Physik · Elektromagnetische Induktion

Bewegungsinduktion

Der Betrag des motionalen EMK-Beitrags eines geraden Stabs ist bei paarweise senkrechtem Feld, Stab und Geschwindigkeit Bℓv.

FortgeschrittenPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

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Formel

Berechnen

∣ E_{mot} ∣ = B ℓ v

ℰ in V, B in T, ℓ in m, v in m/s.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
\|ℰmot\|	Betrag des motionalen EMK-Beitrags in senkrechter Geometrie	V
$B$	Homogene magnetische Flussdichte als nichtnegativer Betrag	T
$ℓ$	Wirksame gerade Stablänge im Feld	m
$v$	Momentaner Translationsgeschwindigkeitsbetrag senkrecht zu Feld und Stab	m/s

LaTeX

|\mathcal E_{\mathrm{mot}}|=B\ell v

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Bei einem radialen rotierenden Stab wächst der motionale Integrand Bωr linear von null bis 1,296 Volt pro Meter bei 0,24 Meter. Die Dreiecksfläche ist die EMK 0,15552 Volt; der Spitzenwert gilt nicht entlang des ganzen Stabs. — Eigenes Radialstab-Beispiel: B = 0,300 T, ω = 18,0 rad/s, L = 0,240 m. B und ω zeigen nach +z, der Integralweg von der Achse zur Spitze. Dreiecksfläche: +0,15552 V; Spitzenwert mal volle Länge ergäbe fälschlich den doppelten Wert. OpenStax §13.3, MIT 8.02 Kap. 10.

Induktionsspannung eines bewegten Leiters berechnen

Induktionsspannung eines Stabs ausrechnen, der senkrecht durch ein homogenes Magnetfeld gleitet, dazu Strom, Bremskraft und Zugleistung mit Widerstand.

Rechenmodell

Gesucht

Magnetische Flussdichte B

Magnetische Flussdichte senkrecht zu Stab und Bewegung, z. B. 0,5 T zwischen starken Magneten.

Wirksame Stablänge im Feld ℓ

Länge des Stabs, die im Feld liegt, z. B. 10 cm; Stücke außerhalb des Felds zählen nicht.

Geschwindigkeit v senkrecht zum Feld

Geschwindigkeit des Stabs senkrecht zum Feld, z. B. 2 m/s.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Induktionsspannung |ℰ| (EMK)

|ℰ| = 0,1 V

Mit B = 0,5 T, ℓ = 10 cm und v = 2 m/s ergibt sich |ℰ| = 0,1 V.

Rechenweg · umstellen nach |ℰ|, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach |ℰ| umstellen
$|\mathcal E|=B\ell v$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- ℓ = 10 cm = 0,1 m
$|\mathcal E|=0{,}5\cdot 0{,}1\cdot 2$
3. Ergebnis
|ℰ| = 0,1 V

So rechnest du schneller

U = B · ℓ · v: doppelt so schnell oder ein doppelt so langer Stab im Feld ergibt die doppelte Spannung. Einheitenprobe: 1 T · 1 m · 1 m/s = 1 V.
Energieprobe: Die Zugleistung F · v ist genau die elektrische Leistung U · I im Widerstand. Stimmen beide nicht überein, steckt ein Fehler in der Rechnung.

Annahmen und Grenzen

Gerader translatorisch bewegter Stab in homogenem stationärem Feld. Stab, Bewegung und Feld stehen paarweise senkrecht; B, ℓ und v sind nichtnegative Beträge. Berechnet wird der momentane motionale Beitrag Bℓv, keine Polung, allgemeine Schleifen-EMK oder nicht definierte Messspannung. Strom und Leistung gehören zum getrennten Lastmodell.

Herleitung & Hintergrund

Allgemein gilt $\mathcal E_{a\to b}^{\mathrm{mot}}=\int_a^b(\vec v\times\vec B)\cdot\mathrm d\vec\ell$ . Betrag und Vorzeichen benötigen die volle Geometrie; nur ein Winkel zwischen Feld und Geschwindigkeit genügt nicht. Bei variabler Bewegung gilt die momentane Geschwindigkeit. Eine reale Messspannung benötigt einen definierten Messweg.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Homogenes stationäres Feld und gerade translatorische Stabbewegung mit paarweise senkrechten Richtungen liefern den Betrag Bℓv. Gleichförmige Bewegung ist für den momentanen motionalen Beitrag nicht nötig. Strom- und Messmodell separat angeben.

Herleitung in Schritten

Ein gerichtetes Integral der magnetischen Kraft pro Ladung ergibt den Bewegungsbeitrag; nur die senkrechte Spezialgeometrie reduziert ihn auf das Produkt.

1Lege Bezugssystem, Leiterrichtung und lokale Geschwindigkeit fest.
2Berechne $\vec v\times\vec B$ , die magnetische Kraft pro positiver Ladung.
3Projiziere auf die lokale Leiterrichtung; ein quer zum Leiter liegender Beitrag zählt nicht.
4Integriere $\mathcal E_{a\to b}^{\mathrm{mot}}=\int_a^b(\vec v\times\vec B)\cdot\mathrm d\vec\ell$ .
5Bei einem geraden, translatorisch bewegten Stab sind Feld und Geschwindigkeit längs des Stabs konstant.
6Bei paarweise senkrechter Anordnung folgt $|\mathcal E|=B\ell v$ ; die Richtung folgt weiterhin aus dem Kreuzprodukt.
7Für Schienen prüfe die Flussänderung; unter Last zusätzlich mechanische und elektrische Leistung.

Umstellen

Geschwindigkeit aus der Bewegungs-EMK

v=\frac{|\mathcal E_{\mathrm{mot}}|}{B\ell}

Betragsform für homogene Flussdichte und paarweise senkrechte Stab-, Feld- und Bewegungsrichtungen. Verwende den momentanen Geschwindigkeitsbetrag; ein konstanter Verlauf ist dafür nicht erforderlich.

Aufgabenvariante

Ein gerader Stab mit $\ell=0{,}25\,\mathrm m$ bewegt sich mit $v=3{,}0\,\mathrm{m/s}$ in $B=0{,}40\,\mathrm T$ ; die drei Richtungen sind paarweise senkrecht. Wie groß ist der Betrag der Bewegungs-EMK?

$|\mathcal E|=B\ell v=(0{,}40\,\mathrm T)(0{,}25\,\mathrm m)(3{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}})=0{,}30\,\mathrm V$ Bei zueinander senkrechtem Stab, Feld und Bewegung.
Flusskontrolle an einem ruhenden Schienenkreis: In 1 s wächst die Fläche um 0,75 m² und der Flussbetrag um 0,30 Wb.

Typische Fehler

Die Bewegungsrichtung oder den Winkel ignorieren.

$|\mathcal E_{\mathrm{mot}}|=B\ell v$ gilt in der senkrechten Spezialgeometrie. Allgemein projizierst du $\vec v\times\vec B$ auf die lokale Leiterrichtung und integrierst; der Kreuzproduktbetrag allein genügt nicht.

