Physik · Energie und Energiebilanz

Wirkungsgrad einer Energieumwandlung

Q: Wann kann ich Energie und Leistung für η austauschen?

Bei konstanten Leistungen kürzt sich in $\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}$ die gemeinsame Dauer heraus. Bei veränderlichen Leistungen gilt das weiterhin für die Mittelwerte über genau dieselben Anfangs- und Endzeitpunkte: $\eta=\frac{\overline P_{\mathrm{use}}}{\overline P_{\mathrm{in}}}$. Einzelne Momentwerte ersetzen diese Mittelwerte nicht. Im Artikel liefern 20 s mit 500 W Eingang und 350 W Nutzen sowie 40 s mit 200 W Eingang und 80 W Nutzen insgesamt 18000 J Eingang und 10200 J Nutzen. Der Gesamtwirkungsgrad beträgt daher 56,67 %. Er ist weder das einfache Mittel 55 % noch das zeitgewichtete Mittel 50 % der Phasenwirkungsgrade. Die richtige Gewichtung erfolgt mit der Eingangsenergie jeder Phase.

Der Wirkungsgrad vergleicht den gewünschten Energieausgang mit der vollständigen Zufuhr für dieselbe Systemgrenze und Zeitspanne.

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe ISekundarstufe II

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Formel

Berechnen

η = \frac{E _{nutz}}{E _{zu}} = \frac{P _{nutz}}{P _{zu}}

η dimensionslos, als Prozentwert 100η %. Ein- und Ausgangsenergien in derselben Einheit; P̄ in W ist jeweils die mittlere Leistung desselben Intervalls.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$η$	Anteil der Eingangsenergie, der als definierter Nutzen ausgegeben wird	dimensionslos
$E_{\mathrm{nutz}}$	Nutzbar abgegebene Energie im gewählten Intervall	J
$E_{\mathrm{zu}}$	Vollständig erfasste zugeführte Energie im selben Intervall	J
$P_{\mathrm{nutz}}$	Mittlere nutzbare Ausgangsleistung im selben Intervall, als P̄nutz geschrieben	W
$P_{\mathrm{zu}}$	Mittlere Eingangsleistung im selben Intervall, als P̄zu geschrieben	W

LaTeX

\eta=\frac{E_\mathrm{nutz}}{E_\mathrm{zu}}=\frac{\overline P_\mathrm{nutz}}{\overline P_\mathrm{zu}}

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Ein Energiewandler erhält E_zu. Rechts verlässt ihn die nutzbare Energie E_nutz, nach unten geht die Verlustenergie E_Verlust. Darunter steht η = E_nutz/E_zu. — Der Wirkungsgrad η vergleicht die nutzbare Energie mit der zugeführten Energie; Verluste bleiben Teil der Bilanz.

Wirkungsgrad berechnen

Wirkungsgrad, Nutzenergie oder zugeführte Energie ausrechnen, wahlweise mit Leistungen oder für zwei Wandler hintereinander.

Rechenmodell

Gesucht

Zugeführte Energie E_in

Gesamte zugeführte Energie im selben Zeitraum, z. B. 360 kJ, also 0,1 kWh aus der Steckdose.

Nutzenergie Eᵤ

Davon genutzte Energie, z. B. 324 kJ, die wirklich das Wasser erwärmen.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach η, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach η umstellen
$\eta=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- E_in = 360 kJ = 360 000 J
- Eᵤ = 324 kJ = 324 000 J
$\frac{324000}{360000}$
3. Ergebnis
η = 90 %

Ergebnis: Wirkungsgrad η

η = 90 %

Mit E_in = 360 kJ und Eᵤ = 324 kJ ergibt sich η = 90 %.

So rechnest du schneller

Formeldreieck: Nutzenergie oben, η und zugeführte Energie unten. Halte die gesuchte Größe zu, z. B. zugeführte Energie = Nutzenergie : η.
Probe: η liegt zwischen 0 und 100 %. Kommt mehr heraus als hinein, sind Zufuhr und Nutzen vertauscht oder eine Zufuhr fehlt. Stufen hintereinander werden multipliziert: 90 % · 80 % = 72 %.

Annahmen und Grenzen

Vollständig erfasste positive Zufuhr, nichtnegative Nutzabgabe und unveränderte Speicherung innerhalb derselben Grenze und Zeitspanne. η liegt zwischen null und eins. Keine Speicherentladung, COP oder ausgelassenen Hilfseingänge. Alle Energiemengen gehören zum selben Intervall.

Herleitung & Hintergrund

Eine vollständige Bilanz lautet $E_{\mathrm{in}}=E_{\mathrm{use}}+E_{\mathrm{other,out}}+\Delta E_{\mathrm{stored}}$ . Nicht als Nutzen gezählte Energie verschwindet nicht. Bei gleichen Speicherzuständen und vollständiger Zufuhr ist η höchstens eins. Der Energiequotient entspricht dem Quotienten passender mittlerer Leistungen; bei konstantem Betrieb sind das die konstanten Leistungen. Bei wechselnder Belastung ist der Gesamtwirkungsgrad kein beliebiger Mittelwert einzelner Wirkungsgrade. Wärmepumpen-COP und Carnot-Grenze haben jeweils andere Definitionen und Voraussetzungen.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Ein- und Ausgang beziehen sich auf dieselbe erklärte Systemgrenze, Nutzendefinition und Zeitspanne; Ezu muss positiv sein. Energiequotient und Quotient der über dasselbe Intervall gemittelten Leistungen sind identisch. Einzelne Momentwerte sind dafür bei wechselndem Betrieb nicht austauschbar. Die Grenze $\eta\le1$ setzt vollständige Eingänge und keine Nettoentladung gespeicherter Energie voraus. COP einer Wärmepumpe zählt nur Antriebsarbeit im Nenner und ist ein anderer Kennwert. Carnot beschränkt zyklische Wärmekraftmaschinen zwischen zwei Reservoirs, nicht jeden Umwandler.

Herleitung in Schritten

Nützliche Ausgangsenergie als Anteil der vollständig erfassten Eingangsenergie für dieselbe Systemgrenze und dasselbe Zeitintervall definieren.

1Zeichne die Systemgrenze, wähle Anfang und Ende des Intervalls und benenne den gewünschten Nutzen, etwa Hubenergie oder abgegebene Wärme.
2Erfasse alle relevanten Energiezufuhren innerhalb dieses Intervalls als Ezu. Auch Hilfsantriebe gehören dazu, wenn sie die Grenze kreuzen.
3Die Bilanz lautet $E_{\mathrm{in}}=E_{\mathrm{use}}+E_{\mathrm{other}}+\Delta E_{\mathrm{stored}}$ . Die Differenz zwischen Zufuhr und Nutzen ist deshalb nicht automatisch nur Wärme.
4Für $E_{\mathrm{in}}>0$ definiere $\eta=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}$ . Mit vollständigen Eingängen und ohne Nettoentladung eines Speichers ist Enutz höchstens Ezu.
5Bestimme Energien bei wechselnder Leistung durch $\int_{t_0}^{t_1}P(t)\,\mathrm dt$ . Beide Mittelwerte verwenden dasselbe Intervall Δt: $\overline P=\frac E{\Delta t}$ .
6Die gemeinsame Zeit kürzt sich zu $\eta=\frac{\overline P_{\mathrm{use}}}{\overline P_{\mathrm{in}}}$ . Konstanten Betrieb darfst du mit konstanten Leistungen rechnen; multipliziere den Dezimalwert erst am Ende mit 100 %.

Umstellen

Nutzenergie bestimmen

E_\mathrm{nutz}=\eta E_\mathrm{zu}

η als Dezimalzahl einsetzen, zum Beispiel 0,8 für 80 %.

Aufgabenvariante

Ein Gerät nimmt im selben Intervall 750 J auf und gibt 600 J nützlich ab. Alle Eingänge sind erfasst; sein Speicherzustand bleibt gleich. Bestimme Wirkungsgrad und übrigen Ausgang.

