Physik · Elektrizität und Magnetismus

Hall-Effekt und Hall-Spannung

Q: Was beschreiben Hall-Effekt und Hall-Spannung physikalisch?

Die Hall-Spannung entsteht durch seitliche Ladungstrennung: Die magnetische Kraft auf driftende Träger wird im stationären Zustand durch ein aufgebautes elektrisches Querfeld ausgeglichen. Für einen positiven technischen Strom nach x und ein positives Magnetfeld nach z definieren wir die Spannung als Potential unten minus Potential oben. Dann ist die Spannung für Elektronen negativ, für positive Träger positiv. Das Ergebnis enthält die Dicke parallel zum Magnetfeld, nicht die Querbreite zwischen Kontakten. Die einfache Beziehung verknüpft diese Geometrie mit einer positiven Volumendichte und einer signierten Trägerladung. Sie setzt einen dominanten Trägertyp voraus und beschreibt keine beliebige komplexe Materialantwort.

Q: Wie prüfe ich eine Rechnung zur Hall-Spannung?

Notiere Stromrichtung, Feldrichtung, Messpolung und aktive Dicke, bevor du ein Vorzeichen interpretierst. Für $I=1.0\,\mathrm A$, $B_z=0.50\,\mathrm T$, $n=8.5\cdot10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$, $|q|=e$ und $t=1.0\,\mathrm{mm}$ ergibt die Betragsrechnung 36,7 Nanovolt. Das sind 0,0367 Mikrovolt, nicht 36,7 Mikrovolt; der Unterschied wäre ein Faktor tausend. Bei Elektronen ist die Spannung unter unserer Polungsdefinition negativ. Kontrolliere zusätzlich: Doppelter Strom oder doppeltes Feld verdoppelt den Betrag, doppelte Dicke halbiert ihn. Ein winziges Signal erfordert außerdem eine Prüfung von Kontaktversatz und Offset, bevor daraus eine Dichte abgeleitet wird. Bei umgekehrter Messpolung wechselt nur das Spannungszeichen.

Q: Welche Annahmen und Grenzen hat die Hall-Spannungsformel?

Die klassische Formel setzt eine homogene Probe mit einem dominanten Trägertyp, bekannter wirksamer Dicke und vernachlässigbarem transversalem Messstrom voraus. Ein stationäres Hall-Feld muss die seitliche Kraft ausgleichen können. Bei mehreren Trägerarten wird der Hall-Koeffizient durch deren Beweglichkeiten mitbestimmt; aus dem Signal folgt dann nicht einfach die Summe ihrer Dichten. Inhomogene Schichten und große oder ungünstig platzierte Kontakte können die einfache Geometrie verletzen. Temperatur, Magnetisierung und nichtlineare Feldantwort benötigen gegebenenfalls ein erweitertes Modell. Eine Feldumkehr hilft gegen feldgerade Offsets, beseitigt aber nicht jeden Störeffekt. Eine experimentelle Dichte sollte deshalb stets zusammen mit den verwendeten Modellannahmen angegeben werden.

Q: Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei der Hall-Spannung?

Setze t in Meter und n als Trägerzahl pro Kubikmeter ein. Eine Flächendichte hat dagegen die Einheit pro Quadratmeter und darf nicht zusätzlich mit derselben Dicke kombiniert werden. Im SI reduziert sich $\frac{\mathrm{A\,T}}{\mathrm{m^{-3}\,C\,m}}$ auf Volt. Diese Dimensionskontrolle unterscheidet jedoch nicht automatisch Breite und Dicke, weil beide Längen sind. Dafür braucht man die Geometrie der Herleitung. Bei der Größenordnung achte besonders auf Nano-, Mikro- und Millivolt: Die vorhandenen metallähnlichen Eingaben ergeben nur Nanovolt. Eine negative Teilchendichte ist immer ein Hinweis auf eine falsche Betrags- oder Vorzeichenumstellung; das Trägervorzeichen gehört zu q.

Q: Wann kombiniere ich die Hall-Spannung mit einer weiteren Beziehung?

Die Stromdichte $J_x=nqv_{{\rm d},x}$ verbindet eine Hall-Messung mit der gerichteten Drift. Eine bekannte Trägerdichte erlaubt umgekehrt die Bestimmung eines Magnetfeldes. Mit $n_s=nt$ erhält man die Flächendichte einer homogenen dünnen Schicht, auch wenn ihre aktive Dicke nicht bekannt ist. Eine Widerstandsmessung kann im passenden Modell zusätzliche Mobilitätsinformation liefern, misst aber nicht dieselbe Größe wie die Hall-Spannung. Feldumkehr zerlegt die gemessene Spannung in feldungerade und feldgerade Anteile. Nur wenn die Bedingungen unverändert bleiben und der Hall-Beitrag antisymmetrisch ist, darf der ungerade Anteil direkt als bereinigtes Hall-Signal interpretiert werden.

Die Hall-Spannung entsteht, wenn ein Magnetfeld bewegte Ladungsträger seitlich ablenkt und dadurch eine transversale Ladungstrennung aufbaut.

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Formel

Berechnen

U_{H} = \frac{I B _{z}}{n qt}

I in A; Bz in T; n in m⁻³; q in C; t in m; UH in V.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$U_{\mathrm{H}}$	Signierte Spannung V(y−)−V(y+) quer zum Strom und Magnetfeld	V
$I$	Strom durch den Leiter oder das Plättchen	A
$B_{\mathrm{z}}$	Signierte Magnetfeldkomponente entlang z, senkrecht zum Strom x	T
$n$	Volumendichte der dominanten Ladungsträger	m⁻³
$q$	vorzeichenbehaftete Ladung eines Trägertyps	C
$t$	Dicke des Leiters in Magnetfeldrichtung	m

LaTeX

U_{\rm H}=\frac{IB_z}{nqt}

QUANTA STUDYquanta-study.de

Hall-Plättchen mit +y nach oben, +x nach rechts und Magnetfeldpunkten aus der Ebene. Obere Kante positiv, untere negativ. Elektronendrift nach links, magnetische Kraft nach unten, elektrische Kraft nach oben. Positive Messklemme unten liefert eine negative Spannung. — Eigene Elektronen-Konvention: technischer Strom I nach +x, B nach +z aus der Ebene. Elektronendrift nach −x; negative Ladung unten. UH=V(unten)−V(oben)≈−3,121 mV für I=5 mA, B=0,40 T, n=2·10²² m⁻³, t=0,20 mm. Dicke t entlang z, Breite w entlang y; Skizze nicht maßstäblich.

Hall-Spannung berechnen

Hall-Spannung, Stromstärke, Magnetfeld oder Ladungsträgerdichte eines Plättchens mit einer Trägerart ausrechnen, mit festgelegter Messpolung.

Rechenmodell

Gesucht

Stromstärke I (positiv in +x-Richtung)

Strom längs durch das Plättchen, positiv in +x-Richtung, z. B. 5 mA.

Magnetfeld Bz (positiv in +z-Richtung)

Magnetfeld senkrecht zum Plättchen, positiv in +z-Richtung, z. B. 0,4 T.

Ladung q eines Trägers (mit Vorzeichen)

Ladung eines Trägers mit Vorzeichen: −1 e für Elektronen, +1 e für Löcher.

Ladungsträgerdichte n

Ladungsträger pro Kubikmeter, z. B. 2·10²² m⁻³ in einem dotierten Halbleiter, rund 8,5·10²⁸ m⁻³ in Kupfer.

= 2 · 10²²

Dicke t in Feldrichtung

Dicke des Plättchens in Feldrichtung, nicht seine Breite, z. B. 0,2 mm.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Hall-Spannung: unten minus oben UH

UH = -3,121 mV

Mit I = 5 mA, Bz = 0,4 T, q = -1 e, n = 2 · 10²² m⁻³ und t = 0,2 mm ergibt sich UH = -3,121 mV.