Klausurkontext

Generatoren, Schienenleiter und Energieumwandlung durch Bewegung im Magnetfeld.

Formelcluster

Faradaysches Gesetz in Bewegung

Die Änderung des eingeschlossenen magnetischen Flusses erklärt dieselbe Spannung wie die Lorentzkraft auf bewegte Ladungen.

ℰ = −N dΦB/dt

Faradaysches Induktionsgesetz

F = q(v × B)

Lorentzkraft

U₁/U₂ = n₁/n₂ = I₂/I₁

Transformator (Übersetzung)

Rechenbeispiel

Ein gerader Stab mit $\ell=0{,}25\,\mathrm m$ bewegt sich translatorisch mit $v=3{,}0\,\mathrm{m/s}$ im homogenen Feld $B=0{,}40\,\mathrm T$ ; die drei Richtungen stehen paarweise senkrecht. Ansatz und Ergebnis: $|\mathcal E_{\mathrm{mot}}|=B\ell v=0{,}30\,\mathrm V$ . In einem ruhenden Schienenkreis wächst die Fläche in 1 s um 0,75 m²; das bestätigt den Betrag der Flussänderungsrate. Polung und Umlaufzeichen erfordern die Richtungen.

Anwendungsgebiete

Generatorprinzip, bewegte Leiter in Schienen, Geschwindigkeitssensoren und Induktionsversuche mit Leiterschleifen.

Rechenbeispiel: Bewegungsinduktion (Motional-EMK)

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Bewegungsinduktion (Motional-EMK) (|ℰmot| = Bℓv).

1
Aufgabe
Ein gerader Stab mit $\ell=0{,}25\,\mathrm m$ bewegt sich mit $v=3{,}0\,\mathrm{m/s}$ in $B=0{,}40\,\mathrm T$ ; die drei Richtungen sind paarweise senkrecht. Wie groß ist der Betrag der Bewegungs-EMK?
Rechenweg
1. $|\mathcal E|=B\ell v=(0{,}40\,\mathrm T)(0{,}25\,\mathrm m)(3{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}})=0{,}30\,\mathrm V$ Bei zueinander senkrechtem Stab, Feld und Bewegung.
2. Flusskontrolle an einem ruhenden Schienenkreis: In 1 s wächst die Fläche um 0,75 m² und der Flussbetrag um 0,30 Wb.

Die Formel verstehen und anwenden

Ein bewegter Leiter trennt Ladungen, wenn die magnetische Lorentzkraft eine Komponente entlang des Leiters besitzt. Die bekannte Kurzform gilt für drei zueinander senkrechte Richtungen; die allgemeine Aussage ist ein gerichtetes Linienintegral. Eine belastete Schienenstange und ein rotierender Stab zeigen, weshalb Richtung, örtliche Geschwindigkeit und mechanische Leistung zusammengehören.

Erst die Ladungen, dann den ganzen Kreis betrachten

Eine Metallstange bewegt sich quer durch ein Magnetfeld. Ihre bewegten Ladungsträger werden seitlich abgelenkt und verschieben sich zu den Enden. Im offenen Stab entsteht dadurch eine Polung; eine belastete Stange auf Schienen kann zusätzlich Strom liefern. Dasselbe Produkt aus Feld, Länge und Geschwindigkeit reicht dennoch nicht für jede bewegte Schleife: Die Rückleitung gehört zur Rechnung.[2][1]

Unterscheide von Anfang an den gerichteten Beitrag entlang eines Stabes, die EMK des geschlossenen Kreises und einen definierten Spannungsmesswert. Für die Richtung brauchst du das Kreuzprodukt; für die Leistung zusätzlich Lastwiderstand und Bewegungsmodell.[2][1]

Ladungstrennung durch die Bewegung

\begin{aligned}\vec F_B&=q\vec v\times\vec B\\\mathcal E_{a\to b}^{\mathrm{mot}}&=\int_a^b(\vec v\times\vec B)\cdot\mathrm d\vec\ell\end{aligned}

Die lokale Leitergeschwindigkeit und die Orientierung von a nach b bestimmen den motionalen Beitrag.[1]

Die magnetische Lorentzkraft drückt positive Ladungen in Richtung des Kreuzprodukts; Elektronen reagieren entgegengesetzt. Im offenen Leiter entsteht nach kurzer Ladungsumlagerung ein elektrisches Gegenfeld. Im quasistatischen Grenzfall ist die resultierende Kraftkomponente längs des Leiters null, obwohl die Leiterbewegung weitergeht. Mit einer leitenden Rückverbindung kann dagegen ein Strom fließen. Das Integral beschreibt den magnetischen Bewegungsbeitrag; ein zusätzlich zeitabhängiges Feld erzeugt auch einen elektrischen Induktionsbeitrag.[1][2]

Wann aus dem Integral die Kurzform wird

\begin{aligned}\vec v&=v\hat{\vec x}\\\vec B&=-B\hat{\vec z}\\\vec\ell&=\ell\hat{\vec y}\\\mathcal E_{a\to b}^{\mathrm{mot}}&=(\vec v\times\vec B)\cdot\vec\ell=B\ell v\end{aligned}

Hier zeigt a nach b in +y-Richtung; B und v sind positive Beträge.[1]

Der gerade Stab, seine Translationsgeschwindigkeit und das homogene Magnetfeld stehen in dieser Geometrie paarweise senkrecht. Die positive Ladung sammelt sich am Ende b; im offenen, quasistatischen Stab ist b gegenüber a positiv. Eine andere Orientierung kann den Betrag verringern, auf null setzen oder das Vorzeichen umkehren. Nur den Winkel zwischen Geschwindigkeit und Feld zu kennen reicht nicht: Das Kreuzprodukt muss zusätzlich auf die Leiterrichtung projiziert werden.[1]

Lorentzkraft und Flussrechnung führen zusammen

\begin{aligned}E_y&=-vB\\V_b-V_a&=-\int_a^b\vec E\cdot\mathrm d\vec\ell=B\ell v\\\Phi_B&=-B\ell x\\\mathcal E_C&=-\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}=B\ell v\end{aligned}

Schienenfläche mit Normale +z und positivem Gegenuhrzeigerumlauf; die rechte Stange bewegt sich in +x.[2][1]

Im offenen Stab folgt die erste Zeile aus dem Kräftegleichgewicht für die Ladungsträger. Im geschlossenen Schienenkreis wächst der Flächeninhalt; weil das Feld nach −z zeigt, wird der Fluss bei +z-Normale negativer. Die positive Umlauf-EMK liegt längs der rechten Stange nach oben. Beide Rechnungen stimmen in derselben Geometrie überein. Eine bloße gedankliche Normalenumkehr ändert Fluss und positiven Umlauf gemeinsam; die reale Polung des Stabes bleibt gleich.[2][1]

