Physik · Wechselstrom

Impedanz einer Serien-RLC-Schaltung

Die Impedanz fasst Widerstand und frequenzabhängige Blindwiderstände einer seriellen RLC-Schaltung zusammen.

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Formel

Z = R^{2} + (ω L - \frac{1}{ω C})^{2}

Z,R in Ω; ω in rad/s; L in H; C in F.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$Z$	Betrag der Gesamtimpedanz	Ω
$R$	ohmscher Widerstand	Ω
$ω$	Kreisfrequenz der Wechselspannung	rad/s
$L$	Induktivität	H
$C$	Kapazität	F

LaTeX

Z=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}

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Zwei Impedanzdreiecke mit R gleich 24 Ohm: bei 500 Radiant pro Sekunde Blindanteil plus 24 Ohm und Betrag 33,94 Ohm; bei 250 Radiant pro Sekunde Blindanteil minus 12 Ohm und Betrag 26,83 Ohm. — Eigener Serienkreis: R = 24 Ω, L = 80 mH, C = 125 μF. Gemeinsamer Maßstab 5 px/Ω auf beiden Achsen. Blau: ω = 500 rad/s, Spannung vor Strom um 45°. Gestrichelt: ω = 250 rad/s, Spannung hinter Strom um 26,565°. Die signierte Blinddifferenz bestimmt die Lage, nicht eine Addition positiver Reaktanzen. Nach OpenStax §15.3.

Impedanz im RLC-Reihenschwingkreis berechnen

Blindwiderstände, Impedanz, Phasenverschiebung, Effektivstrom oder Wirkleistung einer Reihenschaltung aus R, L und C an sinusförmiger Wechselspannung ausrechnen.

Rechenmodell

Gesucht

Ohmscher Widerstand R

Ohmscher Widerstand in der Reihe, z. B. 40 Ω; er muss größer als 0 sein.

Induktivität L

Induktivität der Spule, z. B. 300 mH.

Kapazität C

Kapazität des Kondensators, z. B. 100 µF.

Frequenz f

Frequenz der Wechselspannung, z. B. 50 Hz im Stromnetz.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Impedanz (Scheinwiderstand) |Z|

|Z| = 74,13 Ω

Mit R = 40 Ω, L = 300 mH, C = 100 µF und f = 50 Hz ergibt sich |Z| = 74,13 Ω.

Rechenweg · umstellen nach |Z|, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach |Z| umstellen
$|Z|=\sqrt{R^2+X^2}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- L = 300 mH = 0,3 H
- C = 100 µF = 1 · 10⁻⁴ F
$|Z|=\sqrt{40^2+(94{,}2478-31{,}831)^2}$
3. Ergebnis
|Z| = 74,13 Ω

X > 0 bedeutet induktiv: Der Strom hinkt nach. X < 0 bedeutet kapazitiv: Der Strom eilt voraus. Die Ausgabe φ ist die Spannungsphase minus Stromphase. Der komplexe Wert ist Z = R + jX.

So rechnest du schneller

Resonanz bei f₀ = 1 / (2π · √(L · C)): Dort heben sich XL und XC auf, Z = R ist am kleinsten und der Strom am größten.
Zeigerdreieck: R und X sind die Katheten, Z die Hypotenuse. Z ist also nie kleiner als R; X > 0 heißt induktiv, X < 0 kapazitiv.

Annahmen und Grenzen

Ideale lineare Bauteile R > 0, L > 0 und C > 0 in Reihe; sinusförmige Anregung mit f > 0 im eingeschwungenen Zustand. ω = 2πf. Kein paralleler Kreis, Gleichstrom, Schalttransient oder nichtsinusförmiges Gesamtsignal. Ein verlustfreier Kreis mit R = 0 wird hier nicht berechnet: Freischwingungen klingen nicht ab; bei Resonanz ist die endliche stationäre Stromrechnung ungültig.

Herleitung & Hintergrund

Mit der Realteil-Zeigerkonvention gilt $\widetilde Z=R+\mathrm j\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right)$ . Der dargestellte Betrag verliert das Vorzeichen der Reaktanz. Positive Reaktanz bedeutet Spannung vor Strom; negative Reaktanz Strom vor Spannung. Nur für ideale lineare Serienbauteile im eingeschwungenen Sinusbetrieb.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Betragsformel für eine ideale lineare RLC-Reihenschaltung im sinusförmigen eingeschwungenen Zustand; Bauteilwerte werden als frequenzunabhängig behandelt.

Herleitung in Schritten

Widerstand und Blindwiderstands-Differenz stehen im Zeigerdiagramm senkrecht zueinander.

1Wähle eine ideale Serien-RLC-Schaltung im eingeschwungenen Sinusbetrieb und einen passiven Spannungsbezug.
2Der gleiche Strom durchfließt alle drei Bauteile; die Quellenspannung ist ihre momentane Summe.
3Mit der Realteilkonvention wird Ableiten zu $\mathrm j\omega$ ; daraus folgt $\widetilde Z_L=\mathrm j\omega L$ .
4Aus $i=C\frac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}$ folgt $\widetilde Z_C=-\frac{\mathrm j}{\omega C}$ .
5Addiere $\widetilde Z=R+\mathrm j\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right)$ .
6Bilde $Z=|\widetilde Z|$ ; Real- und Blindanteil stehen senkrecht zueinander.
7Prüfe die signierte Phase sowie Strom und Leistung mit zueinander passenden Effektiv- oder Scheitelwerten.

Umstellen

Scheitelstrom

I_0=\frac{V_0}{Z}

V₀ und I₀ sind beide Scheitelwerte; Effektivwerte nur paarweise einsetzen. Z bezeichnet hier den Impedanzbetrag und muss für eine endliche Stromrechnung positiv sein. Bei R = 0 und idealer Serienresonanz ist die Division durch Z = 0 ungültig.

Aufgabenvariante

Für $R=40\,\Omega$ , $X_L=70\,\Omega$ und $X_C=22\,\Omega$ : Wie groß ist Z?

Ansatz: $X=X_L-X_C$ , dann $Z=\sqrt{R^2+X^2}$ .
Einsetzen: $X=(70-22)\,\Omega=48\,\Omega$ .
Ergebnis: $Z=\sqrt{40^2+48^2}\,\Omega\approx62{,}5\,\Omega$ .

Kontrolle: Der Betrag ist größer als $R=40\,\Omega$ .

Typische Fehler

R, XL und XC direkt addieren, obwohl Blindwiderstand und R phasenverschoben sind.

Zuerst XL−XC bilden, dann mit R geometrisch zur Impedanz kombinieren.

Klausurkontext

Wechselstromkreise, Resonanznähe und Phasenverschiebung in Serien-RLC-Aufgaben.

Formelcluster

Wechselstrom und Schwingkreis

Impedanz ergänzt Resonanzfrequenz um Widerstands- und Stromamplitude.

T = 2π·√(L·C)

Thomsonsche Schwingungsgleichung

U = R·I

Ohmsches Gesetz

U_ind = −L·(dI/dt)

Selbstinduktion einer Spule

C = Q/U

Kapazität eines Kondensators

Rechenbeispiel

$R=30\,\Omega$ , $X_L=50\,\Omega$ , $X_C=10\,\Omega$ : $Z=\sqrt{30^2+40^2}\,\Omega=50\,\Omega$ . Bei 10 V Scheitelspannung folgt $I_0=\frac{10\,\mathrm V}{50\,\Omega}=0{,}20\,\mathrm A$ . Die Spannung eilt um rund 53,13° vor; beide Wurzelterme haben die Einheit Ω².

Anwendungsgebiete

Wechselstromkreise, Filter, Resonanz und Frequenzverhalten von Spulen-Kondensator-Systemen.

Rechenbeispiel: Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises (Z = √(R² + (ωL − 1/ωC)²)).

