Physik · Elektrostatik

Elektrische Energiedichte im Vakuum

Im Vakuum speichert ein elektrisches Feld pro Volumen eine Energiedichte proportional zum Quadrat der Feldstärke.

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Formel

u_{E} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}

uE in J/m³; ε0 in F/m; E in V/m.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$uE$	elektrische Energiedichte	J/m³
$ε0$	elektrische Feldkonstante	F/m
$E$	Betrag der elektrischen Feldstärke	V/m

LaTeX

u_E=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2

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Quadratische normierte Energiedichte über normiertem Ort. Schattierte Fläche beträgt ein Drittel; die horizontale Mittelwertlinie liegt bei einem Drittel. — Für das vorgegebene Vakuumprofil E(x)=E₀x/L wächst die Energiedichte quadratisch. Ihr räumlicher Mittelwert ist ein Drittel des Endwerts, nicht ein Viertel.

Energiedichte des elektrischen Feldes berechnen

Energiedichte, Feldstärke oder gespeicherte Feldenergie eines elektrischen Feldes im Vakuum ausrechnen, für ein homogenes oder ein linear anwachsendes Feld.

Rechenmodell

Gesucht

Elektrische Feldstärke |E|

Betrag der elektrischen Feldstärke an der Stelle, z. B. 200 kV/m bei 400 V über 2 mm Plattenabstand.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach uE, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach uE umstellen
$u_E=\frac12\varepsilon_0|E|^2$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- |E| = 200 kV/m = 200 000 V/m
$\frac{8{,}85419\times10^{-12}\cdot200000^2}2=0{,}177084$
3. Ergebnis
uE = 177,1 mJ/m³

ε₀≈8,8541878188·10⁻¹² F/m: gerundeter gemessener CODATA-2022-Wert, keine exakte SI-Definition.

Ergebnis: Elektrische Vakuumenergiedichte uE

uE = 177,1 mJ/m³

Mit |E| = 200 kV/m ergibt sich uE = 177,1 mJ/m³.

So rechnest du schneller

Je-desto: doppelte Feldstärke, vierfache Energiedichte, denn u wächst mit E². Ein umgedrehtes Feld speichert genauso viel Energie.
Überschlag: ½ε₀ ≈ 4,4 · 10⁻¹² F/m. Bei 1000 kV/m sind es also rund 4,4 J/m³, selbst kurz vor dem Funkenüberschlag in Luft nur etwa 40 J/m³.

Annahmen und Grenzen

Nur elektrische Feldenergiedichte im Vakuum, tatsächlicher Gesamtfeldbetrag E≥0. Kein Magnetfeldanteil, kein Energiefluss und keine ungeprüfte εr-Ersetzung. Gesamtenergie eines Volumens ist uEV nur bei räumlich homogener Dichte. Richtungsumkehr ändert die Dichte nicht.

Herleitung & Hintergrund

Im Vakuum ist dies die elektrische Komponente der lokalen Feldenergiedichte. Für Gesamtenergie gilt $W_E=\int_Vu_E\,d^3r$ ; ein vorhandenes Magnetfeld hat einen zusätzlichen Anteil. In linearen reversiblen Dielektrika wird die Materialpolarisation berücksichtigt, bei nichtlinearen Medien die tatsächliche Kennlinie. Ein räumlich gemitteltes Feld vor dem Quadrieren liefert nicht allgemein das richtige Energiemittel.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Elektrische Komponente der Energiedichte im Vakuum. Für Gesamtenergie räumlich integrieren; nur konstante Dichte erlaubt Dichte mal Volumen. Magnetische Energie ist ein eigener Anteil. Materialpolarisation benötigt eine passende konstitutive Energiebilanz.

Herleitung in Schritten

Das homogene Plattenmodell führt zur elektrischen Energie pro Feldvolumen; allgemeine Felder benötigen das lokale Integral.

1Betrachte große parallele Platten im Vakuum mit Fläche A, Abstand d und homogenem Feldbetrag E.
2Die Kapazität ist $C=\varepsilon_0\frac Ad$ .
3Im homogenen Spalt gilt für Spannungs- und Feldbetrag $U=Ed$ .
4Setze beides in die lineare Speicherenergie $W_C=\frac12 CU^2$ ein.
5Es ergibt sich $W_C=\frac12\varepsilon_0E^2Ad$ ; das Spaltvolumen ist $Ad$ .
6Division durch dieses Volumen liefert $u_E=\frac12\varepsilon_0 E^2$ .
7Die allgemeine Vakuumform gehört zur elektromagnetischen Energiebilanz; integriere zuerst örtliche Feldquadrate, nicht das Quadrat des Feldmittelwerts.

Umstellen

Feldstärke

E=\sqrt{\frac{2u_E}{\varepsilon_0}}

Nichtnegativer Feldbetrag im Vakuum; aus einer Energiedichte folgt keine Feldrichtung.

Aufgabenvariante

Im betrachteten homogenen Vakuumfeld gilt $E=1{,}0\times10^5\,\mathrm{V/m}$ . Bestimme die elektrische Energiedichte. Wie ändert sie sich, wenn der Feldbetrag halbiert wird?

Ansatz: $u_E=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$ .
Mit dem gerundeten CODATA-Wert folgt $u_E\approx0{,}0443\,\mathrm{J/m^3}$ .
Nach Halbierung von E gilt $u_{E,2}=\frac14u_{E,1}\approx0{,}0111\,\mathrm{J/m^3}$ .

Kontrolle: Eine Dichte ist keine Energie in Joule; dafür fehlt das betrachtete Volumen.

Typische Fehler

Das örtliche Feld erst mitteln und danach quadrieren.

Zuerst das tatsächliche Gesamtfeld örtlich quadrieren und die Dichte integrieren; entgegengesetzte Felder in getrennten Volumina haben keine verschwindende Gesamtenergie.

Klausurkontext

Kondensatorspalt, räumlich veränderliches Feld und Feldüberlagerung: Dichte, Volumenenergie und festgehaltene Randgrößen unterscheiden.

Formelcluster

Elektrostatik

Kondensatorenergie und geometrische Kapazität prüfen dieselbe gespeicherte Energie; das elektrische Feld liefert ihre räumliche Verteilung.

E = ½CU²

Energie im Kondensator

C = ε₀ εr A/d

Kapazität eines Plattenkondensators

E⃗ = F⃗el/q; Ehom = |U|/d

Elektrische Feldstärke

Rechenbeispiel

Für $E=1{,}0\times10^5\,\mathrm{V/m}$ folgt $u_E=\frac12\varepsilon_0(10^5\,\mathrm{V/m})^2\approx0{,}0443\,\mathrm{J/m^3}$ . Eine Halbierung des Feldbetrags verringert die Dichte auf ein Viertel.

