Direkte Proportionalität

Bei einer direkten Proportionalität bleibt der Quotient y/x konstant, sofern x nicht null ist. Verdoppelt sich x, verdoppelt sich y; verdreifacht sich x, wird auch y dreimal so groß. Beispiel: 4 kg kosten 10 €, also ist der Stückpreis 10/4=2,50 €/kg. Für 7 kg ergeben sich 17,50 €. Prüfe mehrere Wertepaaren mit demselben Quotienten. Ein bloß gleichgerichtetes Wachstum genügt nicht: Eine Größe kann steigen, ohne proportional zu sein. Der Graph muss zusätzlich durch den Ursprung gehen. Einheiten helfen, die Richtung des Quotienten zu lesen: teilst du Euro durch Hefte, erhältst du einen Preis pro Heft.

Beim Dreisatz rechnest du zunächst auf eine Einheit und danach auf die gesuchte Menge. Wenn 4 Hefte 10 € kosten, kostet ein Heft 10/4=2,50 €. Sieben Hefte kosten dann 7·2,50=17,50 €. Das Verfahren setzt voraus, dass der Stückpreis gleich bleibt und keine Grundgebühr oder Mengenrabatt hinzukommt. Algebraisch bestimmst du denselben Faktor k=10/4 und setzt ihn in y=kx ein. Dreisatz und Verhältnisgleichung sind verschiedene Darstellungen derselben proportionalen Struktur, keine konkurrierenden Regeln. Messwerte liegen wegen Messfehlern selten exakt auf einer Geraden; das Modell beschreibt dann den erwarteten Zusammenhang.

Die Formel y=kx liefert für x=0 zwingend y=0. Im Graphen liegt deshalb der Ursprung (0,0) auf der Geraden. Ein fester Grundbetrag verschiebt dagegen alle Werte: Bei y=2x+5 kostet selbst x=0 noch 5 Einheiten. Diese Beziehung ist linear, aber nicht direkt proportional. Das ist bei Alltagssituationen wichtig, etwa wenn ein Taxipreis eine Grundgebühr enthält. Ein Graph, der ungefähr durch den Ursprung geht, reicht bei Messdaten nicht als Beweis; prüfe zusätzlich die Quotienten und Messunsicherheit. Der Dreisatz beginnt mit einem bekannten Wertepaar und bewahrt den gleichen Quotienten beim Wechsel zur gesuchten Menge.

k ist der konstante Quotient y/x und beschreibt, wie viel y auf eine Einheit x entfällt. In einem Preisbeispiel ist k der Stückpreis; bei gleichförmiger Bewegung kann k die Geschwindigkeit sein. Seine Einheit ergibt sich aus den Einheiten der Größen: Euro pro Heft oder Meter pro Sekunde. Wenn k=2,5 Euro pro Heft gilt, kosten 8 Hefte 20 Euro. Ohne Kontext hat k keine festgelegte Einheit. Verwechsle k außerdem nicht mit der Steigung jeder beliebigen Geraden, denn nur bei einer Ursprungsgeraden entspricht sie direkter Proportionalität. Ein positiver Achsenabschnitt beschreibt eine feste Startmenge und widerlegt die direkte Proportionalität, selbst wenn die Gerade steigt.

Verwende direkte Proportionalität nur, wenn das Verhältnis konstant bleibt. Eine einmalige Gebühr, ein Staffelpreis oder eine Änderung der Arbeitsgeschwindigkeit kann die Annahme verletzen. Prüfe, ob bei doppeltem x auch y doppelt wird und ob y bei x=0 null wäre. Bei fester Arbeit und wechselnder Personenzahl kann stattdessen eine antiproportionale Beziehung gelten. Bei Messdaten können Rundungen die Quotienten leicht verändern; dann entscheidest du anhand des Modells und der Genauigkeit, nicht durch exakte Gleichheit jedes einzelnen Werts. Nenne ausdrücklich, welche Bedingungen den Faktor k konstant halten, etwa Preis pro Stück oder Geschwindigkeit.