Physik · Statistische Thermodynamik

Boltzmann-Entropie

Q: Was beschreibt diese Beziehung?

$S=k_{\mathrm B}\ln\Omega$ ordnet einer festgelegten gleichwahrscheinlichen Zustandsmenge eine Entropie zu. Ω zählt zugängliche Mikrozustände, nicht Teilchen und nicht Volumen. Ein Makrozustand kann etwa Energie, Volumen und Teilchenzahl oder eine bestimmte Besetzungszahl fixieren; seine Mikrozustände sind die dazu passenden vollständigen Realisierungen. Bei acht bezeichneten Zweizustandsplätzen und genau vier höheren Besetzungen ist $\Omega=70$. Der Logarithmus ergibt $\frac S{k_{\mathrm B}}\approx4{,}2485$. Das ist die Entropie des kleinen Zählmodells, nicht eines Mols. Visuelle Unordnung allein definiert die Zustandszahl nicht. Für ungleiche Wahrscheinlichkeiten wird stattdessen die Gibbs-Form benötigt; die bloße Anzahl möglicher Zustände reicht dann nicht zur Entropieberechnung.

Q: Welcher häufige Fehler verändert das Ergebnis?

Verwechsle Ω nicht mit der Teilchenzahl N. $\Omega=10^{23}$ liefert eine kleine Entropie, weil $\ln\Omega$ nur ungefähr 53 ist; die Zustandszahl eines makroskopischen Systems wächst gewöhnlich exponentiell mit dessen Größe. Verdopplung Ω addiert $k_{\mathrm B}\ln2$, während Verdopplung unabhängiger identischer Teilsysteme Ω quadriert und S verdoppelt. Benutze natürliche Logarithmen; log10 ohne Umrechnungsfaktor liefert ein anderes Ergebnis. Die Einheit von S ist J/K, nicht J. Bei ungleichen Wahrscheinlichkeiten reicht eine Anzahl möglicher Zustände nicht. Auch die Besetzungszahl-Makrozustände eines Binomialmodells sind nicht gleichwahrscheinlich, nur weil die zugrunde liegenden Mikrokonfigurationen gleich gewichtet wurden.

Die Boltzmann-Beziehung ordnet einem Makrozustand mit Ω zugänglichen gleichwahrscheinlichen Mikrozuständen eine Entropie zu.

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Formel

Berechnen

S = k_{B} ln Ω

S in J/K; kB in J/K; Ω dimensionslos.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$S$	Boltzmann-Entropie des Makrozustands	J/K
$kB$	Boltzmann-Konstante	J/K
$Ω$	Zahl zugänglicher Mikrozustände	dimensionslos

LaTeX

S=k_B\ln\Omega

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Diskrete Balken der Binomialmultiplizität mit Maximum 70 bei vier oberen Besetzungen. Entropie des kleinen Modells: S/kB=ln70≈4,24850. — Acht markierte Zweizustandsplätze: Die Multiplizität ist 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1. Gleiche Mikrozustandswahrscheinlichkeiten machen die Makrozustände nicht gleich wahrscheinlich.

Boltzmann-Entropie berechnen

Entropie aus der Zahl gleich wahrscheinlicher Mikrozustände ausrechnen, direkt aus Ω oder bei riesigen Zahlen aus ln Ω, dazu die Entropieänderung.

Rechenmodell

Zahl der Mikrozustände Ω

Anzahl der gleich wahrscheinlichen Mikrozustände, eine ganze Zahl, z. B. 70 für 4 besetzte von 8 Plätzen.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Thermodynamische Entropie S

S = 5,866 · 10⁻²³ J/K

Mit Ω = 70 ergibt sich S = 5,866 · 10⁻²³ J/K.

Rechenweg · umstellen nach S, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach S umstellen
$S=k_{\mathrm B}\ln\Omega$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
$1{,}38065\times10^{-23}\cdot\ln\left(70\right)$
3. Ergebnis
S = 5,866 · 10⁻²³ J/K

So rechnest du schneller

Verdoppelt sich Ω, wächst S immer um denselben Betrag k · ln 2 ≈ 9,57·10⁻²⁴ J/K, egal wie groß Ω schon ist.
Nimm den natürlichen Logarithmus, nicht log₁₀: Ω = 10²³ ergibt ln Ω = 23 · ln 10 ≈ 53. So bleiben auch riesige Zustandszahlen handlich.

Annahmen und Grenzen

Diskrete gleichwahrscheinliche zugängliche Mikrozustände eines ausdrücklich festgelegten Modells. Kein beliebiger Stoff-, Raumordnungs- oder Gesamtteilchenzähler. Die exakte kleine Zustandszahl muss als sichere Ganzzahl darstellbar sein; große Zählungen separat über ln Ω. Eingaben mit mehr als 15 signifikanten Stellen werden vor der Ganzzahlprüfung auf die nächste Gleitkommazahl gerundet, so wird 1,0000000000000001 als 1 gelesen.

Herleitung & Hintergrund

Ω zählt zugängliche Mikrozustände unter ausdrücklich festgelegten Makrobedingungen, nicht Teilchen. Für Gleichwahrscheinlichkeit folgt $S=k_{\mathrm B}\ln\Omega$ aus $S_{\mathrm G}=-k_{\mathrm B}\sum_i p_i\ln p_i$ . Unabhängige Teilsysteme multiplizieren ihre Zustandszahlen und addieren ihre Entropien; Korrelationen erfordern eine gemeinsame Beschreibung. Bei ungleichen Gewichten ist die Gibbs-Summe nötig. Kontinuierliche klassische Zustände und identische Teilchen benötigen konsistente dimensionlose Zählkonventionen.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Definierte dimensionslose Zählung zugänglicher gleichwahrscheinlicher Mikrozustände unter festgelegten Makrobedingungen. Unabhängigkeit für Produktzählung; bei ungleichen Wahrscheinlichkeiten Gibbs-Summe. Kontinuierlicher Phasenraum und identische Teilchen benötigen konsistente Zählkonventionen.

Herleitung in Schritten

Ein Makrozustand kann viele mikroskopische Realisierungen besitzen. Boltzmanns Logarithmus macht diese Zustandszahl zu einer additiven Entropie. Entscheidend ist, welche Zustände unter den festgelegten Bedingungen gezählt werden und wann ihre Wahrscheinlichkeiten tatsächlich gleich sind.