Anwendungsgebiete

Feldenergie von Kondensatoren und elektromagnetischen Feldern räumlich beschreiben.

Rechenbeispiel: Energiedichte des elektrischen Feldes im Vakuum

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Energiedichte des elektrischen Feldes im Vakuum (uE = 1/2 ε₀E²).

1
Aufgabe
Im betrachteten homogenen Vakuumfeld gilt $E=1{,}0\times10^5\,\mathrm{V/m}$ . Bestimme die elektrische Energiedichte. Wie ändert sie sich, wenn der Feldbetrag halbiert wird?
Rechenweg
1. Ansatz: $u_E=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$ .
2. Mit dem gerundeten CODATA-Wert folgt $u_E\approx0{,}0443\,\mathrm{J/m^3}$ .
3. Nach Halbierung von E gilt $u_{E,2}=\frac14u_{E,1}\approx0{,}0111\,\mathrm{J/m^3}$ .
Kontrolle: Eine Dichte ist keine Energie in Joule; dafür fehlt das betrachtete Volumen.

Die Formel verstehen und anwenden

Die Energiedichte ordnet jedem Ort die Energie des elektrischen Vakuumfelds pro Volumen zu. Sie ist proportional zum Quadrat des Feldbetrags und bleibt bei Richtungsumkehr gleich. Erst eine Volumenintegration liefert gespeicherte Energie. Ein homogenes Plattenfeld und ein räumlich linear wachsendes Modellfeld zeigen den Unterschied zwischen lokaler Dichte, Mittelwert und Gesamtenergie.

Was beschreibt die elektrische Energiedichte im Vakuum?

Energie steckt nicht nur in bewegten Körpern. Auch ein elektrisches Feld besitzt Energie, etwa zwischen geladenen Kondensatorplatten. Die Energiedichte sagt, wie viel davon auf ein kleines Volumen entfällt. Für eine Gesamtenergie brauchst du deshalb zusätzlich das Volumen und die räumliche Feldverteilung. Zunächst betrachten wir ein gleichmäßiges Vakuumfeld; danach ein veränderliches Feld und einen endlichen Bereich um eine Ladung.[1]

u_E(\mathbf r)=\frac12\varepsilon_0|\mathbf E(\mathbf r)|^2

$u_E$ ist die elektrische Komponente der Energiedichte im Vakuum; ein gleichzeitig vorhandenes Magnetfeld besitzt einen eigenen Anteil.[1][2]

Der Vektor wird skalar mit sich selbst multipliziert: $|\mathbf E|^2=E_x^2+E_y^2+E_z^2$ . Negative Komponenten ergeben dadurch keine negative Energiedichte. Die Einheit ist J/m³; ein einzelner Wert ist noch keine Energie in Joule. Verdoppelt sich der Feldbetrag bei sonst gleichem Modell, vervierfacht sich die lokale Energiedichte. Verdoppelt sich dagegen nur das betrachtete Volumen mit gleicher Dichte, verdoppelt sich seine Energie.[1]

Die Grundformel gilt für die elektrische Feldenergie im Vakuum. In einem Material darfst du nicht ohne Prüfung nur die Vakuumkonstante ersetzen; die Polarisation und die festgehaltenen Größen gehören zum Modell. Die spätere Vertiefung erklärt diesen Unterschied.[1][6]

Aus idealer Plattenenergie die Dichte gewinnen

\begin{aligned}C&=\varepsilon_0\frac Ad\\U&=Ed\\W_C&=\frac12 CU^2=\frac12\varepsilon_0E^2Ad\end{aligned}

Für den idealen homogenen Vakuumspalt ist $Ad$ das Feldvolumen.[1]

Setze die geometrische Kapazität und die homogene Spannungsbeziehung in die lineare Kondensatorenergie ein. Die verbleibende Größe $\frac{W_C}{Ad}$ ist $\frac12\varepsilon_0 E^2$ . Damit ist die lokale Vakuumform am Plattenmodell plausibel begründet. Dass dieselbe Dichte allgemein das elektrische Vakuumfeld beschreibt, gehört zur elektromagnetischen Energiebilanz; das eine Bauteilmodell beweist nicht allein jedes räumliche oder zeitabhängige Feld. Die Energie im Kondensator ist hier die Gegenprüfung desselben Vakuumvolumens und kein zusätzlicher Energiebeitrag.[1][2]

W_E(V)=\int_V\frac12\varepsilon_0|\mathbf E|^2\,d^3r

Bei konstantem Feldbetrag darf die Dichte vor das Integral gezogen werden; sonst muss sie örtlich ausgewertet werden.[1]

Eine Raumdichte nicht mit Strahlungsfluss verwechseln

\begin{aligned}[\varepsilon_0E^2]&=\frac{\mathrm F}{\mathrm m}\frac{\mathrm{V^2}}{\mathrm{m^2}}=\frac{\mathrm J}{\mathrm{m^3}}\\E&=\sqrt{\frac{2u_E}{\varepsilon_0}}\end{aligned}

Die Umstellung liefert nur den nichtnegativen Feldbetrag, keine Richtung.

Die Gesamtenergie eines Gebietes mit homogener Dichte ist $u_E$ mal Volumen in Kubikmetern, nicht mal Oberfläche. Eine Dichte allein bestimmt keine transportierte Leistung. Elektromagnetischer Energiefluss benötigt zusätzlich Feldgeometrie und das Magnetfeld beziehungsweise den Poyntingvektor. Bei $E=10^5\,\mathrm{V/m}$ erhältst du ungefähr 0,0443 J/m³. Die Vakuumpermittivität verwenden wir als gerundeten CODATA-2022-Messwert, nicht als exakte SI-Definition. Der Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss behandeln diesen Transport statt einer bloßen gespeicherten Raumdichte.[4][2]

Homogenes Feld und örtliche Variation

Energie im Vakuum-Plattenraum

Gegeben: Große parallele Platten: $A=0{,}00600\,\mathrm{m^2}$ , $d=2{,}00\,\mathrm{mm}$ , $U=400\,\mathrm V$ . Idealer homogener Vakuumspalt, Randfelder vernachlässigt.
Gesucht: Bestimme E, $u_E$ , Spaltvolumen und gespeicherte Energie.