Elektrische Energie braucht mechanische Arbeit

\begin{aligned}I&=\frac{B\ell v}{R}\\F_{\mathrm{drag}}&=IB\ell=\frac{B^2\ell^2v}{R}\\P_{\mathrm{ext}}&=F_{\mathrm{drag}}v=\mathcal E I=I^2R\end{aligned}

Konstante Geschwindigkeit, stationäres äußeres Feld, rein ohmscher Gesamtkreis; Reibung und Eigeninduktion vernachlässigt.[2][1]

Ein Generatorlaststrom erzeugt eine magnetische Bremskraft auf die Stange. Bei konstanter Geschwindigkeit muss die äußere Zugkraft sie ausgleichen. Die Gleichheit der Leistungen ist eine Modellkontrolle, kein zusätzlicher Energiegewinn durch das Magnetfeld. Die magnetische Lorentzkraft auf ein einzelnes Teilchen steht senkrecht zu dessen momentaner Gesamtgeschwindigkeit und leistet selbst keine Teilchenarbeit. Beim bewegten Leiter vermitteln die Kräfte den Energiefluss vom mechanischen Antrieb über Ladungen zum Widerstand.[2][3]

Bild ansehen: magnetische Bremskraft

Mit der Geschwindigkeit wächst die Bremskraft

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Für das erste Beispiel bei konstanten B, Länge und R: Bremskraft wächst linear, Zugleistung quadratisch. Am Endpunkt sind es 22,815 mN und 57,0375 mW. Die Grafik zeigt den Kraftbetrag, nicht die negative x-Komponente.[2]

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Mechanische Leistung beschreibt den Energiefluss des äußeren Antriebs. Im folgenden Lastmodell muss sie mit der elektrischen Verlustleistung übereinstimmen; Leerlauf-EMK allein bestimmt noch keine abgegebene Leistung.[2]

Beispiel: eine belastete Schienenstange

Polung, Laststrom und Zugleistung

Gegeben: Stablänge $\ell=0{,}180\,\mathrm m$ in +y, $\vec v=(2{,}50\,\mathrm{m/s})\hat{\vec x}$ , $\vec B=-(0{,}650\,\mathrm T)\hat{\vec z}$ . Ideale ruhende Schienen und Gesamtwiderstand $R=1{,}50\,\Omega$ . Konstante Geschwindigkeit, keine Reibung; Eigeninduktion und Feldrückwirkung vernachlässigbar.
Gesucht: Bestimme EMK, Stromrichtung, Bremskraft und nötige Zugleistung.

Ansatz: Bestimme zuerst das Kreuzprodukt und den Umlauf, dann Strom und mechanische Bilanz.
$\begin{aligned}\mathcal E&=B\ell v\\I&=\frac{\mathcal E}{R}\\F_{\mathrm{drag}}&=IB\ell\\P_{\mathrm{ext}}&=F_{\mathrm{drag}}v\end{aligned}$
Einsetzen: Der motional antreibende Beitrag zeigt längs der Stange nach +y.
$\begin{aligned}\mathcal E&=(0.650)(0.180)(2.50)\,\mathrm V\\&=0.2925\,\mathrm V\\I&=\frac{0.2925\,\mathrm V}{1.50\,\Omega}=0.1950\,\mathrm A\end{aligned}$
Der Strom in +y und das Feld in −z ergeben die Bremskraft nach −x.
$\begin{aligned}F_{\mathrm{drag}}&=(0.1950)(0.650)(0.180)\,\mathrm N\\&=0.022815\,\mathrm N\\P_{\mathrm{ext}}&=(0.022815)(2.50)\,\mathrm W\\&=0.0570375\,\mathrm W\end{aligned}$

Ergebnis: EMK 0,2925 V im positiven Gegenuhrzeigerumlauf, Strom 0,1950 A, Bremskraft 22,8 mN und Zugleistung 57,0 mW.

Kontrolle: $I^2R=(0{,}1950\,\mathrm A)^2(1{,}50\,\Omega)=0{,}0570375\,\mathrm W$ bestätigt die Leistung. In einer Sekunde wächst die Fläche um 0,450 m², sodass die Flussänderung −0,2925 Wb und die positive EMK 0,2925 V beträgt.

Beispiel: örtliche Geschwindigkeit statt Spitzengeschwindigkeit

Ein radialer Stab rotiert im Feld

Gegeben: Ein gerader radialer Stab reicht von der Achse bis $L=0{,}240\,\mathrm m$ . Er rotiert in der xy-Ebene mit $\omega=+18{,}0\,\mathrm{rad/s}$ , Feld $\vec B=(0{,}300\,\mathrm T)\hat{\vec z}$ . Offener Stab, quasistatische Ladungsumlagerung; Leitungswege des Messgeräts sind nicht Teil der Aufgabe.
Gesucht: Berechne den motionalen Beitrag von der Achse zur Spitze und vergleiche mit der unzulässigen Spitzengeschwindigkeitsrechnung.

Ansatz: Die Geschwindigkeit wächst radial; das Kreuzprodukt zeigt für diese Orientierung nach außen.
$\begin{aligned}v(r)&=\omega r\\\mathcal E_{0\to L}^{\mathrm{mot}}&=\int_0^L B\omega r\,\mathrm dr\\&=\frac12B\omega L^2\end{aligned}$
Einsetzen ergibt den Faktor ein Halb gegenüber der überall verwendeten Spitzengeschwindigkeit.
$\begin{aligned}\mathcal E_{0\to L}^{\mathrm{mot}}&=\frac12(0.300)(18.0)(0.240)^2\,\mathrm V\\&=+0.15552\,\mathrm V\\BLv_{\mathrm{tip}}&=B\omega L^2=0.31104\,\mathrm V\end{aligned}$
Die mittlere lokale Geschwindigkeit des linearen Profils beträgt die Hälfte der Spitzengeschwindigkeit.
$\overline v=\frac{\omega L}{2}=2.16\,\mathrm{m/s}$

Ergebnis: Der motional gerichtete Beitrag beträgt +0,15552 V nach außen; die Spitze ist im quasistatischen offenen Stab gegenüber der Achse positiv. Die Spitzengeschwindigkeitsrechnung überschätzt um Faktor zwei.

Kontrolle: $BL\overline v=(0{,}300)(0{,}240)(2{,}16)\,\mathrm V=0{,}15552\,\mathrm V$ . Mit einer passend ruhenden Rückleitung wäre auch die Flächenrate des überstrichenen Sektors $\frac12L^2\omega$ konsistent; die offene Stange allein definiert keinen geschlossenen Messumlauf.