1
Aufgabe
Für $R=40\,\Omega$ , $X_L=70\,\Omega$ und $X_C=22\,\Omega$ : Wie groß ist Z?
Rechenweg
1. Ansatz: $X=X_L-X_C$ , dann $Z=\sqrt{R^2+X^2}$ .
2. Einsetzen: $X=(70-22)\,\Omega=48\,\Omega$ .
3. Ergebnis: $Z=\sqrt{40^2+48^2}\,\Omega\approx62{,}5\,\Omega$ .
Kontrolle: Der Betrag ist größer als $R=40\,\Omega$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Eine Wechselstromquelle treibt denselben Strom durch R, L und C, doch die Teilspannungen erreichen ihre Spitzen nicht gleichzeitig. Wir bauen den Impedanzzeiger aus den Bauteilgesetzen auf, wechseln die Frequenz eines eigenen Kreises und verfolgen, wie Phase, Resonanz und echte Verlustleistung zusammenhängen.

Warum sich drei Spannungen nicht wie drei Längen addieren

Spule und Kondensator können gleichzeitig große Teilspannungen haben, während die Quelle eine viel kleinere Spannung liefert. Der Grund liegt in ihren unterschiedlichen Phasen: Die Spitzen treten nicht gleichzeitig auf. Im Zeigerbild dürfen deshalb erst die gerichteten Beiträge addiert werden; daraus folgt anschließend der Betrag der Impedanz.[2][1]

Wir untersuchen eine Reihenschaltung im eingeschwungenen sinusförmigen Betrieb. Derselbe Strom fließt durch alle drei Bauteile. Der positive Gesamtwiderstand beschreibt die Verluste; konstante ideale L und C speichern Energie. Prüfe diese Topologie, bevor du die Formel einsetzt.[2][1]

Ein Betrag beschreibt noch keine Phase

\begin{aligned}\widetilde Z&=R+\mathrm jX\\ X&=\omega L-\frac{1}{\omega C}\\ Z=|\widetilde Z|&=\sqrt{R^2+X^2}\end{aligned}

Wir nennen den komplexen Zeigerquotienten Z mit Tilde und seinen nichtnegativen Betrag Z. j ist die imaginäre Einheit; R ist der gesamte wirksame Serienwiderstand.[2]

Eine Reihenschaltung führt in allen Bauteilen denselben Strom. Die Spannungen sind jedoch zeitlich gegeneinander verschoben. Deshalb ist die Quelle nicht einfach die Summe ihrer positiven Scheitelwerte. Die induktive und kapazitive Spannung wirken im Zeigerbild gegeneinander; ihre Differenz steht senkrecht zur Widerstandsspannung. Der Betrag bestimmt die Stromhöhe, der signierte Blindanteil bestimmt zusätzlich, ob der Strom vor- oder nacheilt. Zwei Kreise können denselben Betrag besitzen und trotzdem entgegengesetzte Phasenlagen haben.[2]

Welche Schaltung hier gemeint ist

Es gelten ideale lineare L und C sowie ein positiver konstanter Widerstand R, alle in Reihe an einer sinusförmigen Quelle mit fester Kreisfrequenz. Wir betrachten den eingeschwungenen Zustand nach dem Abklingen des freien Einschaltanteils. Spannungen verwenden den passiven Bauteilbezug; die Quellenspannung ist die Summe der Spannungsabfälle. Verteilte Leitungen, frequenzabhängige Verluste, nichtlineare Kerne und Leckpfade werden nicht automatisch abgebildet. Bei einem realen Aufbau gehört beispielsweise der ohmsche Spulenwiderstand zu R.[2][5]

Die Betragsformel gehört nicht unverändert zu einer Parallelschaltung. Dort ist die gemeinsame Spannung Ausgangspunkt und man addiert die komplexen Leitwerte. Ein Rechtecksignal besteht außerdem aus mehreren Frequenzanteilen: Für ein lineares Modell kann jeder Anteil getrennt behandelt werden, aber eine einzige Impedanz bei der Grundfrequenz beschreibt nicht die gesamte Stromform.[5]

Aus den Bauteilgesetzen entsteht das Zeigerdreieck

\begin{aligned}u_R&=Ri\\u_L&=L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}\\u_C&=\frac{q}{C},\qquad \frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}=i\end{aligned}

Mit passivem Bezug wird die Induktorspannung aus der Stromänderung und die Kondensatorspannung aus der Ladung bestimmt.[1]

Um den Zeiger zu lesen, nimm den gemeinsamen Strom als waagerechten Bezug. Die Widerstandsspannung liegt auf derselben Achse. Die Spulenspannung zeigt um 90° nach vorn, die Kondensatorspannung um 90° nach hinten. Nach ihrem gegenseitigen Abzug bleibt nur ein senkrechter Blindanteil. Pythagoras wird erst jetzt angewandt, nicht auf drei voneinander unabhängige positive Längen.[2]

Wähle als Konvention den Realteil eines mit positiver Kreisfrequenz rotierenden komplexen Zeigers. Ableiten multipliziert mit jω; im eingeschwungenen Wechselanteil entspricht Integrieren dem Teilen durch jω. Daraus folgt die positive induktive und negative kapazitive Reaktanz. Nach Kirchhoffs Maschenregel addieren sich die drei komplexen Spannungen. Erst nach dieser Addition bilden wir den Betrag. Das ist eine Begründung aus Bauteilgesetzen und Schaltungsmodell, kein neues empirisches Gesetz.[2][5]

\begin{aligned}\widetilde U&=\left(R+\mathrm j\omega L+\frac{1}{\mathrm j\omega C}\right)\widetilde I\\&=\left[R+\mathrm j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\right]\widetilde I\\ \varphi&=\operatorname{atan2}(X,R)\end{aligned}

φ ist Spannungsphase minus Stromphase. Bei positivem X eilt die Spannung vor; bei negativem X eilt der Strom vor.[2]

Frequenz, Einheiten und brauchbare Umstellungen

\begin{aligned}\omega&=2\pi f\\I_{\mathrm{rms}}&=\frac{U_{\mathrm{rms}}}{Z},\qquad I_0=\frac{U_0}{Z}\\|X|&=\sqrt{Z^2-R^2}\\ C_{\mathrm{res}}&=\frac{1}{\omega^2L}\end{aligned}

Effektivwerte und Scheitelwerte jeweils paarweise verwenden. Aus dem Betrag allein lässt sich das Vorzeichen von X nicht zurückgewinnen.[2][4]

Hertz ist nicht dieselbe Zahl wie die Kreisfrequenz in Radiant pro Sekunde. ωL und der Kehrwert von ωC haben jeweils die Einheit Ohm; unter der Wurzel stehen Quadrate von Ohm. Vor dem Einsetzen müssen Millihenry und Mikrofarad in Henry und Farad umgerechnet werden. Eine gemessene Impedanz kleiner als der zugrunde gelegte positive Serienwiderstand widerspricht diesem einfachen Modell: Prüfe Messung, Bauteilwerte oder Topologie. Bei R gleich null und exakter Resonanz gibt es bei einer idealen Quelle mit endlicher Wechselspannungsamplitude keinen begrenzten stationären Strom; der normale Resonanzstromquotient darf dort nicht verwendet werden.[2][5]

Zwei Frequenzen, derselbe Aufbau

Elektrische Leistung trennt bei Wechselstrom Wirkleistung von Scheinleistung. Im folgenden Serienbeispiel werden durchgängig Effektivwerte verwendet; der Serienwiderstand R bestimmt den dissipativen Anteil.[3]

Induktiver Betrieb mit 45° Phasenwinkel

Gegeben: $R=24\,\Omega$ , $L=80\,\mathrm{mH}$ , $C=125\,\mathrm{\mu F}$ , $\omega=500\,\mathrm{rad/s}$ , Quelleneffektivspannung 60 V; ideale Reihe, eingeschwungen.
Gesucht: Impedanz, Strom, Phase und mittlere Widerstandsleistung.

