Physik · Drehbewegung

Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung

Q: Was beschreibt die Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung?

Die Beziehung $\omega=\omega_0+\alpha t$ beschreibt eine signierte Winkelgeschwindigkeitskomponente um eine feste Achse. Du legst zuerst die positive Drehrichtung fest. Konstantes α ist die Steigung der Geraden im ω-t-Diagramm; $\omega_0$ ist ihr Anfangswert. Negatives α bedeutet nicht automatisch Bremsen: Bei negativem ω kann der Geschwindigkeitsbetrag weiter wachsen. Eine Nullstelle zeigt den momentanen Stillstand und bei fortgesetztem Modell einen Richtungswechsel. Die Fläche unter der Geraden beschreibt zusätzlich den signierten Drehwinkel, nicht die gesamte Winkelstrecke bei Gegenrotation. Die Formel erklärt den Zeitverlauf, bestimmt aber ohne Trägheitsmoment und Drehmomentbilanz weder Antriebskraft noch Energiebedarf.

Q: Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei konstanter Winkelbeschleunigung?

ω und $\omega_0$ stehen in rad/s, α in rad/s² und t in s. Das Produkt αt hat deshalb die erforderliche Einheit rad/s. Drehzahlen in U/min wandelst du mit ω=2πn/60 um; 600 U/min sind 20π rad/s, nicht 600 rad/s. Radiant ist im SI dimensionslos, bleibt hier aber als Hinweis auf den Winkel sinnvoll. Prüfe außerdem t=0: Das Ergebnis muss $\omega_0$ sein. Bei $\alpha=0$ darf sich ω nicht ändern. Eine Verdopplung der Zeit verdoppelt nur die Änderung αt, nicht generell den gesamten Endwert einschließlich Anfangsgeschwindigkeit. Größere negative Werte können einen größeren Geschwindigkeitsbetrag bedeuten.

Bei konstanter signierter Winkelbeschleunigung um eine feste Achse ändert sich die signierte Winkelgeschwindigkeit linear mit der Zeit.

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

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Formel

Berechnen

ω = ω_{0} + α t

$\omega,\omega_0$ in rad/s; $\alpha$ in rad/s²; t in Sekunden. Drehzahl zuerst in Winkelgeschwindigkeit umrechnen.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$ω$	signierte Winkelgeschwindigkeitskomponente um die feste Achse zur Zeit t	rad/s
$ω₀$	signierte Anfangskomponente bei t=0	rad/s
$α$	im betrachteten Intervall konstante signierte Winkelbeschleunigung um dieselbe Achse	rad/s²
$t$	verstrichene Zeit seit dem Anfangszustand	s

LaTeX

\omega=\omega_0+\alpha t

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Winkelgeschwindigkeit über Zeit: Gerade von 12 rad/s bei 0 s über null bei 4 s bis −3 rad/s bei 5 s. Positive Dreiecksfläche 24 rad, negative Fläche −1,5 rad, Nettowinkel 22,5 rad. — Konstantes α = −3 rad/s² führt bei t = 4 s durch den Stillstand. Im Intervall von 0 bis 5 s beträgt die signierte Fläche 22,5 rad; die gesamte Winkelstrecke beträgt 25,5 rad.

Winkelgeschwindigkeit berechnen

Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Zeit und Drehwinkel bei konstanter Winkelbeschleunigung um eine feste Achse ausrechnen.

Gesucht

Winkelgeschwindigkeit zu Beginn ω₀

Winkelgeschwindigkeit zu Beginn mit Vorzeichen, z. B. 10 rad/s; 0 für einen Start aus der Ruhe.

Signierte Winkelbeschleunigung α

Konstante Winkelbeschleunigung mit Vorzeichen, z. B. 2 rad/s²; gegen die Drehrichtung heißt Bremsen.

Vergangenes Zeitintervall Δt

Dauer der gleichmäßigen Beschleunigung, z. B. 5 s.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Winkelgeschwindigkeit am Ende ω

ωf = 20 rad/s

Mit ω₀ = 10 rad/s, α = 2 rad/s² und Δt = 5 s ergibt sich ωf = 20 rad/s.

Rechenweg · umstellen nach ωf, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach ωf umstellen
$\omega_{f,z}=\omega_{0,z}+\alpha_z\Delta t$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
$10+2\cdot 5$
3. Ergebnis
ωf = 20 rad/s

So rechnest du schneller

Wie bei der geradlinigen Bewegung: ω entspricht v, α entspricht a, der Winkel dem Weg. ω = ω₀ + α · t ist das Gegenstück zu v = v₀ + a · t.
Abkürzung für den Drehwinkel: mittlere Winkelgeschwindigkeit mal Zeit, (ω₀ + ω)/2 · t. Von 10 auf 20 rad/s in 5 s ergibt 15 rad/s · 5 s = 75 rad.

Annahmen und Grenzen

Feste Achse und konstante signierte Beschleunigung während des gesamten nichtnegativen Zeitintervalls. Ein Richtungswechsel wird nur bei tatsächlich fortgesetzter Beschleunigung berechnet; keine automatisch weiterlaufende passive Bremse. Winkeländerung ist signiert, Winkelstrecke addiert Beträge.

Herleitung & Hintergrund

Aus $\alpha=\frac{d\omega}{dt}$ folgt bei konstantem Wert durch Integration $\omega=\omega_0+\alpha t$ . Beide Komponenten gehören zur gleichen festen Achse und positiven Drehrichtung; $|\omega|$ ist der Betrag. Negative Beschleunigung kann je nach Drehsinn bremsen oder den Betrag vergrößern. Eine passive Bremse darf nach dem Stillstand nicht ohne Begründung als fortgesetzt konstantes Moment modelliert werden.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Feste Achse mit festgelegter positiver Richtung; $\omega$ und $\alpha$ sind signierte Komponenten. $\alpha$ muss im gesamten Zeitintervall konstant sein. Nach einem Stillstand gilt die Gerade nur weiter, wenn die angenommene Beschleunigung tatsächlich aufrechterhalten wird.

Herleitung in Schritten

Konstante signierte Winkelbeschleunigung ergibt durch Zeitintegration eine lineare Winkelgeschwindigkeit.

