiträge.
3Der elektrische Gauß-Satz bilanziert $\Phi_{E,\partial V}=\frac{Q_V}{\varepsilon_0}$ ; ein lokaler Feldwert braucht zusätzliche räumliche Information; passende Symmetrie ermöglicht eine einfache Auswertung.
4Der magnetische Gauß-Satz setzt $\Phi_{B,\partial V}=0$ , nicht das lokale B-Feld null.
5Faraday verknüpft den orientierten Umlauf mit $-\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}$ ; Normale und Umlauf müssen zusammenpassen.
6Ampère–Maxwell zählt $I_A+\varepsilon_0\frac{\mathrm d\Phi_E}{\mathrm dt}$ auf derselben Spannfläche.
7Prüfe Ladungskontinuität, Einheiten und Quellengeometrie; die vier Feldgesetze sind nicht algebraisch aus einer einzigen Definition hergeleitet.

Umstellen

Elektrischer Fluss für eine geschlossene Fläche

\Phi_{E,\partial V}=\frac{Q_V}{\varepsilon_0}

Nettofluss durch eine geschlossene Hülle; ein lokaler Feldbetrag benötigt weitere Symmetrie.

Aufgabenvariante

Eine geschlossene Hülle enthält insgesamt +2,0 nC. Bestimme den elektrischen Nettofluss. Bestimme zusätzlich E auf einer Kugel mit $r=0{,}10\,\mathrm m$ , wenn diese Ladung eine einzelne Punktladung genau im Mittelpunkt ist und weitere Quellen fehlen.

Ansatz: $\Phi_E=\frac{Q}{\varepsilon_0}$ .
Mit $\varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ folgt $\Phi_E\approx225{,}887\,\mathrm{V\,m}$ .
Nur für die angegebene Kugelsymmetrie: $E=\frac{\Phi_E}{4\pi r^2}\approx1797{,}55\,\mathrm{V/m}$ , radial nach außen.
Rückprobe: $E\,4\pi r^2=\Phi_E$ .

Typische Fehler

Den vollen Drahtstrom und den vollen Verschiebungsstrom auf verschiedenen Spannflächen addieren.

Wähle eine einzige orientierte Spannfläche und bilanziere alle Beiträge auf genau dieser Fläche.

Klausurkontext

Kondensatorladung, induzierter Feldumlauf und Ladungskontinuität: Fläche und Orientierung jeweils begründen.

Formelcluster

Elektrodynamik

Verknüpfe Ladungs- und Feldbilanzen mit Induktion und elektromagnetischem Energiefluss.

∮ E·dA = Q_innen / ε₀

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

ℰ = −N dΦB/dt

Faradaysches Induktionsgesetz

ΦB = BA cos θ

Magnetischer Fluss durch eine Fläche

S = (E × B)/μ₀

Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss

Rechenbeispiel

Eine geschlossene Hülle enthält insgesamt $Q=2{,}0\,\mathrm{nC}$ . Der Nettofluss ist $\Phi_E=\frac{Q}{\varepsilon_0}\approx226\,\mathrm{V\,m}$ , gleichwertig zu N·m²/C. Nur für eine einzelne zentrale Punktladung ohne weitere Quellen auf einer Kugel mit $r=0{,}10\,\mathrm m$ gilt ein konstanter Betrag $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\approx1{,}80\,\mathrm{kV/m}$ , nach außen. Sonst bestimmt der Fluss allein keinen lokalen Feldwert.

Anwendungsgebiete

Elektrostatik, Induktion, elektromagnetische Wellen, Antennen und Feldtheorie; die Integralform macht Fluss und Zirkulation sichtbar.

Rechenbeispiel: Maxwell-Gleichungen in Integralform

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Maxwell-Gleichungen in Integralform (∯E·dA=QV/ε₀; ∯B·dA=0; ∮E·dl=−dΦB/dt; ∮B·dl=μ₀(I_A+ε₀dΦE/dt)).

