Jacobi-Determinante bei Variablentransformationen

Die Jacobi-Determinante beschreibt, um welchen lokalen Faktor eine Koordinatentransformation kleine Flächen- oder Volumenstücke vergrößert oder verkleinert. Für x=2u und y=3v ist J=6; ein kleines Rechteck der Fläche 1 im uv-System wird daher zu einem Rechteck der Fläche 6 im xy-System. In mehrdimensionalen Integralen korrigiert dieser Faktor die veränderten Integrationskoordinaten. Er hängt im Allgemeinen vom Ort ab, wenn die Transformation nicht linear ist. J ist also eine lokale Skalierung, keine globale Flächenangabe für ein beliebig großes Gebiet. Bei einer nichtlinearen Abbildung wird J an jedem Integrationspunkt neu bestimmt und gehört deshalb in den Integranden; bei einer linearen Abbildung bleibt der Flächenfaktor konstant.

Die Determinante kann negativ sein, wenn eine Transformation die Orientierung umkehrt, etwa eine Achse spiegelt. Eine geometrische Fläche bleibt trotzdem positiv. Deshalb lautet die Umrechnung des Flächenelements dA=|J|du dv. Das Vorzeichen der Determinante enthält Information über Orientierung, nicht über eine negative Größe der Fläche. Bei Volumina gilt analog der Betrag der Determinante. Für Vektorintegrale können Orientierung und Vorzeichen durchaus wichtig sein; dort darf man den Betrag nicht gedankenlos einsetzen, sondern muss die jeweilige Transformationsform beachten. Bei einer Spiegelung kehrt sich die Orientierung um, während die geometrische Fläche positiv bleibt. Bei gerichteten Kurven- oder Flussintegralen muss die Orientierung dagegen separat berücksichtigt werden.

Wenn J an einer Stelle null ist, verliert die lineare Näherung der Transformation dort mindestens eine Richtung: Ein kleines Flächenstück wird lokal auf eine Linie oder einen noch niedrigerdimensionalen Bereich zusammengedrückt. Die Abbildung ist an diesem Punkt nicht lokal invertierbar. Ein Koordinatenwechsel kann dort deshalb singulär sein; man muss prüfen, ob die Stelle nur eine Randmenge ohne Einfluss auf das Integral ist oder ob die Transformation das Gebiet mehrfach überdeckt. Ein einzelner solcher Punkt macht nicht jedes Integral unmöglich, aber die Standardformel muss auf ihrem gültigen Gebiet angewandt werden.

Mit x=r cos θ und y=r sin θ ist die Determinante der Ableitungsmatrix r; das Flächenelement lautet daher dA=r dr dθ. Für eine Kreisscheibe mit Radius R integrierst du r von 0 bis R und θ von 0 bis 2π: ∫₀²π∫₀ᴿ r dr dθ=πR². Der Faktor r ist entscheidend: Ohne ihn würde jeder schmale Kreisring dieselbe Fläche erhalten, obwohl sein Umfang mit dem Radius wächst. Am Ursprung ist die Polarkoordinatentransformation singulär, doch dieser einzelne Punkt hat Flächenmaß null. Bei Sektoren oder Ringen passt du die Integrationsgrenzen an.

Die übliche Substitutionsformel setzt voraus, dass jeder Punkt des Zielgebiets passend und ohne unberücksichtigte Mehrfachzählung getroffen wird. Eine lokal invertierbare Abbildung kann global dennoch mehrere Ausgangspunkte auf denselben Zielpunkt abbilden. Dann würde ein Integral über das ganze Ausgangsgebiet Teile des Zielgebiets mehrfach zählen. Teile das Gebiet deshalb in Bereiche, auf denen die Transformation eindeutig ist, und transformiere jeden Teil einzeln. Alternativ korrigierst du die Überdeckungszahl, wenn sie konstant und bekannt ist. Prüfe außerdem Stellen mit J=0 sowie Randkurven. Der Betrag |J| korrigiert Flächenorientierung, aber nicht eine Mehrfachüberdeckung.