Einheiten und momentane Geschwindigkeit

\begin{aligned}[B\ell v]&=\mathrm{T\,m}\frac{\mathrm m}{\mathrm s}=\mathrm V\\v&=\frac{|\mathcal E|}{B\ell}\end{aligned}

Die Umstellung gehört zur senkrechten Spezialgeometrie mit positivem Feldbetrag und positiver wirksamer Länge.[2]

Konstante Geschwindigkeit ist nicht notwendig, um den momentanen motionalen Beitrag eines gerade translatorisch bewegten Stabes zu berechnen. Bei veränderlicher Geschwindigkeit setzt man ihren momentanen Wert ein; die tatsächliche elektrische Antwort kann durch Ladungsumlagerung und Selbstinduktion verzögert werden. Für konstante Zugleistung, Bremszeit oder terminale Geschwindigkeit braucht man zusätzlich ein Bewegungs- und Schaltungsmodell. Feldstärke in Ampere pro Meter ist nicht dieselbe Größe wie Flussdichte in Tesla.[1]

Bewegung allein garantiert keine Umlauf-EMK

\oint_C(\vec v\times\vec B)\cdot\mathrm d\vec\ell=0

Eine vollständig starr translatorisch bewegte geschlossene Schleife in einem räumlich homogenen, zeitlich konstanten Feld hat bei überall gleichem v null motionalen Umlaufbeitrag.[1]

Die einzelnen Seiten einer bewegten Schleife können Ladungstrennung zeigen, während ihre Umlaufbeiträge sich aufheben. Beim Eintritt in einen begrenzten Feldbereich oder bei Rotation gelten andere lokale Beiträge. Schienenkontakt, Feldgradienten und bewegte Rückleitungen müssen ausdrücklich erfasst werden. Das einfache Widerstandsmodell beschreibt keine supraleitende Schleife und keinen starken induktiven Einschaltvorgang. Ein senkrecht zum Feld bewegter Stab mit $\ell=0{,}25\,\mathrm m$ , $v=3{,}0\,\mathrm{m/s}$ und $B=0{,}40\,\mathrm T$ liefert den EMK-Betrag $0{,}30\,\mathrm V$ .[2][1]

Beispiel: eine ganze Schleife verlässt das Feld

Nur der im Feld liegende Flächenanteil zählt

Gegeben: Rechteckige Schleife mit Höhe $h=0{,}120\,\mathrm m$ , Breite $w=0{,}200\,\mathrm m$ , Normale +z. Sie verlässt mit $v=0{,}500\,\mathrm{m/s}$ ein Feld $\vec B=-(0{,}300\,\mathrm T)\hat{\vec z}$ . Eine scharfe Feldgrenze wird idealisiert; während des Austritts bewegt sich die rechte Seite bereits außerhalb des Felds, die linke noch darin. Gesamtwiderstand $R=2{,}00\,\Omega$ , Eigeninduktion und Reibung vernachlässigt.
Gesucht: Bestimme EMK, Stromrichtung, Austrittsdauer und Wärme.

Ansatz: Der negative Fluss wird beim Austritt weniger negativ. Der positive Umlauf wird links nach unten durchlaufen.
$\begin{aligned}\Phi&=-Bh(w-vt)\\\mathcal E&=-\dot\Phi=-Bhv\\I&=\frac{\mathcal E}{R}\\\Delta t&=\frac wv\end{aligned}$
Einsetzen: Das Minuszeichen bestimmt den Uhrzeigersinn von +z aus betrachtet.
$\begin{aligned}\mathcal E&=-(0.300)(0.120)(0.500)\,\mathrm V\\&=-0.0180\,\mathrm V\\I&=-9.00\,\mathrm{mA}\\\Delta t&=0.400\,\mathrm s\\Q_R&=I^2R\Delta t=64.8\,\mathrm{\mu J}\end{aligned}$

Ergebnis: Während des Austritts: −18,0 mV, 9,00 mA im Uhrzeigersinn und 64,8 µJ Wärme in 0,400 s. Vollständig innerhalb oder außerhalb des konstanten Felds ist die Umlauf-EMK null.

Kontrolle: Der Fluss ändert sich von $-7{,}20\,\mathrm{mWb}$ auf null, also $\mathcal E\Delta t=-7{,}20\,\mathrm{mWb}$ . Die Bremskraft hat Betrag $0{,}324\,\mathrm{mN}$ ; ihre Arbeit über 0,200 m ist 64,8 µJ.

Fünf Aufgaben zu Richtung, Last und Bewegung

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Gerader Stab von a nach b in +y mit $\ell=0{,}200\,\mathrm m$ . $\vec v=(3{,}00\hat{\vec x}+4{,}00\hat{\vec y})\,\mathrm{m/s}$ , $\vec B=-0{,}500\hat{\vec z}\,\mathrm T$ . Bestimme den motionalen Beitrag nach b.

Hinweis anzeigen

Nur die y-Komponente des Kreuzprodukts trägt zum Stabintegral bei.

Lernziel: Den vollen geometrischen Projektionsfaktor aus Vektoren bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\mathcal E=(\vec v\times\vec B)\cdot\vec\ell$ .
Das Kreuzprodukt ist $(-2{,}00,1{,}50,0)\,\mathrm{V/m}$ .
Projektion auf 0,200 m in +y ergibt +0,300 V.

Kontrolle: Der Geschwindigkeitsanteil entlang des Stabes trägt nicht bei; den Gesamtbetrag 5,00 m/s einzusetzen würde fälschlich 0,500 V ergeben.

\mathcal E_{a\to b}^{\mathrm{mot}}=(1.50\,\mathrm{V/m})(0.200\,\mathrm m)=+0.300\,\mathrm V

[1]

Umstellen · Einstieg

Ein senkrecht angeordneter Stab mit wirksamer Länge 0,150 m soll in homogenem Feld 0,400 T einen EMK-Betrag 0,180 V erzeugen. Welche Geschwindigkeit ist nötig?

Hinweis anzeigen

Isoliere den positiven Geschwindigkeitsbetrag.

Lernziel: Die erforderliche Geschwindigkeit in senkrechter Geometrie berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $v=\frac{|\mathcal E|}{B\ell}$ .
Ergebnis 3,00 m/s.
Rückprobe mit der ursprünglichen Produktform ergibt 0,180 V.
Die verlangte Geschwindigkeit ist nur für die vorgegebene senkrechte Geometrie bestimmt; die Polung verlangt zusätzlich Richtungsangaben.

v=\frac{0.180\,\mathrm V}{(0.400\,\mathrm T)(0.150\,\mathrm m)}=3.00\,\mathrm{m/s}

[2]

Interpretieren · Anwenden

Eine starre rechteckige Schleife bewegt sich vollständig mit 2,00 m/s in +x durch ein überall homogenes, zeitlich konstantes Feld nach −z. Höhe der beiden vertikalen Seiten 0,100 m, Feldbetrag 0,500 T. Jede Seite ist gleich schnell. Bestimme den motionalen Umlaufbeitrag bei Normale +z.

Hinweis anzeigen

Die rechte und linke Seite werden im Umlauf entgegengesetzt durchlaufen.

Lernziel: Lokale Ladungstrennung von gesamter Umlauf-EMK unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Das konstante Kreuzprodukt über den vollständigen geschlossenen Weg integrieren.
Rechts beträgt der positive Beitrag +0,100 V, links −0,100 V; horizontale Seiten liefern null.
Gesamt-EMK null.