Ansatz: Blindanteil mit Vorzeichen bestimmen, dann Betrag, Strom und Leistung.
$\begin{aligned}X&=\omega L-\frac{1}{\omega C}\\Z&=\sqrt{R^2+X^2}\\\overline P&=I_{\mathrm{rms}}^2R\end{aligned}$
Einsetzen: Beide Reaktanzen zunächst getrennt rechnen.
$\begin{aligned}X_L&=(500\,\mathrm{s^{-1}})(0.080\,\mathrm H)=40\,\Omega\\X_C&=\frac{1}{(500\,\mathrm{s^{-1}})(125\times10^{-6}\,\mathrm F)}=16\,\Omega\\X&=24\,\Omega\\Z&=\sqrt{24^2+24^2}\,\Omega=33.9411\,\Omega\end{aligned}$
Strom und Phase: Die Spannung eilt dem Strom um 45° voraus.
$\begin{aligned}I_{\mathrm{rms}}&=\frac{60\,\mathrm V}{33.9411\,\Omega}=1.76777\,\mathrm A\\\varphi&=\arctan\frac{24}{24}=45^\circ\\\overline P&=I_{\mathrm{rms}}^2(24\,\Omega)=75.0\,\mathrm W\end{aligned}$

Ergebnis: Z ≈ 33,94 Ω; Strom ≈ 1,768 A; $\varphi=+45^\circ$ ; Wirkleistung 75 W.

Kontrolle: Kontrolle: R-Spannung 42,426 V; induktive Spannung 70,711 V; kapazitive Spannung 28,284 V. Ihr Blindanteil 42,426 V bildet mit der R-Spannung ein rechtwinkliges Dreieck mit Quellenspannung 60 V. Außerdem ergibt $60\times1{,}76777\times\cos45^\circ\approx75\,\mathrm W$ .

Halbe Kreisfrequenz macht den Kreis kapazitiv

Gegeben: Derselbe Kreis mit $R=24\,\Omega$ , $L=80\,\mathrm{mH}$ , $C=125\,\mathrm{\mu F}$ und 60 V effektiv; jetzt $\omega=250\,\mathrm{rad/s}$ .
Gesucht: Neue Stromhöhe und Richtung der Phasenverschiebung.

Ansatz: Beide frequenzabhängigen Reaktanzen neu bestimmen; nicht einfach die Gesamtimpedanz halbieren.
$\begin{aligned}X&=\omega L-\frac1{\omega C}\\I_{\mathrm{rms}}&=\frac{U_{\mathrm{rms}}}{\sqrt{R^2+X^2}}\end{aligned}$
Einsetzen: Induktiver Anteil halbiert sich, kapazitiver verdoppelt sich.
$\begin{aligned}X_L&=20\,\Omega,\qquad X_C=32\,\Omega\\X&=-12\,\Omega\\Z&=\sqrt{24^2+(-12)^2}\,\Omega=26.8328\,\Omega\\I_{\mathrm{rms}}&=\frac{60\,\mathrm V}{26.8328\,\Omega}=2.23607\,\mathrm A\\\varphi&=\arctan\frac{-12}{24}=-26.5651^\circ\end{aligned}$
Leistung: Der größere Strom erhöht die Verlustleistung bei unverändertem R.
$\overline P=(2.23607\,\mathrm A)^2(24\,\Omega)=120\,\mathrm W$

Ergebnis: Der Strom eilt der Spannung um rund 26,57° vor; Effektivstrom 2,236 A, Leistung 120 W.

Kontrolle: Kontrolle: R-Spannung 53,666 V; Blindspannungsdifferenz −26,833 V; deren Quadratsumme ist 3600 V². Weil Z weiterhin größer als 24 Ω ist, bleibt der Strom unter dem Resonanzwert 2,5 A.

Kleine Gesamtimpedanz kann große Bauteilspannungen verbergen

\begin{aligned}\omega_0&=\frac{1}{\sqrt{LC}}\\Z(\omega_0)&=R,\qquad \varphi(\omega_0)=0\\\overline P&=U_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\varphi=I_{\mathrm{rms}}^2R\\\cos\varphi&=\frac{R}{Z}\end{aligned}

Resonanz hebt den Blindanteil im Gesamtzeiger auf, nicht die Einzelspannungen und nicht die gespeicherte Energie.[3][4]

Im Beispiel liegt die Stromresonanz bei rund 316,23 rad/s beziehungsweise 50,33 Hz. Der Effektivstrom ist dann 2,5 A und die Verlustleistung 150 W. An L und C liegen jeweils rund 63,25 V effektiv, obwohl die Quelle nur 60 V liefert: Die entgegengesetzten Zeiger heben sich auf. Bei kleinerem R kann die Überhöhung erheblich größer sein. Die freie gedämpfte Schwingfrequenz ist eine andere Fragestellung als die Frequenz maximalen stationären Serienstroms. Auch die Spannung am Kondensator kann ihr Maximum bei einer anderen Frequenz besitzen.[4][5]

Der Serienstrom hat ein Resonanzmaximum

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Für

R=24\,\Omega

L=80\,\mathrm{mH}

C=125\,\mathrm{\mu F}

und 60 V effektiv. Das Maximum beträgt 2,50 A; bei 200 und 500 rad/s sind es 1,768 A. Die Quelle hält ihren Effektivwert konstant.[2][4]

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Die Thomsonsche Schwingungsgleichung beschreibt die Eigenfrequenz des idealen verlustfreien LC-Kreises. Die gleiche Frequenz markiert hier die Stromresonanz der idealen Serien-RLC-Schaltung; sie ersetzt keine Einschwingrechnung des gedämpften Kreises.[4]

Vom Modell zur Messung

Ein Filter muss durch seine tatsächlich abgegriffene Ausgangsspannung beschrieben werden, nicht allein durch Z. Über R ist die Ausgangsspannung bei Resonanz maximal; an L oder C gelten andere Übertragungsfunktionen. Eine reale Spule kann ihren Wert bei hohen Strömen ändern, Kondensatoren besitzen Verluste und Quellen einen Innenwiderstand. Hohe Resonanzspannungen können Bauteilgrenzen überschreiten. Der hier berechnete Wirkleistungsanteil beschreibt ausschließlich die Verluste des modellierten R; ideale L und C geben im Mittel ihre gespeicherte Energie wieder zurück.[3][5]

Vertiefung anzeigen: Halbwertsbandbreite

Halbe Leistung ist nicht halber Strom

Gegeben: Derselbe ideale Serienkreis: $R=24\,\Omega$ , $L=0{,}0800\,\mathrm H$ , $C=125\,\mathrm{\mu F}$ . Die Quelle hält $U_{\mathrm{rms}}=60{,}0\,\mathrm V$ beim Frequenzwechsel konstant. Eingeschwungener Betrieb.
Gesucht: Finde die beiden Frequenzen mit halber maximaler Widerstandsleistung.

Ansatz: Halbiert sich $I_{\mathrm{rms}}^2R$ , muss der Strom durch $\sqrt2$ geteilt und Z mit $\sqrt2$ multipliziert werden. Damit ist $|X|=R$ .
$\begin{aligned}\overline P&=\frac{U_{\mathrm{rms}}^2R}{R^2+X^2}\\\overline P=\frac{\overline P_{\max}}2&\ \Longrightarrow\ X=\pm R\\\omega_-&=\frac{-R+\sqrt{R^2+4L/C}}{2L}\\\omega_+&=\frac{R+\sqrt{R^2+4L/C}}{2L}\end{aligned}$
Einsetzen: Die untere Grenze ist kapazitiv, die obere induktiv.
$\begin{aligned}\omega_-&=200\,\mathrm{rad/s}\\\omega_+&=500\,\mathrm{rad/s}\\f_-&=\frac{200}{2\pi}\,\mathrm{Hz}\approx31.8310\,\mathrm{Hz}\\f_+&=\frac{500}{2\pi}\,\mathrm{Hz}\approx79.5775\,\mathrm{Hz}\\I_{\mathrm{rms}}&=\frac{60}{24\sqrt2}\,\mathrm A\approx1.76777\,\mathrm A\\\overline P&=75.0\,\mathrm W\end{aligned}$

Ergebnis: Bei etwa 31,83 Hz und 79,58 Hz ist die Leistung 75,0 W, halb so groß wie die Resonanzleistung 150 W. Die Phasen sind −45° und +45°.

