Physik · Thermodynamik

Reversible isotherme Arbeit eines idealen Gases

Q: Was beschreibt diese Beziehung?

$W_{\mathrm{by}}=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}$ beschreibt die vom idealen Gas verrichtete Arbeit eines reversiblen isothermen Kolbenwegs bei fester Stoffmenge. Expansion hat positives, Kompression negatives Vorzeichen. T ist die konstante absolute Temperatur; $V_i$ und $V_f$ bezeichnen das zugängliche Gasvolumen in derselben Einheit. Arbeit am Gas hat unter der alternativen Konvention das entgegengesetzte Vorzeichen. Das logarithmische Ergebnis ist eine Wegeigenschaft: Gleiche Endzustände können bei endlicher Außenlast oder freier Expansion andere Arbeit liefern. Ein isothermer idealer Zustandsvergleich besitzt $\Delta U=0$, aber die tatsächliche Wärme folgt erst aus der vollständigen Prozessbilanz. Ein einzelner isothermer Ast bestimmt noch keinen Maschinenwirkungsgrad.

Q: Wie entsteht der Zusammenhang und was zeigt die Formelstruktur?

Beginne bei der tatsächlichen Kolbenarbeit $\delta W_{\mathrm{by}}=p_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV$. Im reibungsfreien reversiblen Grenzfall unterscheidet sich die äußere Last nur infinitesimal vom Gleichgewichtsdruck des Gases. Dann darf $p_{\mathrm{ext}}$ durch $p=\frac{nRT}{V}$ ersetzt werden. Bei festem n und konstantem T wird nRT aus dem Integral gezogen; $\int\frac{\mathrm dV}{V}$ liefert $\ln\frac{V_f}{V_i}$. Die dimensionslose Struktur erklärt, warum gleich große Volumenverhältnisse bei gleichem n,T dieselbe reversible Arbeit ergeben. Quasistatische Zustände allein garantieren bei Reibung keine Reversibilität. Ein endlicher Drucksprung verlangt weiterhin die tatsächliche Außenlast, und ein Vakuum liefert ohne Last keine Arbeit, obwohl sich das Gasvolumen vergrößert.

Q: Wie sieht eine geprüfte Zahlenrechnung aus?

Bei 0,300 mol und 360 K expandiert das Gas reversibel von 4,00 auf 12,00 L. $nRT=897{,}9619628\,\mathrm J$ und $\ln3$ ergeben $W_{\mathrm{rev}}=986{,}5120470\,\mathrm J$. Die absoluten Enddrücke sind 224490,4907 und 74830,16356 Pa. Im geschlossenen idealen Prozess ohne äußere Energieänderung oder weitere Arbeit gilt $Q_{\mathrm{rev}}=W_{\mathrm{rev}}$ und $\Delta U=0$. Die Arbeitsfläche liegt zwischen den Rechtecken $p_f\Delta V=598{,}6413\,\mathrm J$ und $p_i\Delta V=1795{,}9239\,\mathrm J$. Als zweite Kontrolle stimmt $\frac{Q_{\mathrm{rev}}}{T}=2{,}740311242\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ mit $nR\ln3$ überein. Dieselben Endzustände gegen konstante Außenlast pf liefern dagegen nur 598,6413 J; die logarithmische Formel darf nicht ungeprüft auf diese endliche Druckstufe übertragen werden.

Q: Unter welchen Voraussetzungen gilt diese Beziehung?

Nötig sind ideales Gas, feste Stoffmenge, konstante absolute Temperatur und ein mechanisch reversibler Kolbenweg ohne dissipative Lasten. Das Volumen bezeichnet den dem Gas tatsächlich zugänglichen Raum. Für die zusätzliche Gleichsetzung $Q=W_{\mathrm{by}}$ müssen das System geschlossen, äußere Bewegungs- und Lageenergie unverändert und weitere Arbeitsformen ausgeschlossen sein. Reale Gase können auch bei gleicher Temperatur volumenabhängige innere Energie besitzen. Leckage und offene Strömungsanlagen erfordern andere Bilanzen. Ein bloß langsam bewegter Kolben kann wegen Reibung weiterhin irreversibel sein. Der irreversible Verlauf ist mit tatsächlichem $p_{\mathrm{ext}}$ zu rechnen; die reversible Gleichgewichtskurve ist dann nur ein Vergleich, kein automatisch durchlaufener Arbeitsweg.

Q: Welcher häufige Fehler verändert das Ergebnis?

Isotherm bedeutet nicht automatisch reversibel. Bei freier Expansion in einen isolierten starren Gesamtbehälter sind $Q=W=\Delta U=0$ und die idealen Endtemperaturen gleich. $nRT\ln\frac{V_f}{V_i}$ wäre hier nur die Arbeit eines anderen reversiblen Vergleichswegs. Ein weiterer Fehler ist die Vorzeichenumkehr: $V_f<V_i$ liefert negative Arbeit des Gases, aber positive Arbeit am Gas. Der Logarithmus braucht außerdem ein dimensionsloses Verhältnis; beide Volumina dürfen in Litern stehen, wenn sich die Einheit kürzt. Einzelne Liter in pV mit Pascal müssen dagegen in m³ umgerechnet werden. Verwende natürliche Logarithmen und runde Zwischenwerte erst nach der Integration.

Bei reversibler isothermer Expansion eines idealen Gases ist die vom Gas verrichtete Arbeit logarithmisch vom Volumenverhältnis abhängig.

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Formel

Berechnen

W_{G a s} = n RT ln (\frac{V _{f}}{V _{i}})

W in J; n in mol; R in J/(mol·K); T in K; Volumenverhältnis dimensionslos.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
WGas	vom Gas an der Umgebung verrichtete Arbeit	J
$n$	Stoffmenge	mol
$R$	universelle Gaskonstante	J/(mol·K)
$T$	konstante absolute Temperatur	K
$Vi,Vf$	Anfangs- und Endvolumen	m³ oder L, gleiches Maß

LaTeX

W_{Gas}=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)

QUANTA STUDYquanta-study.de

Normierte reversible Druckkurve 1/u zwischen Volumenfaktoren 1 und 3. Darunter liegt eine horizontale Außenlast 1/3 mit kleinerer Arbeitsfläche. — Für n = 0,300 mol und T = 360 K bei Volumenfaktor 3: reversibel 986,51 J; konstante Außenlast 598,64 J. Die waagerechte Linie ist Außenlast, kein Gleichgewichtspfad des Gases.

Isotherme Arbeit berechnen

Arbeit und Wärme eines idealen Gases bei reversibler isothermer Expansion oder Kompression ausrechnen, oder das Endvolumen aus der Arbeit.

Rechenmodell

Gesucht

Feste Stoffmenge n

Stoffmenge des eingeschlossenen Gases, z. B. 1 mol.

Absolute Gleichgewichtstemperatur T

Konstante absolute Temperatur während des Vorgangs, z. B. 300 K; °C wird umgerechnet.

Positives Anfangsvolumen Vi

Volumen vor dem Vorgang, z. B. 10 L.

Positives Endvolumen Vf

Volumen danach, z. B. 20 L; kleiner als am Anfang heißt Kompression.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Arbeit vom Gas an die Umgebung Wby

Wby = 1,729 kJ

Mit n = 1 mol, T = 300 K, Vi = 10 L und Vf = 20 L ergibt sich Wby = 1,729 kJ.

