Physik · Kinetische Gastheorie

Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Geschwindigkeitsbeträge

Q: Wie prüfe ich eine Rechnung zur Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten?

Für $M=0{,}044\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und $T=330\,\mathrm K$ ist $v_{\mathrm{mp}}=a\simeq353{,}1528554\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Die Klasse 0,8a bis 1,2a umfasst etwa 282,52–423,78 m/s. Mit $F(x)=\operatorname{erf}(x)-\frac{2x}{\sqrt\pi}e^{-x^2}$ erhältst du den Anteil $F(1{,}2)-F(0{,}8)\simeq0{,}3233884261$. Das sind 32,3388 %, keine dimensionsbehaftete Dichte. Die Mittelpunkt-Näherung $g(1)\cdot0{,}4$ liefert 33,2086 % und überschätzt um 0,869757 Prozentpunkte. Für diese breite Klasse ist daher die Integralrechnung sinnvoll. Kontrolliere unabhängig, dass die gesamte Fläche über alle nichtnegativen Geschwindigkeiten 1 ist und die Klasse innerhalb 0–1 liegt. M wird in kg/mol eingesetzt; mit kB wäre stattdessen die Teilchenmasse m erforderlich. Für die mittlere Energie musst du außerdem das zweite Geschwindigkeitsmoment verwenden, nicht den Mittelwert der Beträge quadrieren.

Q: Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei der Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten?

Der Vorfaktor ergibt zusammen mit $v^2$ eine Dichte in s/m, sodass $f(v)\,dv$ dimensionslos ist. In der molaren Geschwindigkeitsskala $a=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$ muss M in kg/mol stehen; 32 g/mol werden zu 0,032 kg/mol. Temperatur steht in Kelvin. Bei gleicher Gasart vervierfacht eine Vervierfachung von T die Quadrate der charakteristischen Geschwindigkeiten und verdoppelt ihre Beträge. Die Dichte wird dabei horizontal doppelt so breit und vertikal halb so hoch; ihre Gesamtfläche bleibt 1. Dichtewerte allein sind keine Prozentangaben. Für exakt einen Geschwindigkeitswert ist die kontinuierliche Wahrscheinlichkeit null. Eine endliche Messklasse braucht ihre Breite beziehungsweise beide Integrationsgrenzen und passende Einheiten.

Die Maxwell-Boltzmann-Dichte beschreibt bei thermischem Gleichgewicht, wie Molekülgeschwindigkeiten in einem klassischen idealen Gas verteilt sind; sie ist eine Dichte über den Betrag v≥0.

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Formel

Berechnen

f (v) = 4 π (\frac{m}{2 π k _{B} T})^{3/2} v^{2} exp (- \frac{m v ^{2}}{2 k _{B} T})

v in m/s; m in kg pro Teilchen; T in K; kB in J/K; f(v) in s/m, sodass f(v)dv dimensionslos ist.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$f(v)$	Wahrscheinlichkeitsdichte des Geschwindigkeitsbetrags	s/m
$v$	thermischer Geschwindigkeitsbetrag relativ zur lokalen mittleren Gasbewegung	m/s
$m$	Masse eines einzelnen Moleküls	kg
$T$	absolute Temperatur im thermischen Gleichgewicht	K
$k_{\mathrm{B}}$	Boltzmann-Konstante	J/K

LaTeX

f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm B}T}\right)^{3/2}v^2\exp\!\left(-\frac{mv^2}{2k_{\mathrm B}T}\right)

QUANTA STUDYquanta-study.de

Maxwell-Dichte 4x²exp(−x²)/√π von x = 0 bis 3,5, Maximum bei 1 und rechtem Auslauf im dargestellten Bereich. Fläche 0,8 bis 1,2 schattiert. — Richtig normierte dimensionslose Geschwindigkeitsdichte mit x=v/vmp. Die Fläche von 0,8 bis 1,2 entspricht 32,3388 % der Teilchen; Dichtehöhe ist keine Einzelgeschwindigkeitswahrscheinlichkeit.

Maxwell-Boltzmann-Verteilung berechnen

Wahrscheinlichste, mittlere und quadratisch gemittelte Molekülgeschwindigkeit sowie die Höhe der Verteilungskurve für ein ideales Gas im Gleichgewicht ausrechnen.

Rechenmodell

Gesucht

Temperatur T

Absolute Temperatur des Gases, z. B. 300 K, also etwa Zimmertemperatur.

Molare Masse einer Gasart M

Molare Masse der Gasart, z. B. 28 g/mol für Stickstoff N₂ oder 32 g/mol für Sauerstoff O₂.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach vₘₚ, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach v_mp umstellen
$v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2RT}M}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- M = 28 g/mol = 0,028 kg/mol
$\sqrt{\frac{2\cdot 8{,}31446\cdot 300}{0{,}028}}$
3. Ergebnis
v_mp = 422,1 m/s

Die inverse Rechnung verwendet ausdrücklich den wahrscheinlichsten Betrag, nicht Mittelwert oder RMS.

Ergebnis: Wahrscheinlichste Geschwindigkeit v_mp

v_mp = 422,1 m/s

Mit T = 300 K und M = 28 g/mol ergibt sich v_mp = 422,1 m/s.

So rechnest du schneller

Reihenfolge merken: v_mp < ⟨v⟩ < vᵣ_ms, immer im Verhältnis √2 : √(8/π) : √3, also etwa 1 : 1,13 : 1,22.
Je-desto: v wächst mit √T und fällt mit √M. Vierfache Temperatur in Kelvin gibt doppelte Geschwindigkeit, ein viermal schwereres Gas ist halb so schnell.

Annahmen und Grenzen

Eine klassische nichtrelativistische ideale Gasart im thermischen Gleichgewicht ohne relevante Quantendegeneration. Beträge relativ zur lokalen mittleren Gasbewegung, positive Temperatur und molare Masse. Kein Laborstrahl oder Gemisch mit mittlerer Ersatzmasse. R=kB·NA aus exakten SI-Definitionskonstanten, endliche Rechengenauigkeit.

Herleitung & Hintergrund

$f(v)$ ist die normierte Dichte des thermischen Betrags relativ zur lokalen Gasbewegung, in s/m. Ein Anteil entsteht aus $\int f(v)\,dv$ , nicht aus einem Dichtewert allein. Drei isotrope klassische Gaußkomponenten und der Schalenfaktor $4\pi v^2$ ergeben die Betragsdichte. Mit $a=\sqrt{\frac{2k_{\mathrm B}T}{m}}$ sind die Kennwerte $v_{\mathrm{mp}}=a$ , $\langle v\rangle=\frac{2a}{\sqrt\pi}$ und $v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac32}a$ . Klassisches nichtrelativistisches Gleichgewicht ist Voraussetzung; Gemische und gerichtete Flüsse brauchen eigene Gewichtungen.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Klassisches nichtrelativistisches thermisches Gleichgewicht ohne relevante Quantendegeneration. Betrag relativ zum lokalen Gasstrom; m Teilchenmasse oder M in kg/mol. f(v) ist Dichte, nicht Punktwahrscheinlichkeit. Gasgemische und Teilchenflüsse dürfen nicht ungeprüft mit einer einzelnen Gleichgewichts-Betragsdichte gleichgesetzt werden.

Herleitung in Schritten

Die Dichte f(v) beantwortet, welcher Anteil eines ruhenden klassischen Gases in einem Geschwindigkeitsintervall liegt. Sie beschreibt Beträge, keine Bewegungsrichtungen. Ihre charakteristischen Geschwindigkeiten und ihre Fläche lassen sich aus derselben normierten Verteilung berechnen.