Ansatz: Das homogene Vakuumfeld hat im ganzen Spalt dieselbe elektrische Energiedichte. Daher darf die Dichte mit dem tatsächlichen Spaltvolumen multipliziert werden.
$\begin{aligned}E&=\frac Ud\\u_E&=\frac12\varepsilon_0E^2\\W_E&=u_EAd\end{aligned}$
Feld und Volumen aus der Geometrie bestimmen.
$\begin{aligned}E&=\frac{400\,\mathrm V}{0.00200\,\mathrm m}=2.00\times10^5\,\mathrm{V/m}\\V_{\mathrm{gap}}&=Ad=1.20\times10^{-5}\,\mathrm{m^3}\end{aligned}$
Die Dichte mit dem Volumen multiplizieren.
$\begin{aligned}u_E&\approx0.1770837564\,\mathrm{J/m^3}\\W_E&=u_EV_{\mathrm{gap}}\approx2.125005077\,\mathrm{\mu J}\end{aligned}$

Ergebnis: Lokale Dichte ≈ 0,177084 J/m³ und Spaltenergie ≈ 2,12501 μJ. Diese kleine Modellfläche wird nicht mit dem Volumen verwechselt.

Kontrolle: Unabhängig: $C=\varepsilon_0\frac Ad$ ≈ 26,5626 pF. $\frac12CU^2$ ergibt 2,12501 μJ. Beide Rechnungen enthalten dieselbe homogene Spaltenergie; sie sind keine zusätzlichen addierbaren Beiträge.

Ein lineares Vakuumfeld über einen Ausschnitt

Gegeben: Im vorgegebenen quasistatischen Modell gilt $E(x)=E_0\frac xL$ in +x-Richtung für $0\le x\le L$ . $E_0=30000\,\mathrm{V/m}$ , $L=0{,}0300\,\mathrm m$ , konstante Querschnittsfläche $A=0{,}0120\,\mathrm{m^2}$ . Die nötige Quellenverteilung ist vorgegeben; nur Energie dieses Vakuumvolumens wird gesucht.
Gesucht: Integriere die Energiedichte und vergleiche mit der unzulässigen Mittel-Feld-Rechnung.

Ansatz: Das vorgegebene lineare Feld wird zuerst örtlich quadriert. Die konstante Querschnittsfläche reduziert danach das Volumenintegral auf ein Ortsintegral.
$\begin{aligned}u_E(x)&=\frac12\varepsilon_0E_0^2\frac{x^2}{L^2}\\W_E&=A\int_0^Lu_E(x)\,\mathrm dx\end{aligned}$
Die örtliche Dichte wächst quadratisch mit x.
$u_E(x)=\frac12\varepsilon_0E_0^2\frac{x^2}{L^2}$
Das Volumenintegral wird hier A mal dem x-Integral.
$\begin{aligned}W_E&=A\int_0^L u_E(x)\,dx\\&=\frac{\varepsilon_0E_0^2AL}{6}\\&\approx0.4781261422\,\mathrm{\mu J}\end{aligned}$
Der korrekte Mittelwert von E² unterscheidet sich vom Quadrat des mittleren E.
$\begin{aligned}\langle E^2\rangle&=\frac{E_0^2}{3}\\\langle E\rangle^2&=\frac{E_0^2}{4}\\W_{\mathrm{mean}}&=\frac34W_E\end{aligned}$

Ergebnis: Die regionale Energie beträgt ≈ 0,478126 μJ. Das Feldmittel $15000\,\mathrm{V/m}$ einzusetzen würde 25% zu wenig liefern.

Kontrolle: Maximaldichte 0,0039843845 J/m³ mal Volumen 0,000360 m³ geteilt durch 3 ergibt denselben Wert. Die lineare Feldform ist nicht ladungsfrei: $\frac{\partial E_x}{\partial x}=\frac{E_0}{L}$ , also verlangt Gauß $\rho=\varepsilon_0\frac{E_0}{L}$ . Es wird keine frei gewählte Vakuum-Laplace-Lösung behauptet.

Warum muss man das Feld zuerst quadrieren und danach räumlich mitteln?

Lineares Feld, quadratisch wachsende Energiedichte

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Eigene Kurve zum zweiten Beispiel, mit lokaler Dichte durch ihren Endwert geteilt. Das Mittel beträgt ein Drittel, nicht ein Viertel: Das mittlere Feld zu quadrieren würde die Energie unterschätzen.[1][5]

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Für eine Ortsverteilung bildet man zuerst $E_x^2+E_y^2+E_z^2$ und integriert danach. Zwei Feldbereiche mit gleicher Größe und entgegengesetzter Richtung können einen Feldvektormittelwert 0 besitzen, obwohl in beiden Energie steckt. Ebenso enthält das Quadrat einer überlagerten Feldsumme Kreuzterme. Die Energien einzelner Quellen einfach zu addieren ist daher nicht allgemein dieselbe Energie wie die des gesamten Feldes; Wechselwirkungsbeiträge können wichtig sein.[2][3]

|\mathbf E_1+\mathbf E_2|^2=|\mathbf E_1|^2+|\mathbf E_2|^2+2\mathbf E_1\cdot\mathbf E_2

Der Kreuzterm erklärt, weshalb die Feldenergiebilanz keine bloße Addition einzelner positiver Selbstenergien ist.

Vertiefung anzeigen: Feldenergie in reversiblen Dielektrika

Für ein lineares reversibles isotropes Dielektrikum kann die passende elektrostatische Energiedichte $\frac12\mathbf E\cdot\mathbf D$ mit $\mathbf D=\varepsilon\mathbf E$ geschrieben werden. Sie beschreibt dann auch Materialpolarisation im gewählten Modell, nicht einfach unveränderte reine Vakuumenergie. Bei nichtlinearem reversiblen Verhalten benötigt man die tatsächliche Aufbaubilanz $\int\mathbf E\cdot d\mathbf D$ ; bei Hysterese oder Verlusten ist die gespeicherte Energie allein nicht die gesamte zugeführte Arbeit.[3][6]

Im Vakuum enthält ein elektromagnetisches Feld insgesamt außerdem den magnetischen Anteil $\frac{B^2}{2\mu_0}$ . Für eine ebene Vakuumwelle sind elektrischer und magnetischer Anteil gleich groß, während ein statischer elektrischer Kondensator nicht automatisch denselben magnetischen Beitrag besitzt. „Feldenergie“ und „elektrische Feldenergie“ müssen deshalb beim Vergleich genau benannt sein.[2][6]

Fünf Dichte- und Volumenaufgaben

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Vakuumfeld hat Betrag $E=50000\,\mathrm{V/m}$ . Bestimme $u_E$ .

Hinweis anzeigen

Feldbetrag quadrieren und mit $\frac{\varepsilon_0}2$ multiplizieren.