Rechenweg · umstellen nach UH, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach UH umstellen
$U_{\rm H}=\frac{IB_z}{nqt}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- I = 5 mA = 0,005 A
- q = -1 e = -1,60218 · 10⁻¹⁹ C
- t = 0,2 mm = 0,0002 m
$\frac{0{,}005\cdot 0{,}4}{2\times10^{22}\cdot (-1{,}60218\times10^{-19})\cdot 0{,}0002}=-0{,}00312075$
3. Ergebnis
UH = -3,121 mV

So rechnest du schneller

Die Breite des Plättchens kürzt sich heraus: In UH = IB/(nqt) steht nur die Dicke t in Feldrichtung.
Je dünner das Plättchen und je kleiner n, desto größer der Betrag von UH. Darum nimmt man für Sonden Halbleiter: In Metallen bleibt UH oft bei Mikrovolt.

Annahmen und Grenzen

Homogenes klassisches Einträger-Plättchen: technische +x-Stromreferenz, +z-Feldreferenz, Dicke entlang z, Querbreite entlang y, UH=V(y−)−V(y+). n>0,t>0,q≠0 vorzeichenbehaftet; Elektronen q=−e. Offener Querzweig und stationäre mittlere Kraftbalance. Homogenes Feld, passende Kontakte. Keine Mehrträger-, Quanten-Hall- oder ungeprüfte Sensorkalibrierung.

Herleitung & Hintergrund

Homogenes klassisches Einträger-Modell, stationäre Quer-Kraftbalance, vernachlässigbarer Querlaststrom und bekanntes t parallel zum Magnetfeld. Polung UH=V(y−)−V(y+) bei Strom entlang x und Feld entlang z. Mehrträgertransport, ungleichmäßige aktive Schichten, große Kontakte und nichtlineare/materialabhängige Hall-Effekte benötigen weitere Modelle.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Seitliche Kraftbalance bestimmt das Hall-Feld; die Stromdichte verbindet die signierte Drift mit der Trägerdichte.

1I entlang +x, $B_z$ entlang z, Breite w entlang y und Dicke t entlang z festlegen.
2Die Polung sei $U_{\rm H}=V(y_-)-V(y_+)$ ; q trägt das Vorzeichen des dominanten Trägertyps.
3Im stationären offenen Querzweig gilt $\mathbf E_{\rm H}=-\mathbf v_{\rm d}\times\mathbf B$ .
4Das Kreuzprodukt liefert $E_y=v_{{\rm d},x}B_z$ ; aus $I=nqv_{{\rm d},x}wt$ folgt die Driftkomponente.
5Weil $\frac{\partial V}{\partial y}=-E_y$ , ist die definierte Potentialdifferenz $U_{\rm H}=E_yw$ .
6Die Breite kürzt sich: $U_{\rm H}=\frac{IB_z}{nqt}$ . Negative q ergibt bei positivem I und Bz eine negative Spannung in dieser Polung.

Umstellen

Volumendichte aus dem Betrag

n=\frac{|IB_z|}{|q|t|U_{\rm H}|}

n ist positiv. Nichtverschwindendes Signal, aktive Dicke und Einträger-Modell vorausgesetzt; Polung separat prüfen.

Aufgabenvariante

Ein homogenes Elektronen-Einträger-Modell hat $I=1.0\,\mathrm A$ nach +x, $B_z=+0.50\,\mathrm T$ , $n=8.5\cdot10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$ , $q=-e$ , $t=1.0\,\mathrm{mm}$ entlang z. Bestimme $U_{\rm H}=V(y_-)-V(y_+)$ im offenen Querzweig.

Ansatz: $U_{\rm H}=\frac{IB_z}{nqt}$ .
Mit $t=0.001\,\mathrm m$ und $q=-1.602176634\cdot10^{-19}\,\mathrm C$ folgt $U_{\rm H}\approx-3.6715\cdot10^{-8}\,\mathrm V=-36.715\,\mathrm{nV}$ .
Unten liegt das Potential niedriger; der Betrag ist etwa 36,7 nV.
Stationäres homogenes Einträger-Modell mit festgelegter Polung.

Typische Fehler

Die Probenbreite als Dicke einsetzen oder das Spannungsvorzeichen ohne definierte Messpolung deuten.

Lege Strom, Feld und Spannungsanschlüsse fest. Die aktive Dicke liegt entlang des Magnetfelds; Trägerladung hat ein Vorzeichen.

Klausurkontext

Trägerart, Volumen- oder Flächendichte und offsetbereinigte Hall-Spannung aus einer Feldumkehr bestimmen.

Formelcluster

Elektrizität und Magnetismus

Lorentzkraft und elektrisches Querfeld erklären den Hall-Effekt; Stromdichte verbindet Drift mit der gemessenen Trägerdichte.

F = B|I|ℓ sinθ

Magnetische Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter

F = q(v × B)

Lorentzkraft

R = ρ·l/A

Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand)

Rechenbeispiel

Für $I=1.0\,\mathrm A$ , $B_z=0.50\,\mathrm T$ , $n=8.5\cdot10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$ , $|q|=e$ und $t=1.0\,\mathrm{mm}$ folgt $|U_{\rm H}|\approx3.67\cdot10^{-8}\,\mathrm V=36.7\,\mathrm{nV}$ . Bei Elektronen und der definierten Polung ist UH negativ.

Anwendungsgebiete

Ladungsträgervorzeichen und -dichte bestimmen sowie Magnetfelder mit Hall-Sensoren messen.

Rechenbeispiel: Hall-Effekt und Hall-Spannung

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Hall-Effekt und Hall-Spannung (UH = IB/(nqt)).

1
Aufgabe
Ein homogenes Elektronen-Einträger-Modell hat $I=1.0\,\mathrm A$ nach +x, $B_z=+0.50\,\mathrm T$ , $n=8.5\cdot10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$ , $q=-e$ , $t=1.0\,\mathrm{mm}$ entlang z. Bestimme $U_{\rm H}=V(y_-)-V(y_+)$ im offenen Querzweig.
Rechenweg
1. Ansatz: $U_{\rm H}=\frac{IB_z}{nqt}$ .
2. Mit $t=0.001\,\mathrm m$ und $q=-1.602176634\cdot10^{-19}\,\mathrm C$ folgt $U_{\rm H}\approx-3.6715\cdot10^{-8}\,\mathrm V=-36.715\,\mathrm{nV}$ .
3. Unten liegt das Potential niedriger; der Betrag ist etwa 36,7 nV.
4. Stationäres homogenes Einträger-Modell mit festgelegter Polung.

Die Formel verstehen und anwenden

Die Hall-Spannung macht eine seitliche Ladungstrennung messbar. Ihr Betrag verbindet Strom, Magnetfeld und Trägerdichte; ihr Vorzeichen ist erst mit einer vollständigen Achsen- und Messkonvention aussagekräftig. Die einfache Formel ist ein Einträger-Modell, keine universelle Materialdiagnose.

Eine kleine Querspannung verrät etwas über die Ladungsträger

Ein Strom fließt längs durch ein dünnes Plättchen. Ein senkrecht dazu angelegtes Magnetfeld lenkt seine bewegten Ladungsträger seitlich ab. An den Rändern entsteht Ladung, die ein elektrisches Gegenfeld aufbaut. Sobald die seitlichen Kräfte im Mittel ausgeglichen sind, kannst du zwischen den Seiten eine Spannung messen. Um aus ihrem Vorzeichen auf den Trägertyp zu schließen, musst du zuerst Stromrichtung, Feldrichtung und die Reihenfolge der Spannungsanschlüsse festlegen.[1][2]

Vorwissen: Technischer Strom ist bei negativen Ladungsträgern der Driftbewegung entgegengerichtet.
Breite und Dicke erfüllen unterschiedliche Aufgaben. Die Querbreite ist der Kontaktabstand; die aktive Dicke liegt parallel zum Magnetfeld.
Wir verwenden eine positive Teilchendichte n und eine signierte Trägerladung q. Eine negative Dichte wäre keine physikalische Lösung.