1Betrachte klassische Gleichgewichtsbewegung relativ zur lokalen mittleren Gasbewegung.
2Jede Komponente besitzt eine Gaußdichte mit dem Faktor $e^{-\frac{mv_i^2}{2k_{\mathrm B}T}}$ .
3Das Produkt der drei unabhängigen Dichten ergibt die isotrope Vektordichte $P(\mathbf v)$ .
4Die Betragsklasse von $v$ bis $v+dv$ enthält eine Kugelschale im Geschwindigkeitsraum mit Maß $4\pi v^2\,dv$ .
5Dieser Schalenfaktor liefert die normierte Betragsdichte $f(v)$ mit Einheit s/m.
6Berechne Anteile durch $\int f(v)\,dv$ . Mit $a=\sqrt{\frac{2k_{\mathrm B}T}{m}}$ und $x=\frac va$ gilt $F(x)=\operatorname{erf}(x)-\frac{2x}{\sqrt\pi}e^{-x^2}$ .

Umstellen

Wahrscheinlichste Geschwindigkeit

v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2k_{\mathrm B}T}{m}}

Maximum der Dichte f(v), nicht Mittelwert oder quadratischer Mittelwert.

Aufgabenvariante

Gerundetes Stickstoffmodell: Teilchenmasse 4,65·10⁻²⁶ kg bei 300 K. Bestimme den wahrscheinlichsten Betrag und erkläre, wie aus einer Klasse von 10 m/s Breite nahe dem Maximum ein Teilchenanteil wird.

Das gerundete Stickstoffmodell bei 300 K hat $m\simeq4{,}65\cdot10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , entsprechend ungefähr 28,0 u.
Das Maximum liegt bei $v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2k_{\mathrm B}T}{m}}\simeq422\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
Die normierte Gesamtfläche ist eins.
Für eine schmale 10-m/s-Klasse nahe dem Maximum ist $f(v_{\mathrm{mp}})\Delta v$ eine näherungsweise Wahrscheinlichkeit, nicht der Dichtewert allein.

Typische Fehler

Einen Dichtewert direkt als Prozentwahrscheinlichkeit eines exakten Geschwindigkeitswerts lesen.

Wahrscheinlichkeit ist die Fläche $\int_{v_1}^{v_2}f(v)\,dv$ ; die Dichte hat inverse Geschwindigkeitseinheiten. Ein Einzelpunkt besitzt Wahrscheinlichkeit null.

Klausurkontext

Geschwindigkeitsverteilungen in Gasen, kinetische Gastheorie, Diffusion, Effusion und Temperaturabhängigkeit molekularer Prozesse.

Formelcluster

Kinetische Gastheorie

Intervallflächen liefern Teilchenanteile; die ersten beiden Momente verbinden die Verteilung mit mittlerer und RMS-Geschwindigkeit sowie Energie.

vrms = √(3kBT/m)

Quadratischer Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit

⟨Ekin⟩ = 3/2 kBT

Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

pV = 1/3 Nm⟨v²⟩

Druck aus der kinetischen Gastheorie

Rechenbeispiel

Das gerundete Stickstoffmodell bei 300 K hat $m\simeq4{,}65\cdot10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , entsprechend ungefähr 28,0 u. Das Maximum liegt bei $v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2k_{\mathrm B}T}{m}}\simeq422\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Die normierte Gesamtfläche ist eins. Für eine schmale 10-m/s-Klasse nahe dem Maximum ist $f(v_{\mathrm{mp}})\Delta v$ eine näherungsweise Wahrscheinlichkeit, nicht der Dichtewert allein.

Anwendungsgebiete

Geschwindigkeitsverteilungen in Gasen, kinetische Gastheorie, Diffusion, Effusion und Temperaturabhängigkeit molekularer Prozesse.

Rechenbeispiel: Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten (f(v) = 4π(m/2πkBT)³ᐟ² v² e^(−mv²/2kBT)).

1
Aufgabe
Gerundetes Stickstoffmodell: Teilchenmasse 4,65·10⁻²⁶ kg bei 300 K. Bestimme den wahrscheinlichsten Betrag und erkläre, wie aus einer Klasse von 10 m/s Breite nahe dem Maximum ein Teilchenanteil wird.
Rechenweg
1. Das gerundete Stickstoffmodell bei 300 K hat $m\simeq4{,}65\cdot10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , entsprechend ungefähr 28,0 u.
2. Das Maximum liegt bei $v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2k_{\mathrm B}T}{m}}\simeq422\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
3. Die normierte Gesamtfläche ist eins.
4. Für eine schmale 10-m/s-Klasse nahe dem Maximum ist $f(v_{\mathrm{mp}})\Delta v$ eine näherungsweise Wahrscheinlichkeit, nicht der Dichtewert allein.

Die Formel verstehen und anwenden

In einem Gas hat nicht jedes Molekül dieselbe Geschwindigkeit. Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung beschreibt, welcher Anteil in einem Geschwindigkeitsbereich liegt. Ihre Kurvenhöhe ist eine Dichte; erst die Fläche über einem Intervall ist eine Wahrscheinlichkeit. Von diesem Bild aus lernst du die Formel, ihre Geschwindigkeitsskala und die Unterschiede zwischen wahrscheinlichstem Betrag, Mittelwert und RMS. Beispiele zeigen Intervallanteile, schnelle Teilchen und ein Gemisch.

Eine Dichte ist noch keine Wahrscheinlichkeit

f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm B}T}\right)^{\frac{3}{2}}v^2e^{-\frac{mv^2}{2k_{\mathrm B}T}},\quad v\ge0

v ist der thermische Betrag relativ zur lokalen mittleren Gasbewegung; m ist Masse pro Teilchen.[1]

Die Funktion $f(v)$ besitzt die Einheit s/m, also inverse Geschwindigkeit. Für ein kleines Intervall ergibt $f(v)\,dv$ einen Teilchenanteil; für einen endlichen Bereich integrierst du. Ein exakter Einzelwert hat in der kontinuierlichen Verteilung Wahrscheinlichkeit null, selbst wenn die Dichte dort positiv ist. Das Maximum bezeichnet die dichteste schmale Geschwindigkeitsklasse, nicht die Geschwindigkeit aller Teilchen. Die Normierung über alle nichtnegativen Geschwindigkeiten liefert die Gesamtwahrscheinlichkeit eins.[1]

So liest du die Fläche richtig

Ein heißeres Gas hat mehr Gewicht bei höheren Geschwindigkeiten. Seine Dichtekurve kann dabei niedriger werden, obwohl weiterhin alle Teilchen erfasst sind. Die Breite und Höhe ändern sich gemeinsam; die Gesamtfläche bleibt eins. Für einen konkreten Bereich $v_1$ bis $v_2$ ist die Frage deshalb nicht „Wie hoch ist die Kurve?“, sondern „Welche Fläche liegt zwischen diesen Grenzen?“[1]

P(v_1\le v\le v_2)=\int_{v_1}^{v_2}f(v)\,dv

Eine endliche Geschwindigkeitsklasse braucht zwei Grenzen.