1Lege die Makrobedingungen fest und zähle die dadurch zugänglichen Mikrozustände. Die Zustandszahl $\Omega$ ist dimensionslos.
2Für gleichwahrscheinliche Zustände gilt $p_i=\frac1\Omega$ und $\sum_{i=1}^{\Omega}p_i=1$ .
3Die Gibbs-Entropie lautet $S_{\mathrm G}=-k_{\mathrm B}\sum_i p_i\ln p_i$ .
4Einsetzen ergibt $S=-k_{\mathrm B}\Omega\frac1\Omega\ln\frac1\Omega=k_{\mathrm B}\ln\Omega$ .
5Für unabhängige Teilsysteme gilt $\Omega_{AB}=\Omega_A\Omega_B$ . Der Logarithmus macht daraus $S_{AB}=S_A+S_B$ .
6Zwei passend definierte Zustandsmengen liefern $\Delta S=k_{\mathrm B}\ln\frac{\Omega_2}{\Omega_1}$ . Bei ungleichen Gewichten ist die Gibbs-Summe nötig.

Umstellen

Zustandszahl

\Omega=\exp\!\left(\frac{S}{k_{\mathrm B}}\right)

Gleichwahrscheinliche Mikrozustände vorausgesetzt.

Aufgabenvariante

Eine gleichwahrscheinliche Zustandsmenge hat $\Omega=10^{23}$ . Berechne ihre Entropie und anschließend deren Änderung, wenn sich die zugängliche Zustandszahl verdoppelt. Ist diese Zustandszahl die Teilchenzahl?

Ansatz: $S=k_{\mathrm B}\ln\Omega$ .
Mit $\ln10^{23}=23\ln10$ folgt $S\approx7{,}31184\cdot10^{-22}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ .
Verdoppeln addiert $\Delta S=k_{\mathrm B}\ln2\approx9{,}56993\cdot10^{-24}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ , statt die Entropie zu verdoppeln.

Kontrolle: Die logarithmische Differenz ergibt denselben Zuwachs. $\Omega$ zählt Zustände, nicht Teilchen.

Typische Fehler

Zustandszahl mit Teilchenzahl gleichsetzen.

Zähle vollständige zulässige Konfigurationen unter den angegebenen Makrobedingungen. Acht Plätze mit genau vier höheren Besetzungen liefern 70 Zustände, nicht acht.

Ungleich wahrscheinliche Zustände mit der Boltzmann-Kurzform behandeln.

Prüfe die Gewichte; andernfalls verwende $S_{\mathrm G}=-k_{\mathrm B}\sum_i p_i\ln p_i$ .

Gemeinsame Zustände trotz Korrelationen als Produkt zählen.

Zähle nur erlaubte gemeinsame Kombinationen. Produktzählung und additive Entropie setzen hier unabhängige Teilsysteme voraus.

Klausurkontext

Eine beschränkte Zustandsmenge kombinatorisch zählen und durch Austausch von Besetzungen kontrollieren.
Zustandszählung, ungleiche Gewichte und Korrelationen in kleinen Modellen unterscheiden.

Formelcluster

Statistische Thermodynamik

Die statistische Zustandszählung erklärt die Entropie eines definierten Makrozustands. Die reversible Wärmebilanz liefert einen ergänzenden thermodynamischen Zugang.

ΔS = ∫δQrev/T; bei konstantem T: ΔS = Qrev/T

Entropieänderung entlang eines reversiblen Wegs

⟨Ekin⟩ = 3/2 kBT

Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls

ΔU = Q − W

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Rechenbeispiel

Für $\Omega=10^{23}$ ist $S=k_{\mathrm B}\ln\Omega=23k_{\mathrm B}\ln10\approx7{,}31\cdot10^{-22}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ . Probe: Verdoppelt man die Zahl gleichwahrscheinlicher Zustände, wächst S um $k_{\mathrm B}\ln2\approx9{,}57\cdot10^{-24}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ , nicht um den Faktor zwei. Ω ist keine Teilchenzahl.

Anwendungsgebiete

Makroskopische Entropie mit statistischer Zustandszahl verknüpfen und Entropieänderungen deuten.

Rechenbeispiel: Boltzmann-Entropie und Mikrozustände

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Boltzmann-Entropie und Mikrozustände (S=kB ln Ω).

1
Aufgabe
Eine gleichwahrscheinliche Zustandsmenge hat $\Omega=10^{23}$ . Berechne ihre Entropie und anschließend deren Änderung, wenn sich die zugängliche Zustandszahl verdoppelt. Ist diese Zustandszahl die Teilchenzahl?
Rechenweg
1. Ansatz: $S=k_{\mathrm B}\ln\Omega$ .
2. Mit $\ln10^{23}=23\ln10$ folgt $S\approx7{,}31184\cdot10^{-22}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ .
3. Verdoppeln addiert $\Delta S=k_{\mathrm B}\ln2\approx9{,}56993\cdot10^{-24}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ , statt die Entropie zu verdoppeln.
Kontrolle: Die logarithmische Differenz ergibt denselben Zuwachs. $\Omega$ zählt Zustände, nicht Teilchen.

Die Formel verstehen und anwenden

Was Ω zählt

\begin{aligned}S&=k_{\mathrm B}\ln\Omega\\\Delta S&=k_{\mathrm B}\ln\frac{\Omega_2}{\Omega_1}\end{aligned}

Ω ist eine dimensionslose Zustandszahl, keine Teilchenzahl und kein Gasvolumen.[1][2]

Ein Mikrozustand gibt eine vollständige zugelassene mikroskopische Realisierung des Modells an. Ein Makrozustand hält nur wenige Bedingungen fest, etwa Energie, Volumen, Teilchenzahl oder die Zahl besetzter höherer Niveaus. Viele Mikrozustände können denselben Makrozustand realisieren. Vor einer Rechnung muss diese Zuordnung feststehen; ein beliebiges Bild von Unordnung definiert Ω nicht.[3]

Warum der Logarithmus addiert

\Omega_{AB}=\Omega_A\Omega_B\quad\Longrightarrow\quad S_{AB}=k_{\mathrm B}\ln\Omega_A+k_{\mathrm B}\ln\Omega_B

Die Produktzählung setzt unabhängige zugängliche Zustände der beiden Teilsysteme voraus.[2]

Jeder zulässige Zustand von A kann dann mit jedem von B kombiniert werden. Eine additive makroskopische Größe muss dieses Produkt in eine Summe übersetzen. Der Logarithmus erfüllt diese Anforderung; kB stellt den Anschluss an die thermodynamische Einheit J/K her. Additivität allein ohne weitere statistische und thermodynamische Voraussetzungen ist kein vollständiger Beweis sämtlicher Entropiegesetze.[2]