Rechenweg · umstellen nach Wby, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach Wby umstellen
$W_{\rm by}=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- Vi = 10 L = 0,01 m³
- Vf = 20 L = 0,02 m³
$1\cdot 8{,}31446\cdot 300\cdot\ln\frac{0{,}02}{0{,}01}=1728{,}94$
3. Ergebnis
Wby = 1,729 kJ

So rechnest du schneller

Merkwert: Verdoppelt 1 mol bei 300 K sein Volumen, gibt es rund 1,73 kJ Arbeit ab. Das Volumen zu halbieren kostet genauso viel.
Vorzeichenprobe: Ist Vf größer als Vi, ist der Logarithmus positiv, das Gas gibt Arbeit ab und nimmt gleich viel Wärme auf. Bei Kompression kehrt sich beides um.

Annahmen und Grenzen

Geschlossene ideale Gasprobe mit fester Zusammensetzung und Stoffmenge, konstanter positiver absoluter Temperatur, reversibler reibungsfreier mechanisch quasistatischer Kolbenweg. Zugängliche Volumina positiv. Wby positiv bei Expansion, Won=−Wby. Q=Wby nur bei ausschließlich Volumenarbeit und unveränderter äußerer Bewegungs-/Lageenergie. Irreversible Arbeit folgt aus tatsächlicher Außenlast, nicht Endvolumina allein. n=0 nur formaler leerer-Probe-Grenzfall des Vorwärtsmodells.

Herleitung & Hintergrund

Tatsächliche Kolbenarbeit ist $W_{\mathrm{by}}=\int p_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV$ . Für den mechanisch reversiblen reibungsfreien idealen Gasweg bei festem n,T darf pext durch $p=\frac{nRT}{V}$ ersetzt werden; Integration ergibt $nRT\ln\frac{V_f}{V_i}$ . Quasistatik allein schließt Reibung nicht aus. Expansion liefert positive, Kompression negative Gasarbeit; Arbeit am Gas hat das entgegengesetzte Vorzeichen. Isotherme irreversible Endzustände bestimmen diese logarithmische Arbeit nicht.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Reversibler isothermer mechanisch quasistatischer reibungsfreier Kolbenweg eines idealen Gases mit festem n und positiven zugänglichen Vi,Vf. T in Kelvin, Volumenverhältnis dimensionslos. Tatsächliche irreversible Arbeit verwendet pext; langsam allein garantiert nicht Reversibilität.

Herleitung in Schritten

Bei einer isothermen Expansion bleibt die ideale innere Energie unverändert, doch das Gas kann Arbeit abgeben. Die logarithmische Formel beschreibt einen bestimmten reversiblen Weg. Gleiche Anfangs- und Endvolumina allein bestimmen die tatsächliche Arbeit noch nicht.

1Eine geschlossene ideale Gasprobe mit fester Stoffmenge und positiver konstanter Temperatur festlegen.
2Die tatsächliche Volumenarbeit verwendet die äußere Last: $\delta W_{\mathrm{by}}=p_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV$ .
3Nur im reibungsfreien mechanisch reversiblen Grenzfall darf $p_{\mathrm{ext}}$ durch $p=\frac{nRT}{V}$ ersetzt werden.
4Das konstante Produkt ausklammern: $W_{\mathrm{rev}}=nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{\mathrm dV}{V}$ .
5Das Integral ergibt $W_{\mathrm{rev}}=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}$ ; Expansion ist positiv, Kompression negativ.
6Bei gleicher idealer Endtemperatur ist $\Delta U=0$ . Ohne Änderungen äußerer Energien und weitere Arbeit folgt $Q=W_{\mathrm{by}}$ ; irreversible Arbeit weiterhin mit der tatsächlichen Last berechnen.

Umstellen

Volumenverhältnis

V_f/V_i=exp(W_Gas/(nRT))

W_Gas positiv bei Expansion gemäß Konvention.

Aufgabenvariante

Ein Mol ideales Gas bei 300 K expandiert reversibel isotherm von 10 auf 20 L. Berechne die Arbeit vom Gas und die Arbeit des reversiblen Rückwegs bei derselben Temperatur.

Ein Mol ideales Gas bei 300 K expandiert reversibel isotherm von 10 L auf 20 L.
$W_{\mathrm{by}}=RT\ln2\approx1{,}73\,\mathrm{kJ}$ .

Probe: Der reversible Rückweg halbiert das Endvolumen wieder auf 10 L und ergibt $W_{\mathrm{by}}\approx-1{,}73\,\mathrm{kJ}$ ; Betrag gleich, Vorzeichen umgekehrt.

Typische Fehler

Eine Variable mit falscher Bedeutung oder Einheit einsetzen und dadurch die Modellgrenze übergehen.

Ordne jede Variable ihrer Definition zu, gleiche die Einheiten an und nenne die Annahme, die hier gilt.

Klausurkontext

Aufgaben in Thermodynamik prüfen Formelwahl, Einheiten, Modellvoraussetzung und eine kurze Ergebnisprobe.

Formelcluster

Thermodynamik

Die isotherme Gasarbeit verbindet die ideale Gasgleichung mit dem ersten Hauptsatz und bildet einen Teil reversibler Wärmekraftmaschinenprozesse.

ΔU = Q − W

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

pV = nRT

Ideales Gasgesetz

η = 1 − T_k/T_w

Carnot-Wirkungsgrad

Rechenbeispiel

Ein Mol ideales Gas bei 300 K expandiert reversibel isotherm von 10 L auf 20 L. $W_{\mathrm{by}}=RT\ln2\approx1{,}73\,\mathrm{kJ}$ . Probe: Der reversible Rückweg halbiert das Endvolumen wieder auf 10 L und ergibt $W_{\mathrm{by}}\approx-1{,}73\,\mathrm{kJ}$ ; Betrag gleich, Vorzeichen umgekehrt.

Anwendungsgebiete

Zustandsänderungen, Wärmekraftmaschinen und den Unterschied zwischen Arbeit und Wärme analysieren.

Rechenbeispiel: Arbeit bei isothermer Expansion eines idealen Gases

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Arbeit bei isothermer Expansion eines idealen Gases (Wgas=nRT ln(Vf/Vi)).

1
Aufgabe
Ein Mol ideales Gas bei 300 K expandiert reversibel isotherm von 10 auf 20 L. Berechne die Arbeit vom Gas und die Arbeit des reversiblen Rückwegs bei derselben Temperatur.
Rechenweg
1. Ein Mol ideales Gas bei 300 K expandiert reversibel isotherm von 10 L auf 20 L.
2. $W_{\mathrm{by}}=RT\ln2\approx1{,}73\,\mathrm{kJ}$ .
Probe: Der reversible Rückweg halbiert das Endvolumen wieder auf 10 L und ergibt $W_{\mathrm{by}}\approx-1{,}73\,\mathrm{kJ}$ ; Betrag gleich, Vorzeichen umgekehrt.