Eine niedrigere Kurve kann dieselbe Gesamtfläche haben

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Eigene Modellkurven für 0,0280 kg/mol. Die Dichteachse ist in Tausendstel s/m skaliert; für eine Wahrscheinlichkeit muss die dargestellte Fläche daher mit 10⁻³ multipliziert werden. Die Normierung gilt bis unendlich, nicht nur im sichtbaren Ausschnitt.[1]

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Aus drei Komponenten entsteht eine Kugelschale

\begin{aligned}P(\mathbf v)&=\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm B}T}\right)^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2k_{\mathrm B}T}}\\{} f(v)dv&=P(\mathbf v)4\pi v^2dv\end{aligned}

Die isotrope Dichte ist auf einer Geschwindigkeitskugel konstant; ihre Schalenfläche liefert v².[1][2]

Im lokalen Ruhesystem hat jede Geschwindigkeitskomponente eine Gaußverteilung mit Mittelwert null. Das Produkt der drei Komponentendichten hängt nur von $v_x^2+v_y^2+v_z^2$ ab. Gesucht ist aber der Betrag, unabhängig von der Richtung. Dafür fasst man alle Vektoren mit nahezu demselben Betrag in einer dünnen Kugelschale des Geschwindigkeitsraums zusammen. Ihr Volumenfaktor $4\pi v^2\,dv$ erzeugt den zusätzlichen quadratischen Faktor. Das ist ein mathematischer Raum möglicher Geschwindigkeiten, keine räumliche Kugel in der Gasprobe.[1]

Vertiefung: skalierte Verteilung und kumulative Funktion

\begin{aligned}a&=\sqrt{\frac{2k_{\mathrm B}T}{m}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}\\x&=\frac va\\g(x)&=a f(ax)=\frac4{\sqrt\pi}x^2e^{-x^2}\end{aligned}

a ist die wahrscheinlichste Geschwindigkeit; M steht in kg/mol.[1]

\begin{aligned}\int_0^\infty g(x)\,dx&=1\\F(x)&=\operatorname{erf}(x)-\frac{2x}{\sqrt\pi}e^{-x^2}\end{aligned}

F ist die kumulative Wahrscheinlichkeit im skalierten Betrag; $F(0)=0$ und $F(\infty)=1$ .[1]

Die Geschwindigkeitsskala $a$ enthält Stoff und Temperatur. Wenn du alle Beträge durch $a$ teilst, entsteht für jedes klassische Gleichgewichtsgas dieselbe dimensionslose Form. Die kumulative Verteilung $F(x)$ folgt durch partielle Integration; dabei ist $\operatorname{erf}(x)=\frac2{\sqrt\pi}\int_0^xe^{-t^2}\,dt$ . Für ein Intervall ist der Anteil $F(\frac{v_2}{a})-F(\frac{v_1}{a})$ . In gewöhnlichen Geschwindigkeitsachsen verbreitert Erwärmen die Kurve und verringert ihre Höhe, ohne die Normierung zu verändern.[1]

Maximum, Mittelwert und RMS getrennt

\begin{aligned}v_{\mathrm{mp}}&=a\\\langle v\rangle&=\frac{2a}{\sqrt\pi}\\v_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{\frac32}\,a\end{aligned}

Das Maximum folgt aus $\frac{d}{dx}(x^2e^{-x^2})=0$ ; Mittel und RMS aus erstem und zweitem Moment.[1]

Der wahrscheinlichste Betrag liegt am Dichtemaximum. Der gewöhnliche Mittelwert liegt etwas höher; der RMS-Wert aus dem zweiten Moment ist noch größer. Keiner davon ist der mittlere Geschwindigkeitsvektor: Dieser ist im Ruhesystem null, weil Richtungen sich aufheben. Die Energie verwendet $\frac12m\langle v^2\rangle=\frac32k_{\mathrm B}T$ , nicht das Quadrat des gewöhnlichen Geschwindigkeitsmittels. Eine schwerere Gasart hat bei derselben Temperatur kleinere typische Beträge, aber denselben translatorischen Energiemittelwert.[1][3]

Der quadratische Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit verknüpft die Verteilung mit dem zweiten Moment, $v_{\mathrm{rms}}^2=\langle v^2\rangle$ . Verwende ihn für die translatorische mittlere Energie; der wahrscheinlichste Betrag aus dem Kurvenmaximum ist dafür kein Ersatz.[1][3]

Echte Intervalle statt einzelner Dichtewerte

Für Intervalle und Schwänze wird die kumulative Verteilung ausgewertet. Im dritten Beispiel wird dieselbe Rechnung separat für beide Gasarten durchgeführt; erst danach werden ihre Teilchenanteile addiert.[1]

Eine Geschwindigkeitsklasse im Modellgas

Gegeben: $M=0{,}044\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ , $T=330\,\mathrm K$ ; klassisches ideales Gleichgewicht. Intervall $0{,}8v_{\mathrm{mp}}$ bis $1{,}2v_{\mathrm{mp}}$ .
Gesucht: Berechne die Klasse und ihren Teilchenanteil.

Ansatz: Eine Geschwindigkeitsklasse wird über die Verteilungsfläche berechnet. $a=\sqrt{\frac{2RT}{M}},\quad P(v_1<v<v_2)=F(\frac{v_2}{a})-F(\frac{v_1}{a})$ . Geschwindigkeitsskala bestimmen.
$a=\sqrt{\frac{2RT}{M}}=353.1528554\,\mathrm{m/s}$
CDF an beiden Grenzen auswerten.
$P=F(1.2)-F(0.8)=0.3233884261$
Mit der Mittelpunkt-Näherung vergleichen.
$g(1)(1.2-0.8)=0.3320859979$

Ergebnis: Die Klasse etwa 282,52–423,78 m/s enthält 32,3388 % der Teilchen. Die breite Mittelpunkt-Näherung ergibt 33,2086 %.

Kontrolle: Die Näherung überschätzt um 0,869757 Prozentpunkte; ein Dichtewert allein wäre dimensionsbehaftet. Die exakte Klasse kann durch Integration von f(v) mit dv in m/s gegengeprüft werden.

Ein schneller Verteilungsschwanz

Gegeben: Dasselbe Modellgas; suche $v>2v_{\mathrm{mp}}$ . Eine Probe enthält $N=2{,}00\cdot10^{21}$ Teilchen.
Gesucht: Finde Anteil und erwartete Zahl, dann vergleiche doppelte Geschwindigkeitsskala.

Ansatz: Für den schnellen Schwanz die kumulierte Verteilung ergänzen. $P(v>v_*)=1-F(\frac{v_*}{a})$ . Komplement der CDF verwenden.
$P(v>2a)=1-F(2)=0.04601170569$
Erwartete Zahl aus Anteil bestimmen.
$\langle N_{tail}\rangle=NP=9.202341138\times10^{19}$
Bei vierfacher Temperatur verdoppelt sich a.
$a(4T)=2a(T)$

Ergebnis: Etwa 4,60117 % überschreiten 706,31 m/s. Bei vierfachem T hat dieselbe absolute Schwelle den skalierten Wert $x=1$ statt 2.

Kontrolle: Nun liegt der Anteil oberhalb der ursprünglichen Schwelle bei $1-F(1)=0{,}5724067045$ . Oberhalb der jeweils neuen 2a-Schwelle bliebe dagegen derselbe 4,60117 %-Anteil.

Schnelle Teilchen in einem Gemisch

Gegeben: Ideales klassisches Gleichgewichtsgemisch bei 300 K, im Gasruhessystem. Gleiche Teilchenzahlen zweier Modellarten mit 0,00400 und 0,0400 kg/mol. Beide Arten sind nichtrelativistisch und nicht quantenentartet. Gesucht ist der Anteil mit Betrag über 700 m/s.
Gesucht: Die beiden Artanteile und den Anteil des gesamten Gemischs bestimmen.

Ansatz: Jede Art hat ihre eigene Skala. Erst ihre Schwanzwahrscheinlichkeiten berechnen, danach mit den Teilchenanteilen gewichten.
$\begin{aligned}a_j&=\sqrt{\frac{2RT}{M_j}}\\P_j&=1-F\!\left(\frac{700\,\mathrm{m\,s^{-1}}}{a_j}\right)\\P_{\mathrm{mix}}&=\frac12P_1+\frac12P_2\end{aligned}$
Die beiden Skalen und dimensionslosen Grenzen einsetzen.
$\begin{aligned}a_1&\simeq1116.767\,\mathrm{m\,s^{-1}},&x_1&\simeq0.626809\\a_2&\simeq353.153\,\mathrm{m\,s^{-1}},&x_2&\simeq1.982145\end{aligned}$
Mit der kumulativen Funktion die Anteile und ihre Mischung auswerten.
$\begin{aligned}P_1&\simeq0.852865\\P_2&\simeq0.0490439\\P_{\mathrm{mix}}&\simeq0.450955\end{aligned}$

Ergebnis: Etwa 85,29 % der leichten und 4,904 % der schweren Art überschreiten 700 m/s. Zusammen sind es etwa 45,10 % aller Teilchen.