Ansatz: $\eta=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}=\frac{600}{750}=0{,}80=80\%$ .
Ohne Speicheränderung gilt $E_{\mathrm{other}}=750-600=150\,\mathrm J$ .
Diese Energie bleibt erhalten, zählt aber nicht zum vereinbarten Nutzen.

Typische Fehler

Verluste als verschwundene Energie oder als negative Gesamtenergie deuten.

Die Gesamtenergie bleibt erhalten; ein Teil wird in nicht gewünschte Formen umgewandelt.

Klausurkontext

Energieumwandlung, elektrische Geräte, Motoren und quantitative Energiebilanzen.

Formelcluster

Energieumwandlung

Der allgemeine Quotient gilt für Geräte; Carnot setzt zusätzlich eine Wärmekraftmaschine voraus.

η = 1 − T_k/T_w

Carnot-Wirkungsgrad

η = Pout/Pin

Wirkungsgrad einer Maschine

Eel = P·t = U·I·t

Elektrische Energie bei konstanter Spannung und Stromstärke

Rechenbeispiel

Für $E_{\mathrm{in}}=750\,\mathrm J$ und $E_{\mathrm{use}}=600\,\mathrm J$ im selben Intervall gilt $\eta=\frac{600}{750}=0{,}80=80\%$ . Die Differenz $150\,\mathrm J$ muss als anderer Ausgang oder Speicheränderung bilanziert werden. Bei unverändertem Speicherzustand zählt sie vollständig zu anderen Ausgängen, aber nicht automatisch nur zu Abwärme.

Anwendungsgebiete

Motoren, Hubwerke, Umwandlungsketten und Energieversorgung mit festgelegter Systemgrenze bewerten; Anlauf, Hilfsverbrauch und Speicherzustände in die Bilanz einbeziehen.

Rechenbeispiel: Wirkungsgrad einer Energieumwandlung

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Wirkungsgrad einer Energieumwandlung (η = Enutz/Ezu = P̄nutz/P̄zu).

1
Aufgabe
Ein Gerät nimmt im selben Intervall 750 J auf und gibt 600 J nützlich ab. Alle Eingänge sind erfasst; sein Speicherzustand bleibt gleich. Bestimme Wirkungsgrad und übrigen Ausgang.
Rechenweg
1. Ansatz: $\eta=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}=\frac{600}{750}=0{,}80=80\%$ .
2. Ohne Speicheränderung gilt $E_{\mathrm{other}}=750-600=150\,\mathrm J$ .
3. Diese Energie bleibt erhalten, zählt aber nicht zum vereinbarten Nutzen.

Die Formel verstehen und anwenden

Wie viel der zugeführten Energie dient dem gewünschten Zweck? Der Wirkungsgrad beantwortet diese Frage erst, wenn Gerät, Zeitintervall und Nutzen feststehen. Hier lernst du die Energiebilanz an einem Hebeantrieb, wechselnden Betriebsphasen und einer Anlage mit zusätzlicher Steuerung.

Was kommt bei der gewünschten Wirkung an?

Ein Hebeantrieb verbraucht Strom, aber für deine Aufgabe zählt zunächst die Arbeit am angehobenen Körper. Bevor du Zahlen dividierst, zeichnest du gedanklich eine Grenze um das betrachtete Gerät: Was tritt ein, was soll herauskommen, und speichert das Gerät währenddessen Energie? Diese drei Fragen entscheiden, was ein Wirkungsgrad aussagt.[1][2]

Du brauchst Energie in Joule, Leistung als Energie pro Zeit und die Energieerhaltung. Der griechische Buchstabe Eta bezeichnet ein Verhältnis. In der folgenden Bilanz sind Ein- und Ausgänge positive Energiemengen; nur die Speicheränderung darf positiv oder negativ sein. Wärme ist dabei nicht automatisch Verlust: Ihre Bewertung hängt vom gewählten Zweck ab.[1][2]

Zuerst Nutzen und Systemgrenze benennen

\eta_E=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}},\qquad E_{\mathrm{in}}>0

Der Quotient ist eine Definition. Was als Nutzen zählt, muss vor der Rechnung feststehen.[1]

Ein Motor kann elektrische Energie aufnehmen und mechanische Arbeit abgeben. Ein Heizer soll dagegen Wärme am gewünschten Ort bereitstellen. Dieselbe Wärme kann deshalb in einem Fall unerwünschter Ausgang und in einem anderen der Nutzen sein. Effizienzwerte verschiedener Geräte sind erst vergleichbar, wenn Zweck, Eingang, Ausgang und Betriebszustand gleich definiert sind. Die Formel leitet nicht ab, welcher Nutzen sinnvoll ist.[1]

Die Systemgrenze entscheidet, ob Steuerung, Netzteil, Lager und Nebenaggregate mitzählen. Mechanische Wellenleistung geteilt durch elektrische Motorzufuhr ist nicht automatisch die Effizienz der ganzen Anlage einschließlich Steuerung. Nenne auch, ob Eingangsenergie aus Brennstoff auf einen Heizwert oder einen Brennwert bezogen ist; verschiedene Bezugsgrößen dürfen nicht unbemerkt vermischt werden.

Energieerhaltung begründet die obere Grenze

E_{\mathrm{in}}=E_{\mathrm{use}}+E_{\mathrm{other,out}}+\Delta E_{\mathrm{stored}}

Alle Eingänge und Ausgänge werden über dasselbe Intervall erfasst; „other, out“ umfasst hier sämtliche nicht als Nutzen gezählten Ausgänge.[2]

Wenn Anfangs- und Endspeicherung gleich sind und kein Eingang fehlt, bleibt Euse ein Anteil der gesamten Zufuhr: $0\le\eta\le1$ . Der Rest ist nicht verschwunden, sondern über andere Wege abgegeben. 750 J hinein und 600 J nützlich heraus ergibt 80%; die übrigen 150 J gehören in die Bilanz. Ohne Kenntnis des Speicherzustands sind 150 J aber noch nicht zwingend Abwärme.

Ein entladender Speicher kann zeitweise mehr Ausgangsleistung liefern, als momentan zugeführt wird. Das ist keine Umwandlung mit physikalischem Wirkungsgrad über eins: Die gespeicherte Energie wird kleiner. Bei einer Ladephase ist umgekehrt ein Teil der Zufuhr noch im System. Für einen vollständigen Lade-Entlade-Zyklus braucht man dieselben Anfangs- und Endbedingungen oder berücksichtigt ihre Energiedifferenz ausdrücklich.

Energie und Leistung nur mit passenden Mittelwerten verbinden

\begin{aligned}E_{\mathrm{in}}&=\int_{t_0}^{t_1}P_{\mathrm{in}}(t)\,\mathrm dt\\E_{\mathrm{use}}&=\int_{t_0}^{t_1}P_{\mathrm{use}}(t)\,\mathrm dt\\\eta_E&=\frac{\overline P_{\mathrm{use}}}{\overline P_{\mathrm{in}}}\end{aligned}

Beide mittleren Leistungen verwenden dieselbe Intervalllänge.

Bei konstanten Leistungen kürzt sich die gemeinsame Zeit in $E=P\Delta t$ heraus. Bei wechselnden Leistungen gilt das Verhältnis ihrer Mittelwerte ebenfalls. Der Mittelwert einzelner momentaner Wirkungsgrade ist dagegen im Allgemeinen falsch: Betriebsphasen mit mehr Eingangsenergie müssen stärker zählen. Ist die Eingangsleistung stets positiv, liefert genau diese Gewichtung den Intervallwirkungsgrad. Auch ein Leerlauf verbraucht Energie und kann die Gesamtbilanz verschlechtern.

\begin{aligned}\eta_E&=\frac{\int\eta(t)P_{\mathrm{in}}(t)dt}{\int P_{\mathrm{in}}(t)dt}\\{} \eta(t)&=\frac{P_{\mathrm{use}}(t)}{P_{\mathrm{in}}(t)}\end{aligned}

Diese Identität verlangt positive beziehungsweise definierte Eingangsleistung im momentanen Quotienten.