Gleichwahrscheinlichkeit ausdrücklich prüfen

\begin{aligned}S_G&=-k_{\mathrm B}\sum_i p_i\ln p_i\\{} p_i&=\frac{1}{\Omega}\Rightarrow S_G=k_{\mathrm B}\ln\Omega\end{aligned}

Für $p=0$ wird der Grenzwert $\lim_{p\to0^+}p\ln p=0$ benutzt; die Wahrscheinlichkeiten müssen auf 1 summieren.[2]

Die Boltzmann-Form entsteht als gleichwahrscheinlicher Spezialfall der Gibbs-Form. In einem isolierten Gleichgewichtsmodell zählt man Zustände mit den passenden Energiebedingungen; bei Kopplung an ein Wärmebad sind verschiedene Energien gewöhnlich unterschiedlich gewichtet. Eine bloße Anzahl möglicher Zustände reicht dann nicht. Ebenso sind einzelne Makrozustände trotz gleichwahrscheinlicher Mikrozustände nicht gleichwahrscheinlich, wenn ihre Multiplizitäten verschieden sind.[2][3]

Die Shannon-Entropie verwendet dieselbe Wahrscheinlichkeitsgewichtung als Informationsmaß. Die Logarithmusbasis legt dort die Einheit fest: Basis 2 ergibt bit, der natürliche Logarithmus nat. Für die thermodynamische Gibbs-Entropie wird der natürliche Logarithmus mit der Boltzmann-Konstante multipliziert. Ein Informationswert in bit darf deshalb nicht unverändert als Entropie in Joule pro Kelvin eingesetzt werden.[2][7]

Zustände zählen und Wahrscheinlichkeiten gewichten

Acht unterscheidbare feste Plätze

Gegeben: Acht fest bezeichnete Plätze besitzen je zwei mögliche Zustände. Der Makrozustand legt genau vier höhere Besetzungen fest; alle dazu passenden Konfigurationen sind gleichwahrscheinlich.
Gesucht: Zähle Ω und berechne die Entropie dieses Makrozustands.

Ansatz: Die markierten Plätze sind unterscheidbar; alle Mikrozustände sind gleich wahrscheinlich. $\Omega=\binom Nk,\quad S=k_{\mathrm B}\ln\Omega$ . Vier Plätze aus acht auswählen.
$\Omega={8\choose4}=\frac{8!}{4!4!}=70$
Natürlichen Logarithmus verwenden.
$S=k_{\mathrm B}\ln70=5.865680707\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}$

Ergebnis: $\Omega=70$ , $\frac{S}{k_{\mathrm B}}\approx4{,}248495242$ . Diese kleine Entropie gehört zum achtstelligen Modell, nicht zu einem Mol.

Kontrolle: Binomialzählung ist symmetrisch in k↔8−k. Werden stattdessen alle 256 binären Konfigurationen gleich gewichtet, ist die Wahrscheinlichkeit des Vierer-Makrozustands $\frac{70}{256}=0{,}2734375$ . Das ist eine andere, ausdrücklich breitere Gesamtzustandsmenge.

Zwei Zustände mit ungleichen Wahrscheinlichkeiten

Gegeben: Ein genau definiertes Zweizustandsmodell hat $p_1=0{,}75,\quad p_2=0{,}25$ . Keine Gleichwahrscheinlichkeit.
Gesucht: Berechne SG und vergleiche mit maximaler Zweizustandsentropie.

Ansatz: Für ungleiche Wahrscheinlichkeiten die Gibbs-Entropie verwenden. $S_G=-k_{\mathrm B}\sum_i p_i\ln p_i$ . Gewichtete Logarithmen addieren.
$\frac{S_G}{k_{\mathrm B}}=-(0.75\ln0.75+0.25\ln0.25)=0.5623351446$
Mit dem gleichwahrscheinlichen Fall vergleichen.
$\frac{S_{\mathrm{max}}}{k_{\mathrm B}}=\ln2=0.6931471806$

Ergebnis: SG≈7,763874551×10⁻²⁴ J/K, kleiner als $k_{\mathrm B}\ln2$ ≈9,569929617×10⁻²⁴ J/K.

Kontrolle: $p_1+p_2=1$ ; Vertauschen beider Beschriftungen ändert SG nicht. $\Omega=2$ ungeprüft in die Boltzmann-Formel einzusetzen würde die Entropie überschätzen.

Eine Einschränkung der Besetzungszahlen aufheben

Gegeben: Acht bezeichnete Zweizustandsplätze sind in zwei Vierergruppen aufgeteilt. Zunächst sind in jeder Gruppe genau zwei höhere Besetzungen zugelassen. Danach bleibt nur die gesamte Zahl vier höherer Besetzungen fest. Die betreffenden Mikrozustände sind jeweils gleichwahrscheinlich; alle höheren Niveaus haben dieselbe Energie.
Gesucht: Die Zustandszahlen und Entropiedifferenz der beiden eingeschränkten Gleichgewichtsmodelle vergleichen.

Ansatz: Bei separater Besetzungszahlvorgabe lassen sich die beiden Zustandslisten unabhängig kombinieren. Bei nur einer gemeinsamen Vorgabe werden alle Anordnungen der vier oberen Plätze gezählt.
$\begin{aligned}\Omega_i&=\binom42\binom42\\\Omega_f&=\binom84\\\Delta S&=k_{\mathrm B}\ln\frac{\Omega_f}{\Omega_i}\end{aligned}$
Die getrennte Vorgabe erlaubt 36 Konfigurationen, die gemeinsame 70. Die größere Zustandsmenge enthält die frühere als Teilmenge.
$\Omega_i=6\cdot6=36,\quad\Omega_f=70,\quad\frac{\Delta S}{k_{\mathrm B}}=\ln\frac{70}{36}\approx0.6649763$
Im größeren Modell die Wahrscheinlichkeit des früheren Teilbereichs kontrollieren.
$p(2\text{ obere Plätze je Gruppe})=\frac{36}{70}\approx0.514286$

Ergebnis: Das Aufheben der zusätzlichen Einschränkung vergrößert die Zustandsmenge. Die Entropiedifferenz der Modelle ist etwa 0,664976 kB; sie entsteht ohne eine Änderung der gesamten Besetzungsenergie.