Kontrolle: Der Gemischanteil liegt zwischen beiden Artanteilen und ist bei gleichen Teilchenzahlen ihr arithmetisches Mittel. Die mittlere molare Masse wäre 0,0220 kg/mol; deren einzelne Maxwell-Kurve wäre aber nicht die Gemischkurve. Gleiche translatorische Mittelenergie bei gleicher Temperatur bedeutet nicht gleiche Wahrscheinlichkeit oberhalb einer Geschwindigkeitsgrenze.

Lokale Temperatur und Laborstrahl unterscheiden

Die Formel gilt für Geschwindigkeiten relativ zur lokalen mittleren Gasbewegung $\mathbf u$ . Im Labor ist die Vektorverteilung um diese Bewegung verschoben; die Verteilung der Laborbeträge ist daher nicht automatisch dieselbe Maxwell-Kurve. Auch eine kleine Öffnung wählt Teilchen anders aus: Ein effundierender Strom wird nach Normalgeschwindigkeit und Durchtrittshäufigkeit gewichtet. Eine Strahlmessung darf deshalb nicht ungeprüft als Gleichgewichtsverteilung der ganzen Gasprobe interpretiert werden.[2][1][5]

In einem idealen Gemisch haben die Arten dieselbe Gleichgewichtstemperatur, aber verschiedene Massen. Berechne zunächst die Dichte beziehungsweise den gesuchten Anteil für jede Art. Die Gesamtverteilung entsteht durch Gewichtung mit ihren Teilchenanteilen. Eine einzelne mittlere molare Masse bildet diese Mischung im Allgemeinen nicht ab. Gleiche Massenanteile wären dabei andere Gewichte als gleiche Teilchenanteile.[1]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Modellgas hat $M=0{,}020\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und $T=600\,\mathrm K$ . Berechne vmp.

Hinweis anzeigen

Molare Skala verwenden.

Lernziel: Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit mit molarer Masse in SI bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$ .
Mit den vorgegebenen Modellwerten entstehen etwa 706,306 m/s.

Kontrolle: Gegenüber dem ersten Beispiel mit 0,044 kg/mol und 330 K ist $\frac{T}{M}$ viermal so groß; der wahrscheinlichste Betrag ist daher doppelt so groß.

v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2\cdot8.31446261815324\cdot600}{0.020}}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\simeq706.305711\,\mathrm{m\,s^{-1}}

Interpretieren · Einstieg

Welche Wahrscheinlichkeit hat exakt $v=500\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ in der kontinuierlichen Maxwell-Dichte?

Hinweis anzeigen

Intervallbreite null.

Lernziel: Positive Dichte von der Wahrscheinlichkeit eines exakten Einzelwerts unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Wahrscheinlichkeit ist das Integral über die Messklasse; bei einem Einzelpunkt verschwindet ihre Breite.
Null. f(500) kann positiv sein, aber der Einzelpunkt hat keine Fläche.
Eine endliche Messklasse braucht ihre Grenzen und ein Integral.

P(v=500\,\mathrm{m/s})=0

Einsetzen und Rechnen · Vertiefen

Bestimme im skalierten Modell den Anteil unterhalb vmp.

Hinweis anzeigen

F(1), nicht die Fläche eines Rechtecks.

Lernziel: Eine kumulierte Geschwindigkeitswahrscheinlichkeit bis zum Dichtemaximum bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Am wahrscheinlichsten Betrag ist die skalierte Grenze $x=1$ .
Setze sie in die kumulative Funktion ein.
Die unten berechnete Fläche beträgt etwa 42,7593 %.

Kontrolle: Sie liegt zwischen null und eins. Der Dichtehöchstwert ist kein Median; er teilt die Wahrscheinlichkeit nicht in zwei gleiche Hälften.

\begin{aligned}P(v<a)&=F(1)\\&=\operatorname{erf}(1)-\frac2{\sqrt\pi}e^{-1}\\&\simeq0.4275932955\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Für dasselbe klassische Gleichgewichtsgas wird die Temperatur von T auf 4T erhöht. Zwei normierte Maxwell-Boltzmann-Kurven zeigen danach eine breitere und niedrigere Verteilung. Vergleiche den wahrscheinlichsten Geschwindigkeitswert und die Höhe des Dichtemaximums. Ist unter der niedrigeren Kurve insgesamt weniger Wahrscheinlichkeit enthalten?

Hinweis anzeigen

Der thermische Geschwindigkeitsmaßstab wächst mit der Wurzel der Temperatur. Die Fläche einer normierten Dichte muss weiterhin eins bleiben.

Lernziel: Die temperaturbedingte Skalierung einer normierten Geschwindigkeitsdichte verstehen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die neue Geschwindigkeitsskala ist doppelt so groß.
Bei entsprechender Skalierung der Abszisse muss die Dichtehöhe halbiert werden, damit die Fläche gleich bleibt.
Der wahrscheinlichste Wert verdoppelt sich und die maximale Dichte halbiert sich.

Kontrolle: Mit der Variablensubstitution $v=2u$ wird das Integral der neuen Verteilung wieder eins. Eine Dichtehöhe ist keine Wahrscheinlichkeit eines exakten Einzelwerts.

\begin{aligned}v_{\mathrm{mp}}(4T)&=2v_{\mathrm{mp}}(T)\\f_{4T}(v)&=\frac12f_T\!\left(\frac v2\right)\\f_{4T,\max}&=\frac12f_{T,\max}\\\int_0^\infty f_{4T}(v)\,\mathrm dv&=\int_0^\infty f_T(u)\,\mathrm du=1\end{aligned}

[1][2]

Fehleranalyse · Anwenden

In einem klassischen Gleichgewichtsgas sei die normierte Maxwell-Geschwindigkeitsdichte im schmalen Intervall von 490 bis 510 m/s näherungsweise konstant; als gerundeter möglicher Maxwell-Modellwert sei $f=0{,}0016\,\mathrm{s\,m^{-1}}$ . Eine Lösung liest daraus „0,16 % Wahrscheinlichkeit bei genau 500 m/s“ ab. Berechne die näherungsweise Intervallwahrscheinlichkeit und ordne die Wahrscheinlichkeit des exakten Einzelwerts ein.

Hinweis anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit ist die Fläche, also Dichte mal Intervallbreite in dieser Näherung. Ein Einzelpunkt hat bei einer kontinuierlichen Verteilung keine Breite.

Lernziel: Eine Wahrscheinlichkeitsdichte in eine Intervallwahrscheinlichkeit mit korrekter Einheit übersetzen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die näherungsweise konstante Dichte über das 20 m/s breite Intervall integrieren.
Das ergibt 0,032 oder 3,2 % Wahrscheinlichkeit.
Für genau 500 m/s ist die Wahrscheinlichkeit null, obwohl die Dichte dort positiv ist.