1
Aufgabe
Eine geschlossene Hülle enthält insgesamt +2,0 nC. Bestimme den elektrischen Nettofluss. Bestimme zusätzlich E auf einer Kugel mit $r=0{,}10\,\mathrm m$ , wenn diese Ladung eine einzelne Punktladung genau im Mittelpunkt ist und weitere Quellen fehlen.
Rechenweg
1. Ansatz: $\Phi_E=\frac{Q}{\varepsilon_0}$ .
2. Mit $\varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ folgt $\Phi_E\approx225{,}887\,\mathrm{V\,m}$ .
3. Nur für die angegebene Kugelsymmetrie: $E=\frac{\Phi_E}{4\pi r^2}\approx1797{,}55\,\mathrm{V/m}$ , radial nach außen.
4. Rückprobe: $E\,4\pi r^2=\Phi_E$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Die Maxwell-Gleichungen beschreiben, welche Ladungen und Ströme elektrische und magnetische Felder erzeugen und wie sich die Felder zeitlich koppeln. In Integralform prüfst du Flüsse durch Flächen und Umläufe entlang Kurven. Eine passende Symmetrie macht daraus eine Feldrechnung; ohne sie liefern die Integrale weiterhin eine Bilanz, aber keinen einzelnen Feldwert.

Zwei Flächenbegriffe auseinanderhalten

Die vier Gesetze beantworten zwei Arten von Fragen: Wie viel Feldfluss geht durch eine geschlossene Hülle, und wie stark läuft ein Feld um eine geschlossene Kurve? Feldfluss zählt den Anteil des Feldes senkrecht zu einer Fläche. Ein Umlauf zählt den Anteil entlang einer Kurve. Beide sind Summen über die gesamte Geometrie; sie sind nicht einfach ein Feldwert an einem Punkt. Damit lässt sich zunächst ohne Differentialrechnung verstehen, was Ladung, Strom und Feldänderung bewirken.[1]

Für eine geschlossene Hüllfläche zählen alle Flächenelemente mit der nach außen gerichteten Normale. Sie besitzt keinen Rand. Eine aufgespannte offene Fläche besitzt dagegen die geschlossene Randkurve C; ihre Normalenrichtung und die positive Laufrichtung auf C gehören nach der rechten Hand zusammen. Die Gauß-Gesetze benutzen die Hüllfläche, Faraday und Ampère–Maxwell die Randkurve mit ihrer offenen Spannfläche.[1]

\begin{aligned}\Phi_E&=\iint_A\mathbf E\cdot d\mathbf A\\\Phi_B&=\iint_A\mathbf B\cdot d\mathbf A\\I_A&=\iint_A\mathbf J\cdot d\mathbf A\end{aligned}

Die Größen sind orientiert: Entgegengesetzte Feld- oder Stromrichtung verändert ihr Vorzeichen.[3]

Die folgenden Umlaufgesetze verwenden feststehende Kurven und Spannflächen. Bewegte Leiter erfordern zusätzlich den motionalen Kraftanteil pro Ladung. In der dargestellten E/B-Form sind Q, ρ und J gesamte Ladung, gesamte Ladungsdichte und gesamter Ladungsstrom ohne den getrennten Verschiebungsstromterm; in Materie zählen dazu auch gebundene Beiträge. Im Vakuum fehlen die Materialbeiträge. Die makroskopische D/H-Schreibweise ordnet dagegen freie Quellen und Polarisation beziehungsweise Magnetisierung separat.[3]

Die vier Gesetze und ihre Aussagen

\begin{aligned}\oiint_{\partial V}\mathbf E\cdot d\mathbf A&=\frac{Q_V}{\varepsilon_0}\\\oiint_{\partial V}\mathbf B\cdot d\mathbf A&=0\\\oint_C\mathbf E\cdot d\mathbf l&=-\frac{d\Phi_B}{dt}\\\oint_C\mathbf B\cdot d\mathbf l&=\mu_0\left(I_A+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right)\end{aligned}

Gauß elektrisch und magnetisch bilanzieren geschlossene Flächen; Faraday und Ampère–Maxwell bilanzieren Umläufe.[1][2]

Elektrische Ladung bestimmt den Nettofluss von E durch eine Hülle. Für B ist dieser Nettofluss im klassischen Modell ohne magnetische Monopole null. Ein sich ändernder magnetischer Fluss erzeugt einen elektrischen Umlauf. Der gesamte Ladungsstrom durch die gewählte Spannfläche und die Änderung ihres elektrischen Flusses bestimmen den magnetischen Umlauf. Diese vier Aussagen sind Feldgesetze; sie sind nicht vier Umstellungen einer einzigen Grundformel.[1]

Null Nettofluss bedeutet weder null Feld noch null Fluss durch jede Teilfläche. Ebenso bedeutet ein verschwindender Umlauf nur, dass sich die Beiträge entlang der gesamten Kurve aufheben. Ein lokales Feld lässt sich erst mit räumlicher Information, Randbedingungen und gegebenenfalls Symmetrie bestimmen.[3]