1Wähle eine feste Achse und eine positive Drehrichtung; $\omega$ und $\alpha$ sind signierte Komponenten.
2Definiere $\alpha=\frac{d\omega}{dt}$ und den Anfangswert $\omega(0)=\omega_0$ .
3Integriere $\omega(t)-\omega_0=\int_0^t\alpha(t^{\prime})\,dt^{\prime}$ .
4Nur ein im gesamten Intervall konstantes $\alpha$ darf vor das Integral; dessen Wert wird dann $\alpha t$ .
5Addiere den Anfangswert: $\omega(t)=\omega_0+\alpha t$ . Der Zusatz besitzt wie $\omega$ die Einheit $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .
6Prüfe für $\alpha\ne0$ die Nullstelle $t_s=-\frac{\omega_0}{\alpha}$ . Nur bei positivem $t_s$ und fortgesetztem Modell entsteht danach eine Umkehr.
7Bei $\alpha=0$ bleibt die Winkelgeschwindigkeit konstant. Bei veränderlicher Beschleunigung gilt die Integralform statt Endwert mal Zeit.

Umstellen

Winkelbeschleunigung

\alpha=\frac{\omega-\omega_0}t

Nur bei konstanter Winkelbeschleunigung und t>0.

Aufgabenvariante

Ein Rotor startet bei $\omega_0=2{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Seine Winkelbeschleunigung bleibt vier Sekunden lang $\alpha=+0{,}50\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ . Bestimme den Endwert.

Ansatz: $\omega=\omega_0+\alpha t$ .
Einsetzen ergibt $\omega=4{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .

Kontrolle: Die Zunahme um 2,0 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ in vier Sekunden ergibt wieder die vorgegebene Beschleunigung.

Typische Fehler

Eine negative Beschleunigung immer als Bremsen oder die signierte Winkeländerung als gesamte Winkelstrecke deuten.

Vorzeichen von $\omega$ mitprüfen. Bei Richtungswechseln die Flächenbeträge addieren; eine passive Bremse setzt nach dem Stillstand nicht automatisch die Gerade fort.

Klausurkontext

Drehzahl und Winkelgeschwindigkeit bei gleichmäßig beschleunigten Drehbewegungen bestimmen.

Formelcluster

Drehbewegung

Verwandte Beziehungen: winkelgeschwindigkeit-kreisfrequenz, drehmoment, rotationsenergie-starrer-koerper.

ω = 2πf; v = ω·r

Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz

M = F·r·sin(θ)

Drehmoment

Erot = ½Iω²

Rotationsenergie eines starren Körpers

Rechenbeispiel

Ein Rotor beginnt mit $\omega_0=2{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ und behält $\alpha=+0{,}50\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ bei. Nach $t=4{,}0\,\mathrm s$ folgt $\omega=\omega_0+\alpha t=4{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Die Änderung beträgt 2,0 rad/s in vier Sekunden, passend zur angegebenen Steigung.

Anwendungsgebiete

Drehzahl und Winkelgeschwindigkeit bei gleichmäßig beschleunigten Drehbewegungen bestimmen.

Rechenbeispiel: Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung (ω = ω₀ + αt).

1
Aufgabe
Ein Rotor startet bei $\omega_0=2{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Seine Winkelbeschleunigung bleibt vier Sekunden lang $\alpha=+0{,}50\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ . Bestimme den Endwert.
Rechenweg
1. Ansatz: $\omega=\omega_0+\alpha t$ .
2. Einsetzen ergibt $\omega=4{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .
Kontrolle: Die Zunahme um 2,0 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ in vier Sekunden ergibt wieder die vorgegebene Beschleunigung.

Die Formel verstehen und anwenden

Ein Rotor kann beschleunigen, bremsen und seine Drehrichtung umkehren. Bei konstanter Winkelbeschleunigung ist seine signierte Winkelgeschwindigkeit eine Gerade in der Zeit. Deren Steigung, Nullstelle und Fläche beantworten verschiedene Fragen: Beschleunigung, Richtungswechsel und Winkeländerung.

Eine gerade Linie beschreibt den Hochlauf

Wie schnell dreht ein Rotor nach einigen Sekunden? Wenn seine Winkelgeschwindigkeit in jeder Sekunde um denselben Wert steigt oder sinkt, ist die Winkelbeschleunigung konstant. Dann genügt eine Gerade im Zeitdiagramm. Die Vorzeichen zeigen die Drehrichtung; die Fläche zeigt, wie weit sich der Rotor gedreht hat. Bei einem Richtungswechsel sind Nettoänderung und insgesamt gedrehter Winkel verschieden.[1]

Vorwissen: Steigung einer Geraden und Flächen von Dreieck oder Trapez. Eine Umdrehung entspricht einem Winkel von zwei Pi Radiant.

Eine signierte Größe um eine feste Achse

\omega_z(t)=\omega_{z,0}+\alpha_z(t-t_0)

Die obere Kurzform setzt t0=0 und unterdrückt den Achsenindex. Die positive Drehrichtung wird vorher festgelegt.[1]

$\omega_z$ beschreibt die Drehrichtung mit seinem Vorzeichen; $|\omega_z|$ ist der nichtnegative Geschwindigkeitsbetrag der Rotation. Eine negative $\alpha_z$ bedeutet deshalb nicht immer langsameres Drehen: Bei bereits negativem $\omega_z$ wächst der Betrag, wenn $\alpha_z$ ebenfalls negativ ist. Die Formel sagt zunächst nichts über das antreibende Drehmoment oder die benötigte Energie.[2]

Richtungswechsel trennt Winkel und Winkelstrecke

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Eigenes Beispiel:

\omega(t)=12\,\mathrm{rad\,s^{-1}}-(3\,\mathrm{rad\,s^{-2}})t

. Bei 4 s erfolgt die Umkehr. Positive Fläche 24 rad und negative Fläche −1,5 rad geben Nettowinkel 22,5 rad; die Winkelstrecke ist 25,5 rad. Ein Antrieb hält die negative Beschleunigung auch nach der Umkehr aufrecht.[1]

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Die Änderungsrate integrieren

\begin{aligned}\alpha_z&=\frac{d\omega_z}{dt}\\\omega_z(t)-\omega_{z,0}&=\int_{t_0}^{t}\alpha_z(t^{\prime})\,dt^{\prime}\end{aligned}

Winkelbeschleunigung ist die zeitliche Ableitung der signierten Komponente.[1]

Wenn $\alpha_z$ im gesamten betrachteten Intervall konstant ist, darf der Wert vor das Integral gezogen werden. Das verbleibende Zeitintegral ergibt $t-t_0$ . Durch Addition des Anfangswerts folgt die Gerade $\omega_z(t)$ . Für veränderliche $\alpha_z(t)$ bleibt die Integralform nötig; der Endwert der Beschleunigung mal Zeit ist dann im Allgemeinen nicht die Änderung von $\omega$ .[2]

\begin{aligned}\alpha_z&=\frac{\omega_z-\omega_{z,0}}{t-t_0}\\t-t_0&=\frac{\omega_z-\omega_{z,0}}{\alpha_z}\end{aligned}

Die erste Umstellung benötigt ein nichtnull Zeitintervall, die zweite zusätzlich $\alpha_z$ ≠0. Bei $\alpha_z=0$ bleibt $\omega_z$ konstant.