Kontrolle: Die inverse Geschwindigkeitseinheit der Dichte kürzt sich mit der Geschwindigkeitseinheit der Intervallbreite. Die Zahl 0,0016 allein ist keine dimensionslose Wahrscheinlichkeit; für eine genauere Intervallwahrscheinlichkeit wäre die tatsächliche Maxwellkurve zu integrieren.

\begin{aligned}P(490\,\mathrm{m\,s^{-1}}\le v\le510\,\mathrm{m\,s^{-1}})&\approx f\Delta v\\{}&=(0.0016\,\mathrm{s\,m^{-1}})(20\,\mathrm{m\,s^{-1}})=0.032\\{}P(v=500\,\mathrm{m\,s^{-1}})&=0\end{aligned}

[1]

Wann die Verteilung ersetzt werden muss

Vorausgesetzt sind klassische nichtrelativistische Translation, thermisches Gleichgewicht und keine relevante Quantendegeneration. Anisotropie, Nichtgleichgewicht oder ein beschleunigter Strahl brauchen eine andere Beschreibung. Bei relevanten relativistischen Effekten gilt bereits die quadratische kinetische Energie nicht mehr. Ebenso darf die klassische Kurve nicht als exakte Fortsetzung realer Gase bis $T=0$ verstanden werden.[2]

Das vorhandene gerundete Stickstoffmodell mit $m=4{,}65\cdot10^{-26}\,\mathrm{kg}$ bei 300 K ergibt weiterhin etwa 422,08 m/s am Maximum. Für eine nur 10 m/s breite Klasse nahe diesem Maximum kann $f(v_{\mathrm{mp}})\Delta v$ eine brauchbare Näherung sein. Breitere Klassen und Bereiche mit stark veränderlicher Dichte werden besser integriert. Eine sichtbare Kurve bis zum Dreifachen des wahrscheinlichsten Betrags umfasst nicht ganz die bis unendlich normierte Gesamtfläche.[1]

Die Äquipartition der Energie ordnet im klassischen Gleichgewicht jedem geeigneten quadratischen Freiheitsgrad denselben mittleren Beitrag zu. Für die drei translatorischen Komponenten folgt $\langle E_{\mathrm{kin}}\rangle=3k_{\mathrm B}T/2$ . Welche inneren Freiheitsgrade tatsächlich beitragen, ist eine andere Modellfrage; eine Maxwell-Betragskurve entscheidet das nicht allein.[3][2]

Kurz zusammengefasst

Lies eine Maxwell-Kurve als Dichte: Wahrscheinlichkeit gehört zur Fläche eines Intervalls. Stoffmasse und Temperatur bestimmen die Geschwindigkeitsskala; drei verschiedene Momente liefern drei verschiedene Kennwerte. Die Formel gilt im lokalen Gasruhessystem. Strahlmessungen und Gemische brauchen ihre eigene Gewichtung. Ein höheres Dichtemaximum bedeutet nicht mehr Gesamtwahrscheinlichkeit.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Passende fachliche Verbindungen ergänzt; bestehende Feld- und Energiebilanzen, Herleitungen, Beispiele, Aufgaben, Figuren und Modellgrenzen erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Erklärungen überarbeitet; drittes vollständiges Beispiel, eigene quantitative Grafik und kurze Zusammenfassung ergänzt. Bestehende Aufgaben, Modelle und Quellen erhalten; Formelsatz und Modellbedingungen präzisiert.

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Quanta. Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/maxwell-boltzmann-geschwindigkeitsverteilung

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

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Häufige Fragen: Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten

Was beschreibt die Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten physikalisch?+

Die Maxwell-Boltzmann-Dichte beschreibt thermische Geschwindigkeitsbeträge eines klassischen idealen Gases im Gleichgewicht, relativ zur lokalen mittleren Gasbewegung. Sie ist keine Richtungsverteilung und keine Wahrscheinlichkeit an einem einzelnen Punkt. f(v) hat die Einheit s/m; erst $\int f(v)\,dv$ über ein Intervall liefert einen dimensionslosen Teilchenanteil. Das Maximum bezeichnet den wahrscheinlichsten Betrag einer schmalen Klasse. Mittelwert und RMS liegen an anderen Stellen. Die mittlere Vektorgeschwindigkeit im Ruhesystem ist trotzdem null, weil Richtungen sich aufheben. Alle positiven Betragskennwerte sind damit vereinbar. Ein strömender Laborstrahl besitzt nicht automatisch dieselbe Betragsdichte; seine mittlere Bewegung muss vor thermischer Auswertung getrennt werden.

Wie prüfe ich eine Rechnung zur Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten?+

Für $M=0{,}044\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und $T=330\,\mathrm K$ ist $v_{\mathrm{mp}}=a\simeq353{,}1528554\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Die Klasse 0,8a bis 1,2a umfasst etwa 282,52–423,78 m/s. Mit $F(x)=\operatorname{erf}(x)-\frac{2x}{\sqrt\pi}e^{-x^2}$ erhältst du den Anteil $F(1{,}2)-F(0{,}8)\simeq0{,}3233884261$ . Das sind 32,3388 %, keine dimensionsbehaftete Dichte. Die Mittelpunkt-Näherung $g(1)\cdot0{,}4$ liefert 33,2086 % und überschätzt um 0,869757 Prozentpunkte. Für diese breite Klasse ist daher die Integralrechnung sinnvoll. Kontrolliere unabhängig, dass die gesamte Fläche über alle nichtnegativen Geschwindigkeiten 1 ist und die Klasse innerhalb 0–1 liegt. M wird in kg/mol eingesetzt; mit kB wäre stattdessen die Teilchenmasse m erforderlich. Für die mittlere Energie musst du außerdem das zweite Geschwindigkeitsmoment verwenden, nicht den Mittelwert der Beträge quadrieren.

Welche Annahmen und Grenzen gelten für die Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten?+

Das Modell setzt klassische nichtrelativistische Translation und thermisches Gleichgewicht voraus. Geschwindigkeiten werden relativ zur lokalen mittleren Gasbewegung beschrieben. Quantendegeneration, Richtungsanisotropie oder ein Nichtgleichgewichtsstrahl benötigen andere Verteilungen. In Gemischen hat jede Gasart ihre eigene Masse und bei gleicher T ihre eigene Geschwindigkeitsskala. Eine mittlere molare Masse reproduziert die gesamte Mischdichte gewöhnlich nicht. Außerdem ist die Verteilung eines ausströmenden Teilchenflusses durch Durchtrittshäufigkeit und Normalgeschwindigkeit gewichtet; sie ist nicht automatisch dieselbe Gleichgewichts-Volumendichte. Eine sichtbare Kurve bis $3v_{\mathrm{mp}}$ ist nur ein Ausschnitt, auch wenn die mathematische Dichte über den gesamten Bereich bis unendlich normiert ist.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei der Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten?+

Der Vorfaktor ergibt zusammen mit $v^2$ eine Dichte in s/m, sodass $f(v)\,dv$ dimensionslos ist. In der molaren Geschwindigkeitsskala $a=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$ muss M in kg/mol stehen; 32 g/mol werden zu 0,032 kg/mol. Temperatur steht in Kelvin. Bei gleicher Gasart vervierfacht eine Vervierfachung von T die Quadrate der charakteristischen Geschwindigkeiten und verdoppelt ihre Beträge. Die Dichte wird dabei horizontal doppelt so breit und vertikal halb so hoch; ihre Gesamtfläche bleibt 1. Dichtewerte allein sind keine Prozentangaben. Für exakt einen Geschwindigkeitswert ist die kontinuierliche Wahrscheinlichkeit null. Eine endliche Messklasse braucht ihre Breite beziehungsweise beide Integrationsgrenzen und passende Einheiten.

Wann kombiniere ich die Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten mit einer weiteren Beziehung?+

Die normierte Dichte liefert Momente und Intervallanteile. Aus ihrem Maximum folgt $v_{\mathrm{mp}}=a$ ; der gewöhnliche Mittelwert ist $\frac{2a}{\sqrt\pi}$ und $v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac32}a$ . Mit $\frac12m\langle v^2\rangle$ erhältst du die mittlere translatorische Energie $\frac32k_{\mathrm B}T$ . Für isotropen idealen Druck lässt sich das zweite Moment zusätzlich mit $p=\frac13\rho\langle v^2\rangle$ verbinden. Bei einer festen Schwelle $v>2a$ liegen 4,60117 % im schnellen Schwanz. Vervierfachte Temperatur macht dieselbe absolute Schwelle zu $x=1$ ; dann überschreiten 57,2407 % diese alte Schwelle. Eine mit der neuen Geschwindigkeitsskala mitbewegte 2a-Schwelle hätte dagegen denselben ursprünglichen Anteil. Diese Unterscheidung ist für Temperaturvergleiche wichtiger als bloß die Lage eines Kurvenmaximums.

