Hesse-Matrix und lokaler Extremstellentest

Prüfe zuerst, ob der Gradient verschwindet. Für zwei Variablen berechnest du danach D=fxx·fyy−fxy². Ist D positiv und fxx positiv, liegt ein lokales Minimum vor; ist D positiv und fxx negativ, ein lokales Maximum. Bei negativem D ist der Punkt ein Sattelpunkt, weil die Funktion in verschiedenen Richtungen unterschiedlich gekrümmt ist. Ein positiver D-Wert allein reicht also nicht zur Unterscheidung von Minimum und Maximum. Der Test beschreibt nur das Verhalten in einer Umgebung des kritischen Punktes, nicht globale Extrema. Bei D<0 haben die Krümmungseigenwerte verschiedene Vorzeichen; das erklärt geometrisch den Sattel.

Bei D=0 ist die quadratische Näherung in mindestens einer Richtung entartet. Die zweiten Ableitungen reichen dann nicht aus, um das Vorzeichen der Funktionsänderung in allen Richtungen festzulegen. Ein Minimum, Maximum oder Sattelpunkt kann jeweils möglich sein. Zum Beispiel hat f=x⁴+y⁴ im Ursprung ein Minimum, während f=x²−y⁴ dort einen Sattelpunkt besitzt; in beiden Fällen kann die Hesse-Determinante null sein. Dann braucht man höhere Ableitungen, eine direkte Ungleichung oder eine andere lokale Analyse. Der korrekte Schluss lautet nicht „kein Extremum“, sondern „dieser Test entscheidet nicht“.

Der zweite Ableitungstest klassifiziert die Krümmung um einen stationären Punkt. Ist ∇f nicht null, gibt es bereits eine Richtung mit einer Änderung erster Ordnung; die quadratische Krümmung beschreibt dann nicht, ob der Punkt ein Extremum ist. Deshalb löst man zunächst fx=0 und fy=0 und setzt nur die gefundenen Kandidaten in die Hesse-Matrix ein. Auch danach ist die Prüfung nicht vollständig: Randpunkte, eingeschränkte Definitionsbereiche und Nebenbedingungen brauchen eigene Verfahren. Für ein globales Minimum muss man zusätzlich das Verhalten auf dem ganzen zulässigen Gebiet vergleichen. Randpunkte und stationäre Punkte unter Nebenbedingungen benötigen eigene Prüfungen.

Bei einer symmetrischen Hesse-Matrix sind die Eigenwerte die Hauptkrümmungen; ihre Produkt ist die Determinante D. Ist D negativ, haben die Eigenwerte verschiedene Vorzeichen und es gibt aufwärts- und abwärtsgekrümmte Richtungen: Der Punkt ist ein Sattel. Ist D positiv, haben beide dasselbe Vorzeichen; fxx entscheidet beim zweidimensionalen Test, ob beide positiv oder negativ sind. Für f=x²+2xy+3y² am Ursprung gilt H=[[2,2],[2,6]], D=8 und die Eigenwerte sind 4±2√2, beide positiv. Zusammen mit ∇f=0 folgt ein lokales Minimum. Das ersetzt keine Rand- oder Nebenbedingungsprüfung.

Nein. Die Hesse-Matrix untersucht nur die Krümmung in einer Umgebung des stationären Punkts. Eine Funktion kann dort ein Minimum besitzen und an einer anderen Stelle kleinere Werte annehmen. Für ein globales Minimum auf einem abgeschlossenen beschränkten Gebiet vergleichst du alle inneren kritischen Punkte mit den Randwerten; bei Nebenbedingungen brauchst du etwa Lagrange-Multiplikatoren. Auf unbeschränkten Gebieten muss zusätzlich das Verhalten für große Beträge der Variablen geprüft werden. Eine positive definite Hesse-Matrix am Punkt zeigt strikte lokale Krümmung nach oben, aber keine Kontrolle über entfernte Regionen. Formuliere daher das Ergebnis des Tests ausdrücklich als lokal.