Physik · Magnetfelder stromführender Leiter

Biot-Savart-Gesetz

Q: Wie rechne ich mit Biot-Savart für einen langen Draht?

Für einen langen geraden Draht mit $I=5.0\,\mathrm A$ und senkrechtem Abstand $d=2.0\,\mathrm{cm}$ verwendet man $B=\frac{\mu_0I}{2\pi d}$. Mit der Unterrichtsnäherung $\mu_0\approx4\pi\cdot10^{-7}$ Tesla-Meter pro Ampere folgt 50 Mikrotesla. Die Richtung muss separat mit der Rechte-Hand-Regel bestimmt werden. Doppelt so großer Abstand liefert 25 Mikrotesla; umgekehrter Strom kehrt den Vektor um. Für einen endlichen Draht ist das nicht automatisch exakt: Seine Länge und die Beobachtungsposition bestimmen die Korrektur. Auch Anschluss- und Rückleiter sowie äußere Felder können zum Messwert beitragen. Runde erst nach der Einheitenumrechnung und nach Festlegung der passenden Geometrie.

Das Biot-Savart-Gesetz summiert vektorielle Magnetfeldbeiträge einzelner stationärer Stromelemente an einem Beobachtungspunkt.

FortgeschrittenSekundarstufe IIBachelor-Grundlagen

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Formel

Berechnen

d B B = \frac{μ _{0} I}{4 π} \frac{d ℓ \times r ^}{r ^{2}} = \int d B

B in T; I in A; dℓ und r in m; μ₀ in T·m/A.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$dB$	Magnetfeldbeitrag eines Stromelements	T
$μ₀$	magnetische Feldkonstante	T·m/A
$I$	stationärer Strom	A
$dℓ$	Leiterelement in Stromrichtung	m
r̂	Einheitsvektor vom Element zum Beobachtungspunkt	dimensionslos
$r$	Abstand des Elements zum Beobachtungspunkt	m

LaTeX

\begin{aligned}\mathrm d\mathbf B&=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{\mathrm d\boldsymbol\ell\times\hat{\mathbf r}}{r^2}\\\mathbf B&=\int\mathrm d\mathbf B\end{aligned}

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Endliches Drahtstück horizontal bei y=0 mit Strom nach rechts. P liegt senkrecht über der Mitte. Ein Element links der Mitte zeigt nach rechts, sein Verbindungsvektor zeigt schräg nach rechts oben zu P; das Kreuzprodukt zeigt aus der Ebene. R ist die schräge Distanz, d die senkrechte Distanz. — Eigene Drahtgeometrie: I=3 A nach +x, Stück von −0,15 bis +0,15 m, Punkt P bei y=0,04 m. R zeigt vom Beispiel-Element bei x=−0,08 m nach P. Alle Beiträge des Stücks zeigen nach +z; Bz≈14,4935 µT. Der eingezeichnete Elementpfeil ist schematisch, kein endlicher Integrationsersatz.

Magnetfeld nach Biot-Savart berechnen

Magnetfeld auf der Achse einer flachen Spule oder neben einem geraden Drahtstück ausrechnen, im Vakuum und mit Vorzeichen.

Rechenmodell

Gesucht

Radius R einer Windung

Radius einer Windung, z. B. 4 cm bei einer kleinen Flachspule.

Ort z auf der Achse (mit Vorzeichen)

Ort auf der Spulenachse, von der Spulenmitte aus gemessen, z. B. 3 cm; auf der anderen Seite negativ.

Windungszahl N

Anzahl der eng beieinander liegenden Windungen, eine ganze Zahl, z. B. 25.

Strom: gegen Uhrzeigersinn von +z positiv I

Strom in jeder Windung; positiv, wenn er von +z aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn fließt, z. B. 2 A.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Magnetfeld Bz auf der Achse

Bz = 402,1 μT

Mit R = 4 cm, z = 3 cm, N = 25 und I = 2 A ergibt sich Bz = 402,1 μT.

Rechenweg · umstellen nach Bz, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach Bz umstellen
$B_z=\frac{\mu_0NIR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- R = 4 cm = 0,04 m
- z = 3 cm = 0,03 m
$\frac{0{,}00000125664\cdot 25\cdot 2\cdot0{,}04^2}{2\cdot(0{,}04^2+0{,}03^2)^{3/2}}=0{,}000402124$
3. Ergebnis
Bz = 402,1 μT

μ₀≈4π·10⁻⁷ T·m/A ist die hier verwendete gerundete Unterrichtsapproximation, seit der SI-Neudefinition kein exakter definierender Wert.

So rechnest du schneller

In der Spulenmitte (z = 0) wird die Formel einfach: B = μ₀NI/(2R). 25 Windungen mit 4 cm Radius und 2 A ergeben rund 785 μT.
Ist das Drahtstück viel länger als der Abstand (a ≫ d), gilt fast das Feld des langen Drahts: B ≈ μ₀I/(2πd), bei 3 A und 4 cm also 15 μT.