Warum der Verschiebungsstrom nötig ist

Beim Laden eines idealen Kondensators erreicht Leitungsstrom die Metallplatte, überquert aber den Vakuumspalt nicht. Eine Spannfläche zur selben Randkurve kann den Zuleitungsdraht schneiden oder durch den Spalt geführt werden. Würde nur Leitungsstrom zählen, ergäben beide Flächen verschiedene Werte für denselben B-Umlauf. Die Änderung des elektrischen Flusses beseitigt diesen Widerspruch.[1][2]

\begin{aligned}I_d&=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\\\Phi_E&=\frac{Q}{\varepsilon_0}\\I_d&=\frac{dQ}{dt}=I\end{aligned}

Verschiebungsstrom ist hier ein Feldänderungsterm; er behauptet keinen Ladungstransport durch den Vakuumspalt.[2]

Die Gleichheit gilt mit passenden Orientierungen und für den gesamten zugehörigen Fluss. Bei einer kleinen Teilfläche im Spalt wird nur deren Anteil eingeschlossen. Leitungsstrom und Verschiebungsstrom werden auf derselben Spannfläche addiert; die volle Drahtstromstärke zusätzlich zum vollen Spaltterm zu addieren würde die Quelle doppelt zählen.[3]

Die Kapazität eines Kondensators verbindet im linearen Modell die Plattenladung mit der Spannung: $Q=CU$ . Bei festem $C$ folgt $\dot Q=C\dot U$ . Diese Klemmenbeziehung hilft beim Ladestrom; die Ampère–Maxwell-Bilanz verlangt weiterhin den elektrischen Fluss und Ladungsstrom auf derselben gewählten Spannfläche.[1][2]

Vertiefung anzeigen: Von Flussbilanzen zu lokalen Ableitungen

\begin{aligned}\nabla\cdot\mathbf E&=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\\\nabla\cdot\mathbf B&=0\\\nabla\times\mathbf E&=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\\\nabla\times\mathbf B&=\mu_0\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\end{aligned}

Gaußscher Integralsatz und Stokes verbinden Integral- und Differentialform für hinreichend reguläre Felder.[3]

Divergenz beschreibt lokal die Quellenbilanz, Rotation den lokalen Umlauf. An idealisierten Grenzflächen mit Flächenladungen oder sprunghaften Materialwerten werden die Gesetze über kleine Hüllen und Schleifen angewendet; klassische punktweise Ableitungen benötigen dort besondere Sorgfalt. Die Integralform eignet sich gerade dafür, solche Übergänge zu prüfen.[3]

\begin{aligned}0=\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf B)&=\mu_0\left(\nabla\cdot\mathbf J+\frac{\partial\rho}{\partial t}\right)\\\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J&=0\end{aligned}

Der elektrische Gauß-Satz zusammen mit Ampère–Maxwell liefert die Kontinuitätsgleichung der Ladung.[3]

Ein Fluss und ein Feldwert sind verschiedene Ergebnisse

Punktladung auf einer Kugelhülle

Gegeben: Eine Punktladung $Q=6{,}0\,\mathrm{nC}$ sitzt im Mittelpunkt einer gedachten Kugel mit $r=0{,}15\,\mathrm m$ im Vakuum; andere Quellen fehlen.
Gesucht: Gesamten elektrischen Fluss und Feldstärke auf der Kugel bestimmen.

Ansatz: Zuerst den Fluss aus eingeschlossener Ladung berechnen; dann die Kugelsymmetrie nutzen.
$\begin{aligned}\Phi_E&=\frac{Q}{\varepsilon_0}\\E&=\frac{\Phi_E}{4\pi r^2}\end{aligned}$
Mit $\varepsilon_0\approx8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ folgt die Flussbilanz.
$\Phi_E=\frac{6{,}0\times10^{-9}}{8{,}854\times10^{-12}}\,\mathrm{V\,m}\approx677{,}7\,\mathrm{V\,m}$
Das Feld steht überall radial auf der Kugel und hat denselben Betrag.
$E=\frac{677{,}7}{4\pi(0{,}15)^2}\,\mathrm{V/m}\approx2{,}40\times10^3\,\mathrm{V/m}$

Ergebnis: Der Fluss beträgt etwa 678 V·m; das Feld ist etwa 2,40 kV/m und zeigt nach außen.

Kontrolle: Rückprobe: $E\,4\pi r^2\approx\Phi_E$ . Eine doppelt so große Kugel hätte denselben Fluss und ein Viertel des Feldbetrags. Bei einer verschobenen Ladung bliebe der Fluss gleich, aber E wäre auf der Kugel nicht mehr konstant.

