Hydrostatischer Druck in ruhenden Fluiden

Stelle dir im Wasser eine kleine gedachte Flüssigkeitssäule vor. Sie bleibt in Ruhe, obwohl ihr Gewicht nach unten wirkt. Daher muss die Druckkraft an ihrer Unterseite die Kraft an der Oberseite um genau dieses Gewicht übertreffen. Diese Bilanz erklärt den Tiefenzuwachs. Sie setzt keine echte Säule über jedem Messpunkt voraus: Die Gefäßform kann anders sein, solange das Fluid im selben Schwerefeld ruht.[1]

$p=p_0+\rho gh$ beschreibt den lokalen Druck in einer ruhenden Flüssigkeit konstanter Dichte bei konstantem g. h ist die positive vertikale Tiefe unter einer gewählten Referenzfläche. p₀ ist der Druck dort, nicht automatisch der normale Atmosphärendruck. In einem offenen Behälter ist es der tatsächliche Druck über der Flüssigkeit, in einem geschlossenen Behälter kann es ein anderer sein.[1]

Wer p als Absolutdruck ausgeben möchte, setzt p₀ als Absolutdruck ein. Der Zusatz ρgh ist ein Druckunterschied. Falls p₀ der Umgebungsdruck ist, entspricht er dem Überdruck relativ zu dieser Umgebung. h ist weder die Rohrlänge noch ein schräger Abstand.

Betrachte eine gedachte senkrechte Säule mit Querschnitt A und Höhe h. Der Druck unten erzeugt eine Kraft pA nach oben, oben wirkt p₀A nach unten. Die Säule hat Masse ρAh und Gewicht ρAhg. Seitliche Druckkräfte liefern bei dieser Säulengeometrie keine vertikale Komponente. Im Gleichgewicht ist die Kraftsumme null.[1]

Die gedachte Säule dient zur lokalen Bilanz. Sie muss nicht als tatsächliche gerade Flüssigkeitssäule über jedem Wandpunkt vorhanden sein. In ruhenden verbundenen Bereichen passt sich das Druckfeld so an, dass auch schrägen Wänden und unregelmäßigen Gefäßen Gleichgewicht möglich ist.

Bei Wasser mit dem Modellwert $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ und $g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ entstehen pro Meter $9810\,\mathrm{Pa}=9{,}81\,\mathrm{kPa}$ zusätzlicher Druck. Zehn Meter ergeben 98,1 kPa, näherungsweise einen bar, nicht exakt einen bar. Aus einem Absolutdruck ohne bekannten p₀ kann die Tiefe nicht eindeutig berechnet werden.

In derselben zusammenhängenden ruhenden Flüssigkeit gleicher Dichte haben Punkte auf gleicher Höhe den gleichen Druck. Sonst würde eine horizontale Druckdifferenz das Fluid beschleunigen. Zwei getrennte Behälter mit verschiedenen Oberflächendrücken können dagegen bei gleicher Tiefe unterschiedliche Drücke besitzen. „Gleiche Tiefe“ reicht ohne Randbedingungen nicht aus. Auftrieb entsteht aus der Summe der Druckkräfte auf einen eingetauchten Körper; sein Betrag folgt im passenden Modell aus dem Gewicht des verdrängten Fluids.[4]

Die Bodenbelastung einer ebenen horizontalen Fläche ist bei einheitlichem Druck pA. Sie muss nicht gleich dem Gewicht der gesamten Flüssigkeit sein. In einem nach oben breiter oder schmaler werdenden Gefäß tragen geneigte Wände vertikale Druckkraftanteile; zusätzlich wirkt der Außendruck. Das ist die Auflösung des hydrostatischen Paradoxons.

Auf einer senkrechten Wand wächst der Druck mit der Tiefe; p am Boden mal gesamte Wandfläche wäre deshalb falsch. Die resultierende Kraft ist das Integral über die Fläche. Bei einer senkrechten rechteckigen Wand in homogener Flüssigkeit entspricht die mittlere hydrostatische Druckdifferenz ihrem Wert in der mittleren Tiefe $\frac{h_{\mathrm{oben}}+h_{\mathrm{unten}}}{2}$. Liegt die obere Kante auf dem Referenzniveau, ist das die halbe Tiefe der unteren Kante.

Ein U-Rohr-Manometer verbindet Drücke über ruhende Flüssigkeitssäulen. Gehe gedanklich durch das Rohr: nach unten addierst du ρgΔh, nach oben ziehst du diesen Betrag ab. Bei einer einheitlichen Manometerflüssigkeit ergibt ein Höhenunterschied Δh die Druckdifferenz ρgΔh. Gasdichte und weitere Flüssigkeitsschichten müssen berücksichtigt werden, wenn ihre Beiträge nicht vernachlässigbar sind. Druck und Messreferenz gehören deshalb zusammen.[2]

Wird der Druck über einer eingeschlossenen Flüssigkeit um 20 kPa erhöht, wächst im idealen statischen Modell auch der Druck in jeder unveränderten Tiefe um 20 kPa. Der Tiefenzusatz ρgh bleibt bestehen. Diese Trennung zwischen gleichmäßiger Druckänderung und höhenabhängigem Ausgangsdruck ist Pascals Prinzip.[3]

In Gasen kann die Dichte mit Druck und Höhe stark variieren. Auch bei Flüssigkeitsschichtung reicht eine einzige Dichte nicht immer. In beschleunigten oder rotierenden Behältern verändert sich das Gleichgewichtsfeld; die Druckverteilung kann nicht unverändert aus vertikalem ρgh übernommen werden.

Die Herleitung setzt Ruhe voraus. In strömenden Leitungen können Geschwindigkeitsänderungen, Reibung, Pumpen und Ventile den Druck zusätzlich beeinflussen. Ein aus der Höhendifferenz abgeleiteter statischer Leitungsdruck beschreibt daher nicht automatisch den Druck bei offenem Wasserhahn.

Bei ruhender Flüssigkeit wächst der Druck mit der Tiefe. Für konstante Dichte und g ist der zusätzliche Druck $\rho gh$; der Oberflächendruck kommt für den absoluten Druck hinzu. Bei geschichteten Flüssigkeiten addierst du die Beiträge der einzelnen Schichten.