Annahmen und Grenzen

Dünne stationäre Kreiswindungen im Vakuum in der xy-Ebene, gleicher positiver Radius und gleiche axiale Lage. Positive Stromreferenz gegen Uhrzeigersinn von +z gesehen. Beobachtung ausschließlich auf der z-Achse; z kann negativ oder null sein, Ergebnis ist Bz. N sichere positive Ganzzahl. Näherung eng benachbarter gleichartiger Windungen; Rückleiter separat. Keine lange Spule, kein allgemeines Off-axis-Integral oder Materialkern.

Herleitung & Hintergrund

Magnetostatische Vakuumform für stationäre vollständige Ströme; dünne-Leiter-Linienmodell nur außerhalb des Leiterquerschnitts. Beiträge sind Vektoren. Zeitabhängige Quellen und magnetische Materialantwort benötigen eine erweiterte Beschreibung. $\mu_0\approx4\pi\cdot10^{-7}\,\mathrm{T\,m\,A^{-1}}$ ist eine Unterrichtsnäherung, keine seit 2019 exakte SI-Definition.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Das magnetostatische Stromelement-Gesetz liefert den lokalen Beitrag; Parametrisierung und Vektorintegration liefern das Feld einer konkreten Geometrie.

1Einen festen Beobachtungspunkt und die vollständige stationäre Stromgeometrie festlegen; Rückleiterbeiträge mitdenken.
2Bei positivem I jedes gerichtete Leiterelement dℓ in technische Stromrichtung orientieren.
3Der Verbindungsvektor $\mathbf R=\mathbf r_P-\mathbf r^{\prime}$ zeigt von der Quelle zum Beobachter; R variiert entlang des Leiters.
4Das Kreuzprodukt $\mathrm d\boldsymbol\ell\times\hat{\mathbf R}$ bestimmen; es legt Sinusfaktor und Rechte-Hand-Richtung fest.
5Den Beitrag $\mathrm d\mathbf B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{\mathrm d\boldsymbol\ell\times\hat{\mathbf R}}{R^2}$ über die Geometrie integrieren.
6Zuerst kartesische Feldkomponenten addieren, dann den Betrag bilden; Symmetrie, Stromumkehr und Grenzfälle kontrollieren.

Umstellen

Betrag eines Stromelement-Beitrags

\mathrm dB=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{\mathrm d\ell\sin\theta}{r^2}

Positive I und dℓ; θ zwischen Leiterelement und Quelle-zum-Beobachter-Vektor. Keine allgemeine Umstellung des Feldintegrals.

Aufgabenvariante

Ein ideal langer gerader dünner Draht führt $I=5.0\,\mathrm A$ nach +z. Ein Beobachtungspunkt liegt $r=2.0\,\mathrm{cm}$ von der Achse auf +x. Bestimme Feldbetrag und Richtung im Vakuummodell.

Ansatz: $B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$ .
Mit $r=0.020\,\mathrm m$ und $\mu_0\approx4\pi\cdot10^{-7}\,\mathrm{T\,m\,A^{-1}}$ folgt $B=5.0\cdot10^{-5}\,\mathrm T=50\,\mathrm{\mu T}$ .
Die rechte Hand liefert +y.
Doppelter Abstand halbiert den Betrag; End- und Rückleiterbeiträge sind im ideal langen Einzelbeitrag nicht enthalten.

Typische Fehler

Den Quelle-zum-Beobachter-Vektor umkehren oder einen Leiterabschnitt ohne die übrigen Stromwege als Gesamtfeld behandeln.

Lege Stromrichtung und Beobachtungspunkt fest; integriere vektoriell und nenne vernachlässigte Rückleiterbeiträge.

Klausurkontext

Endliches Drahtsegment, Schleifenachse und Überlagerung zweier Leiter: Vektorrichtung und Geometrie vor der Integration festlegen.

Formelcluster

Magnetfelder stromführender Leiter

Biot–Savart berechnet Draht- und Schleifenfelder. Bei geeigneter Symmetrie bietet das Ampèresche Gesetz eine zweite Rechnung.

B = μ₀|I|/(2πr)

Magnetfeld eines langen geraden Leiters

B = μ₀·(N/l)·I

Magnetfeld einer langen Spule

∯E·dA=QV/ε₀; ∯B·dA=0; ∮E·dl=−dΦB/dt; ∮B·dl=μ₀(I_A+ε₀dΦE/dt)

Maxwell-Gleichungen in Integralform

Rechenbeispiel

Ein langer gerader Draht mit $I=5.0\,\mathrm A$ liefert bei $r=2.0\,\mathrm{cm}$ näherungsweise $B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}=5.0\cdot10^{-5}\,\mathrm T=50\,\mathrm{\mu T}$ . Richtung per Rechte-Hand-Regel; doppelter Abstand halbiert den Betrag.