Radiant und Umdrehungen auseinanderhalten

\begin{aligned}\omega&=2\pi f=\frac{2\pi n_{\mathrm{rpm}}}{60}\\1\,\mathrm{rev}&=2\pi\,\mathrm{rad}\end{aligned}

n in Umdrehungen pro Minute ist eine Drehzahl, nicht direkt ein $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ -Wert. Für signierte Drehzahlen dieselbe Richtungskonvention verwenden.[2]

$\alpha_z$ in $\mathrm{rad\,s^{-2}}$ mal Zeit in s ergibt $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Radiant ist im SI dimensionslos, macht den Winkelbezug aber sichtbar. Ein Gradwert muss zuerst mit $\frac\pi{180}$ in Radiant umgerechnet werden, wenn weitere Beziehungen wie $v=r|\omega|$ verwendet werden. Aus zwei gemessenen $\omega$ -Werten erhältst du zunächst eine mittlere Beschleunigung. Dass diese im ganzen Intervall konstant war, ist eine zusätzliche Modellannahme.[2]

Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz klären die Umrechnung von Umdrehungen pro Zeit in Radiant pro Zeit. Übernimm danach die Vorzeichenrichtung der Achse; eine positive Drehzahl als Betrag ersetzt nicht die signierte Komponente.[1]

Die Fläche liefert Winkel, nicht automatisch Weg

\Delta\theta=\int_{t_0}^{t}\omega_z(t^{\prime})\,dt^{\prime}=\omega_{z,0}\Delta t+\frac12\alpha_z\Delta t^2=\frac{\omega_{z,0}+\omega_z}{2}\Delta t

Bei konstantem $\alpha$ ist die signierte Fläche unter der Geraden eine Trapezbilanz.[1]

\Theta_{\mathrm{travel}}=\int_{t_0}^{t}|\omega_z(t^{\prime})|\,dt^{\prime}

Die gesamte Winkelstrecke addiert beide Richtungen positiv. Sie stimmt nur ohne Richtungswechsel mit | $\Delta\theta$ | überein.[2]

Die Beziehung $\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta\theta$ vermeidet eine unbekannte Zeit, verliert beim Quadrieren aber die Information über das Vorzeichen von $\omega$ . Für einen Richtungswechsel brauchst du deshalb zusätzlich Zeitverlauf oder Drehrichtung. $\theta$ darf die ganzen Umdrehungen mitzählen; ein nur $\bmod 2\pi$ angegebener Winkel enthält weniger Information.[1]

Zwei verschiedene Zeitverläufe auswerten

Kontrollierter Hochlauf eines Rotors

Gegeben: Ein Rotor beschleunigt mit konstanter $\alpha$ von +300 auf +900 Umdrehungen pro Minute in 8,00 s; feste Achse, beide Angaben gleiche Drehrichtung.
Gesucht: Bestimme $\alpha$ , Winkeländerung und Umdrehungszahl.

Ansatz: Drehzahlen in Winkelgeschwindigkeiten umrechnen und konstante Beschleunigung verwenden. $\omega=2\pi\frac{n}{60},\quad\alpha=\frac{\omega_f-\omega_0}{\Delta t}$ . Zuerst beide Drehzahlen in $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ umrechnen.
$\begin{aligned}\omega_0&=10\pi\,\mathrm{rad/s}\\\omega_f&=30\pi\,\mathrm{rad/s}\end{aligned}$
Änderung durch das Zeitintervall teilen.
$\alpha=\frac{30\pi-10\pi}{8}=2.5\pi\approx7.853982\,\mathrm{rad/s^2}$
Die mittlere Winkelgeschwindigkeit bestimmt die Fläche.
$\begin{aligned}\Delta\theta&=\tfrac12(10\pi+30\pi)8=160\pi\,\mathrm{rad}\\{} N&=\frac{\Delta\theta}{2\pi}=80\end{aligned}$

Ergebnis: $\alpha\approx7{,}854\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ und $\Delta\theta\approx502{,}655\,\mathrm{rad}$ , also 80 vollständige Umdrehungen.

Kontrolle: Die unabhängige Formel $\omega_0t+\frac{\alpha t^2}{2}$ ergibt ebenfalls 160π. Der mittlere Drehzahlwert 600 Umdrehungen pro Minute über $\frac8{60}\,\mathrm{min}$ gibt 80 Umdrehungen. Nur ωf·t zu verwenden ergäbe fälschlich 120.

Aktiv durch null in die Gegenrichtung

Gegeben: $\omega_0=+12{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ ; ein Antrieb hält $\alpha=-3{,}00\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ für 5,00 s aufrecht. Das Modell wird nach dem Stillstand weitergeführt.
Gesucht: Bestimme Endwert, Nullstelle, signierten Winkel und gesamte Winkelstrecke.

Ansatz: Die signierte Gerade darf durch null in die Gegenrichtung weiterlaufen. $\omega(t)=\omega_0+\alpha t,\quad t_s=-\frac{\omega_0}{\alpha}$ . Endwert und Nullstelle aus der Geraden finden.
$\begin{aligned}\omega_f&=12-3(5)=-3\,\mathrm{rad/s}\\{} t_s&=\frac{12}{3}=4\,\mathrm s\end{aligned}$
Flächen vor und nach der Nullstelle getrennt rechnen.
$\begin{aligned}\Delta\theta_+&=\tfrac12(12)(4)=24\,\mathrm{rad}\\\Delta\theta_-&=-\tfrac12(3)(1)=-1.5\,\mathrm{rad}\end{aligned}$
Signierte Beiträge subtrahieren, Streckenbeträge addieren.
$\begin{aligned}\Delta\theta&=22.5\,\mathrm{rad}\\\Theta_{\mathrm{travel}}&=25.5\,\mathrm{rad}\end{aligned}$

Ergebnis: Der Rotor dreht nach 5 s mit 3 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ in Gegenrichtung. Nettoänderung 22,5 rad und zurückgelegte Winkelstrecke 25,5 rad sind verschieden.