Kontrolle: Fläche und Orientierung bleiben gleich, also ist auch der Fluss konstant. Ein einzelner Seitenbeitrag ist kein Generator-EMK-Wert des ganzen Kreises.

\mathcal E_C=+B\ell v-B\ell v=0

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Ideal belastete Schienenstange bei konstantem B, Länge und Gesamtwiderstand. Anfangs $\mathcal E=0{,}200\,\mathrm V$ , $R=2{,}00\,\Omega$ . Die Geschwindigkeit wird verdoppelt. Ein Bericht behauptet, die Zugleistung steige von 20,0 auf 40,0 mW. Korrigiere unter Vernachlässigung von Reibung und Eigeninduktion.

Hinweis anzeigen

EMK und Strom ändern sich beide; Leistung ist ihr Produkt.

Lernziel: Bei doppelter Geschwindigkeit die Leistungsbilanz quadratisch skalieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $P=\frac{\mathcal E^2}{R}$ und EMK proportional zur Geschwindigkeit.
Nach Verdopplung wird EMK 0,400 V, Strom 0,200 A und Leistung 80,0 mW.
Die alte Leistung war richtig; ihr Änderungsfaktor war falsch.

Kontrolle: Auch Bremskraft und Geschwindigkeit verdoppeln sich, ihr Produkt vervierfacht sich.

\begin{aligned}P_1&=\frac{(0.200\,\mathrm V)^2}{2.00\,\Omega}=0.0200\,\mathrm W\\P_2&=\frac{(0.400\,\mathrm V)^2}{2.00\,\Omega}=0.0800\,\mathrm W\end{aligned}

[2]

Transfer · Vertiefen

Eine Schienenstange mit Masse 0,0500 kg, Länge 0,250 m und Anfangsgeschwindigkeit 2,00 m/s bewegt sich im senkrechten Feld 0,800 T. Gesamtwiderstand 2,00 Ω. Ab $t=0$ kein äußerer Zug; Reibung, Eigeninduktion und Feldrückwirkung vernachlässigt. Bestimme Zeitkonstante, Geschwindigkeit und EMK nach 2,50 s.

Hinweis anzeigen

Setze den geschwindigkeitsabhängigen Bremskraftbetrag in Newtons Gleichung ein.

Lernziel: Magnetische Bremskraft mit einer mechanischen Abklinggleichung verbinden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $m\dot v=-\frac{B^2\ell^2}{R}v$ .
Daraus folgen exponentieller Abfall und eine Zeitkonstante 2,50 s.
Nach einer Zeitkonstante sind Geschwindigkeit etwa 0,73576 m/s und EMK-Betrag 0,14715 V.

Kontrolle: Der kinetische Energiebetrag fällt dann auf $e^{-2}$ des Anfangswerts; die verlorene Energie wird im idealen Modell vollständig zur Widerstandswärme.

\begin{aligned}\tau&=\frac{mR}{B^2\ell^2}=2.50\,\mathrm s\\v(\tau)&=v_0e^{-1}\approx0.73576\,\mathrm{m/s}\\|\mathcal E(\tau)|&=B\ell v(\tau)\approx0.14715\,\mathrm V\end{aligned}

[1][2]

Kurz zusammengefasst

Der Bewegungsbeitrag ist ein gerichtetes Linienintegral des Kreuzprodukts. Die Kurzform gilt für die senkrechte Spezialgeometrie. Prüfe den ganzen Kreis und alle bewegten Leiterteile; ein einzelner Seitenbeitrag genügt nicht. Bei Laststrom muss die mechanische Bilanz zur elektrischen Leistung passen.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Lorentzkraft und mechanische Leistung im erklärenden Kontext verknüpft; orientierte Rechnungen, Lastfälle, Aufgaben und Grafik erhalten.
1. Oktober 2026DE/EN-Erklärung mit orientierter Herleitung, zwei eigenen Rechenbeispielen und fünf verschiedenen gelösten Aufgaben ausgearbeitet.
1. Oktober 2026Lernverlauf und Modellbegründung erweitert, drittes durchgerechnetes Beispiel und eigene quantitative Grafik ergänzt; Formelsatz und Schlusszusammenfassung präzisiert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Bewegungsinduktion (Motional-EMK). Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/bewegungsinduktion-motional-emk

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Bewegungsinduktion (Motional-EMK)

Warum entsteht Spannung in einem bewegten Leiter?+

Ladungen im Leiter bewegen sich mit dem Leiter durch das Magnetfeld. Die magnetische Lorentzkraft kann dabei eine Komponente längs des Leiters besitzen und Ladungen zu unterschiedlichen Enden verschieben. Im offenen Stab entsteht dadurch ein elektrisches Feld, das im quasistatischen Gleichgewicht die längs gerichtete magnetische Kraft ausgleicht. Die Polarität bestimmst du mit dem Kreuzprodukt von Leitergeschwindigkeit und Magnetfeld, nicht mit einem bloßen positiven Betrag. Ein bewegter Leiter muss deshalb nicht in jeder Geometrie eine Endspannung entwickeln. Zeigt die Kraft quer zum betrachteten Leiterweg, trägt sie nicht zur dortigen EMK bei. Unter Last stammt die elektrische Energie aus der mechanischen Arbeit des Antriebs; die magnetische Kraft selbst verrichtet an einer einzelnen Ladung keine Arbeit.

Wann gilt die Kurzform der Bewegungsinduktion?+

Die Kurzform liefert den Betrag für einen geraden Stab in einem homogenen Feld, wenn Stab, Geschwindigkeit und Magnetfeld paarweise senkrecht stehen. Feld und Translationsgeschwindigkeit müssen dabei entlang des wirksamen Stabstücks gleich sein. Benutze die momentane Geschwindigkeit; konstante Geschwindigkeit über die gesamte Bewegung ist für diesen motionalen Beitrag nicht erforderlich. In einer allgemeineren Geometrie integrierst du $\mathcal E_{a\to b}^{\mathrm{mot}}=\int_a^b(\vec v\times\vec B)\cdot\mathrm d\vec\ell$ . Ein einzelner Winkel zwischen Geschwindigkeit und Feld ersetzt die Projektion auf die Leiterrichtung nicht. Bei Rotation variiert die lokale Geschwindigkeit entlang eines radialen Stabs; die Spitzengeschwindigkeit für die gesamte Länge einzusetzen überschätzt dort das Ergebnis. Die gemessene Spannung benötigt außerdem einen festgelegten Messweg.