[1][2]

Welche Messpolung und Dicke gehören zur Hall-Spannung?

Wir betrachten ein homogenes rechteckiges Plättchen. Der technische Strom $I>0$ fließt in +x-Richtung, das Feld $B_z>0$ in +z-Richtung. Die Breite w liegt entlang y, die Dicke t entlang z. Die Hall-Spannung definieren wir als Potential der unteren y−-Kante minus Potential der oberen y+-Kante. Damit ist die Messpolung vollständig festgelegt. Die Trägerladung q ist vorzeichenbehaftet; für Elektronen ist $q=-e$ . n zählt Träger pro Volumen und ist positiv.[1]

\begin{aligned}U_{\rm H}&=V(y_-)-V(y_+)\\J_x&=\frac I{wt}=nqv_{{\rm d},x}\\U_{\rm H}&=\frac{IB_z}{nqt}\end{aligned}

Diese Vorzeichenform gilt für die hier festgelegten Achsen und Kontakte.[1]

Ein umgepolter Spannungsanschluss kehrt den gemessenen Spannungswert um, ohne die Trägerart zu ändern. Eine Strom- oder Feldumkehr tut das im einfachen Modell ebenfalls. Deshalb genügt die Aussage „negative Hall-Spannung bedeutet Elektronen“ allein nicht: Stromrichtung, Feldrichtung und positive Messklemme gehören zur Aussage. Die gleiche Gleichung lässt sich bei anderer Polungsdefinition mit einem zusätzlichen Minuszeichen schreiben.[1]

Gleiche Kontakte, umgekehrter Strom

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Die Polung bleibt unten minus oben. Kurven für n=2·10²² m⁻³, t=0,20 mm und I=±5 mA, wie im ersten Beispiel. Bei Bz=+0,40 T ergeben sich −3,121 mV für +I und +3,121 mV für −I. Die Linien zeigen das ideale bereinigte Signal ohne Offset.[1]

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Von der Lorentzkraft zur transversalen Spannung

Die magnetische Kraft lenkt die driftenden Träger seitlich ab. Randladungen bauen ein Hall-Feld auf, bis im stationären Zustand die transversale elektrische und magnetische Kraft einander aufheben. Das betrifft die gemittelte Drift; thermische Einzelbewegungen sind nicht gleich der Driftgeschwindigkeit. Im offenen Querzweig fließt kein stationärer Netto-Querstrom. Der Messapparat soll die seitliche Spannung daher nicht durch einen starken Querlaststrom verändern. Die Lorentzkraft wird deshalb mit der festgelegten Drift- und Feldrichtung geprüft, bevor die Kontaktspannung interpretiert wird.[1]

Das Kräftegleichgewicht bestimmt zuerst das Querfeld, noch nicht die Spannung. Dann folgt aus der Stromstärke, wie schnell die Träger im Mittel driften. Je breiter das Plättchen bei festem Strom ist, desto kleiner ist diese Drift; gleichzeitig ist der Querweg zwischen den Kontakten länger. Beide Breiteneffekte heben sich bei der Spannungsbildung auf. Die Dicke bleibt dagegen im Ergebnis stehen.[1]

\begin{aligned}\mathbf E_{\rm H}&=-\mathbf v_{\rm d}\times\mathbf B\\E_y&=v_{{\rm d},x}B_z\\v_{{\rm d},x}&=\frac I{nqwt}\\U_{\rm H}&=E_yw=\frac{IB_z}{nqt}\end{aligned}

Weil $\frac{\partial V}{\partial y}=-E_y$ , ist $V(y_-)-V(y_+)=E_yw$ . Die Breite kürzt sich heraus.[1]

Bei gleichem technischen Strom bewegen sich negative Träger gegen den Strompfeil. Für Elektronen in unserer Konvention zeigt die magnetische Kraft nach unten, das Hall-Feld ebenfalls nach unten; die elektrische Kraft auf die Elektronen zeigt nach oben. Unten sammelt sich negative, oben positive Ladung. Bei positiven Trägern bleibt die magnetische Kraft bei festem Strom und Feld nach unten, aber Randladung und Hall-Feld wechseln ihr Vorzeichen.[1]

Vertiefung anzeigen: Hall-Koeffizient und Flächendichte

\begin{aligned}R_{\rm H}&=\frac{E_y}{J_xB_z}=\frac1{nq}\\U_{\rm H}&=R_{\rm H}\frac{IB_z}{t}\\n&=\frac{|IB_z|}{|q|t|U_{\rm H}|}\\\left[R_{\rm H}\right]&=\mathrm{m^3\,C^{-1}}\\\left[U_{\rm H}\right]&=\mathrm V\end{aligned}

Einträger-Modell; die Dichteumstellung benötigt ein von null verschiedenes Signal und bekannte Geometrie.[1][2]

Die Dicke t wird parallel zum Magnetfeld gemessen und ist nicht die Kontaktentfernung w. n ist eine Volumendichte. Für eine dünne homogene leitende Schicht kann man die Flächendichte $n_s=nt$ verwenden; dann verschwindet t aus der Spannungsformel. Das ist eine Umdefinition der Dichte, kein Beweis für Quanten-Hall-Physik. Für die folgenden Zahlen ist e=1,602176634·10⁻¹⁹ Coulomb exakt im SI.[2][3]

Beispiel: Elektronendrift und Hall-Polung

Alle Richtungen mit einer Rechnung verbinden

Gegeben: Einträger-Modell mit Elektronen: $n=2.0\cdot10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}$ , $I=5.0\,\mathrm{mA}$ entlang +x, $B_z=0.40\,\mathrm T$ , $t=0.20\,\mathrm{mm}$ , $w=3.0\,\mathrm{mm}$ .
Gesucht: Driftkomponente, Hall-Feld und Spannung unten minus oben bestimmen.

Ansatz: Vorzeichenbehaftete Trägerladung in Stromdichte und Kraftgleichgewicht einsetzen.
$\begin{aligned}v_{{\rm d},x}&=\frac I{nqwt}\\E_y&=v_{{\rm d},x}B_z\\U_{\rm H}&=E_yw\end{aligned}$
Einsetzen: $q=-e$ ; Breite und Dicke getrennt in Meter umrechnen.
$\begin{aligned}v_{{\rm d},x}&=\frac{0.005}{(2.0\cdot10^{22})(-1.602176634\cdot10^{-19})(0.003)(0.0002)}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\&\approx-2.60063\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\E_y&\approx-1.04025\,\mathrm{V\,m^{-1}}\\U_{\rm H}&\approx-3.12075\,\mathrm{mV}\end{aligned}$

Ergebnis: Elektronen driften gegen +x. Das Feld zeigt nach −y; unten liegt das Potential um 3,121 mV niedriger als oben.

Kontrolle: Kontrolle: Der positive Strom ergibt sich aus dem Produkt der negativen Ladung und negativen Driftkomponente. Die direkte Spannungsformel liefert dieselben −3,121 mV. Elektrische Kraft nach oben und magnetische Kraft nach unten kompensieren sich.

Was trennt eine Feldumkehr vom Hall-Signal und was bleibt zu prüfen?