Kontrolle: Unabhängig ergibt $12\cdot5-\frac{3\cdot25}{2}=22{,}5\,\mathrm{rad}$ . Die Kontrolle $\omega_f^2=144-6\cdot22{,}5=9\,\mathrm{rad^2\,s^{-2}}$ bestätigt den Betrag, wählt aber nicht zwischen den beiden Drehrichtungen. Eine passive trockene Bremse würde nach dem Stillstand nicht automatisch dieselbe negative Beschleunigung erzwingen.

Tangentiale und radiale Beschleunigung trennen

\begin{aligned}v&=r|\omega_z|\\a_t&=r\alpha_z\\a_r&=r\omega_z^2\end{aligned}

Für einen Punkt im festen senkrechten Achsabstand r ist at signiert tangential; $a_r$ ist der nach innen gerichtete Betrag.[2]

Konstantes $\alpha$ bedeutet konstante tangentiale Beschleunigung bei festem r, aber nicht konstante radiale Beschleunigung. Im Hochlauf wächst $\omega^2$ und damit $a_r$ . Der Zusammenhang $\sum\tau_z=I\alpha_z$ kann die erforderliche Nettodynamik ergänzen, wenn ein starres System und konstantes achsenbezogenes I gegeben sind. Kinematik allein bestimmt weder Reibungsverlust noch Motorleistung.[3]

Newtons zweites Gesetz für die Rotation liefert bei bekanntem konstantem Trägheitsmoment aus dem resultierenden äußeren Moment die Winkelbeschleunigung. Die Zeitrechnung verwendet dieses Ergebnis nur dann als konstant, wenn auch die zugrunde liegende Momentenbilanz im gesamten Intervall dazu passt.[3]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

$\omega_0=-5\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , $\alpha=+2\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ und $t=4\,\mathrm s$ . Bestimme $\omega$ und den Zeitpunkt des Richtungswechsels.

Hinweis anzeigen

Vorzeichen beibehalten; $\omega=0$ gesondert lösen.

Lernziel: Signierte Endrotation und Umkehrzeit bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\omega=\omega_0+\alpha t$ , mit $t_s=-\frac{\omega_0}{\alpha}$ für die Nullstelle.
Es folgen $\omega(4\,\mathrm s)=+3\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ und $t_s=2{,}5\,\mathrm s$ .

Kontrolle: $-5+2\cdot2{,}5=0$ . Bis zur Nullstelle sinkt der Betrag; danach wächst er in positiver Richtung.

\begin{aligned}\omega&=3\,\mathrm{rad/s}\\t_s&=2.5\,\mathrm s\end{aligned}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein Rotor mit +600 Umdrehungen pro Minute stoppt nach 12 s unter konstanter Winkelbeschleunigung. Wie groß sind $\alpha$ und $\Delta\theta$ bis zum Stillstand?

Hinweis anzeigen

600 Umdrehungen pro Minute entspricht 20π $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .

Lernziel: Drehzahl zur Bremskinematik umrechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Drehzahl zuerst in $\omega_0$ umrechnen, danach $\alpha=-\frac{\omega_0}{t_s}$ und $\Delta\theta=\frac12\omega_0t_s$ verwenden.
Es folgt $\omega_0=20\pi\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , $\alpha=-\frac{5\pi}3\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ und $\Delta\theta=120\pi\,\mathrm{rad}$ , also 60 Umdrehungen.

Kontrolle: Die mittlere Drehzahl beim gleichmäßigen Bremsen ist 300 Umdrehungen pro Minute; in 0,2 Minuten sind das dieselben 60 Umdrehungen.

\begin{aligned}\alpha&=-\frac{5\pi}{3}\,\mathrm{rad/s^2}\\\Delta\theta&=120\pi\,\mathrm{rad}\end{aligned}

Fehleranalyse · Anwenden

Nun gilt $\alpha_z(t)=(2\,\mathrm{rad\,s^{-3}})t$ und $\omega_0=1\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Bestimme die Winkelgeschwindigkeit nach drei Sekunden und erkläre, warum der Endwert der Beschleunigung in der Konstantform falsch wäre.

Hinweis anzeigen

Die gegebene Beschleunigung ist ausdrücklich zeitabhängig.

Lernziel: Zeitabhängige Beschleunigung integrieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Beschleunigung ist nicht konstant; verwende $\omega(t)=\omega_0+\int_0^t\alpha(t^{\prime})\,dt^{\prime}$ .
Die Integration ergibt $\omega(t)=1\,\mathrm{rad\,s^{-1}}+(1\,\mathrm{rad\,s^{-3}})t^2$ , deshalb nach drei Sekunden 10 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .
Die falsche Endwert-Methode liefert dagegen 19 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .

Kontrolle: Ableiten des richtigen Verlaufs ergibt wieder die vorgegebene Beschleunigung.

\omega_z(3\,\mathrm s)=10\,\mathrm{rad/s}

Interpretieren · Anwenden

Eine $\omega$ -t-Gerade verläuft von −4 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ bei t=0 bis +4 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ bei $t=4\,\mathrm s$ . Konstante Winkelbeschleunigung. Bestimme Nettowinkel, Winkelstrecke und Umkehrzeit; erkläre, warum das Rad trotz Nettowinkel null nicht stillsteht.

Hinweis anzeigen

Negative und positive Dreiecksfläche unterscheiden.

Lernziel: Flächen bei Richtungswechsel getrennt bilanzieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Nullstelle liegt nach zwei Sekunden.
Beide Flächenbeträge sind 4 rad.
Signiert heben sie sich auf, die gesamte Winkelstrecke ist dagegen 8 rad.
Das Rad dreht erst negativ und danach positiv; nur die Endorientierung kehrt zum Startwert zurück.
Null Nettowinkel ist eine Bilanz, kein Beleg für Ruhe.

\begin{aligned}\alpha&=\frac{4-(-4)}4=2\,\mathrm{rad\,s^{-2}}\\{}t_s&=2\,\mathrm s\\{}\Delta\theta&=-4+4=0\,\mathrm{rad}\\{}s_\theta&=4+4=8\,\mathrm{rad}\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

$\omega_0=+6\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , $\alpha=-2\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ konstant bis $t=5\,\mathrm{s}$ . Jemand benutzt die quadrierte Drehgleichung und gibt den Endwert als +4 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ an, weil die Wurzel positiv sei. Bestimme den richtigen Endwert und erkläre den verlorenen Zweig.