Lernziel: Vakuumenergiedichte aus Feldbetrag berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $u_E=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$ .
$u_E$ ≈ 0,0110677 J/m³.
Es ist ein Viertel des oberen 10⁵-V/m-Beispiels, weil das Feld halbiert ist.

\begin{aligned}u_E&=\frac{\varepsilon_0}{2}(50000\,\mathrm{V/m})^2\\&\approx0.0110677\,\mathrm{J/m^3}\end{aligned}

[1]

Umstellen · Anwenden

Eine homogene elektrische Energiedichte 0,0200 J/m³ füllt das betrachtete Vakuumvolumen 8,00·10⁻⁴ m³. Bestimme Energie und Feldbetrag.

Hinweis anzeigen

Energie ist Dichte mal Volumen; E ist eine separate Wurzel.

Lernziel: Energie und Feldbetrag aus Dichte und Volumen bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $W_E=u_EV$ .
$W_E=1{,}60\cdot10^{-5}\,\mathrm J=16{,}0\,\mathrm{\mu J}$ .
Aus $E=\sqrt{\frac{2\cdot0{,}0200\,\mathrm{J/m^3}}{\varepsilon_0}}$ folgt ungefähr 67213,4 V/m.
Die Feldrichtung ist daraus nicht bekannt.

\begin{aligned}W_E&=(0.0200)(8.00\times10^{-4})\,\mathrm J=16.0\,\mathrm{\mu J}\\E&=\sqrt{\frac{2u_E}{\varepsilon_0}}\approx6.72134\times10^4\,\mathrm{V/m}\end{aligned}

[1]

Interpretieren · Anwenden

Zwei gleich große Vakuumteilvolumina haben Felder $+E_0$ und $-E_0$ mit $E_0=20000\,\mathrm{V/m}$ . Welche Energiedichte erhältst du im Volumenmittel?

Hinweis anzeigen

Beide lokalen Quadrate bleiben positiv.

Lernziel: Mittel des Feldquadrats vom Quadrat des Mittelfelds unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\langle u_E\rangle=\frac{\varepsilon_0}{2}\langle E^2\rangle$ .
Das Vektorfeldmittel ist 0, das Energiemittel dagegen $\frac12\varepsilon_0 E_0^2$ ≈ 0,00177084 J/m³.
Erst die Feldmittelung vor dem Quadrieren würde fälschlich 0 ergeben.

\begin{aligned}\langle u_E\rangle&=\frac12\left[\frac{\varepsilon_0E_0^2}{2}+\frac{\varepsilon_0(-E_0)^2}{2}\right]\\&=\frac{\varepsilon_0}{2}(20000\,\mathrm{V/m})^2\\&\approx0.00177084\,\mathrm{J/m^3}\end{aligned}

[1]

Interpretieren · Anwenden

Im selben Vakuumvolumen überlagern sich zwei homogene Felder vom Betrag $E_0$ . Vergleiche die Energiedichte für parallele gleichgerichtete, senkrechte und antiparallele Felder mit $u_0=\frac12\varepsilon_0E_0^2$ . Es sind keine getrennten Teilvolumina.

Hinweis anzeigen

Das Quadrat des Summenvektors enthält einen Kreuzterm.

Lernziel: Überlagerte Felder vor dem Quadrieren vektoriell addieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $u_E=\frac{\varepsilon_0}{2}|\mathbf E_1+\mathbf E_2|^2$ .
Gleichgerichtet ist der Gesamtbetrag $2E_0$ und die Energiedichte $4u_0$ .
Senkrecht ist das Quadrat $2E_0^2$ und die Dichte $2u_0$ .
Antiparallel verschwindet das Gesamtfeld und damit seine elektrische Energiedichte.

Kontrolle: Der Kreuzterm ist positiv, null oder negativ. Einzelne Energiedichten einfach zu addieren passt deshalb nur zum senkrechten Fall, nicht allgemein zur räumlichen Überlagerung.

\begin{aligned}u_E&=\frac12\varepsilon_0|\mathbf E_1+\mathbf E_2|^2\\&=\frac12\varepsilon_0\left(E_1^2+E_2^2+2\mathbf E_1\cdot\mathbf E_2\right)\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Vertiefen

Ein idealer isolierter Plattenkondensator bleibt mit gleicher freier Plattenladung vollständig gefüllt; ein lineares Dielektrikum mit $\varepsilon=4\varepsilon_0$ ersetzt das Vakuum, Geometrie unverändert, Randfelder vernachlässigt. Eine Lösung sagt: „ $u=\frac12\varepsilon E^2$ , also vierfache Energiedichte“. Prüfe.

Hinweis anzeigen

Bei fester freier Ladung bleibt D fest, nicht E.

Lernziel: Randbedingungen bei einer Änderung der Permittivität beachten.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $D=\frac{Q_{\mathrm{free}}}{A}=\varepsilon E$ .
$D=\varepsilon E$ ist bei unveränderter Plattenladung und Fläche konstant.
Daher sinkt E auf ein Viertel und $u=\frac{D^2}{2\varepsilon}$ ebenfalls auf ein Viertel.

Kontrolle: Die Kapazität vervierfacht sich; bei festem Q sinkt $\frac{Q^2}{2C}$ auf ein Viertel. Der Faktor vier wäre bei festgehaltenem E passend, etwa durch konstante Spannung bei gleicher Geometrie. Die mechanische und Quellenbilanz darf nicht mit der reinen Feldenergie verwechselt werden.

\begin{aligned}E_2&=\frac{D}{4\varepsilon_0}=\frac{E_1}{4}\\\frac{u_2}{u_1}&=\frac{4\varepsilon_0(E_1/4)^2}{\varepsilon_0E_1^2}=\frac14\end{aligned}

[3][1]

Ideale Punktquellen haben eine Selbstenergiegrenze

Für ein punktförmiges Coulomb-Feld wächst $u_E$ wie $\frac1{r^4}$ . Sein äußeres radial integriertes Volumen trägt $r^2\,dr$ ; bis $r=0$ bleibt eine divergente Selbstenergie. Die lokale Vakuumform allein liefert daher keine endliche klassische Selbstenergie eines idealen punktförmigen Elektrons. Ausgedehnte Quellen, ein festgelegter Ausschlussradius oder eine andere physikalische Beschreibung ändern die Frage. Das endliche Volumen des zweiten Beispiels ist ausdrücklich ein Ausschnitt und nicht automatisch die Gesamtenergie sämtlicher Quellen.[3][1]

Beispiel: Energie in einer Kugelschale

Endliche Energie zwischen zwei Radien

Gegeben: Eine leitende Kugel mit Radius $a=0{,}0200\,\mathrm m$ trägt $Q=2{,}00\,\mathrm{nC}$ . Andere Quellen fehlen. Im Vakuum wird nur die Feldenergie zwischen a und $b=0{,}0400\,\mathrm m$ gesucht; nicht die gesamte Energie außerhalb der Kugel.
Gesucht: Berechne die Energie der Kugelschale und ihren Anteil an der gesamten äußeren Feldenergie.