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Wie stellst du f(v) = 4π(m/2πkBT)³ᐟ² v² e^(−mv²/2kBT) nach Wahrscheinlichste Geschwindigkeit um?

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Welcher typische Fehler passiert bei f(v) = 4π(m/2πkBT)³ᐟ² v² e^(−mv²/2kBT)?

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[1]OpenStax, University Physics Vol.2, §2.4: Distribution of Molecular Speeds.

Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_{kalt}}{T_{warm}}

Carnot-Wirkungsgrad

Q = m \cdot c \cdot \Delta T

Wärmekapazität (Q = m·c·ΔT)

\Delta U = Q - W

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

P = \sigma \cdot A \cdot T^4

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Physik · Kinetische Gastheorie

Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Geschwindigkeitsbeträge

Die Maxwell-Boltzmann-Dichte beschreibt bei thermischem Gleichgewicht, wie Molekülgeschwindigkeiten in einem klassischen idealen Gas verteilt sind; sie ist eine Dichte über den Betrag v≥0.

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Formel

Berechnen

f (v) = 4 π (\frac{m}{2 π k _{B} T})^{3/2} v^{2} exp (- \frac{m v ^{2}}{2 k _{B} T})

v in m/s; m in kg pro Teilchen; T in K; kB in J/K; f(v) in s/m, sodass f(v)dv dimensionslos ist.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$f(v)$	Wahrscheinlichkeitsdichte des Geschwindigkeitsbetrags	s/m
$v$	thermischer Geschwindigkeitsbetrag relativ zur lokalen mittleren Gasbewegung	m/s
$m$	Masse eines einzelnen Moleküls	kg
$T$	absolute Temperatur im thermischen Gleichgewicht	K
$k_{\mathrm{B}}$	Boltzmann-Konstante	J/K

LaTeX

f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm B}T}\right)^{3/2}v^2\exp\!\left(-\frac{mv^2}{2k_{\mathrm B}T}\right)

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Maxwell-Boltzmann-Verteilung berechnen

Wahrscheinlichste, mittlere und quadratisch gemittelte Molekülgeschwindigkeit sowie die Höhe der Verteilungskurve für ein ideales Gas im Gleichgewicht ausrechnen.

Rechenmodell

Gesucht

Temperatur T

Absolute Temperatur des Gases, z. B. 300 K, also etwa Zimmertemperatur.

Molare Masse einer Gasart M

Molare Masse der Gasart, z. B. 28 g/mol für Stickstoff N₂ oder 32 g/mol für Sauerstoff O₂.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach vₘₚ, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach v_mp umstellen
$v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2RT}M}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- M = 28 g/mol = 0,028 kg/mol
$\sqrt{\frac{2\cdot 8{,}31446\cdot 300}{0{,}028}}$
3. Ergebnis
v_mp = 422,1 m/s

Die inverse Rechnung verwendet ausdrücklich den wahrscheinlichsten Betrag, nicht Mittelwert oder RMS.

Ergebnis: Wahrscheinlichste Geschwindigkeit v_mp

v_mp = 422,1 m/s

Mit T = 300 K und M = 28 g/mol ergibt sich v_mp = 422,1 m/s.

So rechnest du schneller

Reihenfolge merken: v_mp < ⟨v⟩ < vᵣ_ms, immer im Verhältnis √2 : √(8/π) : √3, also etwa 1 : 1,13 : 1,22.
Je-desto: v wächst mit √T und fällt mit √M. Vierfache Temperatur in Kelvin gibt doppelte Geschwindigkeit, ein viermal schwereres Gas ist halb so schnell.

Annahmen und Grenzen

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

1Betrachte klassische Gleichgewichtsbewegung relativ zur lokalen mittleren Gasbewegung.
2Jede Komponente besitzt eine Gaußdichte mit dem Faktor $e^{-\frac{mv_i^2}{2k_{\mathrm B}T}}$ .
3Das Produkt der drei unabhängigen Dichten ergibt die isotrope Vektordichte $P(\mathbf v)$ .
4Die Betragsklasse von $v$ bis $v+dv$ enthält eine Kugelschale im Geschwindigkeitsraum mit Maß $4\pi v^2\,dv$ .
5Dieser Schalenfaktor liefert die normierte Betragsdichte $f(v)$ mit Einheit s/m.
6Berechne Anteile durch $\int f(v)\,dv$ . Mit $a=\sqrt{\frac{2k_{\mathrm B}T}{m}}$ und $x=\frac va$ gilt $F(x)=\operatorname{erf}(x)-\frac{2x}{\sqrt\pi}e^{-x^2}$ .

Umstellen

Wahrscheinlichste Geschwindigkeit

v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2k_{\mathrm B}T}{m}}

Maximum der Dichte f(v), nicht Mittelwert oder quadratischer Mittelwert.

Aufgabenvariante

Das gerundete Stickstoffmodell bei 300 K hat $m\simeq4{,}65\cdot10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , entsprechend ungefähr 28,0 u.
Das Maximum liegt bei $v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2k_{\mathrm B}T}{m}}\simeq422\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
Die normierte Gesamtfläche ist eins.
Für eine schmale 10-m/s-Klasse nahe dem Maximum ist $f(v_{\mathrm{mp}})\Delta v$ eine näherungsweise Wahrscheinlichkeit, nicht der Dichtewert allein.

Typische Fehler

Einen Dichtewert direkt als Prozentwahrscheinlichkeit eines exakten Geschwindigkeitswerts lesen.

Wahrscheinlichkeit ist die Fläche $\int_{v_1}^{v_2}f(v)\,dv$ ; die Dichte hat inverse Geschwindigkeitseinheiten. Ein Einzelpunkt besitzt Wahrscheinlichkeit null.

Klausurkontext

Geschwindigkeitsverteilungen in Gasen, kinetische Gastheorie, Diffusion, Effusion und Temperaturabhängigkeit molekularer Prozesse.

Formelcluster

Kinetische Gastheorie

Intervallflächen liefern Teilchenanteile; die ersten beiden Momente verbinden die Verteilung mit mittlerer und RMS-Geschwindigkeit sowie Energie.

vrms = √(3kBT/m)

Quadratischer Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit

⟨Ekin⟩ = 3/2 kBT

Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

pV = 1/3 Nm⟨v²⟩

Druck aus der kinetischen Gastheorie

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Geschwindigkeitsverteilungen in Gasen, kinetische Gastheorie, Diffusion, Effusion und Temperaturabhängigkeit molekularer Prozesse.

Rechenbeispiel: Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten (f(v) = 4π(m/2πkBT)³ᐟ² v² e^(−mv²/2kBT)).

1
Aufgabe
Gerundetes Stickstoffmodell: Teilchenmasse 4,65·10⁻²⁶ kg bei 300 K. Bestimme den wahrscheinlichsten Betrag und erkläre, wie aus einer Klasse von 10 m/s Breite nahe dem Maximum ein Teilchenanteil wird.
Rechenweg
1. Das gerundete Stickstoffmodell bei 300 K hat $m\simeq4{,}65\cdot10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , entsprechend ungefähr 28,0 u.
2. Das Maximum liegt bei $v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2k_{\mathrm B}T}{m}}\simeq422\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
3. Die normierte Gesamtfläche ist eins.
4. Für eine schmale 10-m/s-Klasse nahe dem Maximum ist $f(v_{\mathrm{mp}})\Delta v$ eine näherungsweise Wahrscheinlichkeit, nicht der Dichtewert allein.

