Prozentrechnung: Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz

Multipliziere den Grundwert mit dem Prozentsatz und teile durch 100: W=G·p/100. Bei 15 % von 84 € rechnest du 84·15/100=12,60 €. Der Prozentwert ist also der konkrete Anteil. Schreibe den Prozentsatz entweder als 15/100 oder als Dezimalzahl 0,15, aber verwende nicht beide Umrechnungen zugleich. Eine Probe ist die Division W/G: 12,60/84=0,15, also wieder 15 %. Achte außerdem darauf, dass Grundwert und Prozentwert dieselbe Einheit haben. Schreibe die Werte mit Einheiten auf, bevor du rechnest; so bleibt sichtbar, ob du Geld, Personen oder eine andere Bezugsgröße vergleichst.

Stelle W=G·p/100 nach G um: G=100W/p. Wenn 24 € genau 15 % eines Betrags sind, ergibt sich G=100·24/15=160 €. Prüfe die Rückrichtung: 15 % von 160 € sind 24 €. Der Grundwert bezeichnet immer das Ganze, auf das sich die Prozentangabe bezieht. In Textaufgaben ist er nicht zwingend der zuerst genannte Betrag; markiere deshalb, welcher Wert 100 % darstellt. p darf nicht null sein, weil durch p geteilt wird. Wenn zwei unterschiedliche Prozentsätze genannt werden, prüfe, ob beide auf dasselbe Ganze oder auf nacheinander veränderte Werte bezogen sind.

Der Grundwert G ist das Ganze und entspricht 100 %. Der Prozentsatz p beschreibt den Anteil in Prozent, und der Prozentwert W ist die dazugehörige Menge in der Einheit des Grundwerts. Bei 12 von 80 Personen ist G=80, W=12 und p=12/80·100=15 %. Ein schneller Check lautet W/G=p/100. Frage daher zuerst: „Von welchem Ganzen?“ Das verhindert, dass bei Rabatten, Umfragen oder Mischungen der falsche Wert als 100-%-Basis verwendet wird. Die Namen sagen die Rolle, nicht die Reihenfolge im Aufgabentext. Der Prozentsatz ist ein Verhältnis und daher unabhängig von der Einheit des Grundwerts; der Prozentwert übernimmt dagegen die Einheit von G.

Die zweite Änderung bezieht sich auf den bereits veränderten Preis. Nach 20 % Rabatt bleibt der Faktor 0,80; ein weiterer Rabatt von 10 % multipliziert mit 0,90. Zusammen bleibt 0,80·0,90=0,72 des Anfangspreises, also beträgt der gesamte Rabatt 28 %. Bei einem Ausgangspreis von 100 € kostet der Artikel danach 72 €. Prozentpunkte darfst du addieren, wenn zwei Prozentsätze dieselbe Bezugsgröße haben; prozentuale Änderungen nacheinander musst du dagegen mit ihren Faktoren verketten. Das ist die Verbindung zur Wachstumsformel. Bei Rückwärtsrechnungen hilft eine Tabelle mit 100 % für den Grundwert und dem bekannten Anteil in der zweiten Zeile.

Ja. p vergleicht den Prozentwert mit dem gewählten Grundwert; der Anteil muss nicht kleiner als das Ganze sein. Wenn ein Bestand von 40 auf 100 wächst, beträgt der Endbestand 250 % des Anfangsbestands, während die Zunahme 150 % des Anfangsbestands beträgt. Diese beiden Aussagen beantworten verschiedene Fragen. Für den Endbestand nutzt du G_neu/G_alt·100; für die prozentuale Änderung nutzt du (G_neu−G_alt)/G_alt·100. Nenne deshalb immer, ob du den neuen Gesamtwert oder nur die Änderung meinst. Bei negativen Bezugswerten braucht die übliche Schulinterpretation zusätzliche Sorgfalt. Runde erst nach der Rechnung, besonders bei mehreren Änderungen; frühes Runden kann den Endwert merklich verschieben.