Das Gaußsche Gesetz der Elektrostatik führt dieselbe Trennung zwischen Gesamtfluss und lokalem Feld besonders anschaulich vor. Für die einzelne zentrale Punktladung ist die Kugelsymmetrie die zusätzliche Information; die Maxwell-Bilanz erlaubt nicht, diese Geometrie auf eine beliebige Ladungsverteilung zu übertragen.[1]

Beim Kondensator beide Spannflächen vergleichen

Kondensatorspalt: eingeschlossene Fläche bestimmt B

QUANTA STUDYquanta-study.de

Eigene Kurve für das ausdrücklich idealisierte rotationssymmetrische Spaltmodell mit Plattenradius 30 mm und Ladestrom 3 mA. Reale Speisung, Randfelder und Abstrahlung sind nicht mitmodelliert.[1][2]

Kostenlos mit Quanta-Konto. Dein Download bleibt nach der Registrierung bereit.

Magnetfeld innerhalb und außerhalb der Plattenfläche

Gegeben: Ein idealisierter kreisförmiger Vakuumkondensator hat Plattenradius $R=30\,\mathrm{mm}$ und wird momentan mit $I=3{,}0\,\mathrm{mA}$ geladen. Der Plattenabstand ist klein gegenüber R. Geometrie und Speisung werden rotationssymmetrisch modelliert; zusätzliche Beiträge der realen Zuleitung und des Rückwegs werden vernachlässigt. Das axiale E wächst gleichmäßig innerhalb des Plattenradius, außerhalb wird sein Anteil im vereinfachten Spaltmodell vernachlässigt. Die Feldänderung erfolgt langsam gegenüber der Lichtlaufzeit über die betrachtete Geometrie; Randfelder und Abstrahlung bleiben außerhalb dieser Näherung.
Gesucht: $\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}$ und den Betrag von B in der idealisierten Spaltebene auf konzentrischen Kreisen mit $r_1=10\,\mathrm{mm}$ und $r_2=50\,\mathrm{mm}$ bestimmen.

Ansatz: Im Spalt zählt der eingeschlossene Verschiebungsstrom; die betrachteten Kreise sind zur Symmetrieachse konzentrisch.
$\begin{aligned}I&=\varepsilon_0\pi R^2\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}\\B\,2\pi r&=\mu_0I_{d,\mathrm{enc}}\end{aligned}$
Den Feldanstieg aus dem gesamten Plattenstrom bestimmen.
$\frac{dE}{dt}=\frac{3{,}0\times10^{-3}}{(8{,}854\times10^{-12})\pi(0{,}030)^2}\,\frac{\mathrm V}{\mathrm{m\,s}}\approx1{,}20\times10^{11}\,\frac{\mathrm V}{\mathrm{m\,s}}$
Der innere Kreis erfasst nur das Flächenverhältnis; beim äußeren Kreis ist der volle Stromterm eingeschlossen.
$\begin{aligned}I_{d,1}&=I\frac{r_1^2}{R^2}=\frac I9\\B_1&=\frac{\mu_0 I r_1}{2\pi R^2}\approx6{,}67\,\mathrm{nT}\\B_2&=\frac{\mu_0 I}{2\pi r_2}\approx12{,}0\,\mathrm{nT}\end{aligned}$

Ergebnis: Im idealisierten Spalt wächst B bis zum Plattenradius linear und fällt außerhalb mit dem Kehrwert des Kreisradius.

Kontrolle: Am Übergang $r=R$ liefern beide Näherungsausdrücke $B=20{,}0\,\mathrm{nT}$ . Für den inneren Kreis ist der gesamte Quellterm nur $I/9$ . Eine anders aufgespannte Fläche liefert denselben gesamten Strom- und Feldänderungsterm, aber nicht notwendig nur den vollen Drahtstrom. Falls ihr gesamter Ladungsstromterm auf dieser Fläche I ist, muss ihr orientierter Verschiebungsstromanteil hier $-8I/9$ beitragen. Nur für einen Umlauf um den gesamten zugehörigen Plattenfluss kann der reine Drahtschnitt im vereinfachten Modell allein I liefern. Reale Randfelder und unsymmetrische Speisung begrenzen die örtlichen B-Werte.