Die Formel verstehen und anwenden

Weshalb ein Gas bei gleicher Temperatur Arbeit leisten kann

Ein Gas drückt einen Kolben nach außen und hebt damit eine Last. Dabei gibt es Energie als Arbeit ab. Bleibt seine Temperatur trotzdem konstant, muss während einer geeigneten isothermen Expansion Energie nachströmen. Der erste Hauptsatz erklärt diese Wärmeübertragung; die Gasgleichung liefert den Druckverlauf für den reversiblen Modellweg.[1][2]

Isotherm beschreibt die Temperaturbedingung. Reversibel beschreibt zusätzlich einen idealen Grenzprozess ohne dissipative Verluste und mit verschwindend kleinen treibenden Unterschieden. Eine schnelle Expansion gegen einen festen Außendruck kann dieselben Endzustände erreichen, ohne denselben Arbeitsbetrag zu liefern.[1]

Für den Logarithmusweg brauchst du eine geschlossene ideale Gasprobe mit fester Zusammensetzung, eine positive konstante absolute Temperatur und reversible Volumenarbeit. Wir zählen Arbeit positiv, wenn das Gas sie an die Umgebung abgibt. Dieser Vorzeichenbezug bleibt auch bei einer Kompression gleich.[1]

Welches Arbeitsvorzeichen gilt bei reversibler isothermer Expansion und Kompression?

W_{\mathrm{by,rev}}=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}

Expansion liefert positive Arbeit des Gases; die reversible Kompression hat negatives Vorzeichen.[1]

n ist die feste Stoffmenge, T die konstante absolute Gastemperatur und V das tatsächlich zugängliche Gasvolumen. Vi und Vf müssen im selben Maß stehen. Ein Literverhältnis ist daher zulässig, einzelne Liter in pV mit Pascal dagegen nicht ohne Umrechnung. Unter der Konvention Arbeit am Gas positiv lautet dieselbe Übertragung $W_{\mathrm{on}}=-W_{\mathrm{by}}$ .[1]

Vom bewegten Kolben zum Logarithmus

Der Druck nimmt während der Expansion ab. Ein einzelnes Produkt aus Anfangsdruck und gesamter Volumenänderung überschätzt deshalb die reversible Arbeit. Wir zerlegen den Weg in kleine Volumenschritte, addieren die Beiträge $p\,\mathrm dV$ und gehen zum Integral über.[1]

\begin{aligned}\delta W_{\mathrm{by}}&=p_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV\\W_{\mathrm{by,rev}}&=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,\mathrm dV\\&=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}\end{aligned}

Im reversiblen reibungsfreien Grenzfall stimmen Innen- und Außenlast bis auf eine infinitesimale Differenz überein.[1]

Die äußere Last bestimmt die tatsächlich nach außen verrichtete Kolbenarbeit. Erst mechanische Quasistatik ohne dissipative Lasten erlaubt, sie durch den Gleichgewichtsdruck des Gases zu ersetzen. Mit idealer Zustandsgleichung und konstantem T ist $p(V)=\frac{nRT}{V}$ ; das Integral von $\frac1V$ ergibt den natürlichen Logarithmus. Quasistatisch bedeutet langsam genug für definierte Zustände, aber garantiert bei Reibung allein noch keine Reversibilität.[1]

Gleiche Endzustände, verschiedene Arbeitsflächen

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Die durchgezogene Kurve ist der reversible Arbeitsdruck aus Beispiel 1; die gestrichelte Linie ist der konstante Außendruck aus Beispiel 2. Die Fläche unter dem jeweils verwendeten Arbeitsdruck liefert etwa 986,5 J beziehungsweise 598,6 J. Die zweite Linie ist kein Gleichgewichtspfad des Gasdrucks. Hier gilt numerisch

1\,\mathrm{kPa}\cdot1\,\mathrm L=1\,\mathrm J

.[1]

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Wärme ersetzt die abgegebene Energie

\begin{aligned}\Delta U&=0\\Q&=W_{\mathrm{by}}\\\Delta S_{\mathrm{gas}}&=nR\ln\frac{V_f}{V_i}\end{aligned}

Dies betrifft festes n eines idealen Gases im geschlossenen System ohne Änderung äußerer Bewegungs-/Lageenergie und ohne weitere Arbeitsformen.[2][3]

U hängt im idealen Modell bei fester Zusammensetzung nur von T ab, nicht vom Volumen. Während der reversiblen isothermen Expansion nimmt das Gas laufend Wärme auf, um die abgegebene Arbeit zu ersetzen. Eine adiabatische Expansion ist deshalb kein austauschbarer Weg. Entropie ist eine Zustandsgröße: Ihre gleiche Änderung kann bei einem irreversiblen Weg mit anderer Wärme und zusätzlicher Erzeugung erreicht werden. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik prüft diese Prozessbilanz mit derselben durchgehend gewählten Arbeitskonvention.[2][3]

Drei Beispiele mit unterschiedlichen Wegen

Dreifaches Volumen im reversiblen Vergleich

Gegeben: $n=0{,}300\,\mathrm{mol}$ , $T=360\,\mathrm K$ , $V_i=4{,}00\,\mathrm L$ , $V_f=12{,}00\,\mathrm L$ . Geschlossenes ideales Gas im reversiblen isothermen reibungsfreien Kolbenprozess.
Gesucht: Bestimme Arbeit, Wärme und Enddrücke.

Ansatz: Der Vergleichsweg ist reversibel und isotherm. $W_{\mathrm{rev}}=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}$ . Energieskala und Verhältnis bestimmen.
$\begin{aligned}nRT&=897.9619628\,\mathrm J\\{} \frac{V_f}{V_i}&=3\end{aligned}$
Integration auswerten.
$W_{rev}=nRT\ln3=986.5120470\,\mathrm J$
Liter für die Druckrechnung umrechnen.
$\begin{aligned}p_i&\approx224490.4907\,\mathrm{Pa}\\p_f&\approx74830.16356\,\mathrm{Pa}\end{aligned}$

Ergebnis: Das Gas leistet etwa 986,51 J Arbeit und nimmt dieselbe Wärme auf. $\Delta U=0$ ; der Absolutdruck fällt auf ein Drittel.

Kontrolle: Die Fläche liegt zwischen dem Enddruckrechteck von 598,64 J und dem Anfangsdruckrechteck von 1795,92 J. Außerdem gilt $\frac{Q_{\mathrm{rev}}}{T}=2{,}740311242\,\mathrm{J\,K^{-1}}=nR\ln3$ . Die geometrische und die Entropiekontrolle sind damit konsistent.

Dieselben Endzustände gegen konstante Außenlast

Gegeben: Dieselbe Stoffmenge und dieselben Endzustände wie zuvor. Konstanter Außendruck $p_{\mathrm{ext}}=p_f=74830{,}16356\,\mathrm{Pa}$ . Ein Wärmebad bei 360 K stellt die gleiche Endtemperatur her. Keine weitere Arbeit; äußere Energien sind anfangs und am Ende gleich.
Gesucht: Berechne tatsächliche Arbeit und gesamte Entropieänderung.