Ansatz: Kugelsymmetrie liefert das radiale Feld; die Volumenschale hat Größe $4\pi r^2\,\mathrm dr$ .
$\begin{aligned}E(r)&=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\\W_{a,b}&=\int_a^b\frac{\varepsilon_0E^2(r)}2\,4\pi r^2\,\mathrm dr\\&=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac1a-\frac1b\right)\end{aligned}$
Einsetzen: Der endliche Innenradius verhindert die Punktquellen-Divergenz.
$\begin{aligned}W_{a,b}&=\frac{(2.00\times10^{-9})^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{0.0200}-\frac1{0.0400}\right)\,\mathrm J\\&\approx0.449378\,\mathrm{\mu J}\\W_{a,\infty}&=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0a}\approx0.898755\,\mathrm{\mu J}\end{aligned}$

Ergebnis: Die Schale enthält rund 0,449 μJ, die Hälfte der gesamten äußeren Feldenergie.

Kontrolle: Kontrolle: Die Kugelkapazität $C=4\pi\varepsilon_0a$ ergibt $\frac{Q^2}{2C}=W_{a,\infty}$ , nicht nur die Schalenenergie. Trotz des kleinen Schalenvolumens liegt dort die Hälfte der Energie, weil die Dichte zum Innenradius hin stark wächst.

Was du mitnehmen solltest

Quadriere das tatsächliche Gesamtfeld und integriere die Dichte über das betrachtete Volumen. Das Quadrat eines Mittelfelds ersetzt den Mittelwert des Feldquadrats nicht. Eine Vakuumdichte ist noch keine Materialenergiebilanz und keine transportierte Leistung. Benenne außerdem, ob elektrische oder gesamte elektromagnetische Energie gesucht ist.[1]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften und fachlich passende Absatzlinks präzisiert; bestehende wissenschaftliche Erklärungen, Beispiele und Aufgaben erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernweg überarbeitet, ein drittes Modellbeispiel und quantitative Grafik ergänzt; bestehende Aufgaben, Voraussetzungen und Formelsatz geprüft.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Energiedichte des elektrischen Feldes im Vakuum. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/elektrische-feldenergiedichte

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Energiedichte des elektrischen Feldes im Vakuum

Was beschreibt die elektrische Feldenergiedichte im Vakuum?+

Die Vakuumbeziehung beschreibt die elektrische Feldenergie pro örtlichem Volumen. Sie ist proportional zum Quadrat des Feldbetrags; die Richtung beeinflusst die Dichte nicht über ein Vorzeichen. Ein Feld von 100000 V/m besitzt ungefähr 0,04427 J/m³ elektrische Energiedichte. Das ist weder eine Energie allein noch eine Leistung. Erst ein Volumenintegral ergibt Energie. Bei räumlich konstantem Feld genügt Dichte mal Volumen, andernfalls muss die örtliche Dichte integriert werden. Ein gleichzeitig vorhandenes Magnetfeld besitzt einen zusätzlichen Energieanteil. Die elektrische Dichte darf daher nicht ohne Prüfung als gesamte elektromagnetische Energiedichte interpretiert werden.

Wie prüfe ich eine Rechnung zur elektrischen Feldenergiedichte im Vakuum?+

Bestimme zuerst den Feldbetrag im betrachteten Vakuumvolumen und quadriere ihn. Multipliziere mit der halben Vakuumpermittivität. Im Plattenbeispiel liefern 400 V über 2 mm ein Feld von 200000 V/m und eine Dichte von ungefähr 0,177084 J/m³. Das Spaltvolumen aus 0,00600 m² Fläche und 2 mm Abstand beträgt 1,20·10⁻⁵ m³. Daraus folgen etwa 2,125 µJ elektrische Energie. Kontrolliere unabhängig mit der geometrischen Kapazität und der Kondensatorenergie. Beide Wege müssen bei identischen Annahmen übereinstimmen. Bei einem veränderlichen Feld wäre Dichte am Rand mal Gesamtvolumen dagegen nicht die korrekte Integralrechnung.

Welche Annahmen und Grenzen hat die elektrische Feldenergiedichte im Vakuum?+

Die angegebene lokale Dichte gilt für die elektrische Komponente eines Vakuumfeldes. Für ein lineares reversibles isotropes Dielektrikum wird die Materialpolarisation in einer angepassten Energiebilanz berücksichtigt; ein beliebiger Austausch der Vakuumkonstante genügt nicht für jedes reale Material. Nichtlineare oder verlustbehaftete Medien benötigen weitere Kennlinien. Bei idealen Punktladungen divergiert die bis zum Ursprung integrierte klassische Selbstenergie; die Formel liefert dadurch keine endliche Selbstenergie eines punktförmigen Elektrons. Ein endliches ausgewähltes Volumen kann trotzdem eine endliche Energie enthalten. Es muss jedoch klar benannt werden, ob diese Teilenergie oder die gesamte Energie einer vollständigen Quellenanordnung gesucht ist.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei der elektrischen Feldenergiedichte?+

Die Vakuumpermittivität besitzt die Einheit Farad pro Meter, das Feld Volt pro Meter. Ihr Produkt mit dem Feldquadrat ergibt Joule pro Kubikmeter. Verdoppelst du den Feldbetrag, vervierfacht sich die elektrische Dichte; halbierst du ihn, bleibt ein Viertel. Bei 50000 V/m ergeben sich ungefähr 0,01107 J/m³, also ein Viertel des Werts bei 100000 V/m. Ein negatives Feldvorzeichen macht die Dichte nicht negativ. Für die gesamte Energie musst du anschließend auch den Volumenfaktor in Kubikmetern beachten. Dichte und Gesamtenergie haben unterschiedliche Einheiten und können deshalb nicht unmittelbar als dieselbe Größe verglichen werden.

Wann kombiniere ich die elektrische Feldenergiedichte mit einer weiteren Beziehung?+

Für eine Gesamtenergie kombinierst du die lokale Dichte mit dem Volumenintegral und der tatsächlichen Feldverteilung. Beim linearen Profil des zweiten Beispiels ist das mittlere Feldquadrat ein Drittel des maximalen Feldquadrats. Das Quadrat des mittleren Feldes wäre dagegen nur ein Viertel und unterschätzt die Energie um 25 Prozent. Diese Reihenfolge ist entscheidend: zuerst quadrieren, dann räumlich mitteln. Bei Platten kannst du zusätzlich über Kapazität und Spannung gegenprüfen. Für eine einzelne laufende ebene Vakuumwelle kommt auch magnetische Energie hinzu; ihre elektrische und magnetische Dichte sind gleich groß. Bei einer stehenden Überlagerung müssen die Gesamtfelder separat ausgewertet werden. Eine statische elektrische Anordnung besitzt diesen gleich großen Zusatzanteil nicht automatisch.