Warum Licht in diese Feldgesetze gehört

\begin{aligned}\nabla^2\mathbf E&=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}\\c&=\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\end{aligned}

Für einen quellenfreien Vakuumbereich folgen Wellengleichungen; B erfüllt die entsprechende Gleichung.[2]

Man bildet die Rotation des Faraday-Gesetzes, setzt Ampère–Maxwell ein und benutzt im quellenfreien Bereich die verschwindende Divergenz von E. Damit erhält man eine Wellengleichung. Die Aussage lautet nicht, dass jedes elektrische Feld automatisch eine laufende Welle ist: Statische Lösungen, Überlagerungen und Randbedingungen gehören ebenfalls zur Theorie. Eine einzelne ebene laufende Vakuumwelle hat transversale E- und B-Felder; für sie gilt $E=cB$ .[2]

Feldgesetze berechnen keine Teilchenbahn allein. Für die Bewegung einer Ladung braucht man zusätzlich die Lorentzkraft und eine Bewegungsgleichung. Für Energieübertragung ergänzt der Poynting-Vektor die Beschreibung. Deshalb führen dieselben vier Gesetze von einfachen Kondensatoren zu Antennen und Wellenleitern, wenn passende Quellen und Randbedingungen hinzukommen.[1][3]

Fünf Aufgaben zu Bilanz, Orientierung und Modell

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Eine Hüllfläche enthält insgesamt $Q=-3{,}0\,\mathrm{nC}$ . Berechne den elektrischen Nettofluss und deute sein Vorzeichen.

Hinweis anzeigen

Verwende die nach außen gerichtete Normale der geschlossenen Fläche.

Lernziel: Vorzeichen des Nettoflusses einer geschlossenen Fläche verstehen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\Phi_{E,\partial V}=\frac{Q_V}{\varepsilon_0}$ .
Etwa −339 V·m.
Die nach innen gerichteten Beiträge überwiegen; nicht jedes einzelne Flächenelement muss einen negativen Beitrag liefern.

\Phi_E=\frac{-3{,}0\times10^{-9}}{8{,}854\times10^{-12}}\,\mathrm{V\,m}\approx-338{,}8\,\mathrm{V\,m}

[1]

Umstellen · Anwenden

Ein fester Kreis mit $r=4{,}0\,\mathrm{cm}$ umfasst ein homogenes Feld in +z-Richtung mit $dB/dt=0{,}30\,\mathrm{T/s}$ . Die positive Umlaufrichtung ist gegen den Uhrzeigersinn, von +z aus gesehen. Bestimme EMK und das tangentiale E im rotationssymmetrischen Modell.

Hinweis anzeigen

Erst die Flussänderung bestimmen, danach den Umlauf durch die Kreisumfangslänge teilen.

Lernziel: Flussänderung in einen orientierten Feldumlauf übersetzen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\mathcal E=-\pi r^2\dot B$ .
Die EMK ist −1,51 mV und $E_\varphi=-6{,}0\,\mathrm{mV/m}$ .
Der induzierte Umlauf ist von +z aus im Uhrzeigersinn; das Minuszeichen gehört zur festgelegten Orientierung.

\begin{aligned}\mathcal E&=-\pi r^2\frac{dB}{dt}\approx-1{,}51\,\mathrm{mV}\\E_\varphi&=\frac{\mathcal E}{2\pi r}=-\frac r2\frac{dB}{dt}=-0{,}0060\,\mathrm{V/m}\end{aligned}

[1]

Interpretieren · Anwenden

Durch eine gedachte Würfeloberfläche ist der magnetische Nettofluss null. Darf daraus $B=0$ im Würfel geschlossen werden?

Hinweis anzeigen

Betrachte ein räumlich konstantes Feld, das durch zwei gegenüberliegende Seiten verläuft.

Lernziel: Nettofluss und lokale Feldstärke auseinanderhalten.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\Phi_{B,\partial V}=\oiint_{\partial V}\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf A$ .
Nein.
Ein homogenes Feld in +z-Richtung tritt durch die untere Seite ein und oben aus.
Die Beiträge −BA und +BA heben sich auf, obwohl das Feld überall ungleich null sein kann.

\Phi_B=(-BA)+(+BA)=0

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein Umlauf um den vollständigen Plattenfluss eines idealisierten ladenden Kondensators wird betrachtet. Im Modell zählen auf der reinen Drahtschnittfläche $I_A=I$ , $I_d\approx0$ , auf der reinen Spaltfläche $I_A=0$ , $I_d=I$ . Eine Rechnung addiert beide vollen Beiträge zu $2\mu_0I$ . Wo liegt der Fehler?

Hinweis anzeigen

Welche Ströme durchqueren dieselbe gewählte Spannfläche?