Schräg sitzende Kontakte können einen Anteil der Längsspannung mitmessen. Thermospannungen und Instrumentenoffsets können hinzukommen. Eine Feldumkehr trennt einen feldungeraden Hall-Anteil von einem feldgeraden Beitrag, wenn Strom, Temperatur und Geometrie gleich bleiben und der Hall-Anteil bei beiden Feldbeträgen antisymmetrisch ist. Nicht jeder Störbeitrag ist feldgerade; die Umkehr ersetzt daher weder Kontaktkontrollen noch ein geeignetes Materialmodell. Die elektrische Feldstärke und die gemessene Kontaktspannung bleiben dabei verschiedene Größen; ihre Verbindung braucht zusätzlich die Querstrecke und ein geeignetes Feldmodell.[2]

\begin{aligned}U_{\rm odd}(B)&=\frac{U_{\rm meas}(B)-U_{\rm meas}(-B)}2\\U_{\rm even}(B)&=\frac{U_{\rm meas}(B)+U_{\rm meas}(-B)}2\end{aligned}

Algebraische Zerlegung in ungerade und gerade Feldanteile; Zuordnung zum Hall-Signal benötigt die genannten Messannahmen.[2]

Beispiel: Feldumkehr und Dichtebestimmung

Ein konstantes Offset entfernen

Gegeben: $I=10\,\mathrm{mA}$ , $t=0.50\,\mathrm{mm}$ ; bei $B_z=+0.50\,\mathrm T$ wird $+4.6\,\mathrm{mV}$ , bei $-0.50\,\mathrm T$ wird $-3.4\,\mathrm{mV}$ gemessen. Einträger-Modell mit $|q|=e$ , konstantes feldgerades Offset und festgelegte Polung.
Gesucht: Hall-Anteil, Offset, Trägervorzeichen und Dichte bestimmen.

Ansatz: Differenz entfernt das Offset; Summe entfernt den Hall-Anteil. Der positive Hall-Koeffizient bezeichnet hier positive Träger.
$\begin{aligned}U_{\rm H}&=\frac{U_+-U_-}2\\U_0&=\frac{U_++U_-}2\\n&=\frac{|IB_z|}{et|U_{\rm H}|}\end{aligned}$
Einsetzen: Nur die bereinigten 4,0 mV dürfen in die Dichteformel eingesetzt werden.
$\begin{aligned}U_{\rm H}&=\frac{4.6-(-3.4)}2\,\mathrm{mV}=4.0\,\mathrm{mV}\\U_0&=0.6\,\mathrm{mV}\\R_{\rm H}&=\frac{(0.004)(0.0005)}{(0.010)(0.50)}\,\mathrm{m^3\,C^{-1}}\\&=4.0\cdot10^{-4}\,\mathrm{m^3\,C^{-1}}\\n&\approx1.56038\cdot10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}\end{aligned}$

Ergebnis: Das Offset beträgt +0,6 mV. Die Daten entsprechen im festgelegten Einträger-Modell positiven Trägern mit n≈1,56·10²² pro Kubikmeter.

Kontrolle: Kontrolle: $(+4{,}0+0{,}6)\,\mathrm{mV}=+4{,}6\,\mathrm{mV}$ und $(-4{,}0+0{,}6)\,\mathrm{mV}=-3{,}4\,\mathrm{mV}$ reproduzieren beide Messungen. Die Dichte ist positiv; nur der Koeffizient trägt das Trägervorzeichen. Eine unbereinigte Messung würde eine andere scheinbare Dichte liefern.

Vier Messungen trennen drei Beiträge

Gegeben: Bei gleichen Beträgen von Strom und Feld seien die Spannungen $U_{++}=-1{,}50\,\mathrm{mV}$ , $U_{+-}=+2{,}50\,\mathrm{mV}$ , $U_{-+}=+1{,}90\,\mathrm{mV}$ und $U_{--}=-2{,}10\,\mathrm{mV}$ . Die Zeichen markieren Strom und Feld. Modell: Hall-Anteil H ist ungerade in beiden, ein Kontaktbeitrag L nur im Strom und ein Offset O konstant.
Gesucht: Bestimme H, L und O für positive Strom- und Feldrichtung und kontrolliere alle vier Messungen.

Ansatz: Zerlege jede Messung nach ihrem Verhalten bei Strom- und Feldumkehr.
$\begin{aligned}U(s_I,s_B)&=H s_Is_B+L s_I+O\\H&=\frac{U_{++}-U_{+-}-U_{-+}+U_{--}}4\\L&=\frac{U_{++}+U_{+-}-U_{-+}-U_{--}}4\\O&=\frac{U_{++}+U_{+-}+U_{-+}+U_{--}}4\end{aligned}$
Einsetzen mit allen Spannungen in Millivolt.
$\begin{aligned}H&=\frac{-1.50-2.50-1.90-2.10}4\,\mathrm{mV}=-2.00\,\mathrm{mV}\\L&=\frac{-1.50+2.50-1.90+2.10}4\,\mathrm{mV}=+0.300\,\mathrm{mV}\\O&=\frac{-1.50+2.50+1.90-2.10}4\,\mathrm{mV}=+0.200\,\mathrm{mV}\end{aligned}$

Ergebnis: Im gewählten Modell ist der Hall-Anteil bei positivem Strom und Feld −2,00 mV. Der stromungerade Kontaktbeitrag beträgt +0,300 mV, das konstante Offset +0,200 mV.

Kontrolle: Rückrechnung: −2+0,3+0,2=−1,5; +2+0,3+0,2=+2,5; +2−0,3+0,2=+1,9; −2−0,3+0,2=−2,1 mV. Ein weiterer Störbeitrag, der ebenfalls in Strom und Feld ungerade ist, wäre damit nicht vom Hall-Anteil unterscheidbar.

Wann ein Hall-Wert keine einfache Trägerzahl ist

Die Beziehung setzt ein homogenes klassisches Einträger-Modell, bekannte wirksame Dicke und eine passende Kontaktgeometrie voraus. Mehrere Trägerarten tragen nicht einfach mit ihrer Gesamtzahl zu einem einzigen q bei; ihre Beweglichkeiten beeinflussen den gemessenen Hall-Koeffizienten. Auch anisotrope Transportprozesse, Magnetisierungseffekte und eine nichtlineare Feldantwort können eine einfache Dichteinterpretation verhindern. Ein positives Signal beweist daher außerhalb dieses Modells nicht automatisch eine einzige positive Trägerpopulation.[1][2]

Für belastbare Messungen dokumentiert man Temperatur, Kontaktgröße, Homogenität, Feld, Strom und aktive Schichtdicke. NIST beschreibt besonders kleine ohmsche Kontakte, gleichmäßige Proben und die Trennung von Hall- und Widerstandsmessung. Seine hier zitierte Seite ist ein gekennzeichnetes Archiv, keine laufend aktualisierte Messnorm. Die Formel erklärt das Prinzip; eine reale Sensorkalibrierung benötigt den konkreten Sensor und seine Messbedingungen.[2]

Fünf Aufgaben zu Rechnung, Polung und Messmodell

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Positive Träger mit $q=+e$ , $n=5\cdot10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}$ , $I=20\,\mathrm{mA}$ , $B_z=0.20\,\mathrm T$ , $t=0.10\,\mathrm{mm}$ . Bestimme U_H nach der Artikelkonvention.

Hinweis anzeigen

Dicke in Meter einsetzen; untere Kante minus obere Kante.

Lernziel: Eine signierte Hall-Spannung berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Ein dominanter Trägertyp und offener Querzweig; Polung unten minus oben.
$U_{\mathrm H}=\frac{IB_z}{nqt}$ Ansatz: die Einträger-Spannungsformel mit positivem q.
Einsetzen ergibt +4,9932 mV.
Das untere Potential ist höher.
Stromumkehr bei unverändertem Feld würde −4,9932 mV ergeben.

U_{\rm H}=\frac{(0.020)(0.20)}{(5\cdot10^{22})(1.602176634\cdot10^{-19})(0.0001)}\,\mathrm V\approx4.9932\,\mathrm{mV}

[1]

Umstellen · Anwenden

Ein Elektronenmodell liefert $|U_{\rm H}|=1.0\,\mathrm{mV}$ bei $I=5.0\,\mathrm{mA}$ , $B_z=0.30\,\mathrm T$ , $t=0.20\,\mathrm{mm}$ . Bestimme n.

Hinweis anzeigen

Beträge verwenden; eine Teilchendichte wird nicht negativ.