Hinweis anzeigen

Die lineare Zeitgleichung erhält das Vorzeichen.

Lernziel: Verlust des Richtungszweigs in einer quadrierten Gleichung erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Zeitgleichung ergibt −4 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ nach fünf Sekunden; nach drei Sekunden erfolgt die Umkehr.
Das Quadrat des Endwerts ist zwar 16, legt aber allein weder +4 noch −4 fest.
Die Wahl der positiven Wurzel liefert nur den Betrag, nicht den signierten Wert.
Eine weitere Zeit- oder Richtungsinformation ist erforderlich und hier vorhanden.

\begin{aligned}\omega(5\,\mathrm s)&=6-2\cdot5=-4\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\\{}t_s&=\frac6{2}\,\mathrm s=3\,\mathrm s\\{}\omega^2&=16\,\mathrm{rad^2\,s^{-2}}\end{aligned}

[1]

Konstante Komponente ist eine überprüfbare Annahme

Die skalare Gerade setzt eine unveränderte Achsenrichtung und konstantes $\alpha_z$ im ganzen Zeitintervall voraus. Bei wechselnder Achse muss die Vektorkinematik berücksichtigt werden; die Beträge von Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung lassen sich dann nicht einfach wie skalare Zahlen addieren. Bei zeitabhängigem $\alpha$ oder einem Regler mit mehreren Betriebsphasen rechnest du intervallweise oder integrierst den wirklichen Verlauf.[2]

Die bestehende obere Rechnung $\omega_0=2\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , $\alpha=0{,}50\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ und $t=4\,\mathrm s$ bleibt korrekt: $\omega=4\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Sie ist ein Kinematikbeispiel, keine allgemeine Behauptung über einen Motor mit konstanter Eingangsleistung. Ein konstantes Drehmoment bei konstantem I kann konstantes $\alpha$ erzeugen; konstante mechanische Leistung $P=\tau_z\omega_z$ liefert im Allgemeinen einen anderen Verlauf.[3]

Das nimmst du mit

Die Steigung der Winkelgeschwindigkeitsgeraden ist die konstante Winkelbeschleunigung. Die Nullstelle markiert einen möglichen Richtungswechsel, ihre signierte Fläche den Nettowinkel. Für die gesamte Winkelstrecke addierst du die Flächenbeträge. Drehraten vor dem Einsetzen umrechnen und eine angenommene Beschleunigung nach dem Stillstand physikalisch begründen.[1]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 2 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Passende fachliche Übergänge verknüpft; vorhandene Herleitungen, Beispiele, Aufgaben und Figuren vollständig erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert. Die Einheit Umdrehungen pro Minute in vier Textstellen ausgeschrieben.
1. Oktober 2026Einstieg und Schlussfolgerung individuell erklärt, bestehende Rechnungen geprüft, Formelsatz und Modellbezug präzisiert sowie eine eigene Lernfigur ergänzt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/winkelgeschwindigkeit-konstante-winkelbeschleunigung

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung

Was beschreibt die Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung?+

Die Beziehung $\omega=\omega_0+\alpha t$ beschreibt eine signierte Winkelgeschwindigkeitskomponente um eine feste Achse. Du legst zuerst die positive Drehrichtung fest. Konstantes α ist die Steigung der Geraden im ω-t-Diagramm; $\omega_0$ ist ihr Anfangswert. Negatives α bedeutet nicht automatisch Bremsen: Bei negativem ω kann der Geschwindigkeitsbetrag weiter wachsen. Eine Nullstelle zeigt den momentanen Stillstand und bei fortgesetztem Modell einen Richtungswechsel. Die Fläche unter der Geraden beschreibt zusätzlich den signierten Drehwinkel, nicht die gesamte Winkelstrecke bei Gegenrotation. Die Formel erklärt den Zeitverlauf, bestimmt aber ohne Trägheitsmoment und Drehmomentbilanz weder Antriebskraft noch Energiebedarf.

Wie prüfe ich eine Rechnung zur Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung?+

Prüfe zunächst, ob Anfangswert, Beschleunigung und Zeit dieselbe Achse und Richtungskonvention verwenden. Für $\omega_0$ =+12 rad/s, α=−3 rad/s² und t=5 s ergibt sich ω=−3 rad/s. Die Nullstelle liegt bei 4 s; der Antrieb muss die negative Beschleunigung auch danach aufrechterhalten. Als unabhängige Kontrolle ergeben die Flächen 24 rad vor und −1,5 rad nach der Nullstelle insgesamt 22,5 rad. Die gesamte Winkelstrecke beträgt dagegen 25,5 rad. Aus $\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta\theta$ folgt zwar $\omega^2=9\,\mathrm{rad^2\,s^{-2}}$ , aber nicht das Vorzeichen. Dafür brauchst du den Zeitverlauf oder eine bekannte Drehrichtung.

Welche Annahmen und Grenzen hat die Formel für konstante Winkelbeschleunigung?+

Die Achsenrichtung bleibt fest, und die signierte Winkelbeschleunigung ist im gesamten Zeitintervall konstant. Ein konstanter gemessener Mittelwert allein beweist diesen Verlauf nicht. Bei zeitabhängigem α integrierst du $\omega-\omega_0=\int\alpha\,dt$ ; bei mehreren Betriebsphasen rechnest du abschnittsweise mit passenden Anfangswerten. Eine passive Bremse wird nach dem Stillstand nicht automatisch zu einem Antrieb in Gegenrichtung. Soll das lineare Modell weiter gelten, muss die tatsächliche Beschleunigung weitergeführt werden. Bei wechselnder Rotationsachse reichen skalare Beträge nicht aus; dann ist die Vektorkinematik nötig. Die Formel selbst setzt kein konstantes Drehmoment voraus, dieses kann die Annahme jedoch bei konstantem I begründen.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei konstanter Winkelbeschleunigung?+

ω und $\omega_0$ stehen in rad/s, α in rad/s² und t in s. Das Produkt αt hat deshalb die erforderliche Einheit rad/s. Drehzahlen in U/min wandelst du mit ω=2πn/60 um; 600 U/min sind 20π rad/s, nicht 600 rad/s. Radiant ist im SI dimensionslos, bleibt hier aber als Hinweis auf den Winkel sinnvoll. Prüfe außerdem t=0: Das Ergebnis muss $\omega_0$ sein. Bei $\alpha=0$ darf sich ω nicht ändern. Eine Verdopplung der Zeit verdoppelt nur die Änderung αt, nicht generell den gesamten Endwert einschließlich Anfangsgeschwindigkeit. Größere negative Werte können einen größeren Geschwindigkeitsbetrag bedeuten.