Kontrolle: Vandermondes Identität zählt dieselben 70 Zustände als Summe über die Besetzungszahl einer Gruppe. Die Produktzählung 6·6 gilt für die ursprüngliche getrennte Vorgabe; nach ihrer Aufhebung sind die Gruppen durch die feste Gesamtsumme korreliert. Die Modellzählung sagt noch nichts über die Zeit bis zur Gleichgewichtseinstellung.

Gleiche Mikrozustandschancen ergeben ungleiche Makrozustandschancen

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Gezählt wird

\Omega(k)=\binom8k

. Nur die neun ganzzahligen Punkte sind mögliche Besetzungszahlen; die Verbindungslinie führt das Auge. Bei 256 gleichwahrscheinlichen Mikrozuständen ist die jeweilige Makrozustandschance

\frac{\Omega(k)}{256}

.[1][3]

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Anwendung: Entropieänderung eines idealen Gases

\Omega_{pos}\propto V^N\quad\Longrightarrow\quad\Delta S=Nk_{\mathrm B}\ln\frac{V_2}{V_1}=nR\ln\frac{V_2}{V_1}

Ideales Gas bei festem N und gleichen Endtemperaturen; gemeinsame Zählkonstanten heben sich in der Änderung auf.[1][4]

Der Volumenfaktor illustriert zusätzliche Positionsmöglichkeiten. Für absolute klassische Gasentropie muss der kontinuierliche Phasenraum konsistent dimensionlos gemacht werden; identische Teilchen erfordern korrekte Ununterscheidbarkeitszählung. Das ist mehr als einfach jedes Teilchen beliebig zu beschriften. Die hier verwendete Volumenrelation für dieselbe feste Probe vermeidet diese zusätzliche Absolute-Entropie-Rechnung, weil ihre unveränderten Faktoren im Verhältnis entfallen.[5][1]

Bei 0,20 mol und Volumenfaktor 1,8 ergibt $\Delta S=0{,}977426051\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ . Bei freier isolierter Expansion ist das eine Zustandsänderung trotz $Q=0$ ; sie ist keine Behauptung, dass jede Entropiezunahme tatsächliche Wärmeaufnahme benötigt.[4]

Die Entropieänderung entlang eines reversiblen Wegs verbindet diese Zustandszählung mit der thermodynamischen Rechnung. Der Weg kann ein gedachter reversibler Vergleichsweg zwischen denselben Endzuständen sein. Für eine tatsächlich irreversible Expansion ersetzt er keine Aussage über die dort ausgetauschte Wärme.[4][1]

Exponentielle Zustandszahlen ohne Überlauf

\begin{aligned}\ln\Omega&=\frac S{k_{\mathrm B}}\\{} \frac{\Omega_2}{\Omega_1}&=\exp(\frac{\Delta S}{k_{\mathrm B}})\end{aligned}

Große Systeme werden über $\ln\Omega$ berechnet statt ihre riesige Zustandszahl vollständig auszuschreiben.[1][2]

$\Omega=10^{23}$ bedeutet nicht 10²³ Teilchen. Dieser Zustandszählfall ergibt $S=23k_{\mathrm B}\ln10\approx7{,}311842154\cdot10^{-22}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ . Ein makroskopisches System besitzt typischerweise eine Zustandszahl, deren Logarithmus mit der Teilchenzahl wächst. Verdopplung Ω addiert $k_{\mathrm B}\ln2$ ; Verdopplung unabhängiger identischer Teilsysteme quadriert dagegen Ω und verdoppelt S.[1][2]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Zwei unabhängige gleichwahrscheinliche Zustandsmengen haben $\Omega_A=6$ und $\Omega_B=5$ . Finde ΩAB und $\frac{S_{AB}}{k_{\mathrm B}}$ .

Hinweis anzeigen

Produkte zählen, Logarithmen addieren.

Lernziel: Unabhängige Zustandsmengen multiplizieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Jeder Zustand von A kann mit jedem von B kombiniert werden.
$\Omega_{AB}=6\cdot5=30$ .
$\frac{S_{AB}}{k_{\mathrm B}}=\ln30\approx3{,}401197382$ .
$\ln6+\ln5=\ln30$ liefert denselben Wert.

S_{AB}=k_{\mathrm B}\ln30

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Eine gleichwahrscheinliche Zustandszahl steigt um Faktor 8. Berechne ΔS.

Hinweis anzeigen

Verhältnis statt einzelner Zahlen.

Lernziel: Entropieänderung aus Multiplizitätsverhältnis berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\Delta S=k_{\mathrm B}\ln\frac{\Omega_2}{\Omega_1}=k_{\mathrm B}\ln8$ .
$\Delta S=k_{\mathrm B}\ln8\approx2{,}870978885\cdot10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ .
Es ist dreimal $k_{\mathrm B}\ln2$ , nicht achtmal die alte Entropie.

\Delta S=3k_{\mathrm B}\ln2

Interpretieren · Anwenden

Vier fest bezeichnete Zweizustandsplätze haben genau eine obere Besetzung. Bestimme Ω; darf jeder der fünf möglichen Besetzungszahl-Makrozustände gleich gewichtet werden?

Hinweis anzeigen

Ein höherer Platz aus vier; Multiplizitäten vergleichen.

Lernziel: Mikrozustands- und Makrozustandswahrscheinlichkeit unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Wähle den einen höher besetzten Platz aus vier: $\Omega=\binom41$ .
$\Omega=4$ .
Die fünf Makrozustände besitzen Multiplizitäten 1,4,6,4,1; bei 16 gleichwahrscheinlichen Mikrozuständen sind ihre Wahrscheinlichkeiten deshalb nicht gleich.

Kontrolle: Die fünf Multiplizitäten summieren sich zu 16.

\Omega={4\choose1}=4

Interpretieren · Vertiefen

Zwei bezeichnete Zweizustandsplätze A und B dürfen nur die gemeinsamen Mikrozustände 00 und 11 annehmen, gleich wahrscheinlich. Jeder Platz allein kann 0 oder 1 sein. Bestimme ΩAB und $\frac{S_{AB}}{k_{\mathrm B}}$ . Warum ist ΩAΩB nicht die gemeinsame Zustandszahl?

Hinweis anzeigen

Die Liste erlaubter gemeinsamer Zustände zählt, nicht jede formal mögliche Kombination.