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Wie stellst du uE = 1/2 ε₀E² nach Feldstärke um?

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Welcher typische Fehler passiert bei uE = 1/2 ε₀E²?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §8.3: Energy Stored in a Capacitor

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

F = k_e \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

Coulombsches Gesetz

\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})

Lorentzkraft

\mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Faradaysches Induktionsgesetz

\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

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Elektrische Energiedichte im Vakuum

Im Vakuum speichert ein elektrisches Feld pro Volumen eine Energiedichte proportional zum Quadrat der Feldstärke.

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Symbol

Bedeutung

Einheit

uE

elektrische Energiedichte

J/m³

ε0

elektrische Feldkonstante

F/m

E

Betrag der elektrischen Feldstärke

V/m

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Das homogene Plattenmodell führt zur elektrischen Energie pro Feldvolumen; allgemeine Felder benötigen das lokale Integral.

1Betrachte große parallele Platten im Vakuum mit Fläche A, Abstand d und homogenem Feldbetrag E.
2Die Kapazität ist $C=\varepsilon_0\frac Ad$ .
3Im homogenen Spalt gilt für Spannungs- und Feldbetrag $U=Ed$ .
4Setze beides in die lineare Speicherenergie $W_C=\frac12 CU^2$ ein.
5Es ergibt sich $W_C=\frac12\varepsilon_0E^2Ad$ ; das Spaltvolumen ist $Ad$ .
6Division durch dieses Volumen liefert $u_E=\frac12\varepsilon_0 E^2$ .
7Die allgemeine Vakuumform gehört zur elektromagnetischen Energiebilanz; integriere zuerst örtliche Feldquadrate, nicht das Quadrat des Feldmittelwerts.

Rechenbeispiel: Energiedichte des elektrischen Feldes im Vakuum

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Energiedichte des elektrischen Feldes im Vakuum (uE = 1/2 ε₀E²).

Aufgabe

Im betrachteten homogenen Vakuumfeld gilt $E=1{,}0\times10^5\,\mathrm{V/m}$ . Bestimme die elektrische Energiedichte. Wie ändert sie sich, wenn der Feldbetrag halbiert wird?

Rechenweg

Ansatz: $u_E=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$ .
Mit dem gerundeten CODATA-Wert folgt $u_E\approx0{,}0443\,\mathrm{J/m^3}$ .
Nach Halbierung von E gilt $u_{E,2}=\frac14u_{E,1}\approx0{,}0111\,\mathrm{J/m^3}$ .

Kontrolle: Eine Dichte ist keine Energie in Joule; dafür fehlt das betrachtete Volumen.

Die Formel verstehen und anwenden

Was beschreibt die elektrische Energiedichte im Vakuum?

u_E(\mathbf r)=\frac12\varepsilon_0|\mathbf E(\mathbf r)|^2

$u_E$ ist die elektrische Komponente der Energiedichte im Vakuum; ein gleichzeitig vorhandenes Magnetfeld besitzt einen eigenen Anteil.[1][2]

Aus idealer Plattenenergie die Dichte gewinnen

\begin{aligned}C&=\varepsilon_0\frac Ad\\U&=Ed\\W_C&=\frac12 CU^2=\frac12\varepsilon_0E^2Ad\end{aligned}

Für den idealen homogenen Vakuumspalt ist $Ad$ das Feldvolumen.[1]

W_E(V)=\int_V\frac12\varepsilon_0|\mathbf E|^2\,d^3r

Bei konstantem Feldbetrag darf die Dichte vor das Integral gezogen werden; sonst muss sie örtlich ausgewertet werden.[1]

Eine Raumdichte nicht mit Strahlungsfluss verwechseln

\begin{aligned}[\varepsilon_0E^2]&=\frac{\mathrm F}{\mathrm m}\frac{\mathrm{V^2}}{\mathrm{m^2}}=\frac{\mathrm J}{\mathrm{m^3}}\\E&=\sqrt{\frac{2u_E}{\varepsilon_0}}\end{aligned}

Die Umstellung liefert nur den nichtnegativen Feldbetrag, keine Richtung.

Homogenes Feld und örtliche Variation

Energie im Vakuum-Plattenraum

Gegeben: Große parallele Platten: $A=0{,}00600\,\mathrm{m^2}$ , $d=2{,}00\,\mathrm{mm}$ , $U=400\,\mathrm V$ . Idealer homogener Vakuumspalt, Randfelder vernachlässigt.
Gesucht: Bestimme E, $u_E$ , Spaltvolumen und gespeicherte Energie.

Ansatz: Das homogene Vakuumfeld hat im ganzen Spalt dieselbe elektrische Energiedichte. Daher darf die Dichte mit dem tatsächlichen Spaltvolumen multipliziert werden.
$\begin{aligned}E&=\frac Ud\\u_E&=\frac12\varepsilon_0E^2\\W_E&=u_EAd\end{aligned}$
Feld und Volumen aus der Geometrie bestimmen.
$\begin{aligned}E&=\frac{400\,\mathrm V}{0.00200\,\mathrm m}=2.00\times10^5\,\mathrm{V/m}\\V_{\mathrm{gap}}&=Ad=1.20\times10^{-5}\,\mathrm{m^3}\end{aligned}$
Die Dichte mit dem Volumen multiplizieren.
$\begin{aligned}u_E&\approx0.1770837564\,\mathrm{J/m^3}\\W_E&=u_EV_{\mathrm{gap}}\approx2.125005077\,\mathrm{\mu J}\end{aligned}$

Ergebnis: Lokale Dichte ≈ 0,177084 J/m³ und Spaltenergie ≈ 2,12501 μJ. Diese kleine Modellfläche wird nicht mit dem Volumen verwechselt.

Ein lineares Vakuumfeld über einen Ausschnitt

Gegeben: Im vorgegebenen quasistatischen Modell gilt $E(x)=E_0\frac xL$ in +x-Richtung für $0\le x\le L$ . $E_0=30000\,\mathrm{V/m}$ , $L=0{,}0300\,\mathrm m$ , konstante Querschnittsfläche $A=0{,}0120\,\mathrm{m^2}$ . Die nötige Quellenverteilung ist vorgegeben; nur Energie dieses Vakuumvolumens wird gesucht.
Gesucht: Integriere die Energiedichte und vergleiche mit der unzulässigen Mittel-Feld-Rechnung.