Wann kombiniere ich die Formel für konstante Winkelbeschleunigung mit einer weiteren Beziehung?+

Für den Drehwinkel integrierst du die Winkelgeschwindigkeit: $\Delta\theta=\omega_0t+\frac12\alpha t^2$ bei konstantem α. Für die gesamte Winkelstrecke bei Richtungswechseln integrierst du dagegen |ω|. An einem festen Radius r liefern $v=r|\omega|$ und die Beschleunigungen at=rα sowie ar=rω² die linearen Größen. Ein konstanter α-Wert macht ar deshalb nicht konstant. Soll die Ursache des Verlaufs erklärt werden, ergänzt du $\sum\tau=I\alpha$ für einen starren Körper um eine feste Achse. Die Energie folgt aus K= $I\omega^2$ /2 bei passendem I. Gleiche Achse, gleiche Zeitpunkte und dieselbe Richtungskonvention verbinden die Rechnungen; die Energie hängt vom Quadrat und nicht vom Drehsinn ab.

Quanta-Prüfungsset

Kuratiertes Prüfungsset für "Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung?

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Wie stellst du ω = ω₀ + αt nach Winkelbeschleunigung um?

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Welcher typische Fehler passiert bei ω = ω₀ + αt?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 1, §10.2: Rotation with Constant Angular Acceleration

Weitere Formeln: Mechanik

\sum \vec F_{\mathrm{ext}} = \vec F_{\mathrm{res}} = m \vec a

Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)

F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2

Kinetische Energie

E_{pot} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

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Quanta Study Redaktion

Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung

Bei konstanter signierter Winkelbeschleunigung um eine feste Achse ändert sich die signierte Winkelgeschwindigkeit linear mit der Zeit.

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

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Variablen & Einheiten

Symbol

Bedeutung

Einheit

ω

signierte Winkelgeschwindigkeitskomponente um die feste Achse zur Zeit t

rad/s

ω₀

signierte Anfangskomponente bei t=0

rad/s

α

im betrachteten Intervall konstante signierte Winkelbeschleunigung um dieselbe Achse

rad/s²

t

verstrichene Zeit seit dem Anfangszustand

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Konstante signierte Winkelbeschleunigung ergibt durch Zeitintegration eine lineare Winkelgeschwindigkeit.

1Wähle eine feste Achse und eine positive Drehrichtung; $\omega$ und $\alpha$ sind signierte Komponenten.
2Definiere $\alpha=\frac{d\omega}{dt}$ und den Anfangswert $\omega(0)=\omega_0$ .
3Integriere $\omega(t)-\omega_0=\int_0^t\alpha(t^{\prime})\,dt^{\prime}$ .
4Nur ein im gesamten Intervall konstantes $\alpha$ darf vor das Integral; dessen Wert wird dann $\alpha t$ .
5Addiere den Anfangswert: $\omega(t)=\omega_0+\alpha t$ . Der Zusatz besitzt wie $\omega$ die Einheit $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .
6Prüfe für $\alpha\ne0$ die Nullstelle $t_s=-\frac{\omega_0}{\alpha}$ . Nur bei positivem $t_s$ und fortgesetztem Modell entsteht danach eine Umkehr.
7Bei $\alpha=0$ bleibt die Winkelgeschwindigkeit konstant. Bei veränderlicher Beschleunigung gilt die Integralform statt Endwert mal Zeit.

Rechenbeispiel: Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung (ω = ω₀ + αt).

Aufgabe

Ein Rotor startet bei $\omega_0=2{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Seine Winkelbeschleunigung bleibt vier Sekunden lang $\alpha=+0{,}50\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ . Bestimme den Endwert.

Rechenweg

Ansatz: $\omega=\omega_0+\alpha t$ .
Einsetzen ergibt $\omega=4{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .

Kontrolle: Die Zunahme um 2,0 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ in vier Sekunden ergibt wieder die vorgegebene Beschleunigung.

Eine gerade Linie beschreibt den Hochlauf

Vorwissen: Steigung einer Geraden und Flächen von Dreieck oder Trapez. Eine Umdrehung entspricht einem Winkel von zwei Pi Radiant.

Eine signierte Größe um eine feste Achse

\omega_z(t)=\omega_{z,0}+\alpha_z(t-t_0)

Die obere Kurzform setzt t0=0 und unterdrückt den Achsenindex. Die positive Drehrichtung wird vorher festgelegt.[1]

Richtungswechsel trennt Winkel und Winkelstrecke

QUANTA STUDYquanta-study.de

Eigenes Beispiel:

\omega(t)=12\,\mathrm{rad\,s^{-1}}-(3\,\mathrm{rad\,s^{-2}})t

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Die Änderungsrate integrieren

\begin{aligned}\alpha_z&=\frac{d\omega_z}{dt}\\\omega_z(t)-\omega_{z,0}&=\int_{t_0}^{t}\alpha_z(t^{\prime})\,dt^{\prime}\end{aligned}

Winkelbeschleunigung ist die zeitliche Ableitung der signierten Komponente.[1]

\begin{aligned}\alpha_z&=\frac{\omega_z-\omega_{z,0}}{t-t_0}\\t-t_0&=\frac{\omega_z-\omega_{z,0}}{\alpha_z}\end{aligned}

Die erste Umstellung benötigt ein nichtnull Zeitintervall, die zweite zusätzlich $\alpha_z$ ≠0. Bei $\alpha_z=0$ bleibt $\omega_z$ konstant.

