Geometrische, hypergeometrische und Gamma-Verteilung

Diese Referenz unterscheidet Ersttreffer, Ziehen ohne Zurücklegen und eine stetige positive Gamma-Größe anhand passender Wahrscheinlichkeitsmodelle. Die Schreibweise Geometrisch: (1−p)ᵏ⁻¹p; hypergeometrisch: C(K,k)C(N−K,n−k)/C(N,n); Gamma: tᵅ⁻¹e⁻ᵗ/ᶿ/[Γ(α)θᵅ] macht sichtbar, welche Größen zusammenhängen. Dabei bedeuten p: Erfolgswahrscheinlichkeit je Bernoulli-Versuch (dimensionslos, 0…1); G,k: Versuchszahl bis zum ersten Erfolg und betrachteter Wert (Anzahl); H,K,N,n: Trefferzahl in der Stichprobe, Trefferzahl und Gesamtzahl der Population sowie Stichprobenumfang (Anzahl). G und H sind Anzahlen; p und Wahrscheinlichkeiten sind dimensionslos. Für Gamma haben t und θ dieselbe Einheit, fΓ ist Dichte pro Koordinateneinheit. Für die Anwendung ist entscheidend, ob die gegebenen Größen dieselbe Bedeutung und Bezugsrichtung wie in der Definition haben. Typische Aufgaben verwenden die Beziehung für Ersttreffer in wiederholten Versuchen, Stichproben ohne Zurücklegen und positive Warte- oder Lebensdauern modellieren.. Lies daher zuerst die Größen und ihre Dimensionen, bevor du Zahlen einsetzt; so erkennst du zum Beispiel sofort, ob das Ergebnis eine Länge, Rate, Wahrscheinlichkeit oder dimensionslose Kennzahl sein muss.

Beginne mit einer Skizze oder einer Liste der bekannten Größen, ordne jede Größe einem Symbol zu und bringe Einheiten in eine gemeinsame Form. Dann wähle die passende Gleichungsform und setze erst danach Werte ein. Beispiel: Geometrisch: p=0,2 ergibt P(G=3)=0,8²·0,2=0,128. Hypergeometrisch: N=20, K=6, n=5 liefert P(H=2)=C(6,2)C(14,3)/C(20,5)=5460/15504≈0,352. Gamma: α=2, θ=3 und t=3 ergeben f(3)=1/(3e)≈0,123 pro Einheit; der Mittelwert αθ=6 hat die Einheit von t. Probe: Für alle drei Modelle ist die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 beziehungsweise die Dichte normiert. Die Probe ist Teil der Rechnung: Die geometrische Verteilung zählt unabhängige Bernoulli-Versuche bis zum ersten Erfolg; diese hier verwendete Konvention zählt den erfolgreichen Versuch mit Vergleiche zusätzlich Größenordnung und Einheit mit dem Sachkontext. Runde erst am Schluss, denn vorzeitiges Runden kann bei mehreren Rechenschritten besonders bei kleinen Differenzen oder Summen sichtbar auf das Ergebnis durchschlagen.

Die geometrische Verteilung zählt unabhängige Bernoulli-Versuche bis zum ersten Erfolg; diese hier verwendete Konvention zählt den erfolgreichen Versuch mit. Hypergeometrisch wird ohne Zurücklegen aus einer endlichen Population gezogen, sodass Ziehungen abhängig sind. Die Gamma-Verteilung ist stetig auf t>0; α ist der Form- und θ der Skalenparameter, und die Dichte integriert über t zu 1. Γ(α) ist die Gammafunktion. Verwechsle weder die zwei diskreten Modelle noch die Dichte mit einer Punktwahrscheinlichkeit. Das ist keine nebensächliche Fußnote: Bei einer Verletzung der Annahmen kann die Formel ein präzises, aber unpassendes Ergebnis liefern. Kontrolliere deshalb vor dem Rechnen, welche Werte beobachtet, geschätzt oder modelliert sind und ob Sonderfälle die Gleichung ändern. Ersttreffer in wiederholten Versuchen, Stichproben ohne Zurücklegen und positive Warte- oder Lebensdauern modellieren. Bei numerischen Verfahren prüfe außerdem Schrittweite und Stabilität; bei Statistik Stichprobendesign und Verteilung; bei Analysis Differenzierbarkeit, Rand und Orientierung. Verwende eine alternative Methode, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind.

Beide Beziehungen passen in denselben Themenbereich, beantworten aber verschiedene Fragen. „Geometrische, hypergeometrische und Gamma-Verteilung“: Diese Referenz unterscheidet Ersttreffer, Ziehen ohne Zurücklegen und eine stetige positive Gamma-Größe anhand passender Wahrscheinlichkeitsmodelle. Die Anschlussformel „Binomialverteilung“ Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer in n unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit p an. Wähle zuerst nach der gesuchten Größe und dem Modell: Ersttreffer in wiederholten Versuchen, Stichproben ohne Zurücklegen und positive Warte- oder Lebensdauern modellieren. Die Beispielrechnung Geometrisch: p=0,2 ergibt P(G=3)=0,8²·0,2=0,128. Hypergeometrisch: N=20, K=6, n=5 liefert P(H=2)=C(6,2)C(14,3)/C(20,5)=5460/15504≈0,352. Gamma: α=2, θ=3 und t=3 ergeben f(3)=1/(3e)≈0,123 pro Einheit; der Mittelwert αθ=6 hat die Einheit von t. Probe: Für alle drei Modelle ist die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 beziehungsweise die Dichte normiert. zeigt, welche Größen in dieser Beziehung tatsächlich eingehen. Ein sinnvoller Lernschritt ist, beide Formeln mit denselben Ausgangsdaten zu vergleichen und zu markieren, welche Zusatzannahme die zweite benötigt. So wird aus einer Merkliste eine nachvollziehbare Auswahlregel.

Die Modelle unterscheiden sich durch den Erhebungsprozess: Geometrisch zählt unabhängige Versuche bis einschließlich zum ersten Erfolg; hypergeometrisch zählt Treffer in einer endlichen Stichprobe ohne Zurücklegen; Gamma beschreibt eine stetige positive Größe. Entsprechend haben p, N, K, n, α und θ verschiedene Rollen. Für die diskreten Modelle ist P(X=k) eine Punktwahrscheinlichkeit. Bei Gamma ist f(t) dagegen eine Dichte mit der Einheit pro t-Einheit. Eine Dichte ist keine Wahrscheinlichkeit an einem Einzelpunkt; Wahrscheinlichkeiten erhält man durch Integration über ein Intervall. Prüfe deshalb Modell und Ergebnisart vor dem Rechnen.