Die Formel verstehen und anwenden

Eine Dichte ist noch keine Wahrscheinlichkeit

f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm B}T}\right)^{\frac{3}{2}}v^2e^{-\frac{mv^2}{2k_{\mathrm B}T}},\quad v\ge0

v ist der thermische Betrag relativ zur lokalen mittleren Gasbewegung; m ist Masse pro Teilchen.[1]

So liest du die Fläche richtig

P(v_1\le v\le v_2)=\int_{v_1}^{v_2}f(v)\,dv

Eine endliche Geschwindigkeitsklasse braucht zwei Grenzen.

Eine niedrigere Kurve kann dieselbe Gesamtfläche haben

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Aus drei Komponenten entsteht eine Kugelschale

\begin{aligned}P(\mathbf v)&=\left(\frac{m}{2\pi k_{\mathrm B}T}\right)^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2k_{\mathrm B}T}}\\{} f(v)dv&=P(\mathbf v)4\pi v^2dv\end{aligned}

Die isotrope Dichte ist auf einer Geschwindigkeitskugel konstant; ihre Schalenfläche liefert v².[1][2]

Vertiefung: skalierte Verteilung und kumulative Funktion

\begin{aligned}a&=\sqrt{\frac{2k_{\mathrm B}T}{m}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}\\x&=\frac va\\g(x)&=a f(ax)=\frac4{\sqrt\pi}x^2e^{-x^2}\end{aligned}

a ist die wahrscheinlichste Geschwindigkeit; M steht in kg/mol.[1]

\begin{aligned}\int_0^\infty g(x)\,dx&=1\\F(x)&=\operatorname{erf}(x)-\frac{2x}{\sqrt\pi}e^{-x^2}\end{aligned}

F ist die kumulative Wahrscheinlichkeit im skalierten Betrag; $F(0)=0$ und $F(\infty)=1$ .[1]

Maximum, Mittelwert und RMS getrennt

\begin{aligned}v_{\mathrm{mp}}&=a\\\langle v\rangle&=\frac{2a}{\sqrt\pi}\\v_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{\frac32}\,a\end{aligned}

Das Maximum folgt aus $\frac{d}{dx}(x^2e^{-x^2})=0$ ; Mittel und RMS aus erstem und zweitem Moment.[1]

Echte Intervalle statt einzelner Dichtewerte

Eine Geschwindigkeitsklasse im Modellgas

Gegeben: $M=0{,}044\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ , $T=330\,\mathrm K$ ; klassisches ideales Gleichgewicht. Intervall $0{,}8v_{\mathrm{mp}}$ bis $1{,}2v_{\mathrm{mp}}$ .
Gesucht: Berechne die Klasse und ihren Teilchenanteil.

Ansatz: Eine Geschwindigkeitsklasse wird über die Verteilungsfläche berechnet. $a=\sqrt{\frac{2RT}{M}},\quad P(v_1<v<v_2)=F(\frac{v_2}{a})-F(\frac{v_1}{a})$ . Geschwindigkeitsskala bestimmen.
$a=\sqrt{\frac{2RT}{M}}=353.1528554\,\mathrm{m/s}$
CDF an beiden Grenzen auswerten.
$P=F(1.2)-F(0.8)=0.3233884261$
Mit der Mittelpunkt-Näherung vergleichen.
$g(1)(1.2-0.8)=0.3320859979$

Ergebnis: Die Klasse etwa 282,52–423,78 m/s enthält 32,3388 % der Teilchen. Die breite Mittelpunkt-Näherung ergibt 33,2086 %.

Ein schneller Verteilungsschwanz

Gegeben: Dasselbe Modellgas; suche $v>2v_{\mathrm{mp}}$ . Eine Probe enthält $N=2{,}00\cdot10^{21}$ Teilchen.
Gesucht: Finde Anteil und erwartete Zahl, dann vergleiche doppelte Geschwindigkeitsskala.

Ansatz: Für den schnellen Schwanz die kumulierte Verteilung ergänzen. $P(v>v_*)=1-F(\frac{v_*}{a})$ . Komplement der CDF verwenden.
$P(v>2a)=1-F(2)=0.04601170569$
Erwartete Zahl aus Anteil bestimmen.
$\langle N_{tail}\rangle=NP=9.202341138\times10^{19}$
Bei vierfacher Temperatur verdoppelt sich a.
$a(4T)=2a(T)$

Ergebnis: Etwa 4,60117 % überschreiten 706,31 m/s. Bei vierfachem T hat dieselbe absolute Schwelle den skalierten Wert $x=1$ statt 2.

Kontrolle: Nun liegt der Anteil oberhalb der ursprünglichen Schwelle bei $1-F(1)=0{,}5724067045$ . Oberhalb der jeweils neuen 2a-Schwelle bliebe dagegen derselbe 4,60117 %-Anteil.

Schnelle Teilchen in einem Gemisch

Gegeben: Ideales klassisches Gleichgewichtsgemisch bei 300 K, im Gasruhessystem. Gleiche Teilchenzahlen zweier Modellarten mit 0,00400 und 0,0400 kg/mol. Beide Arten sind nichtrelativistisch und nicht quantenentartet. Gesucht ist der Anteil mit Betrag über 700 m/s.
Gesucht: Die beiden Artanteile und den Anteil des gesamten Gemischs bestimmen.

Ansatz: Jede Art hat ihre eigene Skala. Erst ihre Schwanzwahrscheinlichkeiten berechnen, danach mit den Teilchenanteilen gewichten.
$\begin{aligned}a_j&=\sqrt{\frac{2RT}{M_j}}\\P_j&=1-F\!\left(\frac{700\,\mathrm{m\,s^{-1}}}{a_j}\right)\\P_{\mathrm{mix}}&=\frac12P_1+\frac12P_2\end{aligned}$
Die beiden Skalen und dimensionslosen Grenzen einsetzen.
$\begin{aligned}a_1&\simeq1116.767\,\mathrm{m\,s^{-1}},&x_1&\simeq0.626809\\a_2&\simeq353.153\,\mathrm{m\,s^{-1}},&x_2&\simeq1.982145\end{aligned}$
Mit der kumulativen Funktion die Anteile und ihre Mischung auswerten.
$\begin{aligned}P_1&\simeq0.852865\\P_2&\simeq0.0490439\\P_{\mathrm{mix}}&\simeq0.450955\end{aligned}$

Ergebnis: Etwa 85,29 % der leichten und 4,904 % der schweren Art überschreiten 700 m/s. Zusammen sind es etwa 45,10 % aller Teilchen.

Lokale Temperatur und Laborstrahl unterscheiden

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Modellgas hat $M=0{,}020\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und $T=600\,\mathrm K$ . Berechne vmp.

Hinweis anzeigen

Molare Skala verwenden.

Lernziel: Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit mit molarer Masse in SI bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$ .
Mit den vorgegebenen Modellwerten entstehen etwa 706,306 m/s.

Kontrolle: Gegenüber dem ersten Beispiel mit 0,044 kg/mol und 330 K ist $\frac{T}{M}$ viermal so groß; der wahrscheinlichste Betrag ist daher doppelt so groß.

v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2\cdot8.31446261815324\cdot600}{0.020}}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\simeq706.305711\,\mathrm{m\,s^{-1}}

Interpretieren · Einstieg

Welche Wahrscheinlichkeit hat exakt $v=500\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ in der kontinuierlichen Maxwell-Dichte?

Hinweis anzeigen

Intervallbreite null.

Lernziel: Positive Dichte von der Wahrscheinlichkeit eines exakten Einzelwerts unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Wahrscheinlichkeit ist das Integral über die Messklasse; bei einem Einzelpunkt verschwindet ihre Breite.
Null. f(500) kann positiv sein, aber der Einzelpunkt hat keine Fläche.
Eine endliche Messklasse braucht ihre Grenzen und ein Integral.