Ansatz: Das vorgegebene lineare Feld wird zuerst örtlich quadriert. Die konstante Querschnittsfläche reduziert danach das Volumenintegral auf ein Ortsintegral.
$\begin{aligned}u_E(x)&=\frac12\varepsilon_0E_0^2\frac{x^2}{L^2}\\W_E&=A\int_0^Lu_E(x)\,\mathrm dx\end{aligned}$
Die örtliche Dichte wächst quadratisch mit x.
$u_E(x)=\frac12\varepsilon_0E_0^2\frac{x^2}{L^2}$
Das Volumenintegral wird hier A mal dem x-Integral.
$\begin{aligned}W_E&=A\int_0^L u_E(x)\,dx\\&=\frac{\varepsilon_0E_0^2AL}{6}\\&\approx0.4781261422\,\mathrm{\mu J}\end{aligned}$
Der korrekte Mittelwert von E² unterscheidet sich vom Quadrat des mittleren E.
$\begin{aligned}\langle E^2\rangle&=\frac{E_0^2}{3}\\\langle E\rangle^2&=\frac{E_0^2}{4}\\W_{\mathrm{mean}}&=\frac34W_E\end{aligned}$

Ergebnis: Die regionale Energie beträgt ≈ 0,478126 μJ. Das Feldmittel $15000\,\mathrm{V/m}$ einzusetzen würde 25% zu wenig liefern.

Warum muss man das Feld zuerst quadrieren und danach räumlich mitteln?

Lineares Feld, quadratisch wachsende Energiedichte

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|\mathbf E_1+\mathbf E_2|^2=|\mathbf E_1|^2+|\mathbf E_2|^2+2\mathbf E_1\cdot\mathbf E_2

Der Kreuzterm erklärt, weshalb die Feldenergiebilanz keine bloße Addition einzelner positiver Selbstenergien ist.

Vertiefung anzeigen: Feldenergie in reversiblen Dielektrika

Fünf Dichte- und Volumenaufgaben

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Vakuumfeld hat Betrag $E=50000\,\mathrm{V/m}$ . Bestimme $u_E$ .

Hinweis anzeigen

Feldbetrag quadrieren und mit $\frac{\varepsilon_0}2$ multiplizieren.

Lernziel: Vakuumenergiedichte aus Feldbetrag berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $u_E=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$ .
$u_E$ ≈ 0,0110677 J/m³.
Es ist ein Viertel des oberen 10⁵-V/m-Beispiels, weil das Feld halbiert ist.

\begin{aligned}u_E&=\frac{\varepsilon_0}{2}(50000\,\mathrm{V/m})^2\\&\approx0.0110677\,\mathrm{J/m^3}\end{aligned}

[1]

Umstellen · Anwenden

Eine homogene elektrische Energiedichte 0,0200 J/m³ füllt das betrachtete Vakuumvolumen 8,00·10⁻⁴ m³. Bestimme Energie und Feldbetrag.

Hinweis anzeigen

Energie ist Dichte mal Volumen; E ist eine separate Wurzel.

Lernziel: Energie und Feldbetrag aus Dichte und Volumen bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $W_E=u_EV$ .
$W_E=1{,}60\cdot10^{-5}\,\mathrm J=16{,}0\,\mathrm{\mu J}$ .
Aus $E=\sqrt{\frac{2\cdot0{,}0200\,\mathrm{J/m^3}}{\varepsilon_0}}$ folgt ungefähr 67213,4 V/m.
Die Feldrichtung ist daraus nicht bekannt.

\begin{aligned}W_E&=(0.0200)(8.00\times10^{-4})\,\mathrm J=16.0\,\mathrm{\mu J}\\E&=\sqrt{\frac{2u_E}{\varepsilon_0}}\approx6.72134\times10^4\,\mathrm{V/m}\end{aligned}

[1]

Interpretieren · Anwenden

Zwei gleich große Vakuumteilvolumina haben Felder $+E_0$ und $-E_0$ mit $E_0=20000\,\mathrm{V/m}$ . Welche Energiedichte erhältst du im Volumenmittel?

Hinweis anzeigen

Beide lokalen Quadrate bleiben positiv.

Lernziel: Mittel des Feldquadrats vom Quadrat des Mittelfelds unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\langle u_E\rangle=\frac{\varepsilon_0}{2}\langle E^2\rangle$ .
Das Vektorfeldmittel ist 0, das Energiemittel dagegen $\frac12\varepsilon_0 E_0^2$ ≈ 0,00177084 J/m³.
Erst die Feldmittelung vor dem Quadrieren würde fälschlich 0 ergeben.

\begin{aligned}\langle u_E\rangle&=\frac12\left[\frac{\varepsilon_0E_0^2}{2}+\frac{\varepsilon_0(-E_0)^2}{2}\right]\\&=\frac{\varepsilon_0}{2}(20000\,\mathrm{V/m})^2\\&\approx0.00177084\,\mathrm{J/m^3}\end{aligned}

[1]

Interpretieren · Anwenden

Im selben Vakuumvolumen überlagern sich zwei homogene Felder vom Betrag $E_0$ . Vergleiche die Energiedichte für parallele gleichgerichtete, senkrechte und antiparallele Felder mit $u_0=\frac12\varepsilon_0E_0^2$ . Es sind keine getrennten Teilvolumina.

Hinweis anzeigen

Das Quadrat des Summenvektors enthält einen Kreuzterm.

Lernziel: Überlagerte Felder vor dem Quadrieren vektoriell addieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $u_E=\frac{\varepsilon_0}{2}|\mathbf E_1+\mathbf E_2|^2$ .
Gleichgerichtet ist der Gesamtbetrag $2E_0$ und die Energiedichte $4u_0$ .
Senkrecht ist das Quadrat $2E_0^2$ und die Dichte $2u_0$ .
Antiparallel verschwindet das Gesamtfeld und damit seine elektrische Energiedichte.

Kontrolle: Der Kreuzterm ist positiv, null oder negativ. Einzelne Energiedichten einfach zu addieren passt deshalb nur zum senkrechten Fall, nicht allgemein zur räumlichen Überlagerung.

\begin{aligned}u_E&=\frac12\varepsilon_0|\mathbf E_1+\mathbf E_2|^2\\&=\frac12\varepsilon_0\left(E_1^2+E_2^2+2\mathbf E_1\cdot\mathbf E_2\right)\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Vertiefen

Ein idealer isolierter Plattenkondensator bleibt mit gleicher freier Plattenladung vollständig gefüllt; ein lineares Dielektrikum mit $\varepsilon=4\varepsilon_0$ ersetzt das Vakuum, Geometrie unverändert, Randfelder vernachlässigt. Eine Lösung sagt: „ $u=\frac12\varepsilon E^2$ , also vierfache Energiedichte“. Prüfe.