Kontrolle: An beiden Grenzen ergibt die direkte Reaktanzrechnung ±24 Ω. Die Bandbreite $\omega_+-\omega_-=300\,\mathrm{rad/s}$ stimmt mit $R/L$ überein; ihr geometrisches Mittel ist die Resonanzkreisfrequenz, nicht ihr arithmetisches Mittel.

Fünf Aufgaben zu Betrag, Phase und Resonanz

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Eine ideale Serien-RLC-Schaltung hat $R=18\,\Omega$ , $X_L=42\,\Omega$ , $X_C=18\,\Omega$ bei der angegebenen Frequenz. Die Quelle liefert 12 V effektiv. Bestimme Z, Strom und mittlere Leistung.

Hinweis anzeigen

Bilde zuerst die Differenz der Reaktanzen.

Lernziel: Aus signierten Reaktanzen Strom und Verlustleistung berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Impedanz ist die Hypotenuse aus R und X; Leistung entsteht im R.
Einsetzen liefert $X=24\,\Omega$ , $Z=30\,\Omega$ , $I_{\mathrm{rms}}=0{,}4\,\mathrm A$ und 2,88 W.

Kontrolle: Leistungsfaktor 0,6; Quellenprodukt mal 0,6 ergibt ebenfalls 2,88 W.

\begin{aligned}X&=42-18=24\,\Omega\\Z&=\sqrt{18^2+24^2}\,\Omega=30\,\Omega\\I_{\mathrm{rms}}&=\frac{12\,\mathrm V}{30\,\Omega}=0.4\,\mathrm A\\\overline P&=(0.4\,\mathrm A)^2(18\,\Omega)=2.88\,\mathrm W\end{aligned}

[2][3]

Umstellen · Anwenden

Bei $\omega=400\,\mathrm{rad/s}$ soll eine ideale Reihenschaltung mit $L=50\,\mathrm{mH}$ und $R=10\,\Omega$ resonant sein. Welche Kapazität benötigt sie?

Hinweis anzeigen

Setze die beiden Reaktanzen gleich.

Lernziel: Eine Resonanzbedingung nach der Kapazität umstellen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Resonanz fordert verschwindenden Blindanteil.
Nach C umstellen und in SI-Einheiten einsetzen ergibt 125 μF.

Kontrolle: Beide Reaktanzen sind 20 Ω und die Gesamtimpedanz ist 10 Ω.

\begin{aligned}\omega L&=\frac{1}{\omega C}\\C&=\frac{1}{\omega^2L}=\frac{1}{(400\,\mathrm{s^{-1}})^2(0.050\,\mathrm H)}\\&=125\times10^{-6}\,\mathrm F\end{aligned}

[4]

Interpretieren · Einstieg

Zwei ideale Serienkreise haben $R=24\,\Omega$ und bei derselben Frequenz $X=+24\,\Omega$ beziehungsweise $X=-24\,\Omega$ . Welche Größen sind bei gleicher Quelleneffektivspannung gleich, und welche Phase unterscheidet sich?

Hinweis anzeigen

Das Quadrat verliert das Vorzeichen, die Phase nicht.

Lernziel: Gleichen Impedanzbetrag von gleicher Phase unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Vergleiche Betrag und Argument getrennt.
Beide haben Z ≈ 33,94 Ω, denselben Effektivstrom und dieselbe Widerstandsleistung.
Die erste Spannung eilt um 45° vor, die zweite liegt um 45° hinter dem Strom.

Kontrolle: Der Leistungsfaktor ist bei beiden derselbe positive Wert.

\begin{aligned}Z&=24\sqrt2\,\Omega\\\varphi_+&=45^\circ\\\varphi_-&=-45^\circ\end{aligned}

[2]

Fehleranalyse · Anwenden

Jemand berechnet bei $R=24\,\Omega$ , $X_L=40\,\Omega$ , $X_C=16\,\Omega$ die Impedanz als 80 Ω und bei 60 V effektiv den Strom als 0,75 A. Lokalisiere und korrigiere den Fehler.

Hinweis anzeigen

Kapazitive und induktive Zeiger sind entgegengesetzt; R steht senkrecht dazu.

Lernziel: Eine skalare Addition phasenverschobener Spannungen korrigieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Addiere komplexe Impedanzen, nicht ihre positiven Beträge.
Z ist nicht $24+40+16$ .
Die Blinddifferenz ist 24 Ω; der Betrag $24\sqrt2\,\Omega$ .
Der Strom beträgt rund 1,768 A.

Kontrolle: Die beiden rechtwinkligen Spannungsanteile sind je 42,426 V und ergeben eine Quelle von 60 V.

\begin{aligned}\widetilde Z&=(24+\mathrm j24)\,\Omega\\Z&=24\sqrt2\,\Omega\\I_{\mathrm{rms}}&=\frac{60}{24\sqrt2}\,\mathrm A=1.76777\,\mathrm A\end{aligned}

[2]

Transfer · Anwenden

Ein idealer Serienkreis hat $R=5\,\Omega$ , $L=0{,}10\,\mathrm H$ , $C=40\,\mathrm{\mu F}$ und wird bei Resonanz mit 10 V effektiv gespeist. Bestimme Strom sowie Spannungen an L und C. Bedeutet deren Höhe zusätzliche kostenlose Wirkleistung?

Hinweis anzeigen

Bei Resonanz ist $Z=R$ , aber die Einzelreaktanzen sind nicht null.

Lernziel: Resonanzüberhöhung mit Energieerhaltung vereinbaren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Erst Resonanzfrequenz, dann Strom und Bauteilspannungen bestimmen.
$\omega_0=500\,\mathrm{rad/s}$ , beide Reaktanzen 50 Ω, Strom 2 A, beide Bauteilspannungen 100 V effektiv.
Ihre Zeiger sind entgegengesetzt.
Die Quelle liefert 20 W, vollständig im R dissipiert; die idealen Speicher verbrauchen im Mittel keine Leistung.

\begin{aligned}\omega_0&=\frac{1}{\sqrt{(0.10\,\mathrm H)(40\times10^{-6}\,\mathrm F)}}=500\,\mathrm{s^{-1}}\\I_{\mathrm{rms}}&=\frac{10\,\mathrm V}{5\,\Omega}=2\,\mathrm A\\U_{L,\mathrm{rms}}=U_{C,\mathrm{rms}}&=(2\,\mathrm A)(50\,\Omega)=100\,\mathrm V\\\overline P&=(2\,\mathrm A)^2(5\,\Omega)=20\,\mathrm W\end{aligned}

[4][3]

Kurz zusammengefasst

Für die ideale eingeschwungene Serien-RLC-Schaltung addierst du zuerst die komplexen Beiträge. Betrag bestimmt Stromhöhe, Blindanteil bestimmt Phase. Bei Stromresonanz verschwinden die entgegengesetzten Blindanteile im Gesamtzeiger, nicht die Bauteilspannungen. Wirkleistung entsteht im modellierten Widerstand.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Wirkleistung und LC-Eigenfrequenz im passenden Kontext verknüpft; Serienmodell, Phase, Resonanzgrenzen, Aufgaben und Frequenzgrafik erhalten.
1. Oktober 2026Serien-RLC-Zeiger und signierte Phase hergeleitet; zwei eigene Frequenzbeispiele, Resonanzgrenzen und fünf unterschiedliche Aufgaben ausgearbeitet.
1. Oktober 2026Lernverlauf und Modellbegründung erweitert, drittes durchgerechnetes Beispiel und eigene quantitative Grafik ergänzt; Formelsatz und Schlusszusammenfassung präzisiert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/wechselstrom-impedanz-rlc

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises

Was beschreibt die RLC-Impedanz physikalisch?+

Die RLC-Impedanz beschreibt das Verhältnis von Spannungs- und Stromzeiger in einer linearen Reihenschaltung bei einer festgelegten Sinusfrequenz. Ihr Betrag bestimmt, welcher Scheitel- oder Effektivstrom zu einer entsprechend angegebenen Quellenspannung gehört. Ihre Phase beschreibt zusätzlich, ob Spannung oder Strom voreilt. Der ohmsche Anteil dissipiert Energie; die idealen induktiven und kapazitiven Anteile speichern und geben Energie zurück. Sie werden deshalb nicht einfach als drei positive Widerstände addiert. Zuerst bildet man die signierte Differenz der beiden Reaktanzen und kombiniert diese geometrisch mit R. Der Betrag allein unterscheidet einen induktiven von einem gleich stark kapazitiven Kreis nicht. Die Serienformel beschreibt außerdem keine beliebige Parallelschaltung.