Wie passt die Formel zum Induktionsgesetz?+

Betrachte einen Stab, der auf festen Schienen die Fläche einer geschlossenen Schleife verändert. Im homogenen stationären Feld ist die Flussänderungsrate gleich Feldstärke mal wirksame Stablänge mal Geschwindigkeit, mit dem Vorzeichen der gewählten Normalen. Faradays Gesetz liefert daraus dieselbe Umlauf-EMK wie das Integral der magnetischen Lorentzkraft pro Ladung entlang des bewegten Stabs. Die festen Schienen haben keinen motionalen Beitrag. Eine vollständig starr mitbewegte Schleife im homogenen Feld ist ein anderer Fall: Ihre Fläche und Orientierung bleiben gleich. Die Beiträge gegenüberliegender Seiten heben sich auf, und die gesamte EMK ist null. Prüfe deshalb die vollständige Schleife, bevor du einen einzelnen Stabbeitrag als Generator-EMK deutest.

Was ändert ein angeschlossener Widerstand?+

Ein angeschlossener Widerstand ermöglicht einen Strom, wenn ein geschlossener Strompfad vorhanden ist. Im einfachen quasistatischen Modell ohne relevante Selbstinduktion gilt $I=\frac{\mathcal E}{R}$ . Der Strom im bewegten Stab erzeugt eine magnetische Gegenkraft; für die senkrechte Schienengeometrie ist deren Betrag $BI\ell$ . Ein Antrieb muss gegen diese Kraft arbeiten, um die Geschwindigkeit konstant zu halten. Dabei stimmen mechanische Eingangsleistung und Joulesche Verlustleistung überein. Ohne Antrieb kann der Stab langsamer werden; dann sinken EMK und Strom mit seiner Geschwindigkeit. Reale Leitungswiderstände, Induktivität und zusätzliche Reibung verändern das vereinfachte Modell. Die Widerstandsleistung folgt aus dem tatsächlichen Strom, nicht automatisch aus einer beliebigen gemessenen Leerlaufspannung.

Wie prüfe ich die Einheit?+

Prüfe zuerst die eingesetzten Größen: Tesla für die magnetische Flussdichte, Meter für die wirksame Stablänge und Meter pro Sekunde für die passende Geschwindigkeitskomponente. Mit $1\,\mathrm T=1\,\frac{\mathrm{V\,s}}{\mathrm{m^2}}$ ergibt ihr Produkt Volt. Diese Kontrolle bestätigt die Dimension, aber nicht die Geometrie oder Polarität. Beispielsweise liefern 0,50 Tesla, 0,20 Meter und eine senkrechte Geschwindigkeitskomponente von drei Metern pro Sekunde eine EMK von 0,30 Volt im Betrag. Eine zusätzliche Bewegung längs des Stabs gehört nicht in diesen Produktwert. Für einen geschlossenen Kreis prüfst du ergänzend Leistung: Volt mal Ampere und Kraft mal Geschwindigkeit müssen im idealen Lastfall dieselbe Einheit Watt und denselben Zahlenwert ergeben.

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Volume 2, §13.3: Motional Emf

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

F = k_e \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

Coulombsches Gesetz

\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

U = R \cdot I

Ohmsches Gesetz

P = U \cdot I

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Bewegungsinduktion

Der Betrag des motionalen EMK-Beitrags eines geraden Stabs ist bei paarweise senkrechtem Feld, Stab und Geschwindigkeit Bℓv.

FortgeschrittenPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

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Symbol

Bedeutung

Einheit

|ℰmot|

Betrag des motionalen EMK-Beitrags in senkrechter Geometrie

B

Homogene magnetische Flussdichte als nichtnegativer Betrag

ℓ

Wirksame gerade Stablänge im Feld

v

Momentaner Translationsgeschwindigkeitsbetrag senkrecht zu Feld und Stab

m/s

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Ein gerichtetes Integral der magnetischen Kraft pro Ladung ergibt den Bewegungsbeitrag; nur die senkrechte Spezialgeometrie reduziert ihn auf das Produkt.

1Lege Bezugssystem, Leiterrichtung und lokale Geschwindigkeit fest.
2Berechne $\vec v\times\vec B$ , die magnetische Kraft pro positiver Ladung.
3Projiziere auf die lokale Leiterrichtung; ein quer zum Leiter liegender Beitrag zählt nicht.
4Integriere $\mathcal E_{a\to b}^{\mathrm{mot}}=\int_a^b(\vec v\times\vec B)\cdot\mathrm d\vec\ell$ .
5Bei einem geraden, translatorisch bewegten Stab sind Feld und Geschwindigkeit längs des Stabs konstant.
6Bei paarweise senkrechter Anordnung folgt $|\mathcal E|=B\ell v$ ; die Richtung folgt weiterhin aus dem Kreuzprodukt.
7Für Schienen prüfe die Flussänderung; unter Last zusätzlich mechanische und elektrische Leistung.

Rechenbeispiel: Bewegungsinduktion (Motional-EMK)

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Bewegungsinduktion (Motional-EMK) (|ℰmot| = Bℓv).

Aufgabe

Rechenweg

$|\mathcal E|=B\ell v=(0{,}40\,\mathrm T)(0{,}25\,\mathrm m)(3{,}0\,\mathrm{m\,s^{-1}})=0{,}30\,\mathrm V$ Bei zueinander senkrechtem Stab, Feld und Bewegung.
Flusskontrolle an einem ruhenden Schienenkreis: In 1 s wächst die Fläche um 0,75 m² und der Flussbetrag um 0,30 Wb.

Die Formel verstehen und anwenden

Erst die Ladungen, dann den ganzen Kreis betrachten

Ladungstrennung durch die Bewegung

\begin{aligned}\vec F_B&=q\vec v\times\vec B\\\mathcal E_{a\to b}^{\mathrm{mot}}&=\int_a^b(\vec v\times\vec B)\cdot\mathrm d\vec\ell\end{aligned}

Die lokale Leitergeschwindigkeit und die Orientierung von a nach b bestimmen den motionalen Beitrag.[1]

Wann aus dem Integral die Kurzform wird

\begin{aligned}\vec v&=v\hat{\vec x}\\\vec B&=-B\hat{\vec z}\\\vec\ell&=\ell\hat{\vec y}\\\mathcal E_{a\to b}^{\mathrm{mot}}&=(\vec v\times\vec B)\cdot\vec\ell=B\ell v\end{aligned}

Hier zeigt a nach b in +y-Richtung; B und v sind positive Beträge.[1]

Lorentzkraft und Flussrechnung führen zusammen

\begin{aligned}E_y&=-vB\\V_b-V_a&=-\int_a^b\vec E\cdot\mathrm d\vec\ell=B\ell v\\\Phi_B&=-B\ell x\\\mathcal E_C&=-\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}=B\ell v\end{aligned}

Schienenfläche mit Normale +z und positivem Gegenuhrzeigerumlauf; die rechte Stange bewegt sich in +x.[2][1]

Elektrische Energie braucht mechanische Arbeit

\begin{aligned}I&=\frac{B\ell v}{R}\\F_{\mathrm{drag}}&=IB\ell=\frac{B^2\ell^2v}{R}\\P_{\mathrm{ext}}&=F_{\mathrm{drag}}v=\mathcal E I=I^2R\end{aligned}

Konstante Geschwindigkeit, stationäres äußeres Feld, rein ohmscher Gesamtkreis; Reibung und Eigeninduktion vernachlässigt.[2][1]

Bild ansehen: magnetische Bremskraft

Mit der Geschwindigkeit wächst die Bremskraft

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Beispiel: eine belastete Schienenstange

Polung, Laststrom und Zugleistung

Gegeben: Stablänge $\ell=0{,}180\,\mathrm m$ in +y, $\vec v=(2{,}50\,\mathrm{m/s})\hat{\vec x}$ , $\vec B=-(0{,}650\,\mathrm T)\hat{\vec z}$ . Ideale ruhende Schienen und Gesamtwiderstand $R=1{,}50\,\Omega$ . Konstante Geschwindigkeit, keine Reibung; Eigeninduktion und Feldrückwirkung vernachlässigbar.
Gesucht: Bestimme EMK, Stromrichtung, Bremskraft und nötige Zugleistung.