Lernziel: Eine doppelte Quellenzählung durch wechselnde Spannflächen erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\oint_C\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf l=\mu_0(I_A+I_d)$ .
Die beiden vollen Beiträge stammen aus unterschiedlichen Flächen.
Im idealen Drahtschnitt zählt I, im Spalt zählt Id.
Für einen identischen Umlauf ergibt beides $\mu_0I$ .
Allgemein werden die tatsächlich auf derselben Fläche vorhandenen Beiträge addiert.

\begin{aligned}(I_A+I_d)_{1}&=I+0\\(I_A+I_d)_{2}&=0+I\end{aligned}

[2]

Transfer · Vertiefen

Durch die feste Hülle eines Volumens fließen während der folgenden $2\,\mathrm{ms}$ konstant $10\,\mathrm{mA}$ konventioneller Strom hinein und $4\,\mathrm{mA}$ hinaus. Bestimme $\frac{\mathrm dQ_V}{\mathrm dt}$ , die zeitliche Änderungsrate des elektrischen Nettoflusses und die Änderung des eingeschlossenen Q in diesem Zeitintervall.

Hinweis anzeigen

Strom nach außen ist positiv; benutze die Kontinuitätsgleichung und danach den elektrischen Gauß-Satz.

Lernziel: Ladungserhaltung und elektrische Flussbilanz miteinander verbinden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\dot Q_V=I_{\mathrm{in}}-I_{\mathrm{out}}$ .
Der Nettostrom nach außen ist −6 mA, daher steigt Q um 6 mC/s.
Der elektrische Nettofluss steigt um etwa 6,78 · 10⁸ V·m/s; in 2 ms kommen 12 µC hinzu.
Das liefert keinen lokalen E-Wert ohne Geometrie.

\begin{aligned}\frac{dQ_V}{dt}&=I_{\mathrm{in}}-I_{\mathrm{out}}\\&=10\,\mathrm{mA}-4\,\mathrm{mA}=6{,}0\times10^{-3}\,\mathrm A\\\frac{d\Phi_E}{dt}&=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{dQ_V}{dt}\approx6{,}78\times10^8\,\frac{\mathrm{V\,m}}{\mathrm s}\\\Delta Q_V&=(6\,\mathrm{mA})(2\,\mathrm{ms})=12\,\mathrm{\mu C}\end{aligned}

[3]

Beispiel: Eine größere Kurve umfasst nicht mehr Fluss

Induziertes Feld außerhalb eines Feldbereichs

Gegeben: In einem rotationssymmetrischen quasistatischen Modell wächst $B_z$ innerhalb $R=0{,}0200\,\mathrm m$ räumlich gleichmäßig mit $\dot B=0{,}400\,\mathrm{T/s}$ ; außerhalb ist dieser Feldanteil vernachlässigbar. Eine feste Kreislinie hat $r=0{,}0500\,\mathrm m$ ; positive Richtung von +z gesehen gegen den Uhrzeigersinn.
Gesucht: Berechne EMK und tangentiales E auf der größeren Kreislinie.

Ansatz: Die aktive Flussfläche ist die Feldfläche, nicht die ganze Spannfläche. Erst anschließend durch den Kurvenumfang teilen.
$\begin{aligned}\mathcal E&=-\pi R^2\dot B\\E_\varphi(r)&=\frac{\mathcal E}{2\pi r}=-\frac{R^2\dot B}{2r}\end{aligned}$
Einsetzen: Beide Vorzeichen beziehen sich auf die vorgegebene positive Orientierung.
$\begin{aligned}\mathcal E&=-\pi(0.0200)^2(0.400)\,\mathrm V\approx-0.502655\,\mathrm{mV}\\E_\varphi&=-\frac{(0.0200)^2(0.400)}{2(0.0500)}\,\mathrm{V/m}=-1.600\,\mathrm{mV/m}\end{aligned}$

Ergebnis: Der elektrische Umlauf ist im Uhrzeigersinn. Auf der betrachteten Kreislinie beträgt das tangentiale Feld −1,60 mV/m.

Kontrolle: Kontrolle: $E_\varphi2\pi r=\mathcal E$ . Verdoppelt sich der äußere Radius, bleibt der eingeschlossene Fluss gleich und der Feldbetrag halbiert sich. Innerhalb des Feldbereichs wäre dagegen $E_\varphi=-\frac r2\dot B$ ; beide Ausdrücke stimmen bei $r=R$ überein.