Radiant und Umdrehungen auseinanderhalten

\begin{aligned}\omega&=2\pi f=\frac{2\pi n_{\mathrm{rpm}}}{60}\\1\,\mathrm{rev}&=2\pi\,\mathrm{rad}\end{aligned}

n in Umdrehungen pro Minute ist eine Drehzahl, nicht direkt ein $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ -Wert. Für signierte Drehzahlen dieselbe Richtungskonvention verwenden.[2]

Die Fläche liefert Winkel, nicht automatisch Weg

\Delta\theta=\int_{t_0}^{t}\omega_z(t^{\prime})\,dt^{\prime}=\omega_{z,0}\Delta t+\frac12\alpha_z\Delta t^2=\frac{\omega_{z,0}+\omega_z}{2}\Delta t

Bei konstantem $\alpha$ ist die signierte Fläche unter der Geraden eine Trapezbilanz.[1]

\Theta_{\mathrm{travel}}=\int_{t_0}^{t}|\omega_z(t^{\prime})|\,dt^{\prime}

Die gesamte Winkelstrecke addiert beide Richtungen positiv. Sie stimmt nur ohne Richtungswechsel mit | $\Delta\theta$ | überein.[2]

Zwei verschiedene Zeitverläufe auswerten

Kontrollierter Hochlauf eines Rotors

Gegeben: Ein Rotor beschleunigt mit konstanter $\alpha$ von +300 auf +900 Umdrehungen pro Minute in 8,00 s; feste Achse, beide Angaben gleiche Drehrichtung.
Gesucht: Bestimme $\alpha$ , Winkeländerung und Umdrehungszahl.

Ansatz: Drehzahlen in Winkelgeschwindigkeiten umrechnen und konstante Beschleunigung verwenden. $\omega=2\pi\frac{n}{60},\quad\alpha=\frac{\omega_f-\omega_0}{\Delta t}$ . Zuerst beide Drehzahlen in $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ umrechnen.
$\begin{aligned}\omega_0&=10\pi\,\mathrm{rad/s}\\\omega_f&=30\pi\,\mathrm{rad/s}\end{aligned}$
Änderung durch das Zeitintervall teilen.
$\alpha=\frac{30\pi-10\pi}{8}=2.5\pi\approx7.853982\,\mathrm{rad/s^2}$
Die mittlere Winkelgeschwindigkeit bestimmt die Fläche.
$\begin{aligned}\Delta\theta&=\tfrac12(10\pi+30\pi)8=160\pi\,\mathrm{rad}\\{} N&=\frac{\Delta\theta}{2\pi}=80\end{aligned}$

Ergebnis: $\alpha\approx7{,}854\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ und $\Delta\theta\approx502{,}655\,\mathrm{rad}$ , also 80 vollständige Umdrehungen.

Aktiv durch null in die Gegenrichtung

Gegeben: $\omega_0=+12{,}0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ ; ein Antrieb hält $\alpha=-3{,}00\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ für 5,00 s aufrecht. Das Modell wird nach dem Stillstand weitergeführt.
Gesucht: Bestimme Endwert, Nullstelle, signierten Winkel und gesamte Winkelstrecke.

Ansatz: Die signierte Gerade darf durch null in die Gegenrichtung weiterlaufen. $\omega(t)=\omega_0+\alpha t,\quad t_s=-\frac{\omega_0}{\alpha}$ . Endwert und Nullstelle aus der Geraden finden.
$\begin{aligned}\omega_f&=12-3(5)=-3\,\mathrm{rad/s}\\{} t_s&=\frac{12}{3}=4\,\mathrm s\end{aligned}$
Flächen vor und nach der Nullstelle getrennt rechnen.
$\begin{aligned}\Delta\theta_+&=\tfrac12(12)(4)=24\,\mathrm{rad}\\\Delta\theta_-&=-\tfrac12(3)(1)=-1.5\,\mathrm{rad}\end{aligned}$
Signierte Beiträge subtrahieren, Streckenbeträge addieren.
$\begin{aligned}\Delta\theta&=22.5\,\mathrm{rad}\\\Theta_{\mathrm{travel}}&=25.5\,\mathrm{rad}\end{aligned}$

Ergebnis: Der Rotor dreht nach 5 s mit 3 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ in Gegenrichtung. Nettoänderung 22,5 rad und zurückgelegte Winkelstrecke 25,5 rad sind verschieden.

Tangentiale und radiale Beschleunigung trennen

\begin{aligned}v&=r|\omega_z|\\a_t&=r\alpha_z\\a_r&=r\omega_z^2\end{aligned}

Für einen Punkt im festen senkrechten Achsabstand r ist at signiert tangential; $a_r$ ist der nach innen gerichtete Betrag.[2]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

$\omega_0=-5\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , $\alpha=+2\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ und $t=4\,\mathrm s$ . Bestimme $\omega$ und den Zeitpunkt des Richtungswechsels.

Hinweis anzeigen

Vorzeichen beibehalten; $\omega=0$ gesondert lösen.

Lernziel: Signierte Endrotation und Umkehrzeit bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\omega=\omega_0+\alpha t$ , mit $t_s=-\frac{\omega_0}{\alpha}$ für die Nullstelle.
Es folgen $\omega(4\,\mathrm s)=+3\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ und $t_s=2{,}5\,\mathrm s$ .

Kontrolle: $-5+2\cdot2{,}5=0$ . Bis zur Nullstelle sinkt der Betrag; danach wächst er in positiver Richtung.

\begin{aligned}\omega&=3\,\mathrm{rad/s}\\t_s&=2.5\,\mathrm s\end{aligned}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein Rotor mit +600 Umdrehungen pro Minute stoppt nach 12 s unter konstanter Winkelbeschleunigung. Wie groß sind $\alpha$ und $\Delta\theta$ bis zum Stillstand?

Hinweis anzeigen

600 Umdrehungen pro Minute entspricht 20π $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .

Lernziel: Drehzahl zur Bremskinematik umrechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Drehzahl zuerst in $\omega_0$ umrechnen, danach $\alpha=-\frac{\omega_0}{t_s}$ und $\Delta\theta=\frac12\omega_0t_s$ verwenden.
Es folgt $\omega_0=20\pi\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , $\alpha=-\frac{5\pi}3\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ und $\Delta\theta=120\pi\,\mathrm{rad}$ , also 60 Umdrehungen.