Ansatz: Bestimme zuerst das Kreuzprodukt und den Umlauf, dann Strom und mechanische Bilanz.
$\begin{aligned}\mathcal E&=B\ell v\\I&=\frac{\mathcal E}{R}\\F_{\mathrm{drag}}&=IB\ell\\P_{\mathrm{ext}}&=F_{\mathrm{drag}}v\end{aligned}$
Einsetzen: Der motional antreibende Beitrag zeigt längs der Stange nach +y.
$\begin{aligned}\mathcal E&=(0.650)(0.180)(2.50)\,\mathrm V\\&=0.2925\,\mathrm V\\I&=\frac{0.2925\,\mathrm V}{1.50\,\Omega}=0.1950\,\mathrm A\end{aligned}$
Der Strom in +y und das Feld in −z ergeben die Bremskraft nach −x.
$\begin{aligned}F_{\mathrm{drag}}&=(0.1950)(0.650)(0.180)\,\mathrm N\\&=0.022815\,\mathrm N\\P_{\mathrm{ext}}&=(0.022815)(2.50)\,\mathrm W\\&=0.0570375\,\mathrm W\end{aligned}$

Ergebnis: EMK 0,2925 V im positiven Gegenuhrzeigerumlauf, Strom 0,1950 A, Bremskraft 22,8 mN und Zugleistung 57,0 mW.

Beispiel: örtliche Geschwindigkeit statt Spitzengeschwindigkeit

Ein radialer Stab rotiert im Feld

Gegeben: Ein gerader radialer Stab reicht von der Achse bis $L=0{,}240\,\mathrm m$ . Er rotiert in der xy-Ebene mit $\omega=+18{,}0\,\mathrm{rad/s}$ , Feld $\vec B=(0{,}300\,\mathrm T)\hat{\vec z}$ . Offener Stab, quasistatische Ladungsumlagerung; Leitungswege des Messgeräts sind nicht Teil der Aufgabe.
Gesucht: Berechne den motionalen Beitrag von der Achse zur Spitze und vergleiche mit der unzulässigen Spitzengeschwindigkeitsrechnung.

Ansatz: Die Geschwindigkeit wächst radial; das Kreuzprodukt zeigt für diese Orientierung nach außen.
$\begin{aligned}v(r)&=\omega r\\\mathcal E_{0\to L}^{\mathrm{mot}}&=\int_0^L B\omega r\,\mathrm dr\\&=\frac12B\omega L^2\end{aligned}$
Einsetzen ergibt den Faktor ein Halb gegenüber der überall verwendeten Spitzengeschwindigkeit.
$\begin{aligned}\mathcal E_{0\to L}^{\mathrm{mot}}&=\frac12(0.300)(18.0)(0.240)^2\,\mathrm V\\&=+0.15552\,\mathrm V\\BLv_{\mathrm{tip}}&=B\omega L^2=0.31104\,\mathrm V\end{aligned}$
Die mittlere lokale Geschwindigkeit des linearen Profils beträgt die Hälfte der Spitzengeschwindigkeit.
$\overline v=\frac{\omega L}{2}=2.16\,\mathrm{m/s}$

Einheiten und momentane Geschwindigkeit

\begin{aligned}[B\ell v]&=\mathrm{T\,m}\frac{\mathrm m}{\mathrm s}=\mathrm V\\v&=\frac{|\mathcal E|}{B\ell}\end{aligned}

Die Umstellung gehört zur senkrechten Spezialgeometrie mit positivem Feldbetrag und positiver wirksamer Länge.[2]

Bewegung allein garantiert keine Umlauf-EMK

\oint_C(\vec v\times\vec B)\cdot\mathrm d\vec\ell=0

Eine vollständig starr translatorisch bewegte geschlossene Schleife in einem räumlich homogenen, zeitlich konstanten Feld hat bei überall gleichem v null motionalen Umlaufbeitrag.[1]

Beispiel: eine ganze Schleife verlässt das Feld

Nur der im Feld liegende Flächenanteil zählt

Gegeben: Rechteckige Schleife mit Höhe $h=0{,}120\,\mathrm m$ , Breite $w=0{,}200\,\mathrm m$ , Normale +z. Sie verlässt mit $v=0{,}500\,\mathrm{m/s}$ ein Feld $\vec B=-(0{,}300\,\mathrm T)\hat{\vec z}$ . Eine scharfe Feldgrenze wird idealisiert; während des Austritts bewegt sich die rechte Seite bereits außerhalb des Felds, die linke noch darin. Gesamtwiderstand $R=2{,}00\,\Omega$ , Eigeninduktion und Reibung vernachlässigt.
Gesucht: Bestimme EMK, Stromrichtung, Austrittsdauer und Wärme.

Ansatz: Der negative Fluss wird beim Austritt weniger negativ. Der positive Umlauf wird links nach unten durchlaufen.
$\begin{aligned}\Phi&=-Bh(w-vt)\\\mathcal E&=-\dot\Phi=-Bhv\\I&=\frac{\mathcal E}{R}\\\Delta t&=\frac wv\end{aligned}$
Einsetzen: Das Minuszeichen bestimmt den Uhrzeigersinn von +z aus betrachtet.
$\begin{aligned}\mathcal E&=-(0.300)(0.120)(0.500)\,\mathrm V\\&=-0.0180\,\mathrm V\\I&=-9.00\,\mathrm{mA}\\\Delta t&=0.400\,\mathrm s\\Q_R&=I^2R\Delta t=64.8\,\mathrm{\mu J}\end{aligned}$

Ergebnis: Während des Austritts: −18,0 mV, 9,00 mA im Uhrzeigersinn und 64,8 µJ Wärme in 0,400 s. Vollständig innerhalb oder außerhalb des konstanten Felds ist die Umlauf-EMK null.

Fünf Aufgaben zu Richtung, Last und Bewegung

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Gerader Stab von a nach b in +y mit $\ell=0{,}200\,\mathrm m$ . $\vec v=(3{,}00\hat{\vec x}+4{,}00\hat{\vec y})\,\mathrm{m/s}$ , $\vec B=-0{,}500\hat{\vec z}\,\mathrm T$ . Bestimme den motionalen Beitrag nach b.