Anwendungsgebiete

Magnetfelder von Leiterschleifen, Drahtsegmenten und Stromverteilungen bestimmen.

Rechenbeispiel: Biot-Savart-Gesetz

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Biot-Savart-Gesetz (dB=(μ₀/4π)I dℓ×r̂/r²).

1
Aufgabe
Ein ideal langer gerader dünner Draht führt $I=5.0\,\mathrm A$ nach +z. Ein Beobachtungspunkt liegt $r=2.0\,\mathrm{cm}$ von der Achse auf +x. Bestimme Feldbetrag und Richtung im Vakuummodell.
Rechenweg
1. Ansatz: $B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$ .
2. Mit $r=0.020\,\mathrm m$ und $\mu_0\approx4\pi\cdot10^{-7}\,\mathrm{T\,m\,A^{-1}}$ folgt $B=5.0\cdot10^{-5}\,\mathrm T=50\,\mathrm{\mu T}$ .
3. Die rechte Hand liefert +y.
4. Doppelter Abstand halbiert den Betrag; End- und Rückleiterbeiträge sind im ideal langen Einzelbeitrag nicht enthalten.

Die Formel verstehen und anwenden

Das Biot-Savart-Gesetz verbindet eine stationäre Stromgeometrie mit dem Magnetfeld an einem bestimmten Punkt. Der entscheidende Schritt ist nicht das Einsetzen eines Abstandes, sondern die korrekte Vektoraddition aller Beiträge. Ein endlicher Draht und eine Schleife zeigen, wie aus derselben Beziehung verschiedene Feldverläufe entstehen.

Das Feld eines gebogenen Stromwegs zusammensetzen

Bei einem langen geraden Draht hilft Symmetrie. Was aber, wenn der Draht gebogen ist? Denke ihn in viele kurze gerichtete Stücke zerlegt. Jedes Stück liefert am gewählten Beobachtungspunkt einen kleinen Feldvektor. Biot-Savart beschreibt diesen Beitrag; das Integral addiert die Beiträge der gesamten Geometrie. Das Wort „klein“ rechtfertigt dabei nicht, für alle Stücke denselben Abstand zu verwenden.[1][2]

Vorwissen: Das Kreuzprodukt wählt die Richtung senkrecht zu Stromstück und Verbindungsvektor. Bei parallelen Vektoren ist der Beitrag null.
Der Verbindungsvektor zeigt vom aktuellen Quellstück zum festen Beobachtungspunkt, nicht andersherum.
Stationärer Strom benötigt einen vollständigen Stromweg. Wenn nur ein Abschnitt berechnet wird, bleibt sein Beitrag vom gesamten Feld zu unterscheiden.

[1][2]

Quelle, Beobachtungspunkt und Kreuzprodukt

Ein Quellpunkt auf einem dünnen Leiter hat die Position $\mathbf r^{\prime}$ ; der feste Beobachtungspunkt liegt bei $\mathbf r_P$ . Der Verbindungsvektor $\mathbf R=\mathbf r_P-\mathbf r^{\prime}$ zeigt immer von der Quelle zum Beobachter. Sein Betrag R ist im Allgemeinen entlang des Leiters verschieden. Bei positivem Strom I orientieren wir $\mathrm d\boldsymbol\ell$ in Stromrichtung. Wer den Verbindungsvektor umkehrt, kehrt auch das berechnete Feld um.[1]

\begin{aligned}\mathrm d\mathbf B&=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{\mathrm d\boldsymbol\ell\times\hat{\mathbf R}}{R^2}\\&=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{\mathrm d\boldsymbol\ell\times\mathbf R}{R^3}\\\mathbf B(P)&=\int\mathrm d\mathbf B\end{aligned}

Magnetostatische Vakuumform für dünne Leiter; R≠0.[1]

Das Kreuzprodukt liefert einen Beitrag senkrecht zum Stromelement und zum Verbindungsvektor. Seine Größe enthält den Sinus des eingeschlossenen Winkels. Ein parallel zum Verbindungsvektor gerichtetes Element liefert an diesem Punkt keinen Beitrag. Daraus folgt nicht, dass der ganze Stromkreis dort feldfrei ist: Andere Elemente haben andere Richtungen und Winkel.[1]

Das Gesetz anwenden, nicht aus Geometrie erfinden

Die Stromelement-Beziehung ist eine physikalische magnetostatische Feldbeziehung; ein geometrisches Argument allein beweist sie nicht. Für einen konkreten Leiter beginnt die Herleitung deshalb mit diesem Gesetz. Danach parametrisiert man den Leiter, berechnet das Kreuzprodukt und integriert die verbleibenden Komponenten. Nur Faktoren, die entlang des gesamten Integrationsweges konstant sind, dürfen vor das Integral gezogen werden.[1]