Lernziel: Korrelationen als Grenze multiplikativer Zustandszählung erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die gemeinsame Liste enthält zwei Zustände, deshalb $S_{AB}=k_B\ln2$ .
Das Produkt $2\cdot2=4$ würde auch die verbotenen Zustände 01 und 10 zählen.
Die Plätze sind vollständig korreliert und nicht unabhängig.

Kontrolle: Mit jeweils Wahrscheinlichkeit $\frac12$ für die beiden erlaubten Zustände liefert die Gibbs-Summe denselben Wert ln2. Die Summe beider marginalen Entropien wäre hier zu groß.

\begin{aligned}\Omega_{AB}&=2\ne\Omega_A\Omega_B=4\\\frac{S_{AB}}{k_{\mathrm B}}&=\ln2\approx0.693147\end{aligned}

[3][2]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein Modell hat zwei zugelassene Mikrozustände mit Wahrscheinlichkeiten 0,90 und 0,10. Eine Lösung setzt $S=k_B\ln2$ , weil es zwei Zustände gibt. Bestimme stattdessen $\frac S{k_{\mathrm B}}$ mit der im Artikel genannten Gibbs-Formel und vergleiche.

Hinweis anzeigen

Die beiden Zustände sind nicht gleich wahrscheinlich.

Lernziel: Gleichwahrscheinlichkeit vor der Boltzmann-Kurzform prüfen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die gewichtete Logarithmensumme ergibt 0,325083 statt ln2≈0,693147.
Die bloße Zustandsanzahl reicht bei ungleichen Wahrscheinlichkeiten nicht für die Kurzform.

Kontrolle: Bei 0,50 und 0,50 würde die gleiche Rechnung tatsächlich ln2 liefern. Die Entropie ist hier positiv, aber kleiner als im gleichverteilten Modell; sie hat nach Multiplikation mit kB die Einheit J/K.

\frac S{k_{\mathrm B}}=-0.90\ln0.90-0.10\ln0.10\approx0.325083

[2]

Statistische Häufigkeit ist kein mechanischer Zwang

In einem kleinen Modell sind seltene Konfigurationen und Schwankungen möglich. Ein großer Multiplizitätsunterschied macht bestimmte Makrozustände sehr wahrscheinlich, beweist aber nicht die mikroskopische Unmöglichkeit jeder Rückschwankung. Für makroskopische Thermodynamik spielen Systemgröße, Beobachtungszeit und die gewählten Randbedingungen mit.[1]

Kontinuierliche Messdaten, Korrelationen oder ungleiche Wahrscheinlichkeiten verlangen eine passende Zustandsbeschreibung. Für gekoppelte Teilsysteme ist $\Omega_{AB}=\Omega_A\Omega_B$ nicht automatisch wahr. $S=k_{\mathrm B}\ln\Omega$ ist ein präzises statistisches Modell und kein Bewertungsschema für die optische Ordnung eines Zimmers.[2][3]

Lege die erlaubten Zustände und ihre Wahrscheinlichkeiten fest, bevor du einen Logarithmus auswertest. Unabhängige Listen werden multipliziert, gemeinsame Einschränkungen zuerst ausgezählt. Für eine Entropieänderung zählt das Verhältnis zweier konsistent definierter Zustandsmengen; eine größere bloße Teilchenzahl ist keine ausreichende Begründung.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Anschlüsse zur Shannon-Entropie und zur Entropieänderung entlang eines reversiblen Wegs ergänzt, mit Shannons Originalarbeit als zusätzlicher Quelle; bestehende Herleitungen, Aufgaben und eigene Abbildungen erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Lernverlauf, symbolische Übungsansätze und Modellgrenzen präzisiert; drittes eigenes Beispiel und quantitative Grafik ergänzt, passende Vertiefungen optional dargestellt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Boltzmann-Entropie und Mikrozustände. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/boltzmann-entropie-mikrozustaende

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Boltzmann-Entropie und Mikrozustände

Was beschreibt diese Beziehung?+

$S=k_{\mathrm B}\ln\Omega$ ordnet einer festgelegten gleichwahrscheinlichen Zustandsmenge eine Entropie zu. Ω zählt zugängliche Mikrozustände, nicht Teilchen und nicht Volumen. Ein Makrozustand kann etwa Energie, Volumen und Teilchenzahl oder eine bestimmte Besetzungszahl fixieren; seine Mikrozustände sind die dazu passenden vollständigen Realisierungen. Bei acht bezeichneten Zweizustandsplätzen und genau vier höheren Besetzungen ist $\Omega=70$ . Der Logarithmus ergibt $\frac S{k_{\mathrm B}}\approx4{,}2485$ . Das ist die Entropie des kleinen Zählmodells, nicht eines Mols. Visuelle Unordnung allein definiert die Zustandszahl nicht. Für ungleiche Wahrscheinlichkeiten wird stattdessen die Gibbs-Form benötigt; die bloße Anzahl möglicher Zustände reicht dann nicht zur Entropieberechnung.

Wie entsteht der Zusammenhang und was zeigt die Formelstruktur?+

Für unabhängige Teilsysteme kann jeder zulässige Mikrozustand von A mit jedem von B kombiniert werden. Deshalb multiplizieren sich die Zustandszahlen: $\Omega_{AB}=\Omega_A\Omega_B$ . Die logarithmische Form übersetzt dieses Produkt in die Summe $S_A+S_B$ . Die Konstante kB stellt die thermodynamische Einheit J/K her. Einen weiteren Zugang liefert $S_{\mathrm G}=-k_{\mathrm B}\sum_i p_i\ln p_i$ . Setzt du für Ω gleichwahrscheinliche Zustände $p_i=\frac1\Omega$ ein, ergibt die Summe genau $k_{\mathrm B}\ln\Omega$ . Additivität allein ohne weitere Voraussetzungen ist kein Beweis aller Entropiegesetze. Bei Korrelationen darf die gemeinsame Zustandsmenge nicht automatisch als unabhängiges Produkt gezählt werden; auch die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten können dann nicht einfach faktorisiert werden.

Wie sieht eine geprüfte Zahlenrechnung aus?+

Acht fest bezeichnete Plätze haben zwei mögliche Zustände, und genau vier sollen höher besetzt sein. Es gibt $\frac{8!}{4!4!}=70$ passende Konfigurationen. Damit ist $S=k_{\mathrm B}\ln70\approx5{,}865680707\cdot10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ . Als kombinatorische Kontrolle ist dieselbe Zahl bei Vertauschen höherer und niedrigerer Besetzung vorhanden. Werden dagegen alle 256 binären Konfigurationen gleich gewichtet, besitzt der Vierer-Makrozustand Wahrscheinlichkeit $\frac{70}{256}=0{,}2734375$ . Das ist eine breitere Gesamtzustandsmenge und darf nicht mit der auf genau vier festgelegten Menge verwechselt werden. Der separate Bestandsfall $\Omega=10^{23}$ ergibt 7,311842154×10⁻²² J/K; $\Omega=10^{23}$ bedeutet dabei nicht 10²³ Teilchen. Die beiden Rechnungen verwenden jeweils ihre ausdrücklich definierten Zustandsmengen.

