Van-der-Waals-Gleichung

Die Van-der-Waals-Gleichung korrigiert die ideale Gasgleichung um Anziehungskräfte und das Eigenvolumen der Teilchen. Die Beziehung (p+an²/V²)(V−nb)=nRT beantwortet damit eine konkrete Frage zu Abschätzen realer Gaszustände und qualitativer Vergleich mit dem idealen Gasmodell. Für 1,00 mol mit V=0,0240 m³, T=300 K, a=0,137 Pa·m⁶/mol² und b=3,86×10⁻⁵ m³/mol ergibt sich p=nRT/(V−nb)−a(n/V)²≈103,8 kPa. Probe: bei a=b=0 folgt wieder p=nRT/V≈103,9 kPa. Die Probe kontrolliert den Rechengang und zeigt, welche Bilanz oder welches Vorzeichen erwartet wird. Ordne vor dem Einsetzen jede Größe der tatsächlichen Probe zu. Ein passender Zahlenwert allein beweist noch nicht, dass die Modellannahmen im Experiment erfüllt sind.

Die Größen bedeuten: p: Druck des Gases (Pa); V: Gasvolumen (m³); n: Stoffmenge (mol); T: absolute Temperatur (K); a: Parameter für intermolekulare Anziehung (Pa·m⁶/mol²); b: Kovolumenparameter (m³/mol). Die Einheitenregel lautet p in Pa · V in m³ · n in mol · T in K · a in Pa·m⁶/mol² · b in m³/mol. Zähler und Nenner müssen dieselbe Probe und kompatible Messskalen beschreiben. Bei Lösungen unterscheide Endvolumen und Lösungsmittelmasse; bei Gasen müssen Druck- und Volumeneinheiten zur Gaskonstante passen. Prüfe die Einheiten erst nach dem vollständigen Einsetzen. So erkennst du etwa einen fehlenden Umrechnungsfaktor, bevor er im gerundeten Ergebnis verborgen bleibt. Behalte dabei jedes Symbol an seine Definition gebunden.

Ein einfaches Realgasmodell; nahe kritischen und Phasengrenzen sind genauere Zustandsgleichungen nötig. Der Term a n²/V² erhöht den gemessenen Druck rechnerisch, weil Anziehung die Stöße an der Wand mindert. V−nb reduziert den verfügbaren Raum um das Kovolumen. a und b sind substanzspezifisch und die Gleichung ist ein einfaches Modell, keine universelle Hochpräzisions-Zustandsgleichung. Nahe Phasenübergängen oder im kritischen Bereich sind quantitative Abweichungen möglich; Parameter und Einheiten müssen konsistent sein. Prüfe diese Grenze vor der Rechnung: Temperatur, Zusammensetzung, Phase und Konzentrationsskala können das Ergebnis beeinflussen. Wenn die Probe die Voraussetzung nicht erfüllt, ist die Formel nicht durch mehr Dezimalstellen zu retten. Nenne die Abweichung oder wähle ein geeigneteres Modell, etwa mit Aktivitäten bei nichtidealen Lösungen oder mit einer Realgasbeschreibung bei hohen Drücken.

Kontrolliere das Beispiel unabhängig: Für 1,00 mol mit V=0,0240 m³, T=300 K, a=0,137 Pa·m⁶/mol² und b=3,86×10⁻⁵ m³/mol ergibt sich p=nRT/(V−nb)−a(n/V)²≈103,8 kPa. Probe: bei a=b=0 folgt wieder p=nRT/V≈103,9 kPa. Prüfe danach die Einheit (p in Pa · V in m³ · n in mol · T in K · a in Pa·m⁶/mol² · b in m³/mol) und setze den berechneten Wert zurück in (p+an²/V²)(V−nb)=nRT. Bei einer Stoffbilanz müssen sich die Anteile konsistent verhalten; bei einem Druck- oder Temperaturgesetz muss die Richtung der Änderung zur Physik passen. Eine abweichende Probe deutet oft auf vermischte Bezugsmengen, einen Einheitenwechsel oder eine falsche Annahme hin.

Van-der-Waals-Gleichung steht neben Ideales Gasgesetz und Kompressibilitätsfaktor realer Gase, hat aber eine eigene Aufgabe: Abschätzen realer Gaszustände und qualitativer Vergleich mit dem idealen Gasmodell. Verknüpfte Beziehungen können Größen liefern, die hier als Eingabe dienen; sie ersetzen die Formel nicht. Prüfe für jede Gleichung separat, ob Standardzustand, ideale Mischung oder Reaktionsschritt passen. In einer mehrteiligen Aufgabe hilft eine Reihenfolge: erst Bilanz oder Messgröße bestimmen, dann Gleichgewicht oder Modell anwenden und am Ende die Einheiten rückprüfen. Eine gute Abgrenzung benennt für jede Beziehung die vorhergesagte Größe und den nötigen Messwert.