Energie wächst während beider Betriebsphasen

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Zum zweiten Beispiel: Nach

20\,\mathrm s

wechselt die Betriebsphase. Am Ende gilt

18{,}0=10{,}2+7{,}8

, jeweils in Kilojoule. Die Endhöhen bestimmen den Intervallwirkungsgrad; die Steigungen entsprechen Leistungen.[1][2]

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Prozentwerte und Umstellungen kontrollieren

\begin{aligned}E_{\mathrm{use}}&=\eta E_{\mathrm{in}}\\{} E_{\mathrm{in}}&=\frac{E_{\mathrm{use}}}{\eta}\ (\eta>0)\\{} \eta_{\%}&=100\eta\end{aligned}

$\eta=0{,}80$ wird als 80% geschrieben; in Produkten wird 0,80 eingesetzt.

Zähler und Nenner sind beide Energien oder beide passende Leistungen. Joule und Kilojoule müssen angeglichen werden; Watt sind keine Joule. Bei einer Messung 600 J Nutzen aus 0,750 kJ Eingang ergibt $\frac{600}{750}=0{,}80$ und nicht 800. Ein dimensionsloser Quotient ist notwendig, beweist aber noch keine konsistente Bilanzgrenze. Die Prozentzahl ist ebenfalls dimensionslos.

Messunsicherheit in Ein- oder Ausgang beeinflusst die Effizienz. Ein besonders kleiner Nenner kann den Quotienten sehr empfindlich machen. Messgeräte sollten denselben Zeitraum abdecken; Einschaltstrom, Nachlauf und Hilfsverbrauch dürfen nicht willkürlich einem anderen Intervall zugeordnet werden. Aussagekräftige Vergleiche nennen neben η den Betriebspunkt und die tatsächlich geleistete Aufgabe.

Beispiel: elektrischer Hebeantrieb mit vollständigem Intervall

Die Last gewinnt Lageenergie

Gegeben: Die Bilanzgrenze umfasst den Antrieb, nicht die angehobene Last. Der Antrieb erhält durchschnittlich 120 W elektrische Leistung über 180 s und gibt Hubarbeit an eine Last von 45,0 kg ab, die um 18,0 m angehoben wird; g=9,81 m/s². Die Last besitzt vor und nach dem Intervall dieselbe Bewegungsenergie, sodass die abgegebene Hubarbeit mgh beträgt. Die im Antrieb gespeicherte Energie ändert sich im Modell nicht. Die Lageenergiezunahme der außerhalb liegenden Last wird nicht nochmals als Speicherung im Antrieb gezählt.
Gesucht: Wirkungsgrad für die Hubarbeit und nicht nützlichen Ausgang bestimmen.

Ansatz: Eingang und Hubarbeit über dasselbe Intervall berechnen.
$\begin{aligned}E_{\mathrm{in}}&=P_{\mathrm{in}}\Delta t\\E_{\mathrm{use}}&=mg\Delta h\\\eta&=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}\end{aligned}$
Die gegebenen Werte mit passenden Einheiten einsetzen.
$E_{\mathrm{in}}=120\cdot180=21600\,\mathrm J$
Den vereinbarten Nutzen als Lageenergiezunahme berechnen.
$E_{\mathrm{use}}=mgh=45.0\cdot9.81\cdot18.0=7946.1\,\mathrm J$
Quotient und verbleibenden Bilanzanteil bilden.
$\begin{aligned}\eta&=\frac{7946.1}{21600}=0.367875\\{} E_{\mathrm{other,out}}&=13653.9\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: Die Hubarbeits-Effizienz beträgt 36,7875%, etwa 36,8%. Andere Ausgänge betragen 13,6539 kJ innerhalb der genannten Grenze.

Kontrolle: Die mittlere Nutzleistung ist $\frac{7946{,}1\,\mathrm J}{180\,\mathrm s}=44{,}145\,\mathrm W$ . Ihr Verhältnis zur Eingangsleistung ist ebenfalls $\frac{44{,}145}{120}=0{,}367875$ . Die Bilanz $7946{,}1+13653{,}9=21600$ , in Joule, schließt. Eine andere Speicheränderung würde den übrigen Ausgang verändern.

Die mechanische Leistung beschreibt hier die an die äußere Last abgegebene Hubarbeit pro Zeit, $\overline P_{\mathrm{use}}=W_{\mathrm{lift}}/\Delta t$ . Damit lässt sich der bereits berechnete Nutzen auf dieselbe Intervalllänge wie die elektrische Zufuhr beziehen. Die Lageenergie der Last wird weiterhin nicht zusätzlich als Speicherung im Antrieb gezählt.[6][2]

Beispiel: zwei Betriebsphasen korrekt zusammenfassen

Ein Gerät wechselt seinen Betriebspunkt

Gegeben: Phase A:20 s mit 500 W Eingang und 350 W Nutzen. Phase B:40 s mit 200 W Eingang und 80 W Nutzen. Alle Werte konstant in ihrer Phase, gleiche Gesamtgrenze, keine Speicheränderung.
Gesucht: Effizienz über beide Phasen bestimmen und mit Quotientenmitteln vergleichen.

Ansatz: Die Phasenenergien getrennt bestimmen und anschließend addieren.
$\begin{aligned}E_{\mathrm{in}}&=\sum_iP_{\mathrm{in},i}\Delta t_i\\E_{\mathrm{use}}&=\sum_iP_{\mathrm{use},i}\Delta t_i\\\eta&=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}\end{aligned}$
Die gegebenen Werte mit passenden Einheiten einsetzen.
$E_{\mathrm{in}}=500\cdot20+200\cdot40=18000\,\mathrm J$
Die beiden Nutzenergien separat zusammenführen.
$E_{\mathrm{use}}=350\cdot20+80\cdot40=10200\,\mathrm J$
Die Gesamtenergien dividieren.
$\eta_E=\frac{10200}{18000}=0.5666667$

Ergebnis: Gesamteffizienz 56,6667%, nicht 55% aus dem einfachen Mittel der beiden Phasenwirkungsgrade.

Kontrolle: Die mittleren Leistungen betragen $300\,\mathrm W$ Eingang und $170\,\mathrm W$ Nutzen; $\frac{170}{300}=\frac{10200}{18000}$ . Die Phasenwirkungsgrade $0{,}70$ und $0{,}40$ werden mit Eingangsenergieanteilen $\frac{10}{18}$ und $\frac8{18}$ gewichtet. Ein reines Zeitmittel ergäbe dagegen $0{,}50$ . Übrige Ausgänge: $18000-10200=7800\,\mathrm J$ .

Mehrere Wandler und zusätzliche Eingänge

\eta_{\mathrm{chain}}=\prod_i\eta_i

Diese Produktregel setzt voraus, dass der definierte Nutz-Ausgang jeder Stufe der vollständige Eingang der nächsten ist.

Zwei Stufen mit 90% und 80% ergeben gemeinsam 72%, nicht 170% und nicht 85%. Für 1000 J Anfangszufuhr verlässt Stufe 1 ein Nutzen von 900 J; Stufe 2 liefert 720 J. Andere Ausgänge 100 J und 180 J addieren sich zu 280 J. Zusätzliche Kühlpumpen, parallele Wege oder gespeicherte Energie können die einfache Produktregel unbrauchbar machen; sie brauchen eine gemeinsame Anlagenbilanz.

Bei einer Wärme-Kraft-Kopplung können Wärme und elektrische Arbeit als verschiedene nützliche Ausgänge gelten. Ihre Energiesumme darf für eine definierte Gesamtenergieeffizienz verwendet werden, sagt aber nicht, dass beide Ausgänge denselben physikalischen Arbeitswert besitzen. Zweck und Bilanz bleiben anzugeben; ein hoher Summenwert ist kein Beweis eines hohen elektrischen Wirkungsgrads.