Ein Stromstück ist ein Teil einer vollständigen stationären Stromverteilung, keine isolierte Stromquelle mit freien Enden. In einem realen Aufbau schließen Rückleiter und Anschlussleitungen den Kreis; ihre Beiträge müssen addiert oder mit begründeter Näherung vernachlässigt werden. Bei einem dicken Leiter ersetzt man das Linienintegral durch eine Integration über die Stromdichte. Eine besonders symmetrische unendliche Geometrie kann mit Ampères Gesetz kürzer behandelt werden.[1]

Halte den Beobachter beim Integrieren fest und bewege nur den Quellpunkt entlang des Drahtes. Für jedes Stück ändern sich dadurch Abstand und Winkel. Wähle dann einen gemeinsamen Satz von Komponenten und addiere jede Komponente separat. Erst zum Schluss bildest du den Gesamtbetrag. Bei einer Kreisschleife heben sich quer zur Achse gerichtete Anteile paarweise auf; die axialen Anteile addieren sich.[1][3]

Wie berechnet man den Beitrag eines endlichen geraden Drahts?

Ein Drahtstück liege auf der x-Achse von −a bis +a, der positive Strom fließe nach +x. Der Beobachtungspunkt liegt bei (0,d,0) mit d>0. Für jedes Element ist der z-Anteil des Kreuzprodukts positiv; alle Beiträge dieses geraden Stücks zeigen aus der Zeichenebene. Der Abstand zum einzelnen Element ist $\sqrt{x^2+d^2}$ , nicht der konstante kürzeste Abstand d.[2]

\begin{aligned}\mathrm dB_z&=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{d\,\mathrm dx}{(x^2+d^2)^{\frac32}}\\B_z&=\frac{\mu_0I}{4\pi}\left[\frac{x}{d\sqrt{x^2+d^2}}\right]_{-a}^{a}\\&=\frac{\mu_0I}{2\pi d}\frac a{\sqrt{a^2+d^2}}\\\lim_{a\to\infty}B_z&=\frac{\mu_0I}{2\pi d}\end{aligned}

Der endliche Faktor gilt in der Mittelebene dieses Stücks. Andere Leiterteile sind hier noch nicht enthalten.[2]

Für die Unterrichtsrechnungen verwenden wir $\mu_0\approx4\pi\cdot10^{-7}$ Tesla-Meter pro Ampere. Das ist seit der SI-Neudefinition keine exakte definierende Konstante mehr; CODATA 2022 gibt einen sehr nahe liegenden Messwert an. Die Rundungsabweichung ist für unsere dreistelligen Ergebnisse vernachlässigbar. Die Einheit des Stromelement-Beitrags ist Tesla, denn Strom mal Elementlänge geteilt durch Abstand zum Quadrat liefert Ampere pro Meter. Das Magnetfeld eines langen geraden Leiters ist der passende Grenzvergleich, wenn die Enden gegenüber dem Querabstand ausreichend weit entfernt sind.[4][5]

Beispiel: Drahtstück statt unendlichem Draht

Eine geometrische Näherung kontrollieren

Gegeben: Drahtstück $2a=0.30\,\mathrm m$ , $I=3.0\,\mathrm A$ nach +x, Punkt $(0,0.040\,\mathrm m,0)$ . Vakuum; Beitrag nur dieses Stücks.
Gesucht: Feldkomponente und Unterschied zum unendlichen Modell.

Ansatz: Kreuzprodukt für die Richtung und endliches Integral für den Betrag verwenden.
$\begin{aligned}B_\infty&=\frac{\mu_0I}{2\pi d}\\B_z&=B_\infty\frac a{\sqrt{a^2+d^2}}\end{aligned}$
Einsetzen: a ist 0,15 m, nicht 0,30 m.
$\begin{aligned}B_\infty&=\frac{(4\pi\cdot10^{-7})(3.0)}{2\pi(0.040)}\,\mathrm T=15.0\,\mathrm{\mu T}\\B_z&=(15.0\,\mathrm{\mu T})\frac{0.15}{\sqrt{0.15^2+0.040^2}}\\&\approx14.4935\,\mathrm{\mu T}\end{aligned}$

Ergebnis: Das Stück trägt etwa 14,5 µT nach +z bei. Das unendliche Modell wäre um etwa 3,49 Prozent des endlichen Wertes höher.

Kontrolle: Kontrolle: Der geometrische Faktor ist 0,966235 und kleiner als eins. Beim Stromrichtungswechsel wird Bz negativ. Rückleiterbeiträge können das gemessene Gesamtfeld zusätzlich verändern; sie sind nicht in diesem Zahlenvergleich enthalten.

Wie entsteht das Achsenfeld einer Kreiswindung?

