Prozentuales Wachstum und Zinseszins

Teile den Prozentsatz durch 100 und addiere bei Wachstum 1. Aus 3 % wird r=0,03 und damit der Faktor 1,03. Bei einer Abnahme von 3 % lautet der Faktor 1−0,03=0,97. Diese Faktoren beschreiben, welcher Anteil des bisherigen Bestands nach einem Schritt vorliegt. Setze nicht 3 direkt in die Formel ein, wenn sie r als Dezimalzahl erwartet. Ein einfacher Check: Bei Wachstum muss der Faktor größer als 1, bei einer Abnahme zwischen 0 und 1 liegen. Der Anfangsbestand liegt vor dem ersten Schritt; n=0 liefert deshalb wieder genau G₀.

In jedem Zeitabschnitt wird der aktuelle Bestand erneut mit 1+r multipliziert. Nach einem Abschnitt steht der Faktor einmal, nach zwei Abschnitten zweimal und nach n Abschnitten n-mal im Produkt. Daher gilt G_n=G₀(1+r)ⁿ. Für 1.000 € und 3 % pro Jahr erhältst du nach zwei Jahren 1.000·1,03²=1.060,90 €. Ein häufiger Fehler ist, den Anfangswert nur einmal um n·r zu erhöhen; das beschreibt einfache lineare Verzinsung und ignoriert den Zuwachs auf den Zuwachs. Die Prozentangabe gilt pro Schritt; ein jährlicher Satz darf nicht ungeprüft als monatlicher Satz eingesetzt werden.

Bei einer Abnahme von p % ist der Faktor 1−p/100. Sinkt ein Bestand jährlich um 8 %, multiplizierst du pro Jahr mit 0,92. Nach drei Jahren verbleiben G₃=G₀·0,92³, nicht G₀·(1−0,24), weil jede Abnahme auf den aktuellen Bestand wirkt. Der Faktor muss positiv bleiben, also ist die Rate pro Schritt kleiner als 100 %. Beispiele sind Wertverlust oder eine abnehmende Population. Prüfe, ob das Modell über die gesamte Zeit sinnvoll ist; reale Raten können sich ändern. Bei einer Abnahme nahe 100 % wird der Bestand sehr klein, aber bei einem positiven Faktor nicht negativ.

Bei einfachen Zinsen wird jede Periode nur das Anfangskapital verzinst; der Zinsbetrag pro Periode bleibt gleich und der Endbetrag wächst linear. Beim Zinseszins wird die Gutschrift Teil des neuen Kapitals, sodass spätere Zinsen auch auf frühere Zinsen anfallen. Für jährliche Verzinsung nutzt du beim Zinseszins K_n=K₀(1+r)ⁿ. Bei monatlicher oder anderer unterjähriger Verzinsung musst du Zinssatz pro Periode und Periodenzahl anpassen. Die beiden Formeln sind unterschiedliche Modelle und dürfen nicht verwechselt werden. Die Gesamtänderung misst du gegenüber G₀; addiere nicht einfach die Prozentsätze einzelner Perioden.

Wenn Anfangs- und Endbestand sowie der Wachstumsfaktor bekannt sind, löse G_n=G₀(1+r)ⁿ mit Logarithmen: n=ln(G_n/G₀)/ln(1+r). Das setzt positive Bestände und r≠0 voraus. Bei 1.000 € Anfangskapital, 3 % Wachstum und einem Endbestand von ungefähr 1.159,27 € ergibt sich n=ln(1,15927)/ln(1,03)≈5 Jahre. Runde erst am Ende und prüfe, ob n zur Anzahl ganzer Perioden im Sachkontext passt. Ein Rechner allein ersetzt nicht die Prüfung des passenden Zeitmaßes. Bei unterjähriger Gutschrift müssen Periodenrate und Anzahl der Schritte zur Länge des Jahres passen. Prüfe, ob die Perioden gleich lang sind.