Ansatz: Die tatsächliche konstante Außenlast bestimmt die Arbeit. $W_{\mathrm{Last}}=p_{\mathrm{ext}}(V_f-V_i)$ . Tatsächliche Last statt reversibler Gasdruckkurve integrieren.
$W_{step}=p_{ext}(V_f-V_i)=598.6413085\,\mathrm J$
Gleiche ideale End-T liefert $\Delta U=0$ .
$\begin{aligned}Q_{step}&=W_{step}\\{} \Delta S_{bath}&=-\frac{Q_{\mathrm{step}}}{360}\end{aligned}$
Gaszustandsänderung und Wärmebad addieren.
$\Delta S_{total}=2.740311242-1.662892524=1.077418718\,\mathrm{J/K}$

Ergebnis: Die endliche Stufe liefert etwa 598,64 J statt 986,51 J und erzeugt insgesamt 1,07742 J/K Entropie.

Kontrolle: Die Gasendzustände und ΔSgas sind gleich. Ob T während jeder transienten Phase wohldefiniert bleibt, wird nicht behauptet; für Arbeit genügt konstante Last und für Q die vollständige Endzustandsbilanz.

Bei der folgenden Kompression bleibt im geschlossenen idealen Gas die innere Energie unverändert. Arbeit hinein und Wärme hinaus müssen sich deshalb bilanziell ausgleichen.[1][2]

Kompression: wohin geht die zugeführte Arbeit?

Gegeben: $n=0{,}200\,\mathrm{mol}$ , $T=320\,\mathrm K$ , $V_i=6{,}00\,\mathrm L$ , $V_f=3{,}00\,\mathrm L$ . Geschlossenes ideales Gas, reversible isotherme Kompression; keine Änderungen äußerer Energien.
Gesucht: Gesucht sind Arbeit vom Gas, Arbeit am Gas und Wärme.

Ansatz: Das Volumenverhältnis ist kleiner als eins. Sein natürlicher Logarithmus wird negativ. Bei unverändertem idealem Gas und gleicher Temperatur bleibt die innere Energie gleich.
$\begin{aligned}W_{\mathrm{by}}&=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}\\W_{\mathrm{on}}&=-W_{\mathrm{by}}\\Q&=W_{\mathrm{by}}\quad(\Delta U=0)\end{aligned}$
Einsetzen: Beide Volumina können im Verhältnis in Litern bleiben.
$\begin{aligned}W_{\mathrm{by}}&=(0.200)(8.314462618)(320)\ln\frac{3.00}{6.00}\,\mathrm J\\&\approx-368.841\,\mathrm J\\W_{\mathrm{on}}&\approx+368.841\,\mathrm J\\Q&\approx-368.841\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: Am Gas werden etwa 369 J Arbeit verrichtet; es gibt dieselbe Energie als Wärme ab.

Kontrolle: Kontrolle: $Q-W_{\mathrm{by}}=0$ . Für den reversiblen Rückweg bei derselben Temperatur wechselt das Logarithmusargument zum Kehrwert und die Arbeit erhält das entgegengesetzte Vorzeichen. Ohne Wärmeabgabe wäre diese Kompression nicht isotherm.

Isotherm ist keine Garantie für logarithmische Arbeit

Bei freier Expansion in Vakuum ist $p_{\mathrm{ext}}=0$ und $W_{\mathrm{by}}=0$ . Für eine isolierte starre Anordnung gilt auch $Q=0$ ; im idealen Modell bleibt zwischen den Gleichgewichtsendzuständen T gleich. Trotzdem wächst die Gasentropie. Ein realer Verlauf kann zwischenzeitlich inhomogen sein, weshalb eine Gleichgewichtskurve p(V) nicht sein tatsächlicher Arbeitsweg ist. Die Entropieänderung entlang eines reversiblen Wegs kann diese gleichen Endzustände vergleichen, ohne dem tatsächlichen freien Expansionsweg eine Wärmeübertragung zuzuschreiben.[2][3]

Reale Gase verlangen eine passende Zustandsgleichung und können auch bei gleichem T volumenabhängige U besitzen. Leckage, Strömungsanlagen, Kolbenreibung und zusätzliche elektrische Arbeit ändern die Bilanz. Bei gleichem Anfangszustand, vorgegebener Expansion und einem einzigen Wärmebad ist der reversible Vergleich die maximale Arbeitsabgabe; dieser Vergleich braucht dieselben Randbedingungen.[1][2]

Wie bestimmt man das Volumenverhältnis aus reversibler Arbeit?

\begin{aligned}\frac{V_f}{V_i}&=\exp\left(\frac{W_{rev}}{nRT}\right)\\{} T&=\frac{W_{rev}}{nR\ln(\frac{V_f}{V_i})}\end{aligned}

Die Temperaturumstellung verlangt ein von 1 verschiedenes Volumenverhältnis und den reversiblen Modellweg.[1]

Bei kleiner relativer Änderung $\varepsilon=\frac{V_f-V_i}{V_i}$ folgt $\ln(1+\varepsilon)\approx\varepsilon$ . Dann ergibt $nRT\varepsilon$ näherungsweise $p_i\Delta V$ . Für größere Expansion überschätzt diese Startdruck-Rechteckfläche die echte reversible Arbeit, weil p währenddessen fällt. Der natürliche Logarithmus ist dimensionslos; Logarithmus einer einzelnen dimensionalen Literzahl wäre nicht zulässig.[1]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

0,45 mol ideales Gas bei 310 K werden reversibel isotherm von 5 auf 2 L komprimiert. Finde die Arbeit $W_{\mathrm{by}}$ vom Gas.

Hinweis anzeigen

$\frac{V_f}{V_i}$ <1.

Lernziel: Reversible Kompressionsarbeit mit der gewählten Arbeitsvorzeichenkonvention berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Für den reversiblen isothermen Weg den natürlichen Logarithmus des Volumenverhältnisses einsetzen.
Die Kompression macht den Logarithmus negativ.
Arbeit am Gas ist etwa +1062,78 J; die Arbeit vom Gas und die Wärme sind negativ.

Kontrolle: Gleiche ideale Endtemperaturen bedeuten $\Delta U=0$ , also müssen sich Wärme und Arbeit in der Energiebilanz aufheben.

\begin{aligned}W_{\mathrm{by}}&=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}\\&=(0.45)(8.314462618)(310)\ln\frac25\,\mathrm J\\&\approx-1062.775873\,\mathrm J\\W_{\mathrm{on}}&=-W_{\mathrm{by}}\\Q&=W_{\mathrm{by}}\end{aligned}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein reversibler Weg hat $W=nRT\ln4$ . Wie groß ist $\frac{V_f}{V_i}$ ?

Hinweis anzeigen

Exponentialfunktion anwenden.

Lernziel: Das Volumenverhältnis aus einer logarithmischen Arbeitsangabe erschließen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Arbeitsgleichung durch das positive Produkt aus Stoffmenge, Gaskonstante und Temperatur teilen und exponentieren.
Das Volumenverhältnis beträgt vier.

Kontrolle: Der reversible Rückweg bei derselben Temperatur benutzt den Kehrwert und liefert die entgegengesetzte Arbeit; die Nettoarbeit ist null.

\begin{aligned}\frac{W}{nRT}&=\ln\frac{V_f}{V_i}=\ln4\\\frac{V_f}{V_i}&=\exp(\ln4)=4\\W_{\mathrm{return}}&=nRT\ln\frac14=-W\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Ein idealer Gasanteil expandiert frei in einen isolierten starren Gesamtbehälter von V auf 2V. Welche Werte haben Q,W und ΔU?