P(v=500\,\mathrm{m/s})=0

Einsetzen und Rechnen · Vertiefen

Bestimme im skalierten Modell den Anteil unterhalb vmp.

Hinweis anzeigen

F(1), nicht die Fläche eines Rechtecks.

Lernziel: Eine kumulierte Geschwindigkeitswahrscheinlichkeit bis zum Dichtemaximum bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Am wahrscheinlichsten Betrag ist die skalierte Grenze $x=1$ .
Setze sie in die kumulative Funktion ein.
Die unten berechnete Fläche beträgt etwa 42,7593 %.

Kontrolle: Sie liegt zwischen null und eins. Der Dichtehöchstwert ist kein Median; er teilt die Wahrscheinlichkeit nicht in zwei gleiche Hälften.

\begin{aligned}P(v<a)&=F(1)\\&=\operatorname{erf}(1)-\frac2{\sqrt\pi}e^{-1}\\&\simeq0.4275932955\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Für dasselbe klassische Gleichgewichtsgas wird die Temperatur von T auf 4T erhöht. Zwei normierte Maxwell-Boltzmann-Kurven zeigen danach eine breitere und niedrigere Verteilung. Vergleiche den wahrscheinlichsten Geschwindigkeitswert und die Höhe des Dichtemaximums. Ist unter der niedrigeren Kurve insgesamt weniger Wahrscheinlichkeit enthalten?

Hinweis anzeigen

Der thermische Geschwindigkeitsmaßstab wächst mit der Wurzel der Temperatur. Die Fläche einer normierten Dichte muss weiterhin eins bleiben.

Lernziel: Die temperaturbedingte Skalierung einer normierten Geschwindigkeitsdichte verstehen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die neue Geschwindigkeitsskala ist doppelt so groß.
Bei entsprechender Skalierung der Abszisse muss die Dichtehöhe halbiert werden, damit die Fläche gleich bleibt.
Der wahrscheinlichste Wert verdoppelt sich und die maximale Dichte halbiert sich.

Kontrolle: Mit der Variablensubstitution $v=2u$ wird das Integral der neuen Verteilung wieder eins. Eine Dichtehöhe ist keine Wahrscheinlichkeit eines exakten Einzelwerts.

\begin{aligned}v_{\mathrm{mp}}(4T)&=2v_{\mathrm{mp}}(T)\\f_{4T}(v)&=\frac12f_T\!\left(\frac v2\right)\\f_{4T,\max}&=\frac12f_{T,\max}\\\int_0^\infty f_{4T}(v)\,\mathrm dv&=\int_0^\infty f_T(u)\,\mathrm du=1\end{aligned}

[1][2]

Fehleranalyse · Anwenden

In einem klassischen Gleichgewichtsgas sei die normierte Maxwell-Geschwindigkeitsdichte im schmalen Intervall von 490 bis 510 m/s näherungsweise konstant; als gerundeter möglicher Maxwell-Modellwert sei $f=0{,}0016\,\mathrm{s\,m^{-1}}$ . Eine Lösung liest daraus „0,16 % Wahrscheinlichkeit bei genau 500 m/s“ ab. Berechne die näherungsweise Intervallwahrscheinlichkeit und ordne die Wahrscheinlichkeit des exakten Einzelwerts ein.

Hinweis anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit ist die Fläche, also Dichte mal Intervallbreite in dieser Näherung. Ein Einzelpunkt hat bei einer kontinuierlichen Verteilung keine Breite.

Lernziel: Eine Wahrscheinlichkeitsdichte in eine Intervallwahrscheinlichkeit mit korrekter Einheit übersetzen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die näherungsweise konstante Dichte über das 20 m/s breite Intervall integrieren.
Das ergibt 0,032 oder 3,2 % Wahrscheinlichkeit.
Für genau 500 m/s ist die Wahrscheinlichkeit null, obwohl die Dichte dort positiv ist.

\begin{aligned}P(490\,\mathrm{m\,s^{-1}}\le v\le510\,\mathrm{m\,s^{-1}})&\approx f\Delta v\\{}&=(0.0016\,\mathrm{s\,m^{-1}})(20\,\mathrm{m\,s^{-1}})=0.032\\{}P(v=500\,\mathrm{m\,s^{-1}})&=0\end{aligned}

[1]

Wann die Verteilung ersetzt werden muss

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Passende fachliche Verbindungen ergänzt; bestehende Feld- und Energiebilanzen, Herleitungen, Beispiele, Aufgaben, Figuren und Modellgrenzen erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
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Carnot-Wirkungsgrad

Q = m \cdot c \cdot \Delta T

Wärmekapazität (Q = m·c·ΔT)

\Delta U = Q - W

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Eine Dichte ist noch keine Wahrscheinlichkeit

So liest du die Fläche richtig

Eine niedrigere Kurve kann dieselbe Gesamtfläche haben

Aus drei Komponenten entsteht eine Kugelschale

Vertiefung: skalierte Verteilung und kumulative Funktion

Maximum, Mittelwert und RMS getrennt

Echte Intervalle statt einzelner Dichtewerte

Eine Geschwindigkeitsklasse im Modellgas

Ein schneller Verteilungsschwanz

Schnelle Teilchen in einem Gemisch

Lokale Temperatur und Laborstrahl unterscheiden

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Ein Modellgas hat M=0,020 kg mol−1M=0{,}020\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}M=0,020kgmol−1 und T=600 KT=600\,\mathrm KT=600K. Berechne vmp.

Welche Wahrscheinlichkeit hat exakt v=500 m s−1v=500\,\mathrm{m\,s^{-1}}v=500ms−1 in der kontinuierlichen Maxwell-Dichte?

Bestimme im skalierten Modell den Anteil unterhalb vmp.

Wann die Verteilung ersetzt werden muss

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Häufige Fragen: Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten

Fachquellen und weiterführende Literatur

Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten prüfungssicher behalten

Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Geschwindigkeitsbeträge

Variablen & Einheiten

Maxwell-Boltzmann-Verteilung berechnen

So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Kinetische Gastheorie

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten

Eine Dichte ist noch keine Wahrscheinlichkeit

So liest du die Fläche richtig

Eine niedrigere Kurve kann dieselbe Gesamtfläche haben

Aus drei Komponenten entsteht eine Kugelschale

Vertiefung: skalierte Verteilung und kumulative Funktion

Maximum, Mittelwert und RMS getrennt

Echte Intervalle statt einzelner Dichtewerte

Eine Geschwindigkeitsklasse im Modellgas

Ein schneller Verteilungsschwanz

Schnelle Teilchen in einem Gemisch

Lokale Temperatur und Laborstrahl unterscheiden

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Ein Modellgas hat M=0,020 kg mol−1M=0{,}020\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}M=0,020kgmol−1 und T=600 KT=600\,\mathrm KT=600K. Berechne vmp.

Welche Wahrscheinlichkeit hat exakt v=500 m s−1v=500\,\mathrm{m\,s^{-1}}v=500ms−1 in der kontinuierlichen Maxwell-Dichte?

Bestimme im skalierten Modell den Anteil unterhalb vmp.

Wann die Verteilung ersetzt werden muss

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Häufige Fragen: Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten

Fachquellen und weiterführende Literatur

Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten prüfungssicher behalten

Ein Modellgas hat $M=0{,}020\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und $T=600\,\mathrm K$ . Berechne vmp.

Welche Wahrscheinlichkeit hat exakt $v=500\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ in der kontinuierlichen Maxwell-Dichte?

Ein Modellgas hat $M=0{,}020\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ und $T=600\,\mathrm K$ . Berechne vmp.

Welche Wahrscheinlichkeit hat exakt $v=500\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ in der kontinuierlichen Maxwell-Dichte?