Wie prüfe ich eine Rechnung zur RLC-Impedanz?+

Prüfe zuerst, ob die Bauteile tatsächlich in Reihe liegen und sich der sinusförmige eingeschwungene Zustand eingestellt hat. Berechne die induktive und kapazitive Reaktanz getrennt und subtrahiere dann den kapazitiven Anteil. Mit R gleich 30 Ohm, induktiver Reaktanz 50 Ohm und kapazitiver Reaktanz 10 Ohm ergibt sich ein Blindanteil von 40 Ohm und ein Impedanzbetrag von 50 Ohm. Eine Scheitelspannung von 10 Volt liefert somit einen Scheitelstrom von 0,20 Ampere. Kontrolle: Der Betrag darf nicht kleiner als R sein. Die Phase ist positiv, daher eilt die Spannung vor. Scheitel- und Effektivgrößen dürfen im Quotienten nicht miteinander vermischt werden.

Welche Annahmen und Grenzen gelten für die RLC-Impedanz?+

Die Formel setzt eine ideale lineare Reihenschaltung und eine sinusförmige Anregung mit fester Frequenz voraus. R, L und C werden innerhalb dieses Modells als konstant behandelt. Einschaltvorgänge und freie Schwingungen müssen bereits abgeklungen sein. Ein realer Spulenwiderstand kann in R aufgenommen werden, nichtlineare Kerne oder starke frequenzabhängige Verluste dagegen nicht ohne zusätzliche Modellierung. Für eine Parallelschaltung addierst du komplexe Leitwerte statt diese Serienformel zu verwenden. Ein nichtsinusförmiges Signal muss gegebenenfalls in Frequenzanteile zerlegt werden. Bei exakter Resonanz und verschwindendem R gibt es bei einer idealen Quelle mit endlicher Wechselspannungsamplitude keinen begrenzten stationären Strom; das ist kein Fall für eine normale Stromberechnung durch Division.

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei der RLC-Impedanz?+

Setze Induktivität in Henry und Kapazität in Farad ein; Millihenry und Mikrofarad müssen zuerst umgerechnet werden. Verwende die Kreisfrequenz, nicht direkt die Frequenz in Hertz: Beide unterscheiden sich durch den Faktor zwei Pi. Induktive und kapazitive Reaktanz besitzen die Einheit Ohm, sodass unter der Betragswurzel ausschließlich Quadrate von Ohm stehen. Bei gegebenem positivem Serienwiderstand ist der Impedanzbetrag mindestens R. In Resonanz wird diese Untergrenze erreicht. Weit unterhalb der Resonanz dominiert typischerweise der kapazitive Anteil, weit oberhalb der induktive. Diese Grenzfälle gelten innerhalb des idealen Modells. Reale parasitäre Bauteile können das Hochfrequenzverhalten verändern und müssen bei entsprechenden Messungen berücksichtigt werden.

Wann kombiniere ich RLC-Impedanz mit einer weiteren Beziehung?+

Verbinde die Impedanz mit dem Verhältnis von Effektivspannung und Effektivstrom, wenn du die Stromhöhe berechnen möchtest. Für die mittlere Wirkleistung brauchst du zusätzlich den Leistungsfaktor oder den ohmschen Serienwiderstand. Das Produkt aus Effektivspannung und Effektivstrom allein ist bei Phasenverschiebung keine Wirkleistung. Für Resonanz setzt du beide Reaktanzen gleich; die resultierende Frequenz beschreibt den maximalen stationären Serienstrom bei festen Bauteilwerten und fester Quellenspannung. An L und C können dabei große Einzelspannungen auftreten, obwohl sie sich im Gesamtzeiger aufheben. Für einen Filter muss außerdem feststehen, an welchem Bauteil die Ausgangsspannung abgegriffen wird. Die freie gedämpfte Schwingfrequenz ist eine getrennte Fragestellung.

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Welche Formel beschreibt Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises?

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Frage (Vorderseite)

Wie stellst du Z = √(R² + (ωL − 1/ωC)²) nach Scheitelstrom um?

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Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei Z = √(R² + (ωL − 1/ωC)²)?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §15.3: RLC Series Circuits with AC

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

F = k_e \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

Coulombsches Gesetz

\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})

Lorentzkraft

\mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Faradaysches Induktionsgesetz

\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

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Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises prüfungssicher behalten

Erstelle ein kuratiertes FSRS-Prüfungsset für Z = √(R² + (ωL − 1/ωC)²): Formelabruf, Variablen, Herleitung, Umstellung, Beispiel, typische Fehler und Klausurkontext.

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Impedanz einer Serien-RLC-Schaltung

Die Impedanz fasst Widerstand und frequenzabhängige Blindwiderstände einer seriellen RLC-Schaltung zusammen.

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Symbol

Bedeutung

Einheit

Z

Betrag der Gesamtimpedanz

R

ohmscher Widerstand

ω

Kreisfrequenz der Wechselspannung

rad/s

L

Induktivität

C

Kapazität

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Betragsformel für eine ideale lineare RLC-Reihenschaltung im sinusförmigen eingeschwungenen Zustand; Bauteilwerte werden als frequenzunabhängig behandelt.

Herleitung in Schritten

Widerstand und Blindwiderstands-Differenz stehen im Zeigerdiagramm senkrecht zueinander.

1Wähle eine ideale Serien-RLC-Schaltung im eingeschwungenen Sinusbetrieb und einen passiven Spannungsbezug.
2Der gleiche Strom durchfließt alle drei Bauteile; die Quellenspannung ist ihre momentane Summe.
3Mit der Realteilkonvention wird Ableiten zu $\mathrm j\omega$ ; daraus folgt $\widetilde Z_L=\mathrm j\omega L$ .
4Aus $i=C\frac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}$ folgt $\widetilde Z_C=-\frac{\mathrm j}{\omega C}$ .
5Addiere $\widetilde Z=R+\mathrm j\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right)$ .
6Bilde $Z=|\widetilde Z|$ ; Real- und Blindanteil stehen senkrecht zueinander.
7Prüfe die signierte Phase sowie Strom und Leistung mit zueinander passenden Effektiv- oder Scheitelwerten.

Rechenbeispiel: Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises (Z = √(R² + (ωL − 1/ωC)²)).

Aufgabe

Für $R=40\,\Omega$ , $X_L=70\,\Omega$ und $X_C=22\,\Omega$ : Wie groß ist Z?

Rechenweg

Ansatz: $X=X_L-X_C$ , dann $Z=\sqrt{R^2+X^2}$ .
Einsetzen: $X=(70-22)\,\Omega=48\,\Omega$ .
Ergebnis: $Z=\sqrt{40^2+48^2}\,\Omega\approx62{,}5\,\Omega$ .