Hinweis anzeigen

Tatsächlicher Weg ist keine reversible Kurve.

Lernziel: Bei freier isolierter Expansion Wärme, Arbeit und innere Energie trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die tatsächlichen Übertragungswege prüfen.
Die isolierte starre äußere Grenze lässt weder Wärme noch Arbeit zu; die freie Expansion gegen Vakuum liefert ebenfalls keine Volumenarbeit.
Deshalb bleibt die innere Energie gleich und im idealen Modell auch die Endtemperatur.
Die Entropie steigt trotzdem.

Kontrolle: Die reversible Vergleichsarbeit gehört zu einem anderen Prozess und darf hier nicht eingesetzt werden.

\begin{aligned}Q&=0\\W&=0\\\Delta U&=Q-W=0\\T_f&=T_i\\\Delta S&=nR\ln\frac{2V}{V}=nR\ln2>0\end{aligned}

Interpretieren · Vertiefen

Ein ideales Gas hat während einer Expansion konstante Temperatur mit $nRT=600\,\mathrm J$ . Es geht von 2,0 L auf 4,0 L. Weg A ist reversibel quasistatisch; Weg B erfolgt gegen konstanten Außendruck 150 kPa und endet im Gleichgewicht. Vergleiche die vom Gas geleistete Arbeit und die zugeführte Wärme. Äußere kinetische Energien sind im Anfangs- und Endzustand null.

Hinweis anzeigen

Für A integriert man den Gasdruck; für B den konstanten Außendruck. Bei diesem idealen Gas ist ΔU für beide isothermen Wege null.

Lernziel: Arbeit als Weggröße beim gleichen isothermen Zustandswechsel vergleichen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die jeweilige Fläche unter dem Arbeitsdruck im Volumenbereich bestimmen.
Reversibel sind es rund 415,89 J, gegen konstanten Außendruck 300 J.
Mit $\Delta U=Q-W$ und $\Delta U=0$ ist die zugeführte Wärme jeweils gleich der Arbeit.

Kontrolle: Der Enddruck des Gases beträgt tatsächlich 150 kPa. Gleiche Endzustände und Temperatur bedeuten also nicht gleiche Arbeit oder Wärme.

\begin{aligned}W_A&=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}=600\ln2\,\mathrm J\approx415.89\,\mathrm J\\{}W_B&=p_{\mathrm{ext}}(V_f-V_i)=(150\,000)(0.0020)\,\mathrm J=300\,\mathrm J\\{}Q_A&=W_A\\{}Q_B&=W_B\\{}p_f&=\frac{600\,\mathrm J}{0.0040\,\mathrm{m^3}}=150\,\mathrm{kPa}\end{aligned}

[1][2]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein ideales Gas expandiert reversibel isotherm von 1,0 L auf 10,0 L bei $nRT=200\,\mathrm J$ . Eine Lösung nutzt den Zehnerlogarithmus und erhält $W=200\,\mathrm J$ . Korrigiere den Wert und erkläre, warum nicht einfach jeder Logarithmus dieselbe Formel erfüllt. W ist die vom Gas geleistete Arbeit.

Hinweis anzeigen

Das Integral von $\frac1V$ ist ln V. Ein anderer Logarithmus benötigt einen Umrechnungsfaktor; das Argument muss dimensionslos sein.

Lernziel: Den natürlichen Logarithmus mit dem Arbeitsintegral verbinden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Arbeit aus dem Integral des reversiblen Gasdrucks bestimmen.
Es entsteht der natürliche Logarithmus des Volumenverhältnisses, daher rund 460,52 J.
Mit dem Zehnerlogarithmus müsste zusätzlich ln 10 multipliziert werden.

Kontrolle: Der Exponent der inversen Beziehung liefert mit der richtigen Arbeit das Volumenverhältnis 10; mit 200 J käme stattdessen nur e heraus.

\begin{aligned}W&=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,\mathrm dV=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}\\&=200\ln10\,\mathrm J\approx460.52\,\mathrm J\\\ln x&=(\ln10)\log_{10}x\\\exp\!\left(\frac{W}{nRT}\right)&=10\end{aligned}

[1]

Arbeitsflächen sinnvoll vergleichen

Für ein Mol bei 300 K und Volumenverdopplung bleibt das reversible Ergebnis 1728,943896 J, ungefähr 1,73 kJ. Im p–V-Diagramm bedeutet die Fläche unter der reversiblen Isotherme Arbeit, nicht gespeicherte innere Energie. Ein rechteckiger Außenlastweg und eine gekrümmte reversible Kurve müssen gemeinsame Achsenskalierung besitzen; sonst vermittelt die Grafik eine falsche Arbeitsreihenfolge.[1]

In einem Wärmemaschinenzyklus ist ein einzelner isothermer Ast nur ein Teil der gesamten Arbeit. Für den Nettoeffekt müssen alle Äste mit derselben Vorzeichenkonvention addiert werden. Aus einem Ast allein lässt sich weder der Maschinenwirkungsgrad noch die tatsächlich benötigte Antriebsleistung ohne Zeitangabe bestimmen.[2]

Das Wichtigste für die nächste Rechnung

Für reversible isotherme Volumenarbeit gilt $W_{\mathrm{by}}=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}$ . Die Formel beschreibt einen bestimmten Weg. Im geschlossenen idealen Gas ist die innere Energie bei gleicher Temperatur unverändert; unter den genannten Energiebilanzbedingungen gilt deshalb $Q=W_{\mathrm{by}}$ .[1][2]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften und fachlich passende Absatzlinks präzisiert; bestehende wissenschaftliche Erklärungen, Beispiele und Aufgaben erhalten.
1. Oktober 2026Erklärungen und Lernübergänge ausgearbeitet, ein weiteres vollständiges Beispiel und ein eigenes quantitatives Diagramm ergänzt; Voraussetzungen und Rechenwege präzisiert.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.

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Quanta. Arbeit bei isothermer Expansion eines idealen Gases. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/isotherme-arbeit-ideales-gas

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

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Häufige Fragen: Arbeit bei isothermer Expansion eines idealen Gases

Was beschreibt diese Beziehung?+

$W_{\mathrm{by}}=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}$ beschreibt die vom idealen Gas verrichtete Arbeit eines reversiblen isothermen Kolbenwegs bei fester Stoffmenge. Expansion hat positives, Kompression negatives Vorzeichen. T ist die konstante absolute Temperatur; $V_i$ und $V_f$ bezeichnen das zugängliche Gasvolumen in derselben Einheit. Arbeit am Gas hat unter der alternativen Konvention das entgegengesetzte Vorzeichen. Das logarithmische Ergebnis ist eine Wegeigenschaft: Gleiche Endzustände können bei endlicher Außenlast oder freier Expansion andere Arbeit liefern. Ein isothermer idealer Zustandsvergleich besitzt $\Delta U=0$ , aber die tatsächliche Wärme folgt erst aus der vollständigen Prozessbilanz. Ein einzelner isothermer Ast bestimmt noch keinen Maschinenwirkungsgrad.