Lernziel: Aus einem Betrag eine positive Volumendichte gewinnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Elektronenmodell; n ist positiv, das Ladungsvorzeichen wird separat zurückgeprüft.
$n=\frac{|IB_z|}{et|U_{\mathrm H}|}$ Ansatz: n aus der Betragsgleichung isolieren.
Es folgt n≈4,6811·10²² pro Kubikmeter.
Mit $q=-e$ ergibt die signierte Rückrechnung −1,0 mV, deren Betrag mit der Messung übereinstimmt.

n=\frac{(0.005)(0.30)}{(1.602176634\cdot10^{-19})(0.0002)(0.001)}\,\mathrm{m^{-3}}\approx4.6811\cdot10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}

[1]

Interpretieren · Einstieg

I zeigt nach +x, B nach +z. Oben sammeln sich positive Randladungen, unten negative. Welche Drift-, Feld- und Spannungsrichtungen folgen im Einträger-Modell?

Hinweis anzeigen

Das Hall-Feld verläuft von positiver zu negativer Randladung.

Lernziel: Trägerzeichen nur mit vollständiger Messkonvention deuten.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Das Feld zeigt nach −y, daher ist $U_{\mathrm H}=V(y_-)-V(y_+)$ negativ.
Mit positivem I und B folgt $q<0$ .
Die negative Driftkomponente ergibt zusammen mit $q<0$ einen positiven technischen Strom.
Werden nur die Messleitungen getauscht, ändert sich der Spannungswert, aber nicht die Drift oder Trägerart.

E_y<0,\quad U_{\rm H}<0,\quad q<0,\quad v_{{\rm d},x}<0

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Bei $w=3.0\,\mathrm{mm}$ und $t=0.20\,\mathrm{mm}$ setzt eine Lösung w anstelle von t in die Hall-Spannungsformel. Um welchen Faktor ist ihr Betrag falsch?

Hinweis anzeigen

Die Breite kommt sowohl in der Stromdichte als auch in der Potentialdifferenz vor.

Lernziel: Die richtige geometrische Dicke von der Kontaktbreite unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Der korrekte Ansatz enthält t parallel zum Feld.
Die falsche Lösung liefert nur $\frac tw=\frac1{15}$ des richtigen Betrags.
Beispielsweise würden aus 3,121 mV fälschlich etwa 0,208 mV.
Die Breite kürzt sich heraus, weil ein breiteres Plättchen bei festem Strom eine kleinere Driftgeschwindigkeit, aber eine größere Querstrecke hat.

\frac{|U_{\rm wrong}|}{|U_{\rm correct}|}=\frac tw=\frac{0.20}{3.0}=\frac1{15}

[1]

Transfer · Vertiefen

Eine dünne homogene Schicht zeigt $|U_{\rm H}|=2.0\,\mathrm{mV}$ bei $I=10\,\mathrm{mA}$ , $|B_z|=0.20\,\mathrm T$ . Im Einträger-Modell mit $|q|=e$ : Welche Flächendichte n_s folgt ohne bekannte Dicke, und kann n ebenfalls bestimmt werden?

Hinweis anzeigen

Fasse n und t zu n_s zusammen.

Lernziel: Volumendichte und Flächendichte sauber unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $n_s=nt$ in der Betragsformel.
Die Messung liefert n_s≈6,2415·10¹⁸ pro Quadratmeter.
Eine Volumendichte benötigt zusätzlich die aktive Dicke t: $n=\frac{n_s}{t}$ .
Das beobachtete Signal allein trennt n und t nicht.
Die Einheit pro Quadratmeter kontrolliert, dass keine Volumendichte behauptet wurde.

n_s=\frac{|IB_z|}{e|U_{\rm H}|}\approx6.2415\cdot10^{18}\,\mathrm{m^{-2}}

[2]

Das solltest du mitnehmen

Ein Spannungsvorzeichen ist erst mit Strom-, Feld- und Kontaktkonvention eindeutig. Kontakte tauschen verändert keine Trägerart.
Die Querbreite kürzt sich heraus; die aktive Dicke parallel zum Magnetfeld bleibt erhalten.
Umkehrmessungen trennen bestimmte Symmetrieanteile. Sie beseitigen nicht automatisch jede Störung oder ein unpassendes Mehrträgermodell.

[1][2]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften und fachlich passende Absatzlinks präzisiert; bestehende wissenschaftliche Erklärungen, Beispiele und Aufgaben erhalten.
1. Oktober 2026Hall-Polung, signierte Drift und Offsetbereinigung ausgearbeitet; vorhandenes Metall-Beispiel auf 36,7 nV korrigiert; zwei Beispiele und fünf Aufgaben ergänzt.
1. Oktober 2026Anschaulichen Einstieg und Vorwissen ergänzt, Modellschritte erläutert, ein weiteres vollständiges Beispiel und ein quantitatives Diagramm hinzugefügt; bestehende Beispiele, fünf Aufgaben und Quellen erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Hall-Effekt und Hall-Spannung. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/hall-effekt-spannung

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Hall-Effekt und Hall-Spannung

Was beschreiben Hall-Effekt und Hall-Spannung physikalisch?+

Die Hall-Spannung entsteht durch seitliche Ladungstrennung: Die magnetische Kraft auf driftende Träger wird im stationären Zustand durch ein aufgebautes elektrisches Querfeld ausgeglichen. Für einen positiven technischen Strom nach x und ein positives Magnetfeld nach z definieren wir die Spannung als Potential unten minus Potential oben. Dann ist die Spannung für Elektronen negativ, für positive Träger positiv. Das Ergebnis enthält die Dicke parallel zum Magnetfeld, nicht die Querbreite zwischen Kontakten. Die einfache Beziehung verknüpft diese Geometrie mit einer positiven Volumendichte und einer signierten Trägerladung. Sie setzt einen dominanten Trägertyp voraus und beschreibt keine beliebige komplexe Materialantwort.

Wie prüfe ich eine Rechnung zur Hall-Spannung?+

Notiere Stromrichtung, Feldrichtung, Messpolung und aktive Dicke, bevor du ein Vorzeichen interpretierst. Für $I=1.0\,\mathrm A$ , $B_z=0.50\,\mathrm T$ , $n=8.5\cdot10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$ , $|q|=e$ und $t=1.0\,\mathrm{mm}$ ergibt die Betragsrechnung 36,7 Nanovolt. Das sind 0,0367 Mikrovolt, nicht 36,7 Mikrovolt; der Unterschied wäre ein Faktor tausend. Bei Elektronen ist die Spannung unter unserer Polungsdefinition negativ. Kontrolliere zusätzlich: Doppelter Strom oder doppeltes Feld verdoppelt den Betrag, doppelte Dicke halbiert ihn. Ein winziges Signal erfordert außerdem eine Prüfung von Kontaktversatz und Offset, bevor daraus eine Dichte abgeleitet wird. Bei umgekehrter Messpolung wechselt nur das Spannungszeichen.

Welche Annahmen und Grenzen hat die Hall-Spannungsformel?+

Die klassische Formel setzt eine homogene Probe mit einem dominanten Trägertyp, bekannter wirksamer Dicke und vernachlässigbarem transversalem Messstrom voraus. Ein stationäres Hall-Feld muss die seitliche Kraft ausgleichen können. Bei mehreren Trägerarten wird der Hall-Koeffizient durch deren Beweglichkeiten mitbestimmt; aus dem Signal folgt dann nicht einfach die Summe ihrer Dichten. Inhomogene Schichten und große oder ungünstig platzierte Kontakte können die einfache Geometrie verletzen. Temperatur, Magnetisierung und nichtlineare Feldantwort benötigen gegebenenfalls ein erweitertes Modell. Eine Feldumkehr hilft gegen feldgerade Offsets, beseitigt aber nicht jeden Störeffekt. Eine experimentelle Dichte sollte deshalb stets zusammen mit den verwendeten Modellannahmen angegeben werden.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei der Hall-Spannung?+

Setze t in Meter und n als Trägerzahl pro Kubikmeter ein. Eine Flächendichte hat dagegen die Einheit pro Quadratmeter und darf nicht zusätzlich mit derselben Dicke kombiniert werden. Im SI reduziert sich $\frac{\mathrm{A\,T}}{\mathrm{m^{-3}\,C\,m}}$ auf Volt. Diese Dimensionskontrolle unterscheidet jedoch nicht automatisch Breite und Dicke, weil beide Längen sind. Dafür braucht man die Geometrie der Herleitung. Bei der Größenordnung achte besonders auf Nano-, Mikro- und Millivolt: Die vorhandenen metallähnlichen Eingaben ergeben nur Nanovolt. Eine negative Teilchendichte ist immer ein Hinweis auf eine falsche Betrags- oder Vorzeichenumstellung; das Trägervorzeichen gehört zu q.