Kontrolle: Der Betrag ist größer als $R=40\,\Omega$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Warum sich drei Spannungen nicht wie drei Längen addieren

Ein Betrag beschreibt noch keine Phase

\begin{aligned}\widetilde Z&=R+\mathrm jX\\ X&=\omega L-\frac{1}{\omega C}\\ Z=|\widetilde Z|&=\sqrt{R^2+X^2}\end{aligned}

Wir nennen den komplexen Zeigerquotienten Z mit Tilde und seinen nichtnegativen Betrag Z. j ist die imaginäre Einheit; R ist der gesamte wirksame Serienwiderstand.[2]

Welche Schaltung hier gemeint ist

Aus den Bauteilgesetzen entsteht das Zeigerdreieck

\begin{aligned}u_R&=Ri\\u_L&=L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}\\u_C&=\frac{q}{C},\qquad \frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}=i\end{aligned}

Mit passivem Bezug wird die Induktorspannung aus der Stromänderung und die Kondensatorspannung aus der Ladung bestimmt.[1]

\begin{aligned}\widetilde U&=\left(R+\mathrm j\omega L+\frac{1}{\mathrm j\omega C}\right)\widetilde I\\&=\left[R+\mathrm j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\right]\widetilde I\\ \varphi&=\operatorname{atan2}(X,R)\end{aligned}

φ ist Spannungsphase minus Stromphase. Bei positivem X eilt die Spannung vor; bei negativem X eilt der Strom vor.[2]

Frequenz, Einheiten und brauchbare Umstellungen

\begin{aligned}\omega&=2\pi f\\I_{\mathrm{rms}}&=\frac{U_{\mathrm{rms}}}{Z},\qquad I_0=\frac{U_0}{Z}\\|X|&=\sqrt{Z^2-R^2}\\ C_{\mathrm{res}}&=\frac{1}{\omega^2L}\end{aligned}

Effektivwerte und Scheitelwerte jeweils paarweise verwenden. Aus dem Betrag allein lässt sich das Vorzeichen von X nicht zurückgewinnen.[2][4]

Zwei Frequenzen, derselbe Aufbau

Induktiver Betrieb mit 45° Phasenwinkel

Gegeben: $R=24\,\Omega$ , $L=80\,\mathrm{mH}$ , $C=125\,\mathrm{\mu F}$ , $\omega=500\,\mathrm{rad/s}$ , Quelleneffektivspannung 60 V; ideale Reihe, eingeschwungen.
Gesucht: Impedanz, Strom, Phase und mittlere Widerstandsleistung.

Ansatz: Blindanteil mit Vorzeichen bestimmen, dann Betrag, Strom und Leistung.
$\begin{aligned}X&=\omega L-\frac{1}{\omega C}\\Z&=\sqrt{R^2+X^2}\\\overline P&=I_{\mathrm{rms}}^2R\end{aligned}$
Einsetzen: Beide Reaktanzen zunächst getrennt rechnen.
$\begin{aligned}X_L&=(500\,\mathrm{s^{-1}})(0.080\,\mathrm H)=40\,\Omega\\X_C&=\frac{1}{(500\,\mathrm{s^{-1}})(125\times10^{-6}\,\mathrm F)}=16\,\Omega\\X&=24\,\Omega\\Z&=\sqrt{24^2+24^2}\,\Omega=33.9411\,\Omega\end{aligned}$
Strom und Phase: Die Spannung eilt dem Strom um 45° voraus.
$\begin{aligned}I_{\mathrm{rms}}&=\frac{60\,\mathrm V}{33.9411\,\Omega}=1.76777\,\mathrm A\\\varphi&=\arctan\frac{24}{24}=45^\circ\\\overline P&=I_{\mathrm{rms}}^2(24\,\Omega)=75.0\,\mathrm W\end{aligned}$

Ergebnis: Z ≈ 33,94 Ω; Strom ≈ 1,768 A; $\varphi=+45^\circ$ ; Wirkleistung 75 W.

Halbe Kreisfrequenz macht den Kreis kapazitiv

Gegeben: Derselbe Kreis mit $R=24\,\Omega$ , $L=80\,\mathrm{mH}$ , $C=125\,\mathrm{\mu F}$ und 60 V effektiv; jetzt $\omega=250\,\mathrm{rad/s}$ .
Gesucht: Neue Stromhöhe und Richtung der Phasenverschiebung.

Ansatz: Beide frequenzabhängigen Reaktanzen neu bestimmen; nicht einfach die Gesamtimpedanz halbieren.
$\begin{aligned}X&=\omega L-\frac1{\omega C}\\I_{\mathrm{rms}}&=\frac{U_{\mathrm{rms}}}{\sqrt{R^2+X^2}}\end{aligned}$
Einsetzen: Induktiver Anteil halbiert sich, kapazitiver verdoppelt sich.
$\begin{aligned}X_L&=20\,\Omega,\qquad X_C=32\,\Omega\\X&=-12\,\Omega\\Z&=\sqrt{24^2+(-12)^2}\,\Omega=26.8328\,\Omega\\I_{\mathrm{rms}}&=\frac{60\,\mathrm V}{26.8328\,\Omega}=2.23607\,\mathrm A\\\varphi&=\arctan\frac{-12}{24}=-26.5651^\circ\end{aligned}$
Leistung: Der größere Strom erhöht die Verlustleistung bei unverändertem R.
$\overline P=(2.23607\,\mathrm A)^2(24\,\Omega)=120\,\mathrm W$

Ergebnis: Der Strom eilt der Spannung um rund 26,57° vor; Effektivstrom 2,236 A, Leistung 120 W.

Kleine Gesamtimpedanz kann große Bauteilspannungen verbergen

\begin{aligned}\omega_0&=\frac{1}{\sqrt{LC}}\\Z(\omega_0)&=R,\qquad \varphi(\omega_0)=0\\\overline P&=U_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\varphi=I_{\mathrm{rms}}^2R\\\cos\varphi&=\frac{R}{Z}\end{aligned}

Resonanz hebt den Blindanteil im Gesamtzeiger auf, nicht die Einzelspannungen und nicht die gespeicherte Energie.[3][4]

Der Serienstrom hat ein Resonanzmaximum

QUANTA STUDYquanta-study.de

Für

R=24\,\Omega

L=80\,\mathrm{mH}

C=125\,\mathrm{\mu F}

und 60 V effektiv. Das Maximum beträgt 2,50 A; bei 200 und 500 rad/s sind es 1,768 A. Die Quelle hält ihren Effektivwert konstant.[2][4]

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Vom Modell zur Messung

Vertiefung anzeigen: Halbwertsbandbreite

Halbe Leistung ist nicht halber Strom

Gegeben: Derselbe ideale Serienkreis: $R=24\,\Omega$ , $L=0{,}0800\,\mathrm H$ , $C=125\,\mathrm{\mu F}$ . Die Quelle hält $U_{\mathrm{rms}}=60{,}0\,\mathrm V$ beim Frequenzwechsel konstant. Eingeschwungener Betrieb.
Gesucht: Finde die beiden Frequenzen mit halber maximaler Widerstandsleistung.

Ansatz: Halbiert sich $I_{\mathrm{rms}}^2R$ , muss der Strom durch $\sqrt2$ geteilt und Z mit $\sqrt2$ multipliziert werden. Damit ist $|X|=R$ .
$\begin{aligned}\overline P&=\frac{U_{\mathrm{rms}}^2R}{R^2+X^2}\\\overline P=\frac{\overline P_{\max}}2&\ \Longrightarrow\ X=\pm R\\\omega_-&=\frac{-R+\sqrt{R^2+4L/C}}{2L}\\\omega_+&=\frac{R+\sqrt{R^2+4L/C}}{2L}\end{aligned}$
Einsetzen: Die untere Grenze ist kapazitiv, die obere induktiv.
$\begin{aligned}\omega_-&=200\,\mathrm{rad/s}\\\omega_+&=500\,\mathrm{rad/s}\\f_-&=\frac{200}{2\pi}\,\mathrm{Hz}\approx31.8310\,\mathrm{Hz}\\f_+&=\frac{500}{2\pi}\,\mathrm{Hz}\approx79.5775\,\mathrm{Hz}\\I_{\mathrm{rms}}&=\frac{60}{24\sqrt2}\,\mathrm A\approx1.76777\,\mathrm A\\\overline P&=75.0\,\mathrm W\end{aligned}$

Ergebnis: Bei etwa 31,83 Hz und 79,58 Hz ist die Leistung 75,0 W, halb so groß wie die Resonanzleistung 150 W. Die Phasen sind −45° und +45°.

Fünf Aufgaben zu Betrag, Phase und Resonanz

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Eine ideale Serien-RLC-Schaltung hat $R=18\,\Omega$ , $X_L=42\,\Omega$ , $X_C=18\,\Omega$ bei der angegebenen Frequenz. Die Quelle liefert 12 V effektiv. Bestimme Z, Strom und mittlere Leistung.