Welche Zusatzinformation eine Feldlösung braucht

Prüfe zuerst, ob du eine Hüllfläche oder einen Umlauf betrachtest und ob die Geometrie feststeht. Ordne Strom und elektrischen Fluss derselben Spannfläche zu. Allgemein gilt $\oint_C\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf l=\mu_0(I_A+I_d)$ . Erst bei passender Kreis-Symmetrie wird daraus $B\,2\pi r=\mu_0(I_A+I_d)$ ; die Form nur mit Ladungsstrom verlangt zusätzlich einen verschwindenden oder vernachlässigbaren Verschiebungsstromterm. Ein gekrümmter Draht oder zusätzliche Ströme können die Symmetrie zerstören. Auch $E_nA$ als elektrischer Fluss setzt einen konstanten Normalanteil auf der betrachteten Fläche voraus.[3]

In Materialien müssen Polarisation, Magnetisierung und Leitfähigkeit zum Feldmodell passen. Bei schnellen Vorgängen können eine reine quasistatische Kondensatorbeschreibung und das Vernachlässigen von Abstrahlung unzureichend sein. Quanten- und relativistische Teilcheneffekte erfordern passende Ergänzungen; daraus folgt nicht, dass die klassische Theorie nur für kleine Feldstärken gilt. Entscheidend sind das untersuchte System und die Genauigkeit der Modellannahmen.[3]

Was du mitnehmen solltest

Unterscheide Hülle und Umlauf und notiere die Orientierung. Zähle beim magnetischen Umlauf Strom und Feldänderung auf derselben Spannfläche. Die Bilanz gilt unabhängig davon, ob eine Symmetrie vorhanden ist; erst Symmetrie und Randbedingungen ermöglichen einfache lokale Feldformeln.[1]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Passende fachliche Verbindungen ergänzt; bestehende Feld- und Energiebilanzen, Herleitungen, Beispiele, Aufgaben, Figuren und Modellgrenzen erhalten.
1. Oktober 2026Eigenständigen DE/EN-Artikel mit Voraussetzungen, zwei eigenen Beispielen und fünf unterschiedlichen gelösten Aufgaben ergänzt.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernweg überarbeitet, ein drittes Modellbeispiel und quantitative Grafik ergänzt; bestehende Aufgaben, Voraussetzungen und Formelsatz geprüft.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Maxwell-Gleichungen in Integralform. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/maxwell-integralgleichungen

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Maxwell-Gleichungen in Integralform

Was beschreiben die Maxwell-Gleichungen in Integralform physikalisch?+

Die vier Maxwell-Gleichungen bilanzieren elektrische und magnetische Felder über Flächen und entlang geschlossener Kurven. Elektrischer Nettofluss durch eine Hülle hängt von der gesamten eingeschlossenen Ladung ab; magnetischer Nettofluss durch eine geschlossene Hülle ist im klassischen Modell null. Die beiden Umlaufgesetze verknüpfen Feldänderungen mit elektrischer Zirkulation beziehungsweise Ladungsstrom und elektrischem Feldänderungsterm mit magnetischer Zirkulation. In dieser E/B-Form werden gesamte Quellen verwendet, nicht nur freie Quellen eines Materialmodells. Eine Integralbilanz ist noch kein einzelner lokaler Feldwert: Dafür brauchst du Geometrie, Randbedingungen und gegebenenfalls Symmetrie. Die Gesetze bilden gemeinsam eine Feldtheorie und sind nicht vier bloße Umstellungen derselben Formel.

Wie prüfe ich eine Rechnung zu den Maxwell-Gleichungen in Integralform?+

Bestimme zuerst, ob du eine geschlossene Hüllfläche oder eine geschlossene Kurve mit offener Spannfläche betrachtest. Die Hülle verwendet äußere Normalen; Umlauf und Spannflächennormale werden rechtshändig zusammen festgelegt. Eine Hülle mit zwei Nanocoulomb eingeschlossener Ladung hat rund 226 Volt mal Meter elektrischen Nettofluss. Eine Feldstärke folgt erst bei zusätzlicher Symmetrie: Für eine einzelne Punktladung im Kugelzentrum mit Radius zehn Zentimeter erhältst du rund 1,80 Kilovolt pro Meter. Verschiebst du die Ladung innerhalb der Hülle, bleibt der Nettofluss gleich, aber der Feldbetrag ist auf der Kugel nicht mehr konstant. Kontrolliere deshalb sowohl die Einheit als auch die Voraussetzung, die einen Integralwert in einen lokalen Feldwert übersetzt.