Eine Kreiswindung mit Radius R liege in der xy-Ebene. Ihr Strom fließt von +z aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn. Auf der z-Achse heben sich die quer zur Achse gerichteten Beiträge gegenüberliegender Elemente auf. Die z-Komponenten addieren sich. Der Abstand $\sqrt{R^2+z^2}$ ist hier für alle Elemente gleich; zusätzlich muss aber noch der axiale Projektionsfaktor berücksichtigt werden.[3]

\begin{aligned}\mathrm dB_z&=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{R\,\mathrm d\ell}{(R^2+z^2)^{\frac32}}\\B_z(z)&=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+z^2)^{\frac32}}\\B_z(0)&=\frac{\mu_0I}{2R}\end{aligned}

Eine Windung. Für N praktisch gleiche, dicht beieinander liegende Windungen werden die Beiträge mit N multipliziert.[3]

Die Näherung einer flachen Mehrwindungsspule setzt voraus, dass Radien und axiale Positionen so ähnlich sind, dass der gleiche Einzelwindungswert verwendet werden darf. N ist die Anzahl der Windungen, nicht eine Windungsdichte. Weit von der Schleife fällt ihr axiales Feld ungefähr mit der dritten Potenz des Abstandes. Dieser andere Verlauf gehört zur geschlossenen Stromgeometrie, obwohl jedes Stromelement denselben Biot-Savart-Ausgangspunkt hat. Das Magnetfeld einer langen Spule erfordert dagegen axial verteilte Windungen und seine eigene Langspulenannahme; bloße Multiplikation des flachen Schleifenwerts ersetzt diese Geometrie nicht.[3]

Bild ansehen: Das Schleifenfeld nimmt auf der Achse ab

Das Schleifenfeld nimmt auf der Achse ab

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Für die gleiche Stromrichtung zeigt der Achsenfeldvektor auf beiden Seiten nach +z; nur sein Betrag ändert sich. Die Normierung gilt auch für die flache Mehrfachwindung des zweiten Beispiels. Außerhalb der Achse werden andere Komponenten benötigt.[3]

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Beispiel: Feld im Zentrum und auf der Achse

Eine flache Spule an zwei Orten vergleichen

Gegeben: $N=25$ dünne nahe gleiche Windungen, $R=4.0\,\mathrm{cm}$ , $I=2.0\,\mathrm A$ gegen den Uhrzeigersinn von +z gesehen; $z=3.0\,\mathrm{cm}$ . Luft näherungsweise als Vakuum.
Gesucht: Feld im Zentrum, axiales Feld und deren Verhältnis.

Ansatz: Axiale Komponenten addieren; N zählt Windungen. Den Quotienten separat bilden, damit Strom und Naturkonstante sich kürzen.
$\begin{aligned}B_z(0)&=\frac{\mu_0NI}{2R}\\B_z(z)&=\frac{\mu_0NIR^2}{2(R^2+z^2)^{\frac32}}\\\frac{B_z(z)}{B_z(0)}&=\left[1+\left(\frac zR\right)^2\right]^{-\frac32}\end{aligned}$
Einsetzen: $\sqrt{R^2+z^2}=0{,}050\,\mathrm m$ ; die Entfernung gehört mit der dritten Potenz in den Nenner.
$\begin{aligned}B_z(0)&=\frac{(4\pi\cdot10^{-7})(25)(2.0)}{2(0.040)}\,\mathrm T\\&\approx785.398\,\mathrm{\mu T}\\B_z(0.030)&=\frac{(4\pi\cdot10^{-7})(25)(2.0)(0.040)^2}{2(0.040^2+0.030^2)^{\frac32}}\,\mathrm T\\&\approx402.124\,\mathrm{\mu T}\\\frac{B_z(0.030)}{B_z(0)}&=0.512\end{aligned}$

Ergebnis: Im Zentrum liegen etwa 785 µT, am angegebenen Achsenpunkt etwa 402 µT vor, beide nach +z. Der axiale Wert ist 51,2 Prozent des Zentrumwerts.

Kontrolle: Kontrolle: Der Quotient liegt unter eins und geht für z=0 auf eins über. Gegenüberliegende Elemente entfernen Querkomponenten; ein pauschales Addieren ihrer Beträge hätte die erforderliche Projektion übergangen.

Beträge erst nach der Vektorsumme

Zwei gleich starke Felder können sich vollständig aufheben. Für zwei parallele gleiche Ströme in symmetrisch angeordneten langen Drähten sind die Felder in der Mitte entgegengesetzt. Kehrt man nur einen Strom um, zeigen beide Beiträge dort in die gleiche Richtung. Der Abstand zur jeweiligen Quelle entscheidet über den Einzelbetrag; die Umlaufrichtung entscheidet über das Vorzeichen. Erst nach Addition der kartesischen Komponenten wird der Gesamtbetrag bestimmt.[1][2]

\begin{aligned}\mathbf B_{\rm total}&=\sum_j\mathbf B_j\\|\mathbf B_{\rm total}|&=\sqrt{B_x^2+B_y^2+B_z^2}\end{aligned}

Eine Summe von Beträgen ist nur bei gleichgerichteten Beiträgen zulässig.[1]

Ein geschlossener Stromweg aus zwei Halbkreisen

Gegeben: Zwei konzentrische Halbkreise in der xy-Ebene mit Radien 5,00 cm und 15,0 cm werden an ihren Enden radial verbunden. Der Strom 1,50 A fließt auf dem inneren Halbkreis gegen den Uhrzeigersinn, von +z betrachtet, und auf dem äußeren im Uhrzeigersinn. Beobachtung im gemeinsamen Mittelpunkt. Vakuum, dünner Leiter.
Gesucht: Bestimme das gesamte Magnetfeld dieses geschlossenen Stromwegs im Mittelpunkt.