Vertiefung anzeigen: Leistungszahl und Carnot-Grenze einordnen

\begin{aligned}\mathrm{COP}_{HP}&=\frac{Q_H}{W_{\mathrm{in}}}\\{} Q_H&=Q_C+W_{\mathrm{in}}\end{aligned}

Die Umweltwärme QC ist ein zusätzlicher Energieeingang einer Wärmepumpe.[3]

Eine Wärmepumpe liefert im Modell $Q_H=1800\,\mathrm J$ Heizwärme aus $W_{\mathrm{in}}=600\,\mathrm J$ Arbeit und $Q_C=1200\,\mathrm J$ Wärme aus dem kalten Reservoir. Damit ist $\mathrm{COP}=\frac{Q_H}{W_{\mathrm{in}}}=3$ . Dieser Kennwert lässt bewusst einen Energieeingang aus dem Nenner weg. Eine Wärmekraftmaschine hat dagegen $\eta=\frac{W_{\mathrm{net}}}{Q_H}$ ; ihre reversible Grenze zwischen zwei konstanten Reservoiren ist $1-\frac{T_C}{T_H}$ , mit Temperaturen in Kelvin.[3][4]

Die Carnot-Grenze ist kein allgemeines Limit für eine elektrische Motorrechnung. Und $\eta=80\%$ allein sagt weder Ausgangsleistung noch Energieverbrauch für eine Aufgabe. Ein kleines Gerät mit gutem η und ein großes mit gleichem η können völlig unterschiedliche Verbräuche besitzen. Die Frage nach Effizienz wird deshalb gemeinsam mit Nutzenergie, Dauer und Betriebspunkt beantwortet.[5]

Der Carnot-Wirkungsgrad ergänzt für eine passende Wärmekraftmaschine eine Temperaturgrenze zum allgemeinen Energiequotienten. Er ersetzt weder die vollständige Zufuhrbilanz noch die Definition des Nutzens; für den elektrischen Hebeantrieb ist diese spezielle Reservoirgrenze kein allgemeines Motorlimit.[4]

Motor allein oder gesamte Anlage?

Zusätzliche Eingänge zählen, sobald die Systemgrenze sie einschließt. Der folgende Vergleich hält deshalb die Motorleistung gleich und verändert nur den betrachteten Umfang.[1][2]

Motor allein oder gesamte Anlage?

Gegeben: Ein Motor nimmt 800 W auf und liefert 640 W Wellenleistung. Eine separat versorgte Steuerung nimmt zusätzlich 40 W auf. Beide laufen stationär 120 s. Die gesamte Wellenarbeit zählt als Nutzen; keine Speicheränderung. Alle Werte sind vorgegebene Modellwerte.
Gesucht: Wirkungsgrad des Motors und der vollständigen Anlage sowie deren Energiebilanz bestimmen.

Ansatz: Die Anlage erhält beide Eingänge. Der gleiche Nutzstrom wird mit unterschiedlichen Systemgrenzen verglichen.
$\begin{aligned}\eta_m&=\frac{P_{\mathrm{shaft}}}{P_m}\\\eta_{\mathrm{system}}&=\frac{P_{\mathrm{shaft}}}{P_m+P_{\mathrm{aux}}}\\E_{\mathrm{other}}&=(P_m+P_{\mathrm{aux}}-P_{\mathrm{shaft}})\Delta t\end{aligned}$
Leistungen einsetzen und die Energie über das gemeinsame Intervall bilden.
$\begin{aligned}\eta_m&=\frac{640}{800}=0.80\\\eta_{\mathrm{system}}&=\frac{640}{840}\approx0.761905\\E_{\mathrm{in}}&=840\cdot120\,\mathrm J=100800\,\mathrm J\\E_{\mathrm{use}}&=640\cdot120\,\mathrm J=76800\,\mathrm J\\E_{\mathrm{other}}&=200\cdot120\,\mathrm J=24000\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: Der Motor erreicht im Modell 80 %, die Anlage einschließlich Steuerung etwa 76,19 %. Die Steuerung verändert die Bilanzgrenze, nicht die vorgegebene Motorleistung.

Kontrolle: Die Bilanz schließt: $100800=76800+24000$ , jeweils in Joule. Der Verlust des Motors beträgt $160\,\mathrm W$ , der zusätzliche Eingang der Steuerung $40\,\mathrm W$ ; zusammen sind es die berechneten $200\,\mathrm W$ übriger Ausgang.

Fünf gelöste Umwandlungsbilanzen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Gerät erhält 750 J und gibt 600 J nützlich ab. Speicheränderung null. Bestimme η und den übrigen Ausgang.

Hinweis anzeigen

Gleiche Grenze und gleiche Zeit voraussetzen.

Lernziel: Nutzanteil und übrige Energieausgänge bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Nutzenergie durch vollständige Eingangsenergie teilen.
Es gilt $\eta=0{,}80=80\%$ .
Ohne Speicheränderung ist der andere Ausgang $150\,\mathrm J$ .

Kontrolle: Beide Ausgänge summieren sich zu $750\,\mathrm J$ .

\begin{aligned}\eta&=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}=\frac{600}{750}=0.80\\E_{\mathrm{other}}&=E_{\mathrm{in}}-E_{\mathrm{use}}=150\,\mathrm J\end{aligned}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein Gerät nimmt konstant 200 W auf, liefert bei $\eta=0{,}80$ den vereinbarten Nutzen und läuft 30 s. Bestimme die Nutzenergie.

Hinweis anzeigen

Zuerst Leistung in Energie integrieren.

Lernziel: Nutzenergie aus konstantem Leistungsbetrieb bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Erst Eingangsenergie aus Leistung und Dauer bilden, dann mit dem Wirkungsgrad multiplizieren.
Die Ergebnisse sind $6000\,\mathrm J$ Eingang, $4800\,\mathrm J$ Nutzen und $160\,\mathrm W$ Nutzleistung.
Bei gleichem Speicherzustand gehen $1200\,\mathrm J$ als andere Ausgänge ab.

Kontrolle: $160\,\mathrm W\cdot30\,\mathrm s=4800\,\mathrm J$ .

\begin{aligned}E_{\mathrm{in}}&=P_{\mathrm{in}}\Delta t=200\cdot30\,\mathrm J=6000\,\mathrm J\\E_{\mathrm{use}}&=\eta E_{\mathrm{in}}=0.80\cdot6000\,\mathrm J=4800\,\mathrm J\\P_{\mathrm{use}}&=\eta P_{\mathrm{in}}=160\,\mathrm W\end{aligned}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Zwei ideale Bilanzstufen haben η1=0,90 und η2=0,75; Eingang 2,40 kW. Keine Hilfszufuhr oder Speicheränderung. Bestimme die Gesamtnutzleistung.

Hinweis anzeigen

Der Zwischenausgang ist vollständig der nächste Eingang.

Lernziel: Zwei Bilanzstufen korrekt verketten.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Der Ausgang der ersten Stufe ist vollständig der Eingang der zweiten.
Das Produkt liefert $\eta_{\mathrm{tot}}=0{,}675$ .
Die erste Stufe liefert $2{,}16\,\mathrm{kW}$ , die zweite $1{,}62\,\mathrm{kW}$ .
Die anderen Ausgänge betragen $0{,}24+0{,}54=0{,}78\,\mathrm{kW}$ ; damit ist $2{,}40=1{,}62+0{,}78$ bilanziert.

\begin{aligned}\eta_{\mathrm{tot}}&=\eta_1\eta_2=0.675\\P_1&=0.90\cdot2.40\,\mathrm{kW}=2.16\,\mathrm{kW}\\P_{\mathrm{use}}&=\eta_2P_1=1.62\,\mathrm{kW}\\P_{\mathrm{other}}&=2.40-1.62=0.78\,\mathrm{kW}\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Während 10 s erhält ein Gerät 100 J elektrisch, liefert 130 J Nutzenergie und gibt 20 J als weiteren Ausgang ab. Sein Anfangsspeicher enthält genug Energie. Bestimme die Speicheränderung. Darf 130 % ohne Zusatzangabe als Umwandlungswirkungsgrad behauptet werden?