Welche Annahmen und Grenzen gelten für die Maxwell-Gleichungen in Integralform?+

Die gezeigten Umlaufgesetze verwenden feste Kurven und feste Spannflächen. Für bewegte Leiter muss beim Induktionsumlauf zusätzlich der motionale Kraftanteil berücksichtigt werden. In der E/B-Schreibweise sind Ladung und Ladungsstrom die gesamten Quellen; in Materie gehören gebundene Beiträge dazu. Die makroskopische D/H-Schreibweise trennt freie Quellen und Materialantwort anders. Ein kreisförmiger Weg allein garantiert keine konstante tangentiale Feldstärke: Auch Quellen und Anregung müssen die entsprechende Symmetrie besitzen. Beim idealisierten Kondensator brauchen lokale Feldformeln zusätzlich eine dünne Spaltgeometrie und langsame Feldänderung. Reale Randfelder, unsymmetrische Zuleitungen oder schnelle Abstrahlung können diese Näherung begrenzen, ohne die Maxwell-Gesetze selbst außer Kraft zu setzen.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei den Maxwell-Gleichungen in Integralform?+

Elektrischer Fluss hat die Einheit Volt mal Meter, gleichbedeutend mit Newton mal Quadratmeter pro Coulomb. Magnetischer Fluss wird in Weber angegeben. Ein elektrischer Feldumlauf hat die Einheit Volt; ein magnetischer Umlauf besitzt Tesla mal Meter. Die rechte Seite von Ampère–Maxwell hat dieselbe Einheit, weil sowohl Ladungsstrom als auch Verschiebungsstrom in Ampere gemessen werden. Null magnetischer Nettofluss durch eine Hülle bedeutet nicht null Magnetfeld. Positive und negative Teilflächenbeiträge können sich aufheben. Beim Kondensator erfasst eine kleine Spannfläche nur den entsprechenden Flussanteil; der volle Drahtstrom darf nicht ohne die übrigen Beiträge einer anders gewählten Spannfläche eingesetzt werden. Diese Flächenkontrolle ist ebenso wichtig wie die Einheitenprobe.

Wann kombiniere ich die Maxwell-Gleichungen in Integralform mit einer weiteren Beziehung?+

Kombiniere die Feldgesetze mit passender Geometrie und Randbedingungen, wenn du konkrete Felder bestimmen willst. Für die Bewegung einer Ladung brauchst du anschließend Lorentzkraft und Bewegungsgleichung; die Maxwell-Gleichungen allein liefern keine Teilchenbahn. Für Energieübertragung und gespeicherte Feldenergie ergänzt die Poynting-Bilanz die Beschreibung. Beim Ladungsfluss durch ein festes Volumen verbinden Kontinuitätsgleichung und elektrischer Gauß-Satz die Änderung der eingeschlossenen Ladung mit der Änderung des Nettoflusses. In einem quellenfreien Vakuumbereich führen die Rotationsgleichungen zu Wellengleichungen. Eine einzelne laufende ebene Welle besitzt besondere Feldverhältnisse, die nicht auf statische Felder oder stehende Überlagerungen übertragen werden dürfen. Wähle die Zusatzbeziehung deshalb nach der tatsächlich gestellten Frage.

Quanta-Prüfungsset

Kuratiertes Prüfungsset für "Maxwell-Gleichungen in Integralform":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Maxwell-Gleichungen in Integralform?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Wie stellst du ∯E·dA=QV/ε₀; ∯B·dA=0; ∮E·dl=−dΦB/dt; ∮B·dl=μ₀(I_A+ε₀dΦE/dt) nach Elektrischer Fluss für eine geschlossene Fläche um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei ∯E·dA=QV/ε₀; ∯B·dA=0; ∮E·dl=−dΦB/dt; ∮B·dl=μ₀(I_A+ε₀dΦE/dt)?

Antwort in deinem Set

+ 8 weitere Karten: Einheiten, Variablen, Herleitung, Beispiel, Klausuraufgabe

Das Formelset enthält 11 Karten. Nach der Übernahme kannst du sie prüfen und lernen; deine Bewertungen bestimmen die weiteren Wiederholungen.

Karteikarten oder Test erstellen Ich habe schon ein Konto

Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §16.1: Maxwell’s Equations and Electromagnetic Waves, Eqs. 16.8–16.11

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

F = k_e \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

Coulombsches Gesetz

\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})

Lorentzkraft

U = R \cdot I

Ohmsches Gesetz

P = U \cdot I

Elektrische Leistung

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

Abrufen statt wiederlesen

FSRS vs. SM-2

Optimaler Algorithmus

Formel-Prüfungsset erstellen

Ab Essential in Quanta