Wie entsteht der Zusammenhang und was zeigt die Formelstruktur?+

Beginne bei der tatsächlichen Kolbenarbeit $\delta W_{\mathrm{by}}=p_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV$ . Im reibungsfreien reversiblen Grenzfall unterscheidet sich die äußere Last nur infinitesimal vom Gleichgewichtsdruck des Gases. Dann darf $p_{\mathrm{ext}}$ durch $p=\frac{nRT}{V}$ ersetzt werden. Bei festem n und konstantem T wird nRT aus dem Integral gezogen; $\int\frac{\mathrm dV}{V}$ liefert $\ln\frac{V_f}{V_i}$ . Die dimensionslose Struktur erklärt, warum gleich große Volumenverhältnisse bei gleichem n,T dieselbe reversible Arbeit ergeben. Quasistatische Zustände allein garantieren bei Reibung keine Reversibilität. Ein endlicher Drucksprung verlangt weiterhin die tatsächliche Außenlast, und ein Vakuum liefert ohne Last keine Arbeit, obwohl sich das Gasvolumen vergrößert.

Wie sieht eine geprüfte Zahlenrechnung aus?+

Bei 0,300 mol und 360 K expandiert das Gas reversibel von 4,00 auf 12,00 L. $nRT=897{,}9619628\,\mathrm J$ und $\ln3$ ergeben $W_{\mathrm{rev}}=986{,}5120470\,\mathrm J$ . Die absoluten Enddrücke sind 224490,4907 und 74830,16356 Pa. Im geschlossenen idealen Prozess ohne äußere Energieänderung oder weitere Arbeit gilt $Q_{\mathrm{rev}}=W_{\mathrm{rev}}$ und $\Delta U=0$ . Die Arbeitsfläche liegt zwischen den Rechtecken $p_f\Delta V=598{,}6413\,\mathrm J$ und $p_i\Delta V=1795{,}9239\,\mathrm J$ . Als zweite Kontrolle stimmt $\frac{Q_{\mathrm{rev}}}{T}=2{,}740311242\,\mathrm{J\,K^{-1}}$ mit $nR\ln3$ überein. Dieselben Endzustände gegen konstante Außenlast pf liefern dagegen nur 598,6413 J; die logarithmische Formel darf nicht ungeprüft auf diese endliche Druckstufe übertragen werden.

Unter welchen Voraussetzungen gilt diese Beziehung?+

Nötig sind ideales Gas, feste Stoffmenge, konstante absolute Temperatur und ein mechanisch reversibler Kolbenweg ohne dissipative Lasten. Das Volumen bezeichnet den dem Gas tatsächlich zugänglichen Raum. Für die zusätzliche Gleichsetzung $Q=W_{\mathrm{by}}$ müssen das System geschlossen, äußere Bewegungs- und Lageenergie unverändert und weitere Arbeitsformen ausgeschlossen sein. Reale Gase können auch bei gleicher Temperatur volumenabhängige innere Energie besitzen. Leckage und offene Strömungsanlagen erfordern andere Bilanzen. Ein bloß langsam bewegter Kolben kann wegen Reibung weiterhin irreversibel sein. Der irreversible Verlauf ist mit tatsächlichem $p_{\mathrm{ext}}$ zu rechnen; die reversible Gleichgewichtskurve ist dann nur ein Vergleich, kein automatisch durchlaufener Arbeitsweg.

Welcher häufige Fehler verändert das Ergebnis?+

Isotherm bedeutet nicht automatisch reversibel. Bei freier Expansion in einen isolierten starren Gesamtbehälter sind $Q=W=\Delta U=0$ und die idealen Endtemperaturen gleich. $nRT\ln\frac{V_f}{V_i}$ wäre hier nur die Arbeit eines anderen reversiblen Vergleichswegs. Ein weiterer Fehler ist die Vorzeichenumkehr: $V_f<V_i$ liefert negative Arbeit des Gases, aber positive Arbeit am Gas. Der Logarithmus braucht außerdem ein dimensionsloses Verhältnis; beide Volumina dürfen in Litern stehen, wenn sich die Einheit kürzt. Einzelne Liter in pV mit Pascal müssen dagegen in m³ umgerechnet werden. Verwende natürliche Logarithmen und runde Zwischenwerte erst nach der Integration.

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Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Volume 2, §3.2: Work, Heat, and Internal Energy.

Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

Q = m \cdot c \cdot \Delta T

Wärmekapazität (Q = m·c·ΔT)

P = \sigma \cdot A \cdot T^4

Stefan-Boltzmann-Gesetz

\Delta L = \alpha L_0 \Delta T

Lineare Wärmeausdehnung

Q = m L

Latente Wärme beim Phasenwechsel

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Reversible isotherme Arbeit eines idealen Gases

Bei reversibler isothermer Expansion eines idealen Gases ist die vom Gas verrichtete Arbeit logarithmisch vom Volumenverhältnis abhängig.

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Symbol

Bedeutung

Einheit

WGas

vom Gas an der Umgebung verrichtete Arbeit

n

Stoffmenge

mol

R

universelle Gaskonstante

J/(mol·K)

T

konstante absolute Temperatur

Vi,Vf

Anfangs- und Endvolumen

m³ oder L, gleiches Maß

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

1Eine geschlossene ideale Gasprobe mit fester Stoffmenge und positiver konstanter Temperatur festlegen.
2Die tatsächliche Volumenarbeit verwendet die äußere Last: $\delta W_{\mathrm{by}}=p_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV$ .
3Nur im reibungsfreien mechanisch reversiblen Grenzfall darf $p_{\mathrm{ext}}$ durch $p=\frac{nRT}{V}$ ersetzt werden.
4Das konstante Produkt ausklammern: $W_{\mathrm{rev}}=nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{\mathrm dV}{V}$ .
5Das Integral ergibt $W_{\mathrm{rev}}=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}$ ; Expansion ist positiv, Kompression negativ.
6Bei gleicher idealer Endtemperatur ist $\Delta U=0$ . Ohne Änderungen äußerer Energien und weitere Arbeit folgt $Q=W_{\mathrm{by}}$ ; irreversible Arbeit weiterhin mit der tatsächlichen Last berechnen.

Rechenbeispiel: Arbeit bei isothermer Expansion eines idealen Gases

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Arbeit bei isothermer Expansion eines idealen Gases (Wgas=nRT ln(Vf/Vi)).

Aufgabe

Ein Mol ideales Gas bei 300 K expandiert reversibel isotherm von 10 auf 20 L. Berechne die Arbeit vom Gas und die Arbeit des reversiblen Rückwegs bei derselben Temperatur.

Rechenweg

Ein Mol ideales Gas bei 300 K expandiert reversibel isotherm von 10 L auf 20 L.
$W_{\mathrm{by}}=RT\ln2\approx1{,}73\,\mathrm{kJ}$ .

Probe: Der reversible Rückweg halbiert das Endvolumen wieder auf 10 L und ergibt $W_{\mathrm{by}}\approx-1{,}73\,\mathrm{kJ}$ ; Betrag gleich, Vorzeichen umgekehrt.

Weshalb ein Gas bei gleicher Temperatur Arbeit leisten kann

Welches Arbeitsvorzeichen gilt bei reversibler isothermer Expansion und Kompression?