Hinweis anzeigen

Die vollständige Bilanz enthält die Änderung des Speichers.

Lernziel: Speicherentladung von scheinbarem Überwirkungsgrad unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Eingang minus sämtliche Ausgänge ist die Speicheränderung, hier −50 J.
Die Nutzenergie wird teilweise durch Entladung finanziert.
Der Quotient 130 zu 100 beschreibt nur die gewählte Teilbilanz über dieses Intervall und ist kein stationärer Umwandlungswirkungsgrad ohne Speicheränderung.
Eine vollständige Grenze muss den Speicherfluss ausdrücklich erfassen.

\Delta E_{\mathrm{store}}=E_{\mathrm{in}}-E_{\mathrm{use}}-E_{\mathrm{other}}=100-130-20=-50\,\mathrm J

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein Gerät läuft erst 1 s mit 100 W Eingangsleistung bei η=0,9 und danach 9 s mit 10 W bei η=0,5. Keine Speicheränderung, gleiche Nutzdefinition. Jemand nennt 70 % aus dem Mittel beider η. Bestimme den korrekten Intervallwirkungsgrad.

Hinweis anzeigen

Gewichte mit den Eingangsenergien, nicht nur mit Zeit oder Anzahl der Zustände.

Lernziel: Gesamtwirkungsgrad energetisch statt arithmetisch mitteln.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Eingangsenergien sind 100 J und 90 J, die Nutzenergien 90 J und 45 J.
Insgesamt entstehen 135 J Nutzen aus 190 J Eingang, also etwa 71,0526 %.
Weder das einfache Mittel noch ein ausschließlich zeitgewichtetes Mittel erhält diese Energiebilanz bei unterschiedlichen Eingangsleistungen.
Die übrigen Ausgänge summieren sich zu 55 J.

\eta_{\mathrm{interval}}=\frac{0.9\cdot100\cdot1+0.5\cdot10\cdot9}{100\cdot1+10\cdot9}=\frac{135}{190}\approx0.710526

[1]

Kurz zusammengefasst

Lege Nutzen, alle Eingänge, Intervall und Speicheränderung fest. Bilde dann das Energieverhältnis; bei veränderlicher Leistung werden Energien addiert. Zusätzliche Hilfseingänge verändern die Systembilanz. Eine Wärmepumpen-Leistungszahl oder die Entladung eines Speichers ist keine Ausnahme von der Energieerhaltung.[1][2]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Passende fachliche Verbindungen ergänzt; bestehende Feld- und Energiebilanzen, Herleitungen, Beispiele, Aufgaben, Figuren und Modellgrenzen erhalten.
1. Oktober 2026Systemgrenze und Energiegewichtung verständlicher erklärt; Anlagenbeispiel mit zusätzlicher Steuerung und eigene Energie-Zeit-Grafik ergänzt. Alle bisherigen Beispiele und fünf Aufgaben erhalten, Lösungsansätze präzisiert.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Wirkungsgrad einer Energieumwandlung. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/wirkungsgrad

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Wirkungsgrad einer Energieumwandlung

Wie berechne ich den Wirkungsgrad?+

Definiere zuerst Systemgrenze, Zeitintervall und den gewünschten Energieausgang. Dann gilt $\eta=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}$ bei positiver Zufuhr. Für 600 J nutzbaren Ausgang aus 750 J vollständiger Eingabe erhältst du 0,80 oder 80 %. Beide Energien müssen dieselbe Einheit verwenden; Hilfsverbrauch darf nicht unbemerkt fehlen. Ein Leistungsquotient liefert dasselbe Ergebnis, wenn beide Leistungen über genau dieses Intervall gemittelt wurden oder konstant sind. Rechne beim Umstellen mit dem Dezimalwert: $E_{\mathrm{use}}=\eta E_{\mathrm{in}}$ . Die Prüfung $E_{\mathrm{use}}+E_{\mathrm{other}}+\Delta E_{\mathrm{stored}}=E_{\mathrm{in}}$ zeigt zusätzlich, ob deine Messgrößen eine vollständige Bilanz bilden. Das Verhältnis allein beschreibt noch nicht die Form der übrigen Energie.

Wohin geht die Energie, die beim Wirkungsgrad fehlt?+

Die Energie fehlt nur im gewünschten Nutzen, nicht in der Gesamtbilanz. Bei 750 J Eingang und 600 J Nutzenergie verbleibt eine Differenz von 150 J. Diese kann als Wärme, Schall oder anderer Ausgang abgegeben werden; ein Teil kann auch im System gespeichert sein. Beispielsweise erwärmt sich ein Motor während des Anlaufs, sodass nicht jede Differenz schon die Grenze verlassen hat. Erst bei unverändertem Speicherzustand entsprechen die 150 J vollständig anderen Ausgängen. Ob Wärme nützlich ist, hängt vom Zweck ab: Bei einem Heizer zählt sie zum Nutzen, bei einem Hubwerk meist nicht. Benenne deshalb Energieformen, Systemgrenze und Endzustände, statt „Verlust“ mit Vernichtung gleichzusetzen.

Warum darf der Wirkungsgrad nicht über 100 % liegen?+

Bei vollständigen Eingängen und ohne Nettoentladung gespeicherter Energie kann der gewünschte Ausgang die gesamte Zufuhr nicht übersteigen. Unter diesen Voraussetzungen gilt $\eta\le1$ . Ein größerer Messquotient verlangt eine Bilanzprüfung: Stimmen Einheiten, Intervalle und Systemgrenze, und gibt ein Speicher Energie ab? Kurzzeitig kann ein entladender Speicher mehr Leistung ausgeben, als gleichzeitig von außen zugeführt wird, ohne Energie zu erzeugen. Eine Wärmepumpe mit $\mathrm{COP}=3$ liefert beispielsweise 1800 J Heizwärme aus 600 J Arbeit und 1200 J Umweltwärme. Die Umweltwärme ist zusätzlicher Energieeingang; COP zählt nur die Arbeit im Nenner. Daher ist COP keine Umwandlungseffizienz mit vollständiger Zufuhr.

Wann kann ich Energie und Leistung für η austauschen?+

Bei konstanten Leistungen kürzt sich in $\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}$ die gemeinsame Dauer heraus. Bei veränderlichen Leistungen gilt das weiterhin für die Mittelwerte über genau dieselben Anfangs- und Endzeitpunkte: $\eta=\frac{\overline P_{\mathrm{use}}}{\overline P_{\mathrm{in}}}$ . Einzelne Momentwerte ersetzen diese Mittelwerte nicht. Im Artikel liefern 20 s mit 500 W Eingang und 350 W Nutzen sowie 40 s mit 200 W Eingang und 80 W Nutzen insgesamt 18000 J Eingang und 10200 J Nutzen. Der Gesamtwirkungsgrad beträgt daher 56,67 %. Er ist weder das einfache Mittel 55 % noch das zeitgewichtete Mittel 50 % der Phasenwirkungsgrade. Die richtige Gewichtung erfolgt mit der Eingangsenergie jeder Phase.

Was ist der Unterschied zwischen Wirkungsgrad und Carnot-Wirkungsgrad?+

Ein allgemeiner Wirkungsgrad vergleicht den definierten Nutzen mit der vollständigen Zufuhr innerhalb einer Systemgrenze. Die Carnot-Grenze $\eta_C=1-\frac{T_C}{T_H}$ gilt speziell für eine zyklische Wärmekraftmaschine zwischen zwei Reservoirs konstanter absoluter Temperatur. Sie begrenzt die Arbeit aus aufgenommener Wärme; ein reversibler Idealprozess erreicht sie, irreversibler Betrieb liegt darunter. Für $T_H=600\,\mathrm K$ und $T_C=300\,\mathrm K$ beträgt diese Grenze 50 %. Das ist keine Obergrenze für einen Elektromotor oder ein Getriebe mit anderen Energieeingängen. Verwende Kelvin und vergleiche nur passende Kennwerte. Bei einer Wärmepumpe beschreibt COP den Heiznutzen pro Antriebsarbeit und benötigt eine eigene Definition sowie Reservoirbilanz.