Unter welchen Voraussetzungen gilt diese Beziehung?+

Die einfache Boltzmann-Form setzt zugängliche gleichwahrscheinliche Mikrozustände unter festgelegten makroskopischen Bedingungen voraus. Für kontinuierliche klassische Phasenräume brauchst du eine konsistente dimensionslose Zählung; identische Teilchen erfordern zusätzlich korrekte Ununterscheidbarkeit. Bei verschieden wahrscheinlichen Zuständen nutze $S_{\mathrm G}=-k_{\mathrm B}\sum_i p_i\ln p_i$ mit $\sum_i p_i=1$ . Beispielsweise liefert ein Zweizustandsmodell mit 0,75 und 0,25 den Wert $\frac{S_{\mathrm G}}{k_{\mathrm B}}\approx0{,}5623351$ , weniger als ln2. Gekoppelte Teilsysteme haben nicht automatisch eine Produktzählung. In kleinen Modellen sind Schwankungen und seltene Makrozustände möglich; hohe statistische Wahrscheinlichkeit ist kein mechanisches Verbot jeder Rückschwankung. Eine Gas-Volumenrelation erfordert zusätzlich dieselbe feste Probe und passende thermodynamische Endzustände.

Welcher häufige Fehler verändert das Ergebnis?+

Verwechsle Ω nicht mit der Teilchenzahl N. $\Omega=10^{23}$ liefert eine kleine Entropie, weil $\ln\Omega$ nur ungefähr 53 ist; die Zustandszahl eines makroskopischen Systems wächst gewöhnlich exponentiell mit dessen Größe. Verdopplung Ω addiert $k_{\mathrm B}\ln2$ , während Verdopplung unabhängiger identischer Teilsysteme Ω quadriert und S verdoppelt. Benutze natürliche Logarithmen; log10 ohne Umrechnungsfaktor liefert ein anderes Ergebnis. Die Einheit von S ist J/K, nicht J. Bei ungleichen Wahrscheinlichkeiten reicht eine Anzahl möglicher Zustände nicht. Auch die Besetzungszahl-Makrozustände eines Binomialmodells sind nicht gleichwahrscheinlich, nur weil die zugrunde liegenden Mikrokonfigurationen gleich gewichtet wurden.

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\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_{kalt}}{T_{warm}}

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Q = m \cdot c \cdot \Delta T

Wärmekapazität (Q = m·c·ΔT)

P = \sigma \cdot A \cdot T^4

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Boltzmann-Entropie

Die Boltzmann-Beziehung ordnet einem Makrozustand mit Ω zugänglichen gleichwahrscheinlichen Mikrozuständen eine Entropie zu.

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Symbol

Bedeutung

Einheit

S

Boltzmann-Entropie des Makrozustands

J/K

kB

Boltzmann-Konstante

J/K

Ω

Zahl zugänglicher Mikrozustände

dimensionslos

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

1Lege die Makrobedingungen fest und zähle die dadurch zugänglichen Mikrozustände. Die Zustandszahl $\Omega$ ist dimensionslos.
2Für gleichwahrscheinliche Zustände gilt $p_i=\frac1\Omega$ und $\sum_{i=1}^{\Omega}p_i=1$ .
3Die Gibbs-Entropie lautet $S_{\mathrm G}=-k_{\mathrm B}\sum_i p_i\ln p_i$ .
4Einsetzen ergibt $S=-k_{\mathrm B}\Omega\frac1\Omega\ln\frac1\Omega=k_{\mathrm B}\ln\Omega$ .
5Für unabhängige Teilsysteme gilt $\Omega_{AB}=\Omega_A\Omega_B$ . Der Logarithmus macht daraus $S_{AB}=S_A+S_B$ .
6Zwei passend definierte Zustandsmengen liefern $\Delta S=k_{\mathrm B}\ln\frac{\Omega_2}{\Omega_1}$ . Bei ungleichen Gewichten ist die Gibbs-Summe nötig.

Rechenbeispiel: Boltzmann-Entropie und Mikrozustände

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Boltzmann-Entropie und Mikrozustände (S=kB ln Ω).

Aufgabe

Rechenweg

Ansatz: $S=k_{\mathrm B}\ln\Omega$ .
Mit $\ln10^{23}=23\ln10$ folgt $S\approx7{,}31184\cdot10^{-22}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ .
Verdoppeln addiert $\Delta S=k_{\mathrm B}\ln2\approx9{,}56993\cdot10^{-24}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ , statt die Entropie zu verdoppeln.

Kontrolle: Die logarithmische Differenz ergibt denselben Zuwachs. $\Omega$ zählt Zustände, nicht Teilchen.

Was Ω zählt

\begin{aligned}S&=k_{\mathrm B}\ln\Omega\\\Delta S&=k_{\mathrm B}\ln\frac{\Omega_2}{\Omega_1}\end{aligned}

Ω ist eine dimensionslose Zustandszahl, keine Teilchenzahl und kein Gasvolumen.[1][2]

Warum der Logarithmus addiert

\Omega_{AB}=\Omega_A\Omega_B\quad\Longrightarrow\quad S_{AB}=k_{\mathrm B}\ln\Omega_A+k_{\mathrm B}\ln\Omega_B

Die Produktzählung setzt unabhängige zugängliche Zustände der beiden Teilsysteme voraus.[2]

Gleichwahrscheinlichkeit ausdrücklich prüfen

\begin{aligned}S_G&=-k_{\mathrm B}\sum_i p_i\ln p_i\\{} p_i&=\frac{1}{\Omega}\Rightarrow S_G=k_{\mathrm B}\ln\Omega\end{aligned}

Für $p=0$ wird der Grenzwert $\lim_{p\to0^+}p\ln p=0$ benutzt; die Wahrscheinlichkeiten müssen auf 1 summieren.[2]

Zustände zählen und Wahrscheinlichkeiten gewichten

Acht unterscheidbare feste Plätze

Gegeben: Acht fest bezeichnete Plätze besitzen je zwei mögliche Zustände. Der Makrozustand legt genau vier höhere Besetzungen fest; alle dazu passenden Konfigurationen sind gleichwahrscheinlich.
Gesucht: Zähle Ω und berechne die Entropie dieses Makrozustands.