Wann kombiniere ich die Hall-Spannung mit einer weiteren Beziehung?+

Die Stromdichte $J_x=nqv_{{\rm d},x}$ verbindet eine Hall-Messung mit der gerichteten Drift. Eine bekannte Trägerdichte erlaubt umgekehrt die Bestimmung eines Magnetfeldes. Mit $n_s=nt$ erhält man die Flächendichte einer homogenen dünnen Schicht, auch wenn ihre aktive Dicke nicht bekannt ist. Eine Widerstandsmessung kann im passenden Modell zusätzliche Mobilitätsinformation liefern, misst aber nicht dieselbe Größe wie die Hall-Spannung. Feldumkehr zerlegt die gemessene Spannung in feldungerade und feldgerade Anteile. Nur wenn die Bedingungen unverändert bleiben und der Hall-Beitrag antisymmetrisch ist, darf der ungerade Anteil direkt als bereinigtes Hall-Signal interpretiert werden.

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Wie stellst du UH = IB/(nqt) nach Volumendichte aus dem Betrag um?

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Welcher typische Fehler passiert bei UH = IB/(nqt)?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

F = k_e \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

Coulombsches Gesetz

\mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Faradaysches Induktionsgesetz

\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

U = R \cdot I

Ohmsches Gesetz

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Hall-Effekt und Hall-Spannung

Die Hall-Spannung entsteht, wenn ein Magnetfeld bewegte Ladungsträger seitlich ablenkt und dadurch eine transversale Ladungstrennung aufbaut.

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Variablen & Einheiten

Symbol

Bedeutung

Einheit

U_{\mathrm{H}}

Signierte Spannung V(y−)−V(y+) quer zum Strom und Magnetfeld

I

Strom durch den Leiter oder das Plättchen

B_{\mathrm{z}}

Signierte Magnetfeldkomponente entlang z, senkrecht zum Strom x

n

Volumendichte der dominanten Ladungsträger

m⁻³

q

vorzeichenbehaftete Ladung eines Trägertyps

t

Dicke des Leiters in Magnetfeldrichtung

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Seitliche Kraftbalance bestimmt das Hall-Feld; die Stromdichte verbindet die signierte Drift mit der Trägerdichte.

1I entlang +x, $B_z$ entlang z, Breite w entlang y und Dicke t entlang z festlegen.
2Die Polung sei $U_{\rm H}=V(y_-)-V(y_+)$ ; q trägt das Vorzeichen des dominanten Trägertyps.
3Im stationären offenen Querzweig gilt $\mathbf E_{\rm H}=-\mathbf v_{\rm d}\times\mathbf B$ .
4Das Kreuzprodukt liefert $E_y=v_{{\rm d},x}B_z$ ; aus $I=nqv_{{\rm d},x}wt$ folgt die Driftkomponente.
5Weil $\frac{\partial V}{\partial y}=-E_y$ , ist die definierte Potentialdifferenz $U_{\rm H}=E_yw$ .
6Die Breite kürzt sich: $U_{\rm H}=\frac{IB_z}{nqt}$ . Negative q ergibt bei positivem I und Bz eine negative Spannung in dieser Polung.

Rechenbeispiel: Hall-Effekt und Hall-Spannung

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Hall-Effekt und Hall-Spannung (UH = IB/(nqt)).

Aufgabe

Rechenweg

Ansatz: $U_{\rm H}=\frac{IB_z}{nqt}$ .
Mit $t=0.001\,\mathrm m$ und $q=-1.602176634\cdot10^{-19}\,\mathrm C$ folgt $U_{\rm H}\approx-3.6715\cdot10^{-8}\,\mathrm V=-36.715\,\mathrm{nV}$ .
Unten liegt das Potential niedriger; der Betrag ist etwa 36,7 nV.
Stationäres homogenes Einträger-Modell mit festgelegter Polung.

Eine kleine Querspannung verrät etwas über die Ladungsträger

Vorwissen: Technischer Strom ist bei negativen Ladungsträgern der Driftbewegung entgegengerichtet.
Breite und Dicke erfüllen unterschiedliche Aufgaben. Die Querbreite ist der Kontaktabstand; die aktive Dicke liegt parallel zum Magnetfeld.
Wir verwenden eine positive Teilchendichte n und eine signierte Trägerladung q. Eine negative Dichte wäre keine physikalische Lösung.

[1][2]

Welche Messpolung und Dicke gehören zur Hall-Spannung?

\begin{aligned}U_{\rm H}&=V(y_-)-V(y_+)\\J_x&=\frac I{wt}=nqv_{{\rm d},x}\\U_{\rm H}&=\frac{IB_z}{nqt}\end{aligned}

Diese Vorzeichenform gilt für die hier festgelegten Achsen und Kontakte.[1]

Gleiche Kontakte, umgekehrter Strom

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Von der Lorentzkraft zur transversalen Spannung

\begin{aligned}\mathbf E_{\rm H}&=-\mathbf v_{\rm d}\times\mathbf B\\E_y&=v_{{\rm d},x}B_z\\v_{{\rm d},x}&=\frac I{nqwt}\\U_{\rm H}&=E_yw=\frac{IB_z}{nqt}\end{aligned}

Weil $\frac{\partial V}{\partial y}=-E_y$ , ist $V(y_-)-V(y_+)=E_yw$ . Die Breite kürzt sich heraus.[1]

Vertiefung anzeigen: Hall-Koeffizient und Flächendichte

\begin{aligned}R_{\rm H}&=\frac{E_y}{J_xB_z}=\frac1{nq}\\U_{\rm H}&=R_{\rm H}\frac{IB_z}{t}\\n&=\frac{|IB_z|}{|q|t|U_{\rm H}|}\\\left[R_{\rm H}\right]&=\mathrm{m^3\,C^{-1}}\\\left[U_{\rm H}\right]&=\mathrm V\end{aligned}

Einträger-Modell; die Dichteumstellung benötigt ein von null verschiedenes Signal und bekannte Geometrie.[1][2]

Beispiel: Elektronendrift und Hall-Polung

Alle Richtungen mit einer Rechnung verbinden

Gegeben: Einträger-Modell mit Elektronen: $n=2.0\cdot10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}$ , $I=5.0\,\mathrm{mA}$ entlang +x, $B_z=0.40\,\mathrm T$ , $t=0.20\,\mathrm{mm}$ , $w=3.0\,\mathrm{mm}$ .
Gesucht: Driftkomponente, Hall-Feld und Spannung unten minus oben bestimmen.

Ansatz: Vorzeichenbehaftete Trägerladung in Stromdichte und Kraftgleichgewicht einsetzen.
$\begin{aligned}v_{{\rm d},x}&=\frac I{nqwt}\\E_y&=v_{{\rm d},x}B_z\\U_{\rm H}&=E_yw\end{aligned}$
Einsetzen: $q=-e$ ; Breite und Dicke getrennt in Meter umrechnen.
$\begin{aligned}v_{{\rm d},x}&=\frac{0.005}{(2.0\cdot10^{22})(-1.602176634\cdot10^{-19})(0.003)(0.0002)}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\&\approx-2.60063\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\E_y&\approx-1.04025\,\mathrm{V\,m^{-1}}\\U_{\rm H}&\approx-3.12075\,\mathrm{mV}\end{aligned}$

Ergebnis: Elektronen driften gegen +x. Das Feld zeigt nach −y; unten liegt das Potential um 3,121 mV niedriger als oben.