W_{\mathrm{by,rev}}=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}

Expansion liefert positive Arbeit des Gases; die reversible Kompression hat negatives Vorzeichen.[1]

Vom bewegten Kolben zum Logarithmus

\begin{aligned}\delta W_{\mathrm{by}}&=p_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV\\W_{\mathrm{by,rev}}&=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,\mathrm dV\\&=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}\end{aligned}

Im reversiblen reibungsfreien Grenzfall stimmen Innen- und Außenlast bis auf eine infinitesimale Differenz überein.[1]

Gleiche Endzustände, verschiedene Arbeitsflächen

QUANTA STUDYquanta-study.de

1\,\mathrm{kPa}\cdot1\,\mathrm L=1\,\mathrm J

.[1]

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Wärme ersetzt die abgegebene Energie

\begin{aligned}\Delta U&=0\\Q&=W_{\mathrm{by}}\\\Delta S_{\mathrm{gas}}&=nR\ln\frac{V_f}{V_i}\end{aligned}

Dies betrifft festes n eines idealen Gases im geschlossenen System ohne Änderung äußerer Bewegungs-/Lageenergie und ohne weitere Arbeitsformen.[2][3]

Drei Beispiele mit unterschiedlichen Wegen

Dreifaches Volumen im reversiblen Vergleich

Gegeben: $n=0{,}300\,\mathrm{mol}$ , $T=360\,\mathrm K$ , $V_i=4{,}00\,\mathrm L$ , $V_f=12{,}00\,\mathrm L$ . Geschlossenes ideales Gas im reversiblen isothermen reibungsfreien Kolbenprozess.
Gesucht: Bestimme Arbeit, Wärme und Enddrücke.

Ansatz: Der Vergleichsweg ist reversibel und isotherm. $W_{\mathrm{rev}}=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}$ . Energieskala und Verhältnis bestimmen.
$\begin{aligned}nRT&=897.9619628\,\mathrm J\\{} \frac{V_f}{V_i}&=3\end{aligned}$
Integration auswerten.
$W_{rev}=nRT\ln3=986.5120470\,\mathrm J$
Liter für die Druckrechnung umrechnen.
$\begin{aligned}p_i&\approx224490.4907\,\mathrm{Pa}\\p_f&\approx74830.16356\,\mathrm{Pa}\end{aligned}$

Ergebnis: Das Gas leistet etwa 986,51 J Arbeit und nimmt dieselbe Wärme auf. $\Delta U=0$ ; der Absolutdruck fällt auf ein Drittel.

Dieselben Endzustände gegen konstante Außenlast

Gegeben: Dieselbe Stoffmenge und dieselben Endzustände wie zuvor. Konstanter Außendruck $p_{\mathrm{ext}}=p_f=74830{,}16356\,\mathrm{Pa}$ . Ein Wärmebad bei 360 K stellt die gleiche Endtemperatur her. Keine weitere Arbeit; äußere Energien sind anfangs und am Ende gleich.
Gesucht: Berechne tatsächliche Arbeit und gesamte Entropieänderung.

Ansatz: Die tatsächliche konstante Außenlast bestimmt die Arbeit. $W_{\mathrm{Last}}=p_{\mathrm{ext}}(V_f-V_i)$ . Tatsächliche Last statt reversibler Gasdruckkurve integrieren.
$W_{step}=p_{ext}(V_f-V_i)=598.6413085\,\mathrm J$
Gleiche ideale End-T liefert $\Delta U=0$ .
$\begin{aligned}Q_{step}&=W_{step}\\{} \Delta S_{bath}&=-\frac{Q_{\mathrm{step}}}{360}\end{aligned}$
Gaszustandsänderung und Wärmebad addieren.
$\Delta S_{total}=2.740311242-1.662892524=1.077418718\,\mathrm{J/K}$

Ergebnis: Die endliche Stufe liefert etwa 598,64 J statt 986,51 J und erzeugt insgesamt 1,07742 J/K Entropie.

Bei der folgenden Kompression bleibt im geschlossenen idealen Gas die innere Energie unverändert. Arbeit hinein und Wärme hinaus müssen sich deshalb bilanziell ausgleichen.[1][2]

Kompression: wohin geht die zugeführte Arbeit?

Gegeben: $n=0{,}200\,\mathrm{mol}$ , $T=320\,\mathrm K$ , $V_i=6{,}00\,\mathrm L$ , $V_f=3{,}00\,\mathrm L$ . Geschlossenes ideales Gas, reversible isotherme Kompression; keine Änderungen äußerer Energien.
Gesucht: Gesucht sind Arbeit vom Gas, Arbeit am Gas und Wärme.

Ansatz: Das Volumenverhältnis ist kleiner als eins. Sein natürlicher Logarithmus wird negativ. Bei unverändertem idealem Gas und gleicher Temperatur bleibt die innere Energie gleich.
$\begin{aligned}W_{\mathrm{by}}&=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}\\W_{\mathrm{on}}&=-W_{\mathrm{by}}\\Q&=W_{\mathrm{by}}\quad(\Delta U=0)\end{aligned}$
Einsetzen: Beide Volumina können im Verhältnis in Litern bleiben.
$\begin{aligned}W_{\mathrm{by}}&=(0.200)(8.314462618)(320)\ln\frac{3.00}{6.00}\,\mathrm J\\&\approx-368.841\,\mathrm J\\W_{\mathrm{on}}&\approx+368.841\,\mathrm J\\Q&\approx-368.841\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: Am Gas werden etwa 369 J Arbeit verrichtet; es gibt dieselbe Energie als Wärme ab.

Isotherm ist keine Garantie für logarithmische Arbeit

Wie bestimmt man das Volumenverhältnis aus reversibler Arbeit?

\begin{aligned}\frac{V_f}{V_i}&=\exp\left(\frac{W_{rev}}{nRT}\right)\\{} T&=\frac{W_{rev}}{nR\ln(\frac{V_f}{V_i})}\end{aligned}

Die Temperaturumstellung verlangt ein von 1 verschiedenes Volumenverhältnis und den reversiblen Modellweg.[1]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

0,45 mol ideales Gas bei 310 K werden reversibel isotherm von 5 auf 2 L komprimiert. Finde die Arbeit $W_{\mathrm{by}}$ vom Gas.

Hinweis anzeigen

$\frac{V_f}{V_i}$ <1.

Lernziel: Reversible Kompressionsarbeit mit der gewählten Arbeitsvorzeichenkonvention berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Für den reversiblen isothermen Weg den natürlichen Logarithmus des Volumenverhältnisses einsetzen.
Die Kompression macht den Logarithmus negativ.
Arbeit am Gas ist etwa +1062,78 J; die Arbeit vom Gas und die Wärme sind negativ.

Kontrolle: Gleiche ideale Endtemperaturen bedeuten $\Delta U=0$ , also müssen sich Wärme und Arbeit in der Energiebilanz aufheben.

\begin{aligned}W_{\mathrm{by}}&=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}\\&=(0.45)(8.314462618)(310)\ln\frac25\,\mathrm J\\&\approx-1062.775873\,\mathrm J\\W_{\mathrm{on}}&=-W_{\mathrm{by}}\\Q&=W_{\mathrm{by}}\end{aligned}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein reversibler Weg hat $W=nRT\ln4$ . Wie groß ist $\frac{V_f}{V_i}$ ?