Ansatz: Die markierten Plätze sind unterscheidbar; alle Mikrozustände sind gleich wahrscheinlich. $\Omega=\binom Nk,\quad S=k_{\mathrm B}\ln\Omega$ . Vier Plätze aus acht auswählen.
$\Omega={8\choose4}=\frac{8!}{4!4!}=70$
Natürlichen Logarithmus verwenden.
$S=k_{\mathrm B}\ln70=5.865680707\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}$

Ergebnis: $\Omega=70$ , $\frac{S}{k_{\mathrm B}}\approx4{,}248495242$ . Diese kleine Entropie gehört zum achtstelligen Modell, nicht zu einem Mol.

Zwei Zustände mit ungleichen Wahrscheinlichkeiten

Gegeben: Ein genau definiertes Zweizustandsmodell hat $p_1=0{,}75,\quad p_2=0{,}25$ . Keine Gleichwahrscheinlichkeit.
Gesucht: Berechne SG und vergleiche mit maximaler Zweizustandsentropie.

Ansatz: Für ungleiche Wahrscheinlichkeiten die Gibbs-Entropie verwenden. $S_G=-k_{\mathrm B}\sum_i p_i\ln p_i$ . Gewichtete Logarithmen addieren.
$\frac{S_G}{k_{\mathrm B}}=-(0.75\ln0.75+0.25\ln0.25)=0.5623351446$
Mit dem gleichwahrscheinlichen Fall vergleichen.
$\frac{S_{\mathrm{max}}}{k_{\mathrm B}}=\ln2=0.6931471806$

Ergebnis: SG≈7,763874551×10⁻²⁴ J/K, kleiner als $k_{\mathrm B}\ln2$ ≈9,569929617×10⁻²⁴ J/K.

Kontrolle: $p_1+p_2=1$ ; Vertauschen beider Beschriftungen ändert SG nicht. $\Omega=2$ ungeprüft in die Boltzmann-Formel einzusetzen würde die Entropie überschätzen.

Eine Einschränkung der Besetzungszahlen aufheben

Gegeben: Acht bezeichnete Zweizustandsplätze sind in zwei Vierergruppen aufgeteilt. Zunächst sind in jeder Gruppe genau zwei höhere Besetzungen zugelassen. Danach bleibt nur die gesamte Zahl vier höherer Besetzungen fest. Die betreffenden Mikrozustände sind jeweils gleichwahrscheinlich; alle höheren Niveaus haben dieselbe Energie.
Gesucht: Die Zustandszahlen und Entropiedifferenz der beiden eingeschränkten Gleichgewichtsmodelle vergleichen.

Ansatz: Bei separater Besetzungszahlvorgabe lassen sich die beiden Zustandslisten unabhängig kombinieren. Bei nur einer gemeinsamen Vorgabe werden alle Anordnungen der vier oberen Plätze gezählt.
$\begin{aligned}\Omega_i&=\binom42\binom42\\\Omega_f&=\binom84\\\Delta S&=k_{\mathrm B}\ln\frac{\Omega_f}{\Omega_i}\end{aligned}$
Die getrennte Vorgabe erlaubt 36 Konfigurationen, die gemeinsame 70. Die größere Zustandsmenge enthält die frühere als Teilmenge.
$\Omega_i=6\cdot6=36,\quad\Omega_f=70,\quad\frac{\Delta S}{k_{\mathrm B}}=\ln\frac{70}{36}\approx0.6649763$
Im größeren Modell die Wahrscheinlichkeit des früheren Teilbereichs kontrollieren.
$p(2\text{ obere Plätze je Gruppe})=\frac{36}{70}\approx0.514286$

Gleiche Mikrozustandschancen ergeben ungleiche Makrozustandschancen

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Gezählt wird

\Omega(k)=\binom8k

. Nur die neun ganzzahligen Punkte sind mögliche Besetzungszahlen; die Verbindungslinie führt das Auge. Bei 256 gleichwahrscheinlichen Mikrozuständen ist die jeweilige Makrozustandschance

\frac{\Omega(k)}{256}

.[1][3]

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Anwendung: Entropieänderung eines idealen Gases

\Omega_{pos}\propto V^N\quad\Longrightarrow\quad\Delta S=Nk_{\mathrm B}\ln\frac{V_2}{V_1}=nR\ln\frac{V_2}{V_1}

Ideales Gas bei festem N und gleichen Endtemperaturen; gemeinsame Zählkonstanten heben sich in der Änderung auf.[1][4]

Exponentielle Zustandszahlen ohne Überlauf

\begin{aligned}\ln\Omega&=\frac S{k_{\mathrm B}}\\{} \frac{\Omega_2}{\Omega_1}&=\exp(\frac{\Delta S}{k_{\mathrm B}})\end{aligned}

Große Systeme werden über $\ln\Omega$ berechnet statt ihre riesige Zustandszahl vollständig auszuschreiben.[1][2]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Zwei unabhängige gleichwahrscheinliche Zustandsmengen haben $\Omega_A=6$ und $\Omega_B=5$ . Finde ΩAB und $\frac{S_{AB}}{k_{\mathrm B}}$ .

Hinweis anzeigen

Produkte zählen, Logarithmen addieren.

Lernziel: Unabhängige Zustandsmengen multiplizieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Jeder Zustand von A kann mit jedem von B kombiniert werden.
$\Omega_{AB}=6\cdot5=30$ .
$\frac{S_{AB}}{k_{\mathrm B}}=\ln30\approx3{,}401197382$ .
$\ln6+\ln5=\ln30$ liefert denselben Wert.

S_{AB}=k_{\mathrm B}\ln30

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Eine gleichwahrscheinliche Zustandszahl steigt um Faktor 8. Berechne ΔS.

Hinweis anzeigen

Verhältnis statt einzelner Zahlen.

Lernziel: Entropieänderung aus Multiplizitätsverhältnis berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\Delta S=k_{\mathrm B}\ln\frac{\Omega_2}{\Omega_1}=k_{\mathrm B}\ln8$ .
$\Delta S=k_{\mathrm B}\ln8\approx2{,}870978885\cdot10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ .
Es ist dreimal $k_{\mathrm B}\ln2$ , nicht achtmal die alte Entropie.