Ansatz: Auf einem Kreisbogen ist der Abstand konstant und der Verbindungsvektor senkrecht zum Stromelement. Die radialen Verbindungen sind parallel zum Verbindungsvektor und tragen dort nichts bei.
$\begin{aligned}B_{\mathrm{arc}}&=\frac{\mu_0I\theta}{4\pi R},\qquad\theta=\pi\\B_z&=\frac{\mu_0I}{4}\left(\frac1{R_{\mathrm{in}}}-\frac1{R_{\mathrm{out}}}\right)\end{aligned}$
Einsetzen: Der innere Beitrag zeigt nach +z, der äußere nach −z.
$\begin{aligned}B_{z,\mathrm{in}}&=\frac{(4\pi\cdot10^{-7})(1.50)}{4(0.0500)}\,\mathrm T\approx+9.42478\,\mathrm{\mu T}\\B_{z,\mathrm{out}}&\approx-3.14159\,\mathrm{\mu T}\\B_z&\approx+6.28319\,\mathrm{\mu T}\end{aligned}$

Ergebnis: Das gesamte Feld beträgt etwa 6,283 µT nach +z. Der stärkere innere Halbkreis überwiegt.

Kontrolle: Der äußere Radius ist dreimal so groß und sein Beitrag daher ein Drittel des inneren, mit entgegengesetzter Richtung. Beide radialen Verbindungen sind ausdrücklich enthalten. Stromumkehr kehrt nur das Gesamtvorzeichen um.

Stationäre Ströme und eine vollständige Geometrie

Die dargestellte Form gilt magnetostatisch im Vakuum. Bei schnell veränderlichen Quellen beschreibt ein Integral der momentanen Ströme nicht alle Feldwirkungen; Verzögerung und elektrische Feldänderungen gehören zum zeitabhängigen Maxwell-Modell. Bei ferromagnetischen Kernen ist das Ersetzen von μ₀ durch irgendeine konstante Zahl nicht allgemein ausreichend: Materialantwort und Geometrie müssen gemeinsam berücksichtigt werden. Auf dem ideal dünnen Draht ist die Linienform singular; reale Stromverteilung und Leiterquerschnitt lösen diese Modellgrenze.[1]

Ein fachlich vollständiges Ergebnis nennt daher den Beobachtungspunkt, die Stromorientierung, den Beitrag des betrachteten Leiters und die vernachlässigten Teile. Ein perfekter Zahlenwert für ein Drahtstück ist noch nicht das Gesamtfeld eines Laboraufbaus. Messungen können außerdem Erdmagnetfeld und weitere Quellen enthalten. Superposition trennt diese Beiträge im linearen Vakuummodell, sofern ihre Geometrien und Ströme bekannt sind.[1]

Fünf Aufgaben zu Geometrie und Vektoraddition

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein langer dünner Draht führt $I=4.0\,\mathrm A$ nach +x. Ein Punkt liegt $d=5.0\,\mathrm{cm}$ in +y-Richtung vom Draht. Bestimme seinen Feldbeitrag.

Hinweis anzeigen

Rechte-Hand-Regel vor der Betragsrechnung anwenden.

Lernziel: Das lange-Draht-Ergebnis mit Richtung verwenden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Langer dünner Draht und äußerer Beobachtungspunkt; die Richtung folgt aus Strom und Verbindung.
$\begin{aligned}B&=\frac{\mu_0I}{2\pi d}\\\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf y}&=\hat{\mathbf z}\end{aligned}$ Ansatz ist die unendlich-lange Näherung. +x gekreuzt mit +y liefert +z.
Die Rechnung ergibt 16,0 µT aus der Ebene.
Eine Verdopplung von d halbiert den Betrag.
Enden und Rückleiter müssen hinreichend weit entfernt sein oder separat berücksichtigt werden.

B_z=\frac{(4\pi\cdot10^{-7})(4.0)}{2\pi(0.050)}\,\mathrm T=16.0\,\mathrm{\mu T}

[2]

Umstellen · Anwenden

Eine einzelne Kreiswindung mit $R=3.0\,\mathrm{cm}$ soll im Zentrum $B=60\,\mathrm{\mu T}$ erzeugen. Wie groß ist I im Vakuummodell?

Hinweis anzeigen

Zentrumformel nach I isolieren; N=1.