Was trennt eine Feldumkehr vom Hall-Signal und was bleibt zu prüfen?

\begin{aligned}U_{\rm odd}(B)&=\frac{U_{\rm meas}(B)-U_{\rm meas}(-B)}2\\U_{\rm even}(B)&=\frac{U_{\rm meas}(B)+U_{\rm meas}(-B)}2\end{aligned}

Algebraische Zerlegung in ungerade und gerade Feldanteile; Zuordnung zum Hall-Signal benötigt die genannten Messannahmen.[2]

Beispiel: Feldumkehr und Dichtebestimmung

Ein konstantes Offset entfernen

Gegeben: $I=10\,\mathrm{mA}$ , $t=0.50\,\mathrm{mm}$ ; bei $B_z=+0.50\,\mathrm T$ wird $+4.6\,\mathrm{mV}$ , bei $-0.50\,\mathrm T$ wird $-3.4\,\mathrm{mV}$ gemessen. Einträger-Modell mit $|q|=e$ , konstantes feldgerades Offset und festgelegte Polung.
Gesucht: Hall-Anteil, Offset, Trägervorzeichen und Dichte bestimmen.

Ansatz: Differenz entfernt das Offset; Summe entfernt den Hall-Anteil. Der positive Hall-Koeffizient bezeichnet hier positive Träger.
$\begin{aligned}U_{\rm H}&=\frac{U_+-U_-}2\\U_0&=\frac{U_++U_-}2\\n&=\frac{|IB_z|}{et|U_{\rm H}|}\end{aligned}$
Einsetzen: Nur die bereinigten 4,0 mV dürfen in die Dichteformel eingesetzt werden.
$\begin{aligned}U_{\rm H}&=\frac{4.6-(-3.4)}2\,\mathrm{mV}=4.0\,\mathrm{mV}\\U_0&=0.6\,\mathrm{mV}\\R_{\rm H}&=\frac{(0.004)(0.0005)}{(0.010)(0.50)}\,\mathrm{m^3\,C^{-1}}\\&=4.0\cdot10^{-4}\,\mathrm{m^3\,C^{-1}}\\n&\approx1.56038\cdot10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}\end{aligned}$

Ergebnis: Das Offset beträgt +0,6 mV. Die Daten entsprechen im festgelegten Einträger-Modell positiven Trägern mit n≈1,56·10²² pro Kubikmeter.

Vier Messungen trennen drei Beiträge

Gegeben: Bei gleichen Beträgen von Strom und Feld seien die Spannungen $U_{++}=-1{,}50\,\mathrm{mV}$ , $U_{+-}=+2{,}50\,\mathrm{mV}$ , $U_{-+}=+1{,}90\,\mathrm{mV}$ und $U_{--}=-2{,}10\,\mathrm{mV}$ . Die Zeichen markieren Strom und Feld. Modell: Hall-Anteil H ist ungerade in beiden, ein Kontaktbeitrag L nur im Strom und ein Offset O konstant.
Gesucht: Bestimme H, L und O für positive Strom- und Feldrichtung und kontrolliere alle vier Messungen.

Ansatz: Zerlege jede Messung nach ihrem Verhalten bei Strom- und Feldumkehr.
$\begin{aligned}U(s_I,s_B)&=H s_Is_B+L s_I+O\\H&=\frac{U_{++}-U_{+-}-U_{-+}+U_{--}}4\\L&=\frac{U_{++}+U_{+-}-U_{-+}-U_{--}}4\\O&=\frac{U_{++}+U_{+-}+U_{-+}+U_{--}}4\end{aligned}$
Einsetzen mit allen Spannungen in Millivolt.
$\begin{aligned}H&=\frac{-1.50-2.50-1.90-2.10}4\,\mathrm{mV}=-2.00\,\mathrm{mV}\\L&=\frac{-1.50+2.50-1.90+2.10}4\,\mathrm{mV}=+0.300\,\mathrm{mV}\\O&=\frac{-1.50+2.50+1.90-2.10}4\,\mathrm{mV}=+0.200\,\mathrm{mV}\end{aligned}$

Ergebnis: Im gewählten Modell ist der Hall-Anteil bei positivem Strom und Feld −2,00 mV. Der stromungerade Kontaktbeitrag beträgt +0,300 mV, das konstante Offset +0,200 mV.

Wann ein Hall-Wert keine einfache Trägerzahl ist

Fünf Aufgaben zu Rechnung, Polung und Messmodell

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Positive Träger mit $q=+e$ , $n=5\cdot10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}$ , $I=20\,\mathrm{mA}$ , $B_z=0.20\,\mathrm T$ , $t=0.10\,\mathrm{mm}$ . Bestimme U_H nach der Artikelkonvention.

Hinweis anzeigen

Dicke in Meter einsetzen; untere Kante minus obere Kante.

Lernziel: Eine signierte Hall-Spannung berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Ein dominanter Trägertyp und offener Querzweig; Polung unten minus oben.
$U_{\mathrm H}=\frac{IB_z}{nqt}$ Ansatz: die Einträger-Spannungsformel mit positivem q.
Einsetzen ergibt +4,9932 mV.
Das untere Potential ist höher.
Stromumkehr bei unverändertem Feld würde −4,9932 mV ergeben.

U_{\rm H}=\frac{(0.020)(0.20)}{(5\cdot10^{22})(1.602176634\cdot10^{-19})(0.0001)}\,\mathrm V\approx4.9932\,\mathrm{mV}

[1]

Umstellen · Anwenden

Ein Elektronenmodell liefert $|U_{\rm H}|=1.0\,\mathrm{mV}$ bei $I=5.0\,\mathrm{mA}$ , $B_z=0.30\,\mathrm T$ , $t=0.20\,\mathrm{mm}$ . Bestimme n.

Hinweis anzeigen

Beträge verwenden; eine Teilchendichte wird nicht negativ.

Lernziel: Aus einem Betrag eine positive Volumendichte gewinnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Elektronenmodell; n ist positiv, das Ladungsvorzeichen wird separat zurückgeprüft.
$n=\frac{|IB_z|}{et|U_{\mathrm H}|}$ Ansatz: n aus der Betragsgleichung isolieren.
Es folgt n≈4,6811·10²² pro Kubikmeter.
Mit $q=-e$ ergibt die signierte Rückrechnung −1,0 mV, deren Betrag mit der Messung übereinstimmt.

n=\frac{(0.005)(0.30)}{(1.602176634\cdot10^{-19})(0.0002)(0.001)}\,\mathrm{m^{-3}}\approx4.6811\cdot10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}

[1]

Interpretieren · Einstieg

I zeigt nach +x, B nach +z. Oben sammeln sich positive Randladungen, unten negative. Welche Drift-, Feld- und Spannungsrichtungen folgen im Einträger-Modell?

Hinweis anzeigen

Das Hall-Feld verläuft von positiver zu negativer Randladung.

Lernziel: Trägerzeichen nur mit vollständiger Messkonvention deuten.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Das Feld zeigt nach −y, daher ist $U_{\mathrm H}=V(y_-)-V(y_+)$ negativ.
Mit positivem I und B folgt $q<0$ .
Die negative Driftkomponente ergibt zusammen mit $q<0$ einen positiven technischen Strom.
Werden nur die Messleitungen getauscht, ändert sich der Spannungswert, aber nicht die Drift oder Trägerart.

E_y<0,\quad U_{\rm H}<0,\quad q<0,\quad v_{{\rm d},x}<0

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Bei $w=3.0\,\mathrm{mm}$ und $t=0.20\,\mathrm{mm}$ setzt eine Lösung w anstelle von t in die Hall-Spannungsformel. Um welchen Faktor ist ihr Betrag falsch?

Hinweis anzeigen

Die Breite kommt sowohl in der Stromdichte als auch in der Potentialdifferenz vor.