\Delta S=3k_{\mathrm B}\ln2

Interpretieren · Anwenden

Vier fest bezeichnete Zweizustandsplätze haben genau eine obere Besetzung. Bestimme Ω; darf jeder der fünf möglichen Besetzungszahl-Makrozustände gleich gewichtet werden?

Hinweis anzeigen

Ein höherer Platz aus vier; Multiplizitäten vergleichen.

Lernziel: Mikrozustands- und Makrozustandswahrscheinlichkeit unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Wähle den einen höher besetzten Platz aus vier: $\Omega=\binom41$ .
$\Omega=4$ .
Die fünf Makrozustände besitzen Multiplizitäten 1,4,6,4,1; bei 16 gleichwahrscheinlichen Mikrozuständen sind ihre Wahrscheinlichkeiten deshalb nicht gleich.

Kontrolle: Die fünf Multiplizitäten summieren sich zu 16.

\Omega={4\choose1}=4

Interpretieren · Vertiefen

Zwei bezeichnete Zweizustandsplätze A und B dürfen nur die gemeinsamen Mikrozustände 00 und 11 annehmen, gleich wahrscheinlich. Jeder Platz allein kann 0 oder 1 sein. Bestimme ΩAB und $\frac{S_{AB}}{k_{\mathrm B}}$ . Warum ist ΩAΩB nicht die gemeinsame Zustandszahl?

Hinweis anzeigen

Die Liste erlaubter gemeinsamer Zustände zählt, nicht jede formal mögliche Kombination.

Lernziel: Korrelationen als Grenze multiplikativer Zustandszählung erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die gemeinsame Liste enthält zwei Zustände, deshalb $S_{AB}=k_B\ln2$ .
Das Produkt $2\cdot2=4$ würde auch die verbotenen Zustände 01 und 10 zählen.
Die Plätze sind vollständig korreliert und nicht unabhängig.

Kontrolle: Mit jeweils Wahrscheinlichkeit $\frac12$ für die beiden erlaubten Zustände liefert die Gibbs-Summe denselben Wert ln2. Die Summe beider marginalen Entropien wäre hier zu groß.

\begin{aligned}\Omega_{AB}&=2\ne\Omega_A\Omega_B=4\\\frac{S_{AB}}{k_{\mathrm B}}&=\ln2\approx0.693147\end{aligned}

[3][2]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein Modell hat zwei zugelassene Mikrozustände mit Wahrscheinlichkeiten 0,90 und 0,10. Eine Lösung setzt $S=k_B\ln2$ , weil es zwei Zustände gibt. Bestimme stattdessen $\frac S{k_{\mathrm B}}$ mit der im Artikel genannten Gibbs-Formel und vergleiche.

Hinweis anzeigen

Die beiden Zustände sind nicht gleich wahrscheinlich.

Lernziel: Gleichwahrscheinlichkeit vor der Boltzmann-Kurzform prüfen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die gewichtete Logarithmensumme ergibt 0,325083 statt ln2≈0,693147.
Die bloße Zustandsanzahl reicht bei ungleichen Wahrscheinlichkeiten nicht für die Kurzform.

\frac S{k_{\mathrm B}}=-0.90\ln0.90-0.10\ln0.10\approx0.325083

[2]

Statistische Häufigkeit ist kein mechanischer Zwang

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Anschlüsse zur Shannon-Entropie und zur Entropieänderung entlang eines reversiblen Wegs ergänzt, mit Shannons Originalarbeit als zusätzlicher Quelle; bestehende Herleitungen, Aufgaben und eigene Abbildungen erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Lernverlauf, symbolische Übungsansätze und Modellgrenzen präzisiert; drittes eigenes Beispiel und quantitative Grafik ergänzt, passende Vertiefungen optional dargestellt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Boltzmann-Entropie und Mikrozustände. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/boltzmann-entropie-mikrozustaende

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Boltzmann-Entropie und Mikrozustände

Was beschreibt diese Beziehung?+

Wie entsteht der Zusammenhang und was zeigt die Formelstruktur?+

Wie sieht eine geprüfte Zahlenrechnung aus?+

Unter welchen Voraussetzungen gilt diese Beziehung?+

Welcher häufige Fehler verändert das Ergebnis?+

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Warum der Logarithmus addiert

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Zwei Zustände mit ungleichen Wahrscheinlichkeiten

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Gleiche Mikrozustandschancen ergeben ungleiche Makrozustandschancen

Anwendung: Entropieänderung eines idealen Gases

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Zwei unabhängige gleichwahrscheinliche Zustandsmengen haben ΩA=6\Omega_A=6ΩA​=6 und ΩB=5\Omega_B=5ΩB​=5. Finde ΩAB und SABkB\frac{S_{AB}}{k_{\mathrm B}}kB​SAB​​.

Eine gleichwahrscheinliche Zustandszahl steigt um Faktor 8. Berechne ΔS.

Vier fest bezeichnete Zweizustandsplätze haben genau eine obere Besetzung. Bestimme Ω; darf jeder der fünf möglichen Besetzungszahl-Makrozustände gleich gewichtet werden?

Zwei bezeichnete Zweizustandsplätze A und B dürfen nur die gemeinsamen Mikrozustände 00 und 11 annehmen, gleich wahrscheinlich. Jeder Platz allein kann 0 oder 1 sein. Bestimme ΩAB und SABkB\frac{S_{AB}}{k_{\mathrm B}}kB​SAB​​. Warum ist ΩAΩB nicht die gemeinsame Zustandszahl?

Ein Modell hat zwei zugelassene Mikrozustände mit Wahrscheinlichkeiten 0,90 und 0,10. Eine Lösung setzt S=kBln⁡2S=k_B\ln2S=kB​ln2, weil es zwei Zustände gibt. Bestimme stattdessen SkB\frac S{k_{\mathrm B}}kB​S​ mit der im Artikel genannten Gibbs-Formel und vergleiche.

Statistische Häufigkeit ist kein mechanischer Zwang

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Warum der Logarithmus addiert

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Ein Modell hat zwei zugelassene Mikrozustände mit Wahrscheinlichkeiten 0,90 und 0,10. Eine Lösung setzt S=kBln⁡2S=k_B\ln2S=kB​ln2, weil es zwei Zustände gibt. Bestimme stattdessen SkB\frac S{k_{\mathrm B}}kB​S​ mit der im Artikel genannten Gibbs-Formel und vergleiche.

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