Lernziel: Einen Strom aus einem einzelnen Schleifenzentrumfeld bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $I=\frac{2RB}{\mu_0}$ .
Das ergibt etwa 2,865 A.
Zurückeinsetzen liefert 60 µT.
Für das Vorzeichen benötigt man zusätzlich die geforderte Feldrichtung; bei +z soll der Strom von +z betrachtet gegen den Uhrzeigersinn fließen.

I=\frac{2(0.030)(60\cdot10^{-6})}{4\pi\cdot10^{-7}}\,\mathrm A\approx2.86479\,\mathrm A

[3]

Interpretieren · Einstieg

Ein Beobachtungspunkt liegt auf der geradlinigen Verlängerung eines einzelnen Stromelements. Ist sein Beitrag null? Darf man daraus auf ein feldfreies vollständiges Kabel schließen?

Hinweis anzeigen

Der Sinus des eingeschlossenen Winkels betrifft nur das betrachtete Element.

Lernziel: Lokalen Nullbeitrag vom Gesamtfeld unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Für ein paralleles oder antiparalleles Verbindungselement verschwindet das Kreuzprodukt, also der lokale Beitrag.
Andere Teile des vollständigen Stromkreises können einen nichtverschwindenden Beitrag liefern.
Der Beobachter darf nicht auf dem idealen Stromelement selbst liegen, weil dort der Abstand null ist und die Linienbeschreibung singular wird.

\mathrm d\boldsymbol\ell\parallel\mathbf R,\ R>0\quad\Longrightarrow\quad\mathrm d\mathbf B=\mathbf0

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Für einen geraden endlichen Draht ersetzt eine Lösung überall R durch den kürzesten Abstand d und setzt den Winkel auf 90°. Warum ist das außerhalb des mittleren Elements falsch?

Hinweis anzeigen

Zeichne ein Element bei x≠0 und seinen Verbindungsvektor zum Punkt.

Lernziel: Den elementabhängigen Abstand im Integral erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $R^2=x^2+d^2$ und $\sin\theta=\frac dR$ .
Beides hängt von der Elementposition ab.
Der korrekte Integrand enthält $\frac d{(x^2+d^2)^{\frac32}}$ .
Die falsche Rechnung würde entfernte Elemente genauso stark gewichten wie das mittlere und den Beitrag zu hoch ansetzen.
Der Grenzwert für einen unendlich langen Draht bliebe sogar fälschlich divergent.

\mathrm dB_z=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{d\,\mathrm dx}{(x^2+d^2)^{\frac32}}

[2]

Transfer · Vertiefen

Zwei lange Drähte liegen parallel zu x bei $y=\pm2.5\,\mathrm{cm}$ . Jeder führt $2.0\,\mathrm A$ . Bestimme das Feld in der Mitte für beide Ströme nach +x und dann für den oberen Strom nach −x.

Hinweis anzeigen

Unterer Draht: Verbindungsvektor nach +y. Oberer Draht: nach −y.

Lernziel: Superposition mit zwei Stromrichtungen vergleichen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Jeder Einzelbetrag ist 16 µT.
Bei gleichgerichteten Strömen liefert der untere Draht +16 µT nach z und der obere −16 µT: Gesamtfeld null.
Nach Umkehr nur des oberen Stroms liefert auch dieser +16 µT, insgesamt +32 µT.
Die Beträge addiert man erst, nachdem ihre Richtungen feststehen.

\begin{aligned}B_{\rm single}&=\frac{\mu_0(2.0\,\mathrm A)}{2\pi(0.025\,\mathrm m)}=16\,\mathrm{\mu T}\\B_{z,\rm same}&=16-16=0\,\mathrm{\mu T}\\B_{z,\rm opposite}&=16+16=32\,\mathrm{\mu T}\end{aligned}

[2][1]

Das solltest du mitnehmen

Biot-Savart summiert gerichtete Beiträge. Der Beobachter bleibt fest, Quellpunkt und Verbindungsvektor verändern sich beim Integrieren.
Null Beitrag eines einzelnen Stromelements bedeutet nicht null Gesamtfeld. Rückleiter und andere Abschnitte gehören zur Gesamtgeometrie.
Symmetrie kann Komponenten aufheben oder vereinfachen. Sie muss aus dem wirklichen Stromweg folgen.

[1][3]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften und fachlich passende Absatzlinks präzisiert; bestehende wissenschaftliche Erklärungen, Beispiele und Aufgaben erhalten.
1. Oktober 2026Vektorintegration, endlichen Draht und Schleifenachse ausgearbeitet; μ0 als Näherung gekennzeichnet; zwei kontrollierte Beispiele und fünf Aufgaben ergänzt.
1. Oktober 2026Anschaulichen Einstieg und Vorwissen ergänzt, Modellschritte erläutert, ein weiteres vollständiges Beispiel und ein quantitatives Diagramm hinzugefügt; bestehende Beispiele, fünf Aufgaben und Quellen erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Biot-Savart-Gesetz. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/biot-savart-gesetz