Hinweis anzeigen

Bilde zuerst die Differenz der Reaktanzen.

Lernziel: Aus signierten Reaktanzen Strom und Verlustleistung berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Impedanz ist die Hypotenuse aus R und X; Leistung entsteht im R.
Einsetzen liefert $X=24\,\Omega$ , $Z=30\,\Omega$ , $I_{\mathrm{rms}}=0{,}4\,\mathrm A$ und 2,88 W.

Kontrolle: Leistungsfaktor 0,6; Quellenprodukt mal 0,6 ergibt ebenfalls 2,88 W.

\begin{aligned}X&=42-18=24\,\Omega\\Z&=\sqrt{18^2+24^2}\,\Omega=30\,\Omega\\I_{\mathrm{rms}}&=\frac{12\,\mathrm V}{30\,\Omega}=0.4\,\mathrm A\\\overline P&=(0.4\,\mathrm A)^2(18\,\Omega)=2.88\,\mathrm W\end{aligned}

[2][3]

Umstellen · Anwenden

Bei $\omega=400\,\mathrm{rad/s}$ soll eine ideale Reihenschaltung mit $L=50\,\mathrm{mH}$ und $R=10\,\Omega$ resonant sein. Welche Kapazität benötigt sie?

Hinweis anzeigen

Setze die beiden Reaktanzen gleich.

Lernziel: Eine Resonanzbedingung nach der Kapazität umstellen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Resonanz fordert verschwindenden Blindanteil.
Nach C umstellen und in SI-Einheiten einsetzen ergibt 125 μF.

Kontrolle: Beide Reaktanzen sind 20 Ω und die Gesamtimpedanz ist 10 Ω.

\begin{aligned}\omega L&=\frac{1}{\omega C}\\C&=\frac{1}{\omega^2L}=\frac{1}{(400\,\mathrm{s^{-1}})^2(0.050\,\mathrm H)}\\&=125\times10^{-6}\,\mathrm F\end{aligned}

[4]

Interpretieren · Einstieg

Zwei ideale Serienkreise haben $R=24\,\Omega$ und bei derselben Frequenz $X=+24\,\Omega$ beziehungsweise $X=-24\,\Omega$ . Welche Größen sind bei gleicher Quelleneffektivspannung gleich, und welche Phase unterscheidet sich?

Hinweis anzeigen

Das Quadrat verliert das Vorzeichen, die Phase nicht.

Lernziel: Gleichen Impedanzbetrag von gleicher Phase unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Vergleiche Betrag und Argument getrennt.
Beide haben Z ≈ 33,94 Ω, denselben Effektivstrom und dieselbe Widerstandsleistung.
Die erste Spannung eilt um 45° vor, die zweite liegt um 45° hinter dem Strom.

Kontrolle: Der Leistungsfaktor ist bei beiden derselbe positive Wert.

\begin{aligned}Z&=24\sqrt2\,\Omega\\\varphi_+&=45^\circ\\\varphi_-&=-45^\circ\end{aligned}

[2]

Fehleranalyse · Anwenden

Jemand berechnet bei $R=24\,\Omega$ , $X_L=40\,\Omega$ , $X_C=16\,\Omega$ die Impedanz als 80 Ω und bei 60 V effektiv den Strom als 0,75 A. Lokalisiere und korrigiere den Fehler.

Hinweis anzeigen

Kapazitive und induktive Zeiger sind entgegengesetzt; R steht senkrecht dazu.

Lernziel: Eine skalare Addition phasenverschobener Spannungen korrigieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Addiere komplexe Impedanzen, nicht ihre positiven Beträge.
Z ist nicht $24+40+16$ .
Die Blinddifferenz ist 24 Ω; der Betrag $24\sqrt2\,\Omega$ .
Der Strom beträgt rund 1,768 A.

Kontrolle: Die beiden rechtwinkligen Spannungsanteile sind je 42,426 V und ergeben eine Quelle von 60 V.

\begin{aligned}\widetilde Z&=(24+\mathrm j24)\,\Omega\\Z&=24\sqrt2\,\Omega\\I_{\mathrm{rms}}&=\frac{60}{24\sqrt2}\,\mathrm A=1.76777\,\mathrm A\end{aligned}

[2]

Transfer · Anwenden

Ein idealer Serienkreis hat $R=5\,\Omega$ , $L=0{,}10\,\mathrm H$ , $C=40\,\mathrm{\mu F}$ und wird bei Resonanz mit 10 V effektiv gespeist. Bestimme Strom sowie Spannungen an L und C. Bedeutet deren Höhe zusätzliche kostenlose Wirkleistung?

Hinweis anzeigen

Bei Resonanz ist $Z=R$ , aber die Einzelreaktanzen sind nicht null.

Lernziel: Resonanzüberhöhung mit Energieerhaltung vereinbaren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Erst Resonanzfrequenz, dann Strom und Bauteilspannungen bestimmen.
$\omega_0=500\,\mathrm{rad/s}$ , beide Reaktanzen 50 Ω, Strom 2 A, beide Bauteilspannungen 100 V effektiv.
Ihre Zeiger sind entgegengesetzt.
Die Quelle liefert 20 W, vollständig im R dissipiert; die idealen Speicher verbrauchen im Mittel keine Leistung.

\begin{aligned}\omega_0&=\frac{1}{\sqrt{(0.10\,\mathrm H)(40\times10^{-6}\,\mathrm F)}}=500\,\mathrm{s^{-1}}\\I_{\mathrm{rms}}&=\frac{10\,\mathrm V}{5\,\Omega}=2\,\mathrm A\\U_{L,\mathrm{rms}}=U_{C,\mathrm{rms}}&=(2\,\mathrm A)(50\,\Omega)=100\,\mathrm V\\\overline P&=(2\,\mathrm A)^2(5\,\Omega)=20\,\mathrm W\end{aligned}

[4][3]

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Wirkleistung und LC-Eigenfrequenz im passenden Kontext verknüpft; Serienmodell, Phase, Resonanzgrenzen, Aufgaben und Frequenzgrafik erhalten.
1. Oktober 2026Serien-RLC-Zeiger und signierte Phase hergeleitet; zwei eigene Frequenzbeispiele, Resonanzgrenzen und fünf unterschiedliche Aufgaben ausgearbeitet.
1. Oktober 2026Lernverlauf und Modellbegründung erweitert, drittes durchgerechnetes Beispiel und eigene quantitative Grafik ergänzt; Formelsatz und Schlusszusammenfassung präzisiert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/wechselstrom-impedanz-rlc

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises

Was beschreibt die RLC-Impedanz physikalisch?+

Wie prüfe ich eine Rechnung zur RLC-Impedanz?+

Welche Annahmen und Grenzen gelten für die RLC-Impedanz?+

Wie kontrolliere ich Einheiten und Größenordnung bei der RLC-Impedanz?+

Wann kombiniere ich RLC-Impedanz mit einer weiteren Beziehung?+

Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises prüfungssicher behalten

Erstelle ein kuratiertes FSRS-Prüfungsset für Z = √(R² + (ωL − 1/ωC)²): Formelabruf, Variablen, Herleitung, Umstellung, Beispiel, typische Fehler und Klausurkontext.

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Impedanz einer Serien-RLC-Schaltung

Variablen & Einheiten

Impedanz im RLC-Reihenschwingkreis berechnen

So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Wechselstrom und Schwingkreis

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises

Warum sich drei Spannungen nicht wie drei Längen addieren

Ein Betrag beschreibt noch keine Phase

Welche Schaltung hier gemeint ist

Aus den Bauteilgesetzen entsteht das Zeigerdreieck

Frequenz, Einheiten und brauchbare Umstellungen

Zwei Frequenzen, derselbe Aufbau

Induktiver Betrieb mit 45° Phasenwinkel

Halbe Kreisfrequenz macht den Kreis kapazitiv

Kleine Gesamtimpedanz kann große Bauteilspannungen verbergen

Der Serienstrom hat ein Resonanzmaximum

Vom Modell zur Messung

Vertiefung anzeigen: Halbwertsbandbreite

Halbe Leistung ist nicht halber Strom

Fünf Aufgaben zu Betrag, Phase und Resonanz

Eine ideale Serien-RLC-Schaltung hat R=18 ΩR=18\,\OmegaR=18Ω, XL=42 ΩX_L=42\,\OmegaXL​=42Ω, XC=18 ΩX_C=18\,\OmegaXC​=18Ω bei der angegebenen Frequenz. Die Quelle liefert 12 V effektiv. Bestimme Z, Strom und mittlere Leistung.