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Wie stellst du η = Enutz/Ezu = P̄nutz/P̄zu nach Nutzenergie bestimmen um?

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Welcher typische Fehler passiert bei η = Enutz/Ezu = P̄nutz/P̄zu?

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Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

Q = m \cdot c \cdot \Delta T

Wärmekapazität (Q = m·c·ΔT)

\Delta U = Q - W

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

P = \sigma \cdot A \cdot T^4

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Wirkungsgrad einer Energieumwandlung

Der Wirkungsgrad vergleicht den gewünschten Energieausgang mit der vollständigen Zufuhr für dieselbe Systemgrenze und Zeitspanne.

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Variablen & Einheiten

Symbol

Bedeutung

Einheit

η

Anteil der Eingangsenergie, der als definierter Nutzen ausgegeben wird

dimensionslos

E_{\mathrm{nutz}}

Nutzbar abgegebene Energie im gewählten Intervall

E_{\mathrm{zu}}

Vollständig erfasste zugeführte Energie im selben Intervall

P_{\mathrm{nutz}}

Mittlere nutzbare Ausgangsleistung im selben Intervall, als P̄nutz geschrieben

P_{\mathrm{zu}}

Mittlere Eingangsleistung im selben Intervall, als P̄zu geschrieben

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Nützliche Ausgangsenergie als Anteil der vollständig erfassten Eingangsenergie für dieselbe Systemgrenze und dasselbe Zeitintervall definieren.

1Zeichne die Systemgrenze, wähle Anfang und Ende des Intervalls und benenne den gewünschten Nutzen, etwa Hubenergie oder abgegebene Wärme.
2Erfasse alle relevanten Energiezufuhren innerhalb dieses Intervalls als Ezu. Auch Hilfsantriebe gehören dazu, wenn sie die Grenze kreuzen.
3Die Bilanz lautet $E_{\mathrm{in}}=E_{\mathrm{use}}+E_{\mathrm{other}}+\Delta E_{\mathrm{stored}}$ . Die Differenz zwischen Zufuhr und Nutzen ist deshalb nicht automatisch nur Wärme.
4Für $E_{\mathrm{in}}>0$ definiere $\eta=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}$ . Mit vollständigen Eingängen und ohne Nettoentladung eines Speichers ist Enutz höchstens Ezu.
5Bestimme Energien bei wechselnder Leistung durch $\int_{t_0}^{t_1}P(t)\,\mathrm dt$ . Beide Mittelwerte verwenden dasselbe Intervall Δt: $\overline P=\frac E{\Delta t}$ .
6Die gemeinsame Zeit kürzt sich zu $\eta=\frac{\overline P_{\mathrm{use}}}{\overline P_{\mathrm{in}}}$ . Konstanten Betrieb darfst du mit konstanten Leistungen rechnen; multipliziere den Dezimalwert erst am Ende mit 100 %.

Rechenbeispiel: Wirkungsgrad einer Energieumwandlung

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Wirkungsgrad einer Energieumwandlung (η = Enutz/Ezu = P̄nutz/P̄zu).

Aufgabe

Ein Gerät nimmt im selben Intervall 750 J auf und gibt 600 J nützlich ab. Alle Eingänge sind erfasst; sein Speicherzustand bleibt gleich. Bestimme Wirkungsgrad und übrigen Ausgang.

Rechenweg

Ansatz: $\eta=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}=\frac{600}{750}=0{,}80=80\%$ .
Ohne Speicheränderung gilt $E_{\mathrm{other}}=750-600=150\,\mathrm J$ .
Diese Energie bleibt erhalten, zählt aber nicht zum vereinbarten Nutzen.

Was kommt bei der gewünschten Wirkung an?

Zuerst Nutzen und Systemgrenze benennen

\eta_E=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}},\qquad E_{\mathrm{in}}>0

Der Quotient ist eine Definition. Was als Nutzen zählt, muss vor der Rechnung feststehen.[1]

Energieerhaltung begründet die obere Grenze

E_{\mathrm{in}}=E_{\mathrm{use}}+E_{\mathrm{other,out}}+\Delta E_{\mathrm{stored}}

Alle Eingänge und Ausgänge werden über dasselbe Intervall erfasst; „other, out“ umfasst hier sämtliche nicht als Nutzen gezählten Ausgänge.[2]

Energie und Leistung nur mit passenden Mittelwerten verbinden

\begin{aligned}E_{\mathrm{in}}&=\int_{t_0}^{t_1}P_{\mathrm{in}}(t)\,\mathrm dt\\E_{\mathrm{use}}&=\int_{t_0}^{t_1}P_{\mathrm{use}}(t)\,\mathrm dt\\\eta_E&=\frac{\overline P_{\mathrm{use}}}{\overline P_{\mathrm{in}}}\end{aligned}

Beide mittleren Leistungen verwenden dieselbe Intervalllänge.

\begin{aligned}\eta_E&=\frac{\int\eta(t)P_{\mathrm{in}}(t)dt}{\int P_{\mathrm{in}}(t)dt}\\{} \eta(t)&=\frac{P_{\mathrm{use}}(t)}{P_{\mathrm{in}}(t)}\end{aligned}

Diese Identität verlangt positive beziehungsweise definierte Eingangsleistung im momentanen Quotienten.

Energie wächst während beider Betriebsphasen

QUANTA STUDYquanta-study.de

Zum zweiten Beispiel: Nach

20\,\mathrm s

wechselt die Betriebsphase. Am Ende gilt

18{,}0=10{,}2+7{,}8

, jeweils in Kilojoule. Die Endhöhen bestimmen den Intervallwirkungsgrad; die Steigungen entsprechen Leistungen.[1][2]

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Prozentwerte und Umstellungen kontrollieren

\begin{aligned}E_{\mathrm{use}}&=\eta E_{\mathrm{in}}\\{} E_{\mathrm{in}}&=\frac{E_{\mathrm{use}}}{\eta}\ (\eta>0)\\{} \eta_{\%}&=100\eta\end{aligned}

$\eta=0{,}80$ wird als 80% geschrieben; in Produkten wird 0,80 eingesetzt.

Beispiel: elektrischer Hebeantrieb mit vollständigem Intervall

Die Last gewinnt Lageenergie

Gegeben: Die Bilanzgrenze umfasst den Antrieb, nicht die angehobene Last. Der Antrieb erhält durchschnittlich 120 W elektrische Leistung über 180 s und gibt Hubarbeit an eine Last von 45,0 kg ab, die um 18,0 m angehoben wird; g=9,81 m/s². Die Last besitzt vor und nach dem Intervall dieselbe Bewegungsenergie, sodass die abgegebene Hubarbeit mgh beträgt. Die im Antrieb gespeicherte Energie ändert sich im Modell nicht. Die Lageenergiezunahme der außerhalb liegenden Last wird nicht nochmals als Speicherung im Antrieb gezählt.
Gesucht: Wirkungsgrad für die Hubarbeit und nicht nützlichen Ausgang bestimmen.