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Biot-Savart-Gesetz

Was beschreibt das Biot-Savart-Gesetz?+

Das Biot-Savart-Gesetz gibt den Magnetfeldbeitrag eines gerichteten stationären Stromelements am Beobachtungspunkt an. Der Verbindungsvektor zeigt vom Element zum Punkt, während das Leiterelement in technische Stromrichtung zeigt. Ihr Kreuzprodukt legt Winkel und Richtung fest; der Abstand zum einzelnen Element steht quadratisch im Nenner der Vektorform mit Einheitsvektor. Anschließend werden die Beiträge über die gesamte relevante Stromgeometrie integriert. Das Ergebnis ist deshalb eine Vektorsumme, keine allgemeine Summe positiver Beträge. Ein Drahtstück kann als Teilbeitrag berechnet werden, aber ein realer stationärer Stromkreis benötigt auch einen Rückweg. Dieser Rückweg kann das tatsächlich gemessene Gesamtfeld beeinflussen.

Wie wird aus einem Stromelement das Feld einer Drahtgeometrie?+

Die Stromelement-Beziehung ist ein physikalisches magnetostatisches Gesetz; allein aus einer Zeichnung wird sie nicht bewiesen. Für eine konkrete Leiterform beginnt die Herleitung mit dieser Beziehung und der Parametrisierung des Leiters. Für ein gerades Stück wird der Elementabstand $\sqrt{x^2+d^2}$ und der Sinusfaktor $\frac d{\sqrt{x^2+d^2}}$ eingesetzt. Das Integral ergibt einen endlichen Geometriefaktor, der bei wachsender Länge gegen eins geht. Bei einer Kreiswindung heben sich auf der Achse Querkomponenten paarweise auf; nur projizierte axiale Beiträge bleiben. Diese beiden Beispiele zeigen, warum die Drahtform entscheidend ist und warum nicht überall derselbe Abstand aus dem Integral gezogen werden darf.

Wie rechne ich mit Biot-Savart für einen langen Draht?+

Für einen langen geraden Draht mit $I=5.0\,\mathrm A$ und senkrechtem Abstand $d=2.0\,\mathrm{cm}$ verwendet man $B=\frac{\mu_0I}{2\pi d}$ . Mit der Unterrichtsnäherung $\mu_0\approx4\pi\cdot10^{-7}$ Tesla-Meter pro Ampere folgt 50 Mikrotesla. Die Richtung muss separat mit der Rechte-Hand-Regel bestimmt werden. Doppelt so großer Abstand liefert 25 Mikrotesla; umgekehrter Strom kehrt den Vektor um. Für einen endlichen Draht ist das nicht automatisch exakt: Seine Länge und die Beobachtungsposition bestimmen die Korrektur. Auch Anschluss- und Rückleiter sowie äußere Felder können zum Messwert beitragen. Runde erst nach der Einheitenumrechnung und nach Festlegung der passenden Geometrie.

Unter welchen Voraussetzungen gilt die magnetostatische Form?+

Die dargestellte Form setzt stationäre Ströme im magnetostatischen Vakuummodell voraus. Für dünne Leiter wird ihre räumliche Stromverteilung durch eine Linie angenähert; auf dieser idealen Linie selbst ist die Beschreibung singular. Bei zeitlich schnell veränderlichen Quellen genügt eine Integration momentaner Stromelemente nicht, weil Verzögerung und gekoppelte elektrische Feldänderungen berücksichtigt werden müssen. Magnetische Materialien benötigen eine passende Beschreibung ihrer Antwort und Randbedingungen. Ein endliches Drahtstück liefert außerdem nur seinen Teilbeitrag. Rückleiter dürfen nicht ohne geometrische Begründung verschwinden. Die Näherung $\mu_0\approx4\pi\cdot10^{-7}$ ist für unsere Zahlen hinreichend, seit der SI-Neudefinition jedoch keine exakte definierende Gleichheit mehr.

Warum darf ich Abstand und Richtung nicht pauschal ersetzen?+

Besonders häufig wird der kürzeste Abstand zum Draht anstelle des unterschiedlichen Abstandes zu jedem Stromelement verwendet. Zugleich wird dann der Winkel pauschal auf neunzig Grad gesetzt. Beides ist bei einem geraden Draht nur für das mittlere Element richtig. Ein weiterer Fehler ist die Addition von Beträgen vor der Richtungsprüfung: Zwei gleich starke Beiträge können sich aufheben. Kontrolliere deshalb zuerst Quelle-zum-Beobachter-Vektor, Strompfeil und Kreuzprodukt. Danach integriere Komponenten und prüfe Stromumkehr sowie geometrische Grenzfälle. Eine richtige Einheit Tesla beweist die Vektoraddition nicht. Bei mehreren Leiterteilen muss außerdem erklärt werden, welche Beiträge enthalten sind und welche begründet vernachlässigt wurden.

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Welcher typische Fehler passiert bei dB=(μ₀/4π)I dℓ×r̂/r²?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Volume 2, §12.1: The Biot-Savart Law.

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