Hinweis anzeigen

Bei fester freier Ladung bleibt D fest, nicht E.

Lernziel: Randbedingungen bei einer Änderung der Permittivität beachten.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $D=\frac{Q_{\mathrm{free}}}{A}=\varepsilon E$ .
$D=\varepsilon E$ ist bei unveränderter Plattenladung und Fläche konstant.
Daher sinkt E auf ein Viertel und $u=\frac{D^2}{2\varepsilon}$ ebenfalls auf ein Viertel.

\begin{aligned}E_2&=\frac{D}{4\varepsilon_0}=\frac{E_1}{4}\\\frac{u_2}{u_1}&=\frac{4\varepsilon_0(E_1/4)^2}{\varepsilon_0E_1^2}=\frac14\end{aligned}

[3][1]

Ideale Punktquellen haben eine Selbstenergiegrenze

Beispiel: Energie in einer Kugelschale

Endliche Energie zwischen zwei Radien

Gegeben: Eine leitende Kugel mit Radius $a=0{,}0200\,\mathrm m$ trägt $Q=2{,}00\,\mathrm{nC}$ . Andere Quellen fehlen. Im Vakuum wird nur die Feldenergie zwischen a und $b=0{,}0400\,\mathrm m$ gesucht; nicht die gesamte Energie außerhalb der Kugel.
Gesucht: Berechne die Energie der Kugelschale und ihren Anteil an der gesamten äußeren Feldenergie.

Ansatz: Kugelsymmetrie liefert das radiale Feld; die Volumenschale hat Größe $4\pi r^2\,\mathrm dr$ .
$\begin{aligned}E(r)&=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\\W_{a,b}&=\int_a^b\frac{\varepsilon_0E^2(r)}2\,4\pi r^2\,\mathrm dr\\&=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac1a-\frac1b\right)\end{aligned}$
Einsetzen: Der endliche Innenradius verhindert die Punktquellen-Divergenz.
$\begin{aligned}W_{a,b}&=\frac{(2.00\times10^{-9})^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{0.0200}-\frac1{0.0400}\right)\,\mathrm J\\&\approx0.449378\,\mathrm{\mu J}\\W_{a,\infty}&=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0a}\approx0.898755\,\mathrm{\mu J}\end{aligned}$

Ergebnis: Die Schale enthält rund 0,449 μJ, die Hälfte der gesamten äußeren Feldenergie.

Was du mitnehmen solltest

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften und fachlich passende Absatzlinks präzisiert; bestehende wissenschaftliche Erklärungen, Beispiele und Aufgaben erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernweg überarbeitet, ein drittes Modellbeispiel und quantitative Grafik ergänzt; bestehende Aufgaben, Voraussetzungen und Formelsatz geprüft.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Energiedichte des elektrischen Feldes im Vakuum. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/elektrische-feldenergiedichte

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Energiedichte des elektrischen Feldes im Vakuum

Was beschreibt die elektrische Feldenergiedichte im Vakuum?+

Wie prüfe ich eine Rechnung zur elektrischen Feldenergiedichte im Vakuum?+

Welche Annahmen und Grenzen hat die elektrische Feldenergiedichte im Vakuum?+

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei der elektrischen Feldenergiedichte?+

Wann kombiniere ich die elektrische Feldenergiedichte mit einer weiteren Beziehung?+

Energiedichte des elektrischen Feldes im Vakuum prüfungssicher behalten

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Ein Vakuumfeld hat Betrag E=50000 V/mE=50000\,\mathrm{V/m}E=50000V/m. Bestimme uEu_EuE​.

Eine homogene elektrische Energiedichte 0,0200 J/m3 füllt das betrachtete Vakuumvolumen 8,00·10−4 m3. Bestimme Energie und Feldbetrag.

Zwei gleich große Vakuumteilvolumina haben Felder +E0+E_0+E0​ und −E0-E_0−E0​ mit E0=20000 V/mE_0=20000\,\mathrm{V/m}E0​=20000V/m. Welche Energiedichte erhältst du im Volumenmittel?

Im selben Vakuumvolumen überlagern sich zwei homogene Felder vom Betrag E0E_0E0​. Vergleiche die Energiedichte für parallele gleichgerichtete, senkrechte und antiparallele Felder mit u0=12ε0E02u_0=\frac12\varepsilon_0E_0^2u0​=21​ε0​E02​. Es sind keine getrennten Teilvolumina.

Ideale Punktquellen haben eine Selbstenergiegrenze

Beispiel: Energie in einer Kugelschale

Endliche Energie zwischen zwei Radien

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Ein Vakuumfeld hat Betrag $E=50000\,\mathrm{V/m}$ . Bestimme $u_E$ .

Eine homogene elektrische Energiedichte 0,0200 J/m³ füllt das betrachtete Vakuumvolumen 8,00·10⁻⁴ m³. Bestimme Energie und Feldbetrag.

Zwei gleich große Vakuumteilvolumina haben Felder $+E_0$ und $-E_0$ mit $E_0=20000\,\mathrm{V/m}$ . Welche Energiedichte erhältst du im Volumenmittel?

Im selben Vakuumvolumen überlagern sich zwei homogene Felder vom Betrag $E_0$ . Vergleiche die Energiedichte für parallele gleichgerichtete, senkrechte und antiparallele Felder mit $u_0=\frac12\varepsilon_0E_0^2$ . Es sind keine getrennten Teilvolumina.

Ein Vakuumfeld hat Betrag $E=50000\,\mathrm{V/m}$ . Bestimme $u_E$ .

Eine homogene elektrische Energiedichte 0,0200 J/m³ füllt das betrachtete Vakuumvolumen 8,00·10⁻⁴ m³. Bestimme Energie und Feldbetrag.

Zwei gleich große Vakuumteilvolumina haben Felder $+E_0$ und $-E_0$ mit $E_0=20000\,\mathrm{V/m}$ . Welche Energiedichte erhältst du im Volumenmittel?

Im selben Vakuumvolumen überlagern sich zwei homogene Felder vom Betrag $E_0$ . Vergleiche die Energiedichte für parallele gleichgerichtete, senkrechte und antiparallele Felder mit $u_0=\frac12\varepsilon_0E_0^2$ . Es sind keine getrennten Teilvolumina.