Doppel- und Mehrfachintegral

In kartesischen Koordinaten ist dA=dx dy ein infinitesimal kleines Rechteck. Das Integral addiert näherungsweise f(x,y)·Δx·Δy über alle Rechtecke und geht im Grenzwert zur exakten Summe über. In Polar-Koordinaten lautet das Flächenelement r dr dθ, weil die Fläche eines kleinen Sektors mit dem Radius wächst. Das Element dA trägt die Flächeneinheit mit, deshalb wird aus einer Flächendichte eine Gesamtgröße. Bei Polarkoordinaten ist dA=r dr dθ; der Faktor r ist der Jacobi-Faktor und darf nicht fehlen. Eine kurze Einheitenprüfung zeigt, ob beispielsweise aus Masse pro Fläche tatsächlich Masse wird.

Bei stetigen Funktionen auf einem beschränkten Gebiet erlaubt der Satz von Fubini die Umkehrung. Bei unbeschränkten oder singulären Integralen gelten zusätzliche Voraussetzungen. Praktisch musst du nach dem Tausch die Grenzen neu bestimmen: Das Gebiet bleibt dasselbe, aber seine Beschreibung durch „innen“ und „außen“ ändert sich. Die Reihenfolge zu tauschen ist besonders nützlich, wenn die inneren Grenzen dann einfacher werden. Zeichne zuerst das Gebiet, markiere seine Schnittpunkte und schreibe beide Beschreibungen sauber auf. Bei uneigentlichen Integralen ist der Tausch nicht automatisch erlaubt; dort müssen Konvergenz und Integrabilität geprüft werden. Der Satz von Fubini lässt sich für stetige Funktionen auf beschränkten Rechtecken sicher anwenden. Für komplizierte Gebiete hilft eine Skizze, die umgekehrten Grenzen ohne Lücken abzulesen.

Wenn f(x,y) nichtnegativ ist, beschreibt ∬_D f dA das Volumen zwischen der Fläche z=f(x,y) und der Grundfläche D. Ist f eine Flächendichte, liefert dasselbe Integral die Gesamtmasse. Die Bedeutung hängt also von der Einheit und Interpretation des Integranden ab. Bei einer Dichte ρ(x,y) ist die Gesamtmasse M=∬ρ dA. Bei einer Wahrscheinlichkeitsdichte liefert das Integral über einen Teilbereich dessen Wahrscheinlichkeit; über den gesamten Träger muss es eins ergeben. So kann die Interpretation des Ergebnisses als Plausibilitätskontrolle dienen. Ein schneller Spezialfall ist f(x,y)=1: Das Integral ergibt dann genau die Fläche des Gebiets und prüft zugleich die aufgestellten Grenzen.

Skizziere das Gebiet und beschreibe es als x- oder y-Streifen. Beispiel: Für 0≤x≤1 und 0≤y≤x gilt ∫₀¹∫₀ˣ f(x,y)dy dx. Bei vertauschter Reihenfolge wird daraus 0≤y≤1 und y≤x≤1. Eine Skizze hilft, fehlende oder doppelt erfasste Bereiche zu vermeiden. Zum Vertauschen der Grenzen beschreibst du jeden Punkt des Gebiets erneut, diesmal mit der anderen Koordinate außen. In einem Dreiecksgebiet können dadurch mehrere Teilintegrale nötig werden. Wenn das passiert, zerlege die Skizze entlang der Stellen, an denen sich die obere oder untere Randkurve ändert. Für den Dreieckbereich aus dem Beispiel ergibt die Integration von f=1 den Flächeninhalt 1/2; das kontrolliert beide Grenzbeschreibungen.

Vergleiche Mittelwert des Integranden mal Fläche. Für x+y auf [0,2]×[0,1] ist der Mittelwert 1,5 und die Fläche 2, also muss das Integral 3 sein. Prüfe außerdem die Dimension: Eine Dichte in kg/m² über m² muss eine Masse in kg ergeben. Für nichtnegative f liegt der Integralwert zwischen Minimum mal Fläche und Maximum mal Fläche. Diese grobe Schranke deckt viele fehlende Faktoren oder falsche Grenzen auf. Bei Vorzeichenwechseln verwendest du stattdessen Beträge oder zerlegst das Gebiet in Bereiche positiven und negativen Beitrags. Für f(x,y)=x−1 auf [0,2]×[0,1] heben sich positive und negative Beiträge auf; das Integral ist null.