Hinweis anzeigen

Exponentialfunktion anwenden.

Lernziel: Das Volumenverhältnis aus einer logarithmischen Arbeitsangabe erschließen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Arbeitsgleichung durch das positive Produkt aus Stoffmenge, Gaskonstante und Temperatur teilen und exponentieren.
Das Volumenverhältnis beträgt vier.

Kontrolle: Der reversible Rückweg bei derselben Temperatur benutzt den Kehrwert und liefert die entgegengesetzte Arbeit; die Nettoarbeit ist null.

\begin{aligned}\frac{W}{nRT}&=\ln\frac{V_f}{V_i}=\ln4\\\frac{V_f}{V_i}&=\exp(\ln4)=4\\W_{\mathrm{return}}&=nRT\ln\frac14=-W\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Ein idealer Gasanteil expandiert frei in einen isolierten starren Gesamtbehälter von V auf 2V. Welche Werte haben Q,W und ΔU?

Hinweis anzeigen

Tatsächlicher Weg ist keine reversible Kurve.

Lernziel: Bei freier isolierter Expansion Wärme, Arbeit und innere Energie trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die tatsächlichen Übertragungswege prüfen.
Die isolierte starre äußere Grenze lässt weder Wärme noch Arbeit zu; die freie Expansion gegen Vakuum liefert ebenfalls keine Volumenarbeit.
Deshalb bleibt die innere Energie gleich und im idealen Modell auch die Endtemperatur.
Die Entropie steigt trotzdem.

Kontrolle: Die reversible Vergleichsarbeit gehört zu einem anderen Prozess und darf hier nicht eingesetzt werden.

\begin{aligned}Q&=0\\W&=0\\\Delta U&=Q-W=0\\T_f&=T_i\\\Delta S&=nR\ln\frac{2V}{V}=nR\ln2>0\end{aligned}

Interpretieren · Vertiefen

Ein ideales Gas hat während einer Expansion konstante Temperatur mit $nRT=600\,\mathrm J$ . Es geht von 2,0 L auf 4,0 L. Weg A ist reversibel quasistatisch; Weg B erfolgt gegen konstanten Außendruck 150 kPa und endet im Gleichgewicht. Vergleiche die vom Gas geleistete Arbeit und die zugeführte Wärme. Äußere kinetische Energien sind im Anfangs- und Endzustand null.

Hinweis anzeigen

Für A integriert man den Gasdruck; für B den konstanten Außendruck. Bei diesem idealen Gas ist ΔU für beide isothermen Wege null.

Lernziel: Arbeit als Weggröße beim gleichen isothermen Zustandswechsel vergleichen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die jeweilige Fläche unter dem Arbeitsdruck im Volumenbereich bestimmen.
Reversibel sind es rund 415,89 J, gegen konstanten Außendruck 300 J.
Mit $\Delta U=Q-W$ und $\Delta U=0$ ist die zugeführte Wärme jeweils gleich der Arbeit.

Kontrolle: Der Enddruck des Gases beträgt tatsächlich 150 kPa. Gleiche Endzustände und Temperatur bedeuten also nicht gleiche Arbeit oder Wärme.

\begin{aligned}W_A&=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}=600\ln2\,\mathrm J\approx415.89\,\mathrm J\\{}W_B&=p_{\mathrm{ext}}(V_f-V_i)=(150\,000)(0.0020)\,\mathrm J=300\,\mathrm J\\{}Q_A&=W_A\\{}Q_B&=W_B\\{}p_f&=\frac{600\,\mathrm J}{0.0040\,\mathrm{m^3}}=150\,\mathrm{kPa}\end{aligned}

[1][2]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein ideales Gas expandiert reversibel isotherm von 1,0 L auf 10,0 L bei $nRT=200\,\mathrm J$ . Eine Lösung nutzt den Zehnerlogarithmus und erhält $W=200\,\mathrm J$ . Korrigiere den Wert und erkläre, warum nicht einfach jeder Logarithmus dieselbe Formel erfüllt. W ist die vom Gas geleistete Arbeit.

Hinweis anzeigen

Das Integral von $\frac1V$ ist ln V. Ein anderer Logarithmus benötigt einen Umrechnungsfaktor; das Argument muss dimensionslos sein.

Lernziel: Den natürlichen Logarithmus mit dem Arbeitsintegral verbinden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Arbeit aus dem Integral des reversiblen Gasdrucks bestimmen.
Es entsteht der natürliche Logarithmus des Volumenverhältnisses, daher rund 460,52 J.
Mit dem Zehnerlogarithmus müsste zusätzlich ln 10 multipliziert werden.

Kontrolle: Der Exponent der inversen Beziehung liefert mit der richtigen Arbeit das Volumenverhältnis 10; mit 200 J käme stattdessen nur e heraus.

\begin{aligned}W&=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,\mathrm dV=nRT\ln\frac{V_f}{V_i}\\&=200\ln10\,\mathrm J\approx460.52\,\mathrm J\\\ln x&=(\ln10)\log_{10}x\\\exp\!\left(\frac{W}{nRT}\right)&=10\end{aligned}

[1]

Arbeitsflächen sinnvoll vergleichen

Das Wichtigste für die nächste Rechnung

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

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1. Oktober 2026Erklärungen und Lernübergänge ausgearbeitet, ein weiteres vollständiges Beispiel und ein eigenes quantitatives Diagramm ergänzt; Voraussetzungen und Rechenwege präzisiert.
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Quanta. Arbeit bei isothermer Expansion eines idealen Gases. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/isotherme-arbeit-ideales-gas

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0,45 mol ideales Gas bei 310 K werden reversibel isotherm von 5 auf 2 L komprimiert. Finde die Arbeit WbyW_{\mathrm{by}}Wby​ vom Gas.

Ein reversibler Weg hat W=nRTln⁡4W=nRT\ln4W=nRTln4. Wie groß ist VfVi\frac{V_f}{V_i}Vi​Vf​​?

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0,45 mol ideales Gas bei 310 K werden reversibel isotherm von 5 auf 2 L komprimiert. Finde die Arbeit WbyW_{\mathrm{by}}Wby​ vom Gas.

Ein reversibler Weg hat W=nRTln⁡4W=nRT\ln4W=nRTln4. Wie groß ist VfVi\frac{V_f}{V_i}Vi​Vf​​?

Ein idealer Gasanteil expandiert frei in einen isolierten starren Gesamtbehälter von V auf 2V. Welche Werte haben Q,W und ΔU?

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0,45 mol ideales Gas bei 310 K werden reversibel isotherm von 5 auf 2 L komprimiert. Finde die Arbeit $W_{\mathrm{by}}$ vom Gas.

Ein reversibler Weg hat $W=nRT\ln4$ . Wie groß ist $\frac{V_f}{V_i}$ ?

0,45 mol ideales Gas bei 310 K werden reversibel isotherm von 5 auf 2 L komprimiert. Finde die Arbeit $W_{\mathrm{by}}$ vom Gas.

Ein reversibler Weg hat $W=nRT\ln4$ . Wie groß ist $\frac{V_f}{V_i}$ ?