Ansatz: Eingang und Hubarbeit über dasselbe Intervall berechnen.
$\begin{aligned}E_{\mathrm{in}}&=P_{\mathrm{in}}\Delta t\\E_{\mathrm{use}}&=mg\Delta h\\\eta&=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}\end{aligned}$
Die gegebenen Werte mit passenden Einheiten einsetzen.
$E_{\mathrm{in}}=120\cdot180=21600\,\mathrm J$
Den vereinbarten Nutzen als Lageenergiezunahme berechnen.
$E_{\mathrm{use}}=mgh=45.0\cdot9.81\cdot18.0=7946.1\,\mathrm J$
Quotient und verbleibenden Bilanzanteil bilden.
$\begin{aligned}\eta&=\frac{7946.1}{21600}=0.367875\\{} E_{\mathrm{other,out}}&=13653.9\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: Die Hubarbeits-Effizienz beträgt 36,7875%, etwa 36,8%. Andere Ausgänge betragen 13,6539 kJ innerhalb der genannten Grenze.

Beispiel: zwei Betriebsphasen korrekt zusammenfassen

Ein Gerät wechselt seinen Betriebspunkt

Gegeben: Phase A:20 s mit 500 W Eingang und 350 W Nutzen. Phase B:40 s mit 200 W Eingang und 80 W Nutzen. Alle Werte konstant in ihrer Phase, gleiche Gesamtgrenze, keine Speicheränderung.
Gesucht: Effizienz über beide Phasen bestimmen und mit Quotientenmitteln vergleichen.

Ansatz: Die Phasenenergien getrennt bestimmen und anschließend addieren.
$\begin{aligned}E_{\mathrm{in}}&=\sum_iP_{\mathrm{in},i}\Delta t_i\\E_{\mathrm{use}}&=\sum_iP_{\mathrm{use},i}\Delta t_i\\\eta&=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}\end{aligned}$
Die gegebenen Werte mit passenden Einheiten einsetzen.
$E_{\mathrm{in}}=500\cdot20+200\cdot40=18000\,\mathrm J$
Die beiden Nutzenergien separat zusammenführen.
$E_{\mathrm{use}}=350\cdot20+80\cdot40=10200\,\mathrm J$
Die Gesamtenergien dividieren.
$\eta_E=\frac{10200}{18000}=0.5666667$

Ergebnis: Gesamteffizienz 56,6667%, nicht 55% aus dem einfachen Mittel der beiden Phasenwirkungsgrade.

Mehrere Wandler und zusätzliche Eingänge

\eta_{\mathrm{chain}}=\prod_i\eta_i

Diese Produktregel setzt voraus, dass der definierte Nutz-Ausgang jeder Stufe der vollständige Eingang der nächsten ist.

Vertiefung anzeigen: Leistungszahl und Carnot-Grenze einordnen

\begin{aligned}\mathrm{COP}_{HP}&=\frac{Q_H}{W_{\mathrm{in}}}\\{} Q_H&=Q_C+W_{\mathrm{in}}\end{aligned}

Die Umweltwärme QC ist ein zusätzlicher Energieeingang einer Wärmepumpe.[3]

Motor allein oder gesamte Anlage?

Zusätzliche Eingänge zählen, sobald die Systemgrenze sie einschließt. Der folgende Vergleich hält deshalb die Motorleistung gleich und verändert nur den betrachteten Umfang.[1][2]

Motor allein oder gesamte Anlage?

Gegeben: Ein Motor nimmt 800 W auf und liefert 640 W Wellenleistung. Eine separat versorgte Steuerung nimmt zusätzlich 40 W auf. Beide laufen stationär 120 s. Die gesamte Wellenarbeit zählt als Nutzen; keine Speicheränderung. Alle Werte sind vorgegebene Modellwerte.
Gesucht: Wirkungsgrad des Motors und der vollständigen Anlage sowie deren Energiebilanz bestimmen.

Ansatz: Die Anlage erhält beide Eingänge. Der gleiche Nutzstrom wird mit unterschiedlichen Systemgrenzen verglichen.
$\begin{aligned}\eta_m&=\frac{P_{\mathrm{shaft}}}{P_m}\\\eta_{\mathrm{system}}&=\frac{P_{\mathrm{shaft}}}{P_m+P_{\mathrm{aux}}}\\E_{\mathrm{other}}&=(P_m+P_{\mathrm{aux}}-P_{\mathrm{shaft}})\Delta t\end{aligned}$
Leistungen einsetzen und die Energie über das gemeinsame Intervall bilden.
$\begin{aligned}\eta_m&=\frac{640}{800}=0.80\\\eta_{\mathrm{system}}&=\frac{640}{840}\approx0.761905\\E_{\mathrm{in}}&=840\cdot120\,\mathrm J=100800\,\mathrm J\\E_{\mathrm{use}}&=640\cdot120\,\mathrm J=76800\,\mathrm J\\E_{\mathrm{other}}&=200\cdot120\,\mathrm J=24000\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: Der Motor erreicht im Modell 80 %, die Anlage einschließlich Steuerung etwa 76,19 %. Die Steuerung verändert die Bilanzgrenze, nicht die vorgegebene Motorleistung.

Fünf gelöste Umwandlungsbilanzen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Gerät erhält 750 J und gibt 600 J nützlich ab. Speicheränderung null. Bestimme η und den übrigen Ausgang.

Hinweis anzeigen

Gleiche Grenze und gleiche Zeit voraussetzen.

Lernziel: Nutzanteil und übrige Energieausgänge bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Nutzenergie durch vollständige Eingangsenergie teilen.
Es gilt $\eta=0{,}80=80\%$ .
Ohne Speicheränderung ist der andere Ausgang $150\,\mathrm J$ .

Kontrolle: Beide Ausgänge summieren sich zu $750\,\mathrm J$ .

\begin{aligned}\eta&=\frac{E_{\mathrm{use}}}{E_{\mathrm{in}}}=\frac{600}{750}=0.80\\E_{\mathrm{other}}&=E_{\mathrm{in}}-E_{\mathrm{use}}=150\,\mathrm J\end{aligned}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein Gerät nimmt konstant 200 W auf, liefert bei $\eta=0{,}80$ den vereinbarten Nutzen und läuft 30 s. Bestimme die Nutzenergie.

Hinweis anzeigen

Zuerst Leistung in Energie integrieren.

Lernziel: Nutzenergie aus konstantem Leistungsbetrieb bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Erst Eingangsenergie aus Leistung und Dauer bilden, dann mit dem Wirkungsgrad multiplizieren.
Die Ergebnisse sind $6000\,\mathrm J$ Eingang, $4800\,\mathrm J$ Nutzen und $160\,\mathrm W$ Nutzleistung.
Bei gleichem Speicherzustand gehen $1200\,\mathrm J$ als andere Ausgänge ab.

Kontrolle: $160\,\mathrm W\cdot30\,\mathrm s=4800\,\mathrm J$ .

\begin{aligned}E_{\mathrm{in}}&=P_{\mathrm{in}}\Delta t=200\cdot30\,\mathrm J=6000\,\mathrm J\\E_{\mathrm{use}}&=\eta E_{\mathrm{in}}=0.80\cdot6000\,\mathrm J=4800\,\mathrm J\\P_{\mathrm{use}}&=\eta P_{\mathrm{in}}=160\,\mathrm W\end{aligned}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Zwei ideale Bilanzstufen haben η1=0,90 und η2=0,75; Eingang 2,40 kW. Keine Hilfszufuhr oder Speicheränderung. Bestimme die Gesamtnutzleistung.

Hinweis anzeigen

Der Zwischenausgang ist vollständig der nächste Eingang.

Lernziel: Zwei Bilanzstufen korrekt verketten.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Der Ausgang der ersten Stufe ist vollständig der Eingang der zweiten.
Das Produkt liefert $\eta_{\mathrm{tot}}=0{,}675$ .
Die erste Stufe liefert $2{,}16\,\mathrm{kW}$ , die zweite $1{,}62\,\mathrm{kW}$ .
Die anderen Ausgänge betragen $0{,}24+0{,}54=0{,}78\,\mathrm{kW}$ ; damit ist $2{,}40=1{,}62+0{,}78$ bilanziert.

\begin{aligned}\eta_{\mathrm{tot}}&=\eta_1\eta_2=0.675\\P_1&=0.90\cdot2.40\,\mathrm{kW}=2.16\,\mathrm{kW}\\P_{\mathrm{use}}&=\eta_2P_1=1.62\,\mathrm{kW}\\P_{\mathrm{other}}&=2.40-1.62=0.78\,\mathrm{kW}\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Während 10 s erhält ein Gerät 100 J elektrisch, liefert 130 J Nutzenergie und gibt 20 J als weiteren Ausgang ab. Sein Anfangsspeicher enthält genug Energie. Bestimme die Speicheränderung. Darf 130 % ohne Zusatzangabe als Umwandlungswirkungsgrad behauptet werden?