Lernziel: Die richtige geometrische Dicke von der Kontaktbreite unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Der korrekte Ansatz enthält t parallel zum Feld.
Die falsche Lösung liefert nur $\frac tw=\frac1{15}$ des richtigen Betrags.
Beispielsweise würden aus 3,121 mV fälschlich etwa 0,208 mV.
Die Breite kürzt sich heraus, weil ein breiteres Plättchen bei festem Strom eine kleinere Driftgeschwindigkeit, aber eine größere Querstrecke hat.

\frac{|U_{\rm wrong}|}{|U_{\rm correct}|}=\frac tw=\frac{0.20}{3.0}=\frac1{15}

[1]

Transfer · Vertiefen

Eine dünne homogene Schicht zeigt $|U_{\rm H}|=2.0\,\mathrm{mV}$ bei $I=10\,\mathrm{mA}$ , $|B_z|=0.20\,\mathrm T$ . Im Einträger-Modell mit $|q|=e$ : Welche Flächendichte n_s folgt ohne bekannte Dicke, und kann n ebenfalls bestimmt werden?

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Fasse n und t zu n_s zusammen.

Lernziel: Volumendichte und Flächendichte sauber unterscheiden.

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Ansatz: $n_s=nt$ in der Betragsformel.
Die Messung liefert n_s≈6,2415·10¹⁸ pro Quadratmeter.
Eine Volumendichte benötigt zusätzlich die aktive Dicke t: $n=\frac{n_s}{t}$ .
Das beobachtete Signal allein trennt n und t nicht.
Die Einheit pro Quadratmeter kontrolliert, dass keine Volumendichte behauptet wurde.

n_s=\frac{|IB_z|}{e|U_{\rm H}|}\approx6.2415\cdot10^{18}\,\mathrm{m^{-2}}

[2]

Das solltest du mitnehmen

Ein Spannungsvorzeichen ist erst mit Strom-, Feld- und Kontaktkonvention eindeutig. Kontakte tauschen verändert keine Trägerart.
Die Querbreite kürzt sich heraus; die aktive Dicke parallel zum Magnetfeld bleibt erhalten.
Umkehrmessungen trennen bestimmte Symmetrieanteile. Sie beseitigen nicht automatisch jede Störung oder ein unpassendes Mehrträgermodell.

[1][2]

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Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

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Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

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1. Oktober 2026Hall-Polung, signierte Drift und Offsetbereinigung ausgearbeitet; vorhandenes Metall-Beispiel auf 36,7 nV korrigiert; zwei Beispiele und fünf Aufgaben ergänzt.
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Rechenbeispiel: Hall-Effekt und Hall-Spannung

Eine kleine Querspannung verrät etwas über die Ladungsträger

Welche Messpolung und Dicke gehören zur Hall-Spannung?

Gleiche Kontakte, umgekehrter Strom

Von der Lorentzkraft zur transversalen Spannung

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Beispiel: Elektronendrift und Hall-Polung

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Was trennt eine Feldumkehr vom Hall-Signal und was bleibt zu prüfen?

Beispiel: Feldumkehr und Dichtebestimmung

Ein konstantes Offset entfernen

Vier Messungen trennen drei Beiträge

Wann ein Hall-Wert keine einfache Trägerzahl ist

Fünf Aufgaben zu Rechnung, Polung und Messmodell

Positive Träger mit q=+eq=+eq=+e, n=5⋅1022 m−3n=5\cdot10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}n=5⋅1022m−3, I=20 mAI=20\,\mathrm{mA}I=20mA, Bz=0.20 TB_z=0.20\,\mathrm TBz​=0.20T, t=0.10 mmt=0.10\,\mathrm{mm}t=0.10mm. Bestimme UH nach der Artikelkonvention.

Ein Elektronenmodell liefert ∣UH∣=1.0 mV|U_{\rm H}|=1.0\,\mathrm{mV}∣UH​∣=1.0mV bei I=5.0 mAI=5.0\,\mathrm{mA}I=5.0mA, Bz=0.30 TB_z=0.30\,\mathrm TBz​=0.30T, t=0.20 mmt=0.20\,\mathrm{mm}t=0.20mm. Bestimme n.

I zeigt nach +x, B nach +z. Oben sammeln sich positive Randladungen, unten negative. Welche Drift-, Feld- und Spannungsrichtungen folgen im Einträger-Modell?

Bei w=3.0 mmw=3.0\,\mathrm{mm}w=3.0mm und t=0.20 mmt=0.20\,\mathrm{mm}t=0.20mm setzt eine Lösung w anstelle von t in die Hall-Spannungsformel. Um welchen Faktor ist ihr Betrag falsch?

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Eine kleine Querspannung verrät etwas über die Ladungsträger

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Beispiel: Elektronendrift und Hall-Polung

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Was trennt eine Feldumkehr vom Hall-Signal und was bleibt zu prüfen?

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Ein konstantes Offset entfernen

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Wann ein Hall-Wert keine einfache Trägerzahl ist

Fünf Aufgaben zu Rechnung, Polung und Messmodell

Positive Träger mit q=+eq=+eq=+e, n=5⋅1022 m−3n=5\cdot10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}n=5⋅1022m−3, I=20 mAI=20\,\mathrm{mA}I=20mA, Bz=0.20 TB_z=0.20\,\mathrm TBz​=0.20T, t=0.10 mmt=0.10\,\mathrm{mm}t=0.10mm. Bestimme UH nach der Artikelkonvention.

Ein Elektronenmodell liefert ∣UH∣=1.0 mV|U_{\rm H}|=1.0\,\mathrm{mV}∣UH​∣=1.0mV bei I=5.0 mAI=5.0\,\mathrm{mA}I=5.0mA, Bz=0.30 TB_z=0.30\,\mathrm TBz​=0.30T, t=0.20 mmt=0.20\,\mathrm{mm}t=0.20mm. Bestimme n.

I zeigt nach +x, B nach +z. Oben sammeln sich positive Randladungen, unten negative. Welche Drift-, Feld- und Spannungsrichtungen folgen im Einträger-Modell?

Bei w=3.0 mmw=3.0\,\mathrm{mm}w=3.0mm und t=0.20 mmt=0.20\,\mathrm{mm}t=0.20mm setzt eine Lösung w anstelle von t in die Hall-Spannungsformel. Um welchen Faktor ist ihr Betrag falsch?

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Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

Hall-Effekt und Hall-Spannung prüfungssicher behalten

Positive Träger mit $q=+e$ , $n=5\cdot10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}$ , $I=20\,\mathrm{mA}$ , $B_z=0.20\,\mathrm T$ , $t=0.10\,\mathrm{mm}$ . Bestimme U_H nach der Artikelkonvention.

Ein Elektronenmodell liefert $|U_{\rm H}|=1.0\,\mathrm{mV}$ bei $I=5.0\,\mathrm{mA}$ , $B_z=0.30\,\mathrm T$ , $t=0.20\,\mathrm{mm}$ . Bestimme n.

Bei $w=3.0\,\mathrm{mm}$ und $t=0.20\,\mathrm{mm}$ setzt eine Lösung w anstelle von t in die Hall-Spannungsformel. Um welchen Faktor ist ihr Betrag falsch?

Positive Träger mit $q=+e$ , $n=5\cdot10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}$ , $I=20\,\mathrm{mA}$ , $B_z=0.20\,\mathrm T$ , $t=0.10\,\mathrm{mm}$ . Bestimme U_H nach der Artikelkonvention.

Ein Elektronenmodell liefert $|U_{\rm H}|=1.0\,\mathrm{mV}$ bei $I=5.0\,\mathrm{mA}$ , $B_z=0.30\,\mathrm T$ , $t=0.20\,\mathrm{mm}$ . Bestimme n.

Bei $w=3.0\,\mathrm{mm}$ und $t=0.20\,\mathrm{mm}$ setzt eine Lösung w anstelle von t in die Hall-Spannungsformel. Um welchen Faktor ist ihr Betrag falsch?