Kontrolle: Die mittlere Drehzahl beim gleichmäßigen Bremsen ist 300 Umdrehungen pro Minute; in 0,2 Minuten sind das dieselben 60 Umdrehungen.

\begin{aligned}\alpha&=-\frac{5\pi}{3}\,\mathrm{rad/s^2}\\\Delta\theta&=120\pi\,\mathrm{rad}\end{aligned}

Fehleranalyse · Anwenden

Nun gilt $\alpha_z(t)=(2\,\mathrm{rad\,s^{-3}})t$ und $\omega_0=1\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ . Bestimme die Winkelgeschwindigkeit nach drei Sekunden und erkläre, warum der Endwert der Beschleunigung in der Konstantform falsch wäre.

Hinweis anzeigen

Die gegebene Beschleunigung ist ausdrücklich zeitabhängig.

Lernziel: Zeitabhängige Beschleunigung integrieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Beschleunigung ist nicht konstant; verwende $\omega(t)=\omega_0+\int_0^t\alpha(t^{\prime})\,dt^{\prime}$ .
Die Integration ergibt $\omega(t)=1\,\mathrm{rad\,s^{-1}}+(1\,\mathrm{rad\,s^{-3}})t^2$ , deshalb nach drei Sekunden 10 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .
Die falsche Endwert-Methode liefert dagegen 19 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ .

Kontrolle: Ableiten des richtigen Verlaufs ergibt wieder die vorgegebene Beschleunigung.

\omega_z(3\,\mathrm s)=10\,\mathrm{rad/s}

Interpretieren · Anwenden

Eine $\omega$ -t-Gerade verläuft von −4 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ bei t=0 bis +4 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ bei $t=4\,\mathrm s$ . Konstante Winkelbeschleunigung. Bestimme Nettowinkel, Winkelstrecke und Umkehrzeit; erkläre, warum das Rad trotz Nettowinkel null nicht stillsteht.

Hinweis anzeigen

Negative und positive Dreiecksfläche unterscheiden.

Lernziel: Flächen bei Richtungswechsel getrennt bilanzieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Nullstelle liegt nach zwei Sekunden.
Beide Flächenbeträge sind 4 rad.
Signiert heben sie sich auf, die gesamte Winkelstrecke ist dagegen 8 rad.
Das Rad dreht erst negativ und danach positiv; nur die Endorientierung kehrt zum Startwert zurück.
Null Nettowinkel ist eine Bilanz, kein Beleg für Ruhe.

\begin{aligned}\alpha&=\frac{4-(-4)}4=2\,\mathrm{rad\,s^{-2}}\\{}t_s&=2\,\mathrm s\\{}\Delta\theta&=-4+4=0\,\mathrm{rad}\\{}s_\theta&=4+4=8\,\mathrm{rad}\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

$\omega_0=+6\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , $\alpha=-2\,\mathrm{rad\,s^{-2}}$ konstant bis $t=5\,\mathrm{s}$ . Jemand benutzt die quadrierte Drehgleichung und gibt den Endwert als +4 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ an, weil die Wurzel positiv sei. Bestimme den richtigen Endwert und erkläre den verlorenen Zweig.

Hinweis anzeigen

Die lineare Zeitgleichung erhält das Vorzeichen.

Lernziel: Verlust des Richtungszweigs in einer quadrierten Gleichung erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Zeitgleichung ergibt −4 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ nach fünf Sekunden; nach drei Sekunden erfolgt die Umkehr.
Das Quadrat des Endwerts ist zwar 16, legt aber allein weder +4 noch −4 fest.
Die Wahl der positiven Wurzel liefert nur den Betrag, nicht den signierten Wert.
Eine weitere Zeit- oder Richtungsinformation ist erforderlich und hier vorhanden.

\begin{aligned}\omega(5\,\mathrm s)&=6-2\cdot5=-4\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\\{}t_s&=\frac6{2}\,\mathrm s=3\,\mathrm s\\{}\omega^2&=16\,\mathrm{rad^2\,s^{-2}}\end{aligned}

[1]

Konstante Komponente ist eine überprüfbare Annahme

Das nimmst du mit

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Passende fachliche Übergänge verknüpft; vorhandene Herleitungen, Beispiele, Aufgaben und Figuren vollständig erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert. Die Einheit Umdrehungen pro Minute in vier Textstellen ausgeschrieben.
1. Oktober 2026Einstieg und Schlussfolgerung individuell erklärt, bestehende Rechnungen geprüft, Formelsatz und Modellbezug präzisiert sowie eine eigene Lernfigur ergänzt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/winkelgeschwindigkeit-konstante-winkelbeschleunigung

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung

Was beschreibt die Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung?+

Wie prüfe ich eine Rechnung zur Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung?+

Welche Annahmen und Grenzen hat die Formel für konstante Winkelbeschleunigung?+

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei konstanter Winkelbeschleunigung?+

Wann kombiniere ich die Formel für konstante Winkelbeschleunigung mit einer weiteren Beziehung?+

Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung prüfungssicher behalten

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Fünf Aufgaben mit Lösungen

ω0=−5 rad s−1\omega_0=-5\,\mathrm{rad\,s^{-1}}ω0​=−5rads−1, α=+2 rad s−2\alpha=+2\,\mathrm{rad\,s^{-2}}α=+2rads−2 und t=4 st=4\,\mathrm st=4s. Bestimme ω\omegaω und den Zeitpunkt des Richtungswechsels.

Ein Rotor mit +600 Umdrehungen pro Minute stoppt nach 12 s unter konstanter Winkelbeschleunigung. Wie groß sind α\alphaα und Δθ\Delta\thetaΔθ bis zum Stillstand?

Nun gilt αz(t)=(2 rad s−3)t\alpha_z(t)=(2\,\mathrm{rad\,s^{-3}})tαz​(t)=(2rads−3)t und ω0=1 rad s−1\omega_0=1\,\mathrm{rad\,s^{-1}}ω0​=1rads−1. Bestimme die Winkelgeschwindigkeit nach drei Sekunden und erkläre, warum der Endwert der Beschleunigung in der Konstantform falsch wäre.

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ω0=−5 rad s−1\omega_0=-5\,\mathrm{rad\,s^{-1}}ω0​=−5rads−1, α=+2 rad s−2\alpha=+2\,\mathrm{rad\,s^{-2}}α=+2rads−2 und t=4 st=4\,\mathrm st=4s. Bestimme ω\omegaω und den Zeitpunkt des Richtungswechsels.

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