Bei ω=400 rad/s\omega=400\,\mathrm{rad/s}ω=400rad/s soll eine ideale Reihenschaltung mit L=50 mHL=50\,\mathrm{mH}L=50mH und R=10 ΩR=10\,\OmegaR=10Ω resonant sein. Welche Kapazität benötigt sie?

Zwei ideale Serienkreise haben R=24 ΩR=24\,\OmegaR=24Ω und bei derselben Frequenz X=+24 ΩX=+24\,\OmegaX=+24Ω beziehungsweise X=−24 ΩX=-24\,\OmegaX=−24Ω. Welche Größen sind bei gleicher Quelleneffektivspannung gleich, und welche Phase unterscheidet sich?

Jemand berechnet bei R=24 ΩR=24\,\OmegaR=24Ω, XL=40 ΩX_L=40\,\OmegaXL​=40Ω, XC=16 ΩX_C=16\,\OmegaXC​=16Ω die Impedanz als 80 Ω und bei 60 V effektiv den Strom als 0,75 A. Lokalisiere und korrigiere den Fehler.

Ein idealer Serienkreis hat R=5 ΩR=5\,\OmegaR=5Ω, L=0,10 HL=0{,}10\,\mathrm HL=0,10H, C=40 μFC=40\,\mathrm{\mu F}C=40μF und wird bei Resonanz mit 10 V effektiv gespeist. Bestimme Strom sowie Spannungen an L und C. Bedeutet deren Höhe zusätzliche kostenlose Wirkleistung?

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Häufige Fragen: Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises

Fachquellen und weiterführende Literatur

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

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Variablen & Einheiten

Impedanz im RLC-Reihenschwingkreis berechnen

So rechnest du schneller

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Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Wechselstrom und Schwingkreis

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises

Warum sich drei Spannungen nicht wie drei Längen addieren

Ein Betrag beschreibt noch keine Phase

Welche Schaltung hier gemeint ist

Aus den Bauteilgesetzen entsteht das Zeigerdreieck

Frequenz, Einheiten und brauchbare Umstellungen

Zwei Frequenzen, derselbe Aufbau

Induktiver Betrieb mit 45° Phasenwinkel

Halbe Kreisfrequenz macht den Kreis kapazitiv

Kleine Gesamtimpedanz kann große Bauteilspannungen verbergen

Der Serienstrom hat ein Resonanzmaximum

Vom Modell zur Messung

Vertiefung anzeigen: Halbwertsbandbreite

Halbe Leistung ist nicht halber Strom

Fünf Aufgaben zu Betrag, Phase und Resonanz

Eine ideale Serien-RLC-Schaltung hat R=18 ΩR=18\,\OmegaR=18Ω, XL=42 ΩX_L=42\,\OmegaXL​=42Ω, XC=18 ΩX_C=18\,\OmegaXC​=18Ω bei der angegebenen Frequenz. Die Quelle liefert 12 V effektiv. Bestimme Z, Strom und mittlere Leistung.

Bei ω=400 rad/s\omega=400\,\mathrm{rad/s}ω=400rad/s soll eine ideale Reihenschaltung mit L=50 mHL=50\,\mathrm{mH}L=50mH und R=10 ΩR=10\,\OmegaR=10Ω resonant sein. Welche Kapazität benötigt sie?

Zwei ideale Serienkreise haben R=24 ΩR=24\,\OmegaR=24Ω und bei derselben Frequenz X=+24 ΩX=+24\,\OmegaX=+24Ω beziehungsweise X=−24 ΩX=-24\,\OmegaX=−24Ω. Welche Größen sind bei gleicher Quelleneffektivspannung gleich, und welche Phase unterscheidet sich?

Jemand berechnet bei R=24 ΩR=24\,\OmegaR=24Ω, XL=40 ΩX_L=40\,\OmegaXL​=40Ω, XC=16 ΩX_C=16\,\OmegaXC​=16Ω die Impedanz als 80 Ω und bei 60 V effektiv den Strom als 0,75 A. Lokalisiere und korrigiere den Fehler.

Ein idealer Serienkreis hat R=5 ΩR=5\,\OmegaR=5Ω, L=0,10 HL=0{,}10\,\mathrm HL=0,10H, C=40 μFC=40\,\mathrm{\mu F}C=40μF und wird bei Resonanz mit 10 V effektiv gespeist. Bestimme Strom sowie Spannungen an L und C. Bedeutet deren Höhe zusätzliche kostenlose Wirkleistung?

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Häufige Fragen: Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises

Fachquellen und weiterführende Literatur

Eine ideale Serien-RLC-Schaltung hat $R=18\,\Omega$ , $X_L=42\,\Omega$ , $X_C=18\,\Omega$ bei der angegebenen Frequenz. Die Quelle liefert 12 V effektiv. Bestimme Z, Strom und mittlere Leistung.

Bei $\omega=400\,\mathrm{rad/s}$ soll eine ideale Reihenschaltung mit $L=50\,\mathrm{mH}$ und $R=10\,\Omega$ resonant sein. Welche Kapazität benötigt sie?

Zwei ideale Serienkreise haben $R=24\,\Omega$ und bei derselben Frequenz $X=+24\,\Omega$ beziehungsweise $X=-24\,\Omega$ . Welche Größen sind bei gleicher Quelleneffektivspannung gleich, und welche Phase unterscheidet sich?

Jemand berechnet bei $R=24\,\Omega$ , $X_L=40\,\Omega$ , $X_C=16\,\Omega$ die Impedanz als 80 Ω und bei 60 V effektiv den Strom als 0,75 A. Lokalisiere und korrigiere den Fehler.

Ein idealer Serienkreis hat $R=5\,\Omega$ , $L=0{,}10\,\mathrm H$ , $C=40\,\mathrm{\mu F}$ und wird bei Resonanz mit 10 V effektiv gespeist. Bestimme Strom sowie Spannungen an L und C. Bedeutet deren Höhe zusätzliche kostenlose Wirkleistung?

Eine ideale Serien-RLC-Schaltung hat $R=18\,\Omega$ , $X_L=42\,\Omega$ , $X_C=18\,\Omega$ bei der angegebenen Frequenz. Die Quelle liefert 12 V effektiv. Bestimme Z, Strom und mittlere Leistung.

Bei $\omega=400\,\mathrm{rad/s}$ soll eine ideale Reihenschaltung mit $L=50\,\mathrm{mH}$ und $R=10\,\Omega$ resonant sein. Welche Kapazität benötigt sie?

Zwei ideale Serienkreise haben $R=24\,\Omega$ und bei derselben Frequenz $X=+24\,\Omega$ beziehungsweise $X=-24\,\Omega$ . Welche Größen sind bei gleicher Quelleneffektivspannung gleich, und welche Phase unterscheidet sich?

Jemand berechnet bei $R=24\,\Omega$ , $X_L=40\,\Omega$ , $X_C=16\,\Omega$ die Impedanz als 80 Ω und bei 60 V effektiv den Strom als 0,75 A. Lokalisiere und korrigiere den Fehler.

Ein idealer Serienkreis hat $R=5\,\Omega$ , $L=0{,}10\,\mathrm H$ , $C=40\,\mathrm{\mu F}$ und wird bei Resonanz mit 10 V effektiv gespeist. Bestimme Strom sowie Spannungen an L und C. Bedeutet deren Höhe zusätzliche kostenlose Wirkleistung?