Hinweis anzeigen

Die vollständige Bilanz enthält die Änderung des Speichers.

Lernziel: Speicherentladung von scheinbarem Überwirkungsgrad unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Eingang minus sämtliche Ausgänge ist die Speicheränderung, hier −50 J.
Die Nutzenergie wird teilweise durch Entladung finanziert.
Der Quotient 130 zu 100 beschreibt nur die gewählte Teilbilanz über dieses Intervall und ist kein stationärer Umwandlungswirkungsgrad ohne Speicheränderung.
Eine vollständige Grenze muss den Speicherfluss ausdrücklich erfassen.

\Delta E_{\mathrm{store}}=E_{\mathrm{in}}-E_{\mathrm{use}}-E_{\mathrm{other}}=100-130-20=-50\,\mathrm J

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein Gerät läuft erst 1 s mit 100 W Eingangsleistung bei η=0,9 und danach 9 s mit 10 W bei η=0,5. Keine Speicheränderung, gleiche Nutzdefinition. Jemand nennt 70 % aus dem Mittel beider η. Bestimme den korrekten Intervallwirkungsgrad.

Hinweis anzeigen

Gewichte mit den Eingangsenergien, nicht nur mit Zeit oder Anzahl der Zustände.

Lernziel: Gesamtwirkungsgrad energetisch statt arithmetisch mitteln.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Eingangsenergien sind 100 J und 90 J, die Nutzenergien 90 J und 45 J.
Insgesamt entstehen 135 J Nutzen aus 190 J Eingang, also etwa 71,0526 %.
Weder das einfache Mittel noch ein ausschließlich zeitgewichtetes Mittel erhält diese Energiebilanz bei unterschiedlichen Eingangsleistungen.
Die übrigen Ausgänge summieren sich zu 55 J.

\eta_{\mathrm{interval}}=\frac{0.9\cdot100\cdot1+0.5\cdot10\cdot9}{100\cdot1+10\cdot9}=\frac{135}{190}\approx0.710526

[1]

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Passende fachliche Verbindungen ergänzt; bestehende Feld- und Energiebilanzen, Herleitungen, Beispiele, Aufgaben, Figuren und Modellgrenzen erhalten.
1. Oktober 2026Systemgrenze und Energiegewichtung verständlicher erklärt; Anlagenbeispiel mit zusätzlicher Steuerung und eigene Energie-Zeit-Grafik ergänzt. Alle bisherigen Beispiele und fünf Aufgaben erhalten, Lösungsansätze präzisiert.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Wirkungsgrad einer Energieumwandlung. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/wirkungsgrad

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Wirkungsgrad einer Energieumwandlung

Wie berechne ich den Wirkungsgrad?+

Wohin geht die Energie, die beim Wirkungsgrad fehlt?+

Warum darf der Wirkungsgrad nicht über 100 % liegen?+

Wann kann ich Energie und Leistung für η austauschen?+

Was ist der Unterschied zwischen Wirkungsgrad und Carnot-Wirkungsgrad?+

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Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Wirkungsgrad einer Energieumwandlung

Was kommt bei der gewünschten Wirkung an?

Zuerst Nutzen und Systemgrenze benennen

Energieerhaltung begründet die obere Grenze

Energie und Leistung nur mit passenden Mittelwerten verbinden

Energie wächst während beider Betriebsphasen

Prozentwerte und Umstellungen kontrollieren

Beispiel: elektrischer Hebeantrieb mit vollständigem Intervall

Die Last gewinnt Lageenergie

Beispiel: zwei Betriebsphasen korrekt zusammenfassen

Ein Gerät wechselt seinen Betriebspunkt

Mehrere Wandler und zusätzliche Eingänge

Vertiefung anzeigen: Leistungszahl und Carnot-Grenze einordnen

Motor allein oder gesamte Anlage?

Motor allein oder gesamte Anlage?

Fünf gelöste Umwandlungsbilanzen

Ein Gerät erhält 750 J und gibt 600 J nützlich ab. Speicheränderung null. Bestimme η und den übrigen Ausgang.

Ein Gerät nimmt konstant 200 W auf, liefert bei η=0,80\eta=0{,}80η=0,80 den vereinbarten Nutzen und läuft 30 s. Bestimme die Nutzenergie.

Zwei ideale Bilanzstufen haben η1=0,90 und η2=0,75; Eingang 2,40 kW. Keine Hilfszufuhr oder Speicheränderung. Bestimme die Gesamtnutzleistung.

Während 10 s erhält ein Gerät 100 J elektrisch, liefert 130 J Nutzenergie und gibt 20 J als weiteren Ausgang ab. Sein Anfangsspeicher enthält genug Energie. Bestimme die Speicheränderung. Darf 130 % ohne Zusatzangabe als Umwandlungswirkungsgrad behauptet werden?

Ein Gerät läuft erst 1 s mit 100 W Eingangsleistung bei η=0,9 und danach 9 s mit 10 W bei η=0,5. Keine Speicheränderung, gleiche Nutzdefinition. Jemand nennt 70 % aus dem Mittel beider η. Bestimme den korrekten Intervallwirkungsgrad.

Kurz zusammengefasst

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Was kommt bei der gewünschten Wirkung an?

Zuerst Nutzen und Systemgrenze benennen

Energieerhaltung begründet die obere Grenze

Energie und Leistung nur mit passenden Mittelwerten verbinden

Energie wächst während beider Betriebsphasen

Prozentwerte und Umstellungen kontrollieren

Beispiel: elektrischer Hebeantrieb mit vollständigem Intervall

Die Last gewinnt Lageenergie

Beispiel: zwei Betriebsphasen korrekt zusammenfassen

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Fünf gelöste Umwandlungsbilanzen

Ein Gerät erhält 750 J und gibt 600 J nützlich ab. Speicheränderung null. Bestimme η und den übrigen Ausgang.

Ein Gerät nimmt konstant 200 W auf, liefert bei η=0,80\eta=0{,}80η=0,80 den vereinbarten Nutzen und läuft 30 s. Bestimme die Nutzenergie.

Zwei ideale Bilanzstufen haben η1=0,90 und η2=0,75; Eingang 2,40 kW. Keine Hilfszufuhr oder Speicheränderung. Bestimme die Gesamtnutzleistung.

Während 10 s erhält ein Gerät 100 J elektrisch, liefert 130 J Nutzenergie und gibt 20 J als weiteren Ausgang ab. Sein Anfangsspeicher enthält genug Energie. Bestimme die Speicheränderung. Darf 130 % ohne Zusatzangabe als Umwandlungswirkungsgrad behauptet werden?

Ein Gerät läuft erst 1 s mit 100 W Eingangsleistung bei η=0,9 und danach 9 s mit 10 W bei η=0,5. Keine Speicheränderung, gleiche Nutzdefinition. Jemand nennt 70 % aus dem Mittel beider η. Bestimme den korrekten Intervallwirkungsgrad.

Kurz zusammengefasst

Ein Gerät nimmt konstant 200 W auf, liefert bei $\eta=0{,}80$ den vereinbarten Nutzen und läuft 30 s. Bestimme die Nutzenergie.

Ein Gerät nimmt konstant 200 W auf, liefert bei $\eta=0{,}80$ den vereinbarten Nutzen und läuft 30 s. Bestimme die Nutzenergie.