Hinweis anzeigen

Nur die y-Komponente des Kreuzprodukts trägt zum Stabintegral bei.

Lernziel: Den vollen geometrischen Projektionsfaktor aus Vektoren bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\mathcal E=(\vec v\times\vec B)\cdot\vec\ell$ .
Das Kreuzprodukt ist $(-2{,}00,1{,}50,0)\,\mathrm{V/m}$ .
Projektion auf 0,200 m in +y ergibt +0,300 V.

Kontrolle: Der Geschwindigkeitsanteil entlang des Stabes trägt nicht bei; den Gesamtbetrag 5,00 m/s einzusetzen würde fälschlich 0,500 V ergeben.

\mathcal E_{a\to b}^{\mathrm{mot}}=(1.50\,\mathrm{V/m})(0.200\,\mathrm m)=+0.300\,\mathrm V

[1]

Umstellen · Einstieg

Ein senkrecht angeordneter Stab mit wirksamer Länge 0,150 m soll in homogenem Feld 0,400 T einen EMK-Betrag 0,180 V erzeugen. Welche Geschwindigkeit ist nötig?

Hinweis anzeigen

Isoliere den positiven Geschwindigkeitsbetrag.

Lernziel: Die erforderliche Geschwindigkeit in senkrechter Geometrie berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $v=\frac{|\mathcal E|}{B\ell}$ .
Ergebnis 3,00 m/s.
Rückprobe mit der ursprünglichen Produktform ergibt 0,180 V.
Die verlangte Geschwindigkeit ist nur für die vorgegebene senkrechte Geometrie bestimmt; die Polung verlangt zusätzlich Richtungsangaben.

v=\frac{0.180\,\mathrm V}{(0.400\,\mathrm T)(0.150\,\mathrm m)}=3.00\,\mathrm{m/s}

[2]

Interpretieren · Anwenden

Eine starre rechteckige Schleife bewegt sich vollständig mit 2,00 m/s in +x durch ein überall homogenes, zeitlich konstantes Feld nach −z. Höhe der beiden vertikalen Seiten 0,100 m, Feldbetrag 0,500 T. Jede Seite ist gleich schnell. Bestimme den motionalen Umlaufbeitrag bei Normale +z.

Hinweis anzeigen

Die rechte und linke Seite werden im Umlauf entgegengesetzt durchlaufen.

Lernziel: Lokale Ladungstrennung von gesamter Umlauf-EMK unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Das konstante Kreuzprodukt über den vollständigen geschlossenen Weg integrieren.
Rechts beträgt der positive Beitrag +0,100 V, links −0,100 V; horizontale Seiten liefern null.
Gesamt-EMK null.

Kontrolle: Fläche und Orientierung bleiben gleich, also ist auch der Fluss konstant. Ein einzelner Seitenbeitrag ist kein Generator-EMK-Wert des ganzen Kreises.

\mathcal E_C=+B\ell v-B\ell v=0

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Ideal belastete Schienenstange bei konstantem B, Länge und Gesamtwiderstand. Anfangs $\mathcal E=0{,}200\,\mathrm V$ , $R=2{,}00\,\Omega$ . Die Geschwindigkeit wird verdoppelt. Ein Bericht behauptet, die Zugleistung steige von 20,0 auf 40,0 mW. Korrigiere unter Vernachlässigung von Reibung und Eigeninduktion.

Hinweis anzeigen

EMK und Strom ändern sich beide; Leistung ist ihr Produkt.

Lernziel: Bei doppelter Geschwindigkeit die Leistungsbilanz quadratisch skalieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $P=\frac{\mathcal E^2}{R}$ und EMK proportional zur Geschwindigkeit.
Nach Verdopplung wird EMK 0,400 V, Strom 0,200 A und Leistung 80,0 mW.
Die alte Leistung war richtig; ihr Änderungsfaktor war falsch.

Kontrolle: Auch Bremskraft und Geschwindigkeit verdoppeln sich, ihr Produkt vervierfacht sich.

\begin{aligned}P_1&=\frac{(0.200\,\mathrm V)^2}{2.00\,\Omega}=0.0200\,\mathrm W\\P_2&=\frac{(0.400\,\mathrm V)^2}{2.00\,\Omega}=0.0800\,\mathrm W\end{aligned}

[2]

Transfer · Vertiefen

Eine Schienenstange mit Masse 0,0500 kg, Länge 0,250 m und Anfangsgeschwindigkeit 2,00 m/s bewegt sich im senkrechten Feld 0,800 T. Gesamtwiderstand 2,00 Ω. Ab $t=0$ kein äußerer Zug; Reibung, Eigeninduktion und Feldrückwirkung vernachlässigt. Bestimme Zeitkonstante, Geschwindigkeit und EMK nach 2,50 s.

Hinweis anzeigen

Setze den geschwindigkeitsabhängigen Bremskraftbetrag in Newtons Gleichung ein.

Lernziel: Magnetische Bremskraft mit einer mechanischen Abklinggleichung verbinden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $m\dot v=-\frac{B^2\ell^2}{R}v$ .
Daraus folgen exponentieller Abfall und eine Zeitkonstante 2,50 s.
Nach einer Zeitkonstante sind Geschwindigkeit etwa 0,73576 m/s und EMK-Betrag 0,14715 V.

Kontrolle: Der kinetische Energiebetrag fällt dann auf $e^{-2}$ des Anfangswerts; die verlorene Energie wird im idealen Modell vollständig zur Widerstandswärme.

\begin{aligned}\tau&=\frac{mR}{B^2\ell^2}=2.50\,\mathrm s\\v(\tau)&=v_0e^{-1}\approx0.73576\,\mathrm{m/s}\\|\mathcal E(\tau)|&=B\ell v(\tau)\approx0.14715\,\mathrm V\end{aligned}

[1][2]

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Lorentzkraft und mechanische Leistung im erklärenden Kontext verknüpft; orientierte Rechnungen, Lastfälle, Aufgaben und Grafik erhalten.
1. Oktober 2026DE/EN-Erklärung mit orientierter Herleitung, zwei eigenen Rechenbeispielen und fünf verschiedenen gelösten Aufgaben ausgearbeitet.
1. Oktober 2026Lernverlauf und Modellbegründung erweitert, drittes durchgerechnetes Beispiel und eigene quantitative Grafik ergänzt; Formelsatz und Schlusszusammenfassung präzisiert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Bewegungsinduktion (Motional-EMK). Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/bewegungsinduktion-motional-emk

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Bewegungsinduktion (Motional-EMK)

Warum entsteht Spannung in einem bewegten Leiter?+

Wann gilt die Kurzform der Bewegungsinduktion?+

Wie passt die Formel zum Induktionsgesetz?+

Was ändert ein angeschlossener Widerstand?+

Wie prüfe ich die Einheit?+

Bewegungsinduktion (Motional-